1、2018 年贵州省黔东南州凯里一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知复数 zi+ i2018，则|z|（ ）A0 B1 C D22 （5 分）已知 Ax| 1x3，Bx|x 23x +20 ，则 AB（ ）A （，+ ） B （1，2） C （1，3） D （1，3）3 （5 分）函数 的最小值为（ ）A3 B4 C6 D84 （5 分）直线 和圆 x2+y24x +2y200 的位置是（ ）A相交且过圆心 B相交但不过圆
2、心C相离 D相切5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）A B C D6 （5 分）设 alog 3， ， ，则（ ）Aacb Bbac Cabc Dc ba7 （5 分）2017 年 11 月 30 日至 12 月 2 日，来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校（“全国理工联盟” ）及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中，7 名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则 7 名教师上课的不同排法有（ ）种A5040 B48
3、00 C3720 D4920第 2 页（共 26 页）8 （5 分）已知抛物线 的焦点 F 是椭圆 （ab0）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 A、B 两点，若FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D9 （5 分）过直线 y2x +3 上的点作圆 x2+y24x+6y+120 的切线，则切线长的最小值为（ ）A B C D10 （5 分）中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理” 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（modm） ，例如 1
4、01（mod 3） 我国南北朝时代名著孙子算经中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何？”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决执行如图的程序框图，则输出的 n（ ）A16 B18 C23 D28第 3 页（共 26 页）11 （5 分）如图所示，在半径为 R 的 内有半径均为 的 C1 和C 2 与其相切，C 1与C 2 外切， AB 为C 1 与 C2 的公切线某人向O 投掷飞镖，假设每次都能击中O，且击中 O 内每个点的可能性均等，则他击中阴影部分的概率是（ ）A B C D12 （5 分）在ABC 中， ，若 ，
5、则函数 f（A）的最小值为（ ）A B C D13 （5 分）已知偶函数 ，且 f（x8）f（x） ，则函数在区间 2018，2018 的零点个数为（ ）A2020 B2016 C1010 D1008二、填空题：（本题共 4 小题每题 5 分，共 20 分）14 （5 分）已知 ， ， ，若 ，则 15 （5 分）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a12018 ，a 2+a42a 3，则 S2019 16 （5 分）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于 ，
6、 （a、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长） 已知双曲线（a0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，若点 M 是双曲线 C 上位于第四象限的任意一点，直线 l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线， MQl 于点 Q，且|MQ|+|MF1|的最小值为 3，则双曲线 C 的通径为 17 （5 分）已知球 O 是棱长为 2 的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，第 4 页（共 26 页）MN 为球 O 的一条直径，点 P 为正八面体表面上的一个动点，则 的取值范围是 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程
7、或演算步骤）18 （12 分）已知在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c， ，且 （）求角 C；（）若 c3，求ABC 周长的最大值19 （12 分）2018 年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80 名群众进行调查，将他们的年龄分成 6 段：20，30 ） ，30 ，40） ，40，50） ，50，60 ） ，60，70） ，70 ，80 ，得到如图所示的频率分布直方图（）求这 80 名群众年龄的中位数；（）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该社区群众中每次抽取 1 人，共抽
8、取 3 次，记被抽取的 3 人中年龄在30，40）的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，及数学期望 E（） 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PDDA ，PDDC（）若 E 是 PA 的中点，求证：PC平面 BED；（）若 PDAD，PE 2AE，求直线 PB 与平面 BED 所成角的正弦值第 5 页（共 26 页）21 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点 F 为曲线 ：12x 24y 23 的一个焦点，O 为坐标原点，点 M 为抛物线 C 上任意一点，过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线的准线于 P，直线 OP
9、交抛物线于点 N（）求抛物线 C 的方程；（）若 M、F、N 三个点满足 ，求直线 MN 的方程22 （12 分）已知函数 f（x ）（x+2）ln （x +1）ax （aR）（）若 a1，求曲线 yf （x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（）若 f（x） 0 在0 ，f（0） ）上恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若数列a n的前 n 项和 ， ，求证：数列 bn的前 n 项和Tnln（n+1） （n+2） 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程23 （10 分）已知直线 ， （t 为参数， 为倾斜角） 以坐标原点为极
10、点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24y0（）将曲线 C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（）设点 M 的直角坐标为（ 2，4） ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A、B，求|MA|+|MB|的取值范围选修 4-5：不等式选讲24已知 a、b、c 均为正实数（）若 ab+bc+ca3，求证：a+b+c3第 6 页（共 26 页）（）若 a+b1，求证：第 7 页（共 26 页）2018 年贵州省黔东南州凯里一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
11、题目要求的）1 （5 分）已知复数 zi+ i2018，则|z|（ ）A0 B1 C D2【分析】由虚数单位 i 的性质化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：zi+ i2018i+（i 4） 504i2i1，|z| 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题2 （5 分）已知 Ax| 1x3，Bx|x 23x +20 ，则 AB（ ）A （，+ ） B （1，2） C （1，3） D （1，3）【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：Ax| 1x3，B x|x23x+20x|1 x2，ABx|1 x2（1，2） 故
12、选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3 （5 分）函数 的最小值为（ ）A3 B4 C6 D8【分析】f（x）可化为 f（x ） |x|+ ，运用基本不等式可得最小值【解答】解：函数|x |+ 2 4，当且仅当|x| 2，即 x2 时，上式取得等号，则 f（x）的最小值为 4，第 8 页（共 26 页）故选：B【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题4 （5 分）直线 和圆 x2+y24x +2y200 的位置是（ ）A相交且过圆心 B相交但不过圆心C相离 D相切【
13、分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标、半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则答案可求【解答】解：圆 x2+y24x +2y200 即（x2） 2+（y+1） 225，表示以C（2，1）为圆心、半径等于 5 的圆，则圆心到直线 即 3x4y100 的距离 d ，直线 和圆 x2+y24x +2y200 的位置关系为相交且过圆心故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据判断最
14、长的棱长与最短的棱长的关系，求解即可【解答】解：几何体的直观图如图，几何体是正方体的一部分，最长的棱为 SC，最短的棱为：SA，AB，AD，CD，BC，因为 CS 是正方体的体对角线，所以该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值相等第 9 页（共 26 页）且为 故选：D【点评】本题考查几何体的三视图与直观图的关系，判断直观图的形状，是解题的关键，考查计算能力6 （5 分）设 alog 3， ， ，则（ ）Aacb Bbac Cabc Dc ba【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：alog 3log 331，0 （ ） 01，tan 1，acb故选：A【
15、点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7 （5 分）2017 年 11 月 30 日至 12 月 2 日，来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校（“全国理工联盟” ）及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中，7 名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则 7 名教师上课的不同排法有（ ）种A5040 B4800 C3720 D4920【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：，若教师甲上第六节课，将剩余的 6 名教师全排列，
16、安排在其他 6 节课的位置，若教师甲上不上第六节课，分析甲乙的安排方法第 10 页（共 26 页）数目，将剩余的 5 名教师全排列，安排在其他 5 节课的位置即可，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：，若教师甲上第六节课，将剩余的 6 名教师全排列，安排在其他 6 节课的位置，有A66720 种排法，若教师甲上不上第六节课，由于甲不能上第三节课，则甲有 5 种安排方法，教师乙不能上第六节课，则以有 5 种安排方法，将剩余的 5 名教师全排列，安排在其他 5 节课的位置，有 A55120 种排法，则此时有 551203000 种安排方法，则 7 名教师上课的不同排法有
17、 720+30003720 种；故选：C【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题8 （5 分）已知抛物线 的焦点 F 是椭圆 （ab0）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 A、B 两点，若FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】求得抛物线焦点坐标，根据椭圆的通径公式，求得|AB| ，利用椭圆的定义，列方程，即可求得 ，根据题意的离心率公式，即可求得答案【解答】解：抛物线的标准方程：x 24y，焦点坐标为（0，1） ，则椭圆 （ab0）中 c1，由|AB| ，FAB 的周长为 4a，由FAB 是正三角形，则 4a，则 ，椭圆的
18、离心率 e ，第 11 页（共 26 页）故选：C【点评】本题考查椭圆的通径公式及椭圆离心率的应用，考查抛物线的性质，考查转化思想，属于中档题9 （5 分）过直线 y2x +3 上的点作圆 x2+y24x+6y+120 的切线，则切线长的最小值为（ ）A B C D【分析】要使切线长最小，需直线 y2x+3 上的点和圆心之间的距离最短，求出圆心到直线 y2x+3 的距离 d，可得切线长的最小值为 【解答】解：化圆 x2+y24x+6 y+120 为（x 2） 2+（y+3） 21，要使切线长最小，需直线 y2x+3 上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心（2，3）到直线 y2
19、x+3 的距离 d，d ，故切线长的最小值为 ，故选：A【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用以及直线和圆的位置关系，是中档题10 （5 分）中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理” 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（modm） ，例如 101（mod 3） 我国南北朝时第 12 页（共 26 页）代名著孙子算经中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何？”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决执行如图的程序框图，则输出的 n（ &
20、nbsp;）A16 B18 C23 D28【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一个循环结构是输出 n 除以 3 余数是 2 的数，从 9 开始，如：11，14，17，20，23，第二个循环结构是输出 n 除以 5 余数是 3 的数，从 11 开始，如：23，28，第三个循环结构是输出 n 除以 7 余数是 2 的数，从 23 开始，如：23，故输出 n 值为 23，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题第 1
21、3 页（共 26 页）11 （5 分）如图所示，在半径为 R 的 内有半径均为 的 C1 和C 2 与其相切，C 1与C 2 外切， AB 为C 1 与 C2 的公切线某人向O 投掷飞镖，假设每次都能击中O，且击中 O 内每个点的可能性均等，则他击中阴影部分的概率是（ ）A B C D【分析】由已知求出阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案【解答】解：如图，连接 C1C2，则 C1C2 过大圆圆心 O，则阴影部分的面积为 大圆面积为 R2向 O 投掷飞镖，击中阴影部分的概率是 故选：B【点评】本题考查几何概型，关键是求出阴影部分的面积，是中档题12 （5 分）在ABC 中， ，若
22、 ，则函数 f（A）的最小值为（ ）A B C D【分析】根据 ，可得 0A ，0tanA ，由，利用和与差公式展开，构造基本不等式即可求解函数f（A）的最小值第 14 页（共 26 页）【解答】解：由 ，可得 0A ，0tanA ，设 t，则 1t4 ，当且仅当 t2，即 tanA ，A 时取等号，故选：D【点评】本题考查三角函数的有界性，基本不等式求解的最值问题，考查转化思想以及计算能力13 （5 分）已知偶函数 ，且 f（x8）f（x） ，则函数在区间 2018，2018 的零点个数为（ ）A2020 B2016 C1010 D1008【分析】作出 f（x ）一个
23、周期内的函数图象，根据函数周期性判断交点个数【解答】解：当 4x8 时，f （x）f（8x ） ，故而 f（ x）在（0，8）上的函数图象关于直线 x4 对称，f（x8） f（x ） ，f（x）的周期为 T8，作出 yf（x）和 y 的图象在（0，8）上的函数图象如图所示：由图象可知 f（x ）在一个周期内与 y 有 4 个交点，F（x ）在0，2018上有 2524+21010 个交点，又 f（x）与 y 是偶函数，F（x ）在 2018，2018的零点个数为 101022020故选：A第 15 页（共 26 页）【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数图象变换，属于中档题二、填空题
24、：（本题共 4 小题每题 5 分，共 20 分）14 （5 分）已知 ， ， ，若 ，则 3 【分析】通过向量的坐标运算，转化求出 、 ，即可得到结果【解答】解： ， ， ，若 ，可得12+ ，12 ，解得 ， ，则 3故答案为：3【点评】本题考查向量的基本运算，平面向量基本定理的应用，考查计算能力15 （5 分）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a12018 ，a 2+a42a 3，则 S2019 2018 【分析】根据等比数列的性质求解 Sn，即可求解 S2019 的值【解答】解：由题意，a 12018，a 2+a42a 3，即 2018q+2018q322018q 2解得：q
25、1那么 Sn第 16 页（共 26 页）则 S2019 2018故答案为：2018【点评】本题主要考查等比数列的应用，等比数列前 n 项和的求法，属于基础题16 （5 分）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于 ， （a、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长） 已知双曲线（a0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，若点 M 是双曲线 C 上位于第四象限的任意一点，直线 l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线， MQl 于点 Q，且|MQ|+|MF1|的最小值为 3，则双曲线 C 的通径为 2 【分析】根据题意，由双曲线的方程可得 b 的值
26、以及渐近线方程，结合双曲线的定义可得|MF 1|MF 2|2a，则| MQ|+|MF1|MQ|+2a+|MF 2|2a+| MQ|+|MF2|，分析| MQ|+|MF2|的最小值为|F 2Q|，并由点到直线的距离公式计算 |F2Q|的值，分析可得 |MQ|+|MF1|的最小值为 2a+13，解可得 a 的值，代入通径公式计算可得答案【解答】解：根据题意，已知双曲线 （a0）中，b1，其渐近线为 y x，即 xay0，右焦点坐标为（c，0） ，其左、右焦点分别为 F1、F 2，点 M 是双曲线 C 上位于第四象限的任意一点，则|MF 1|MF 2|2a，则|MQ|+|MF 1|MQ|+2a+|
27、MF2|2a+|MQ|+|MF 2|，分析可得：当 Q、M、F 三点共线时，| MQ|+|MF2|取得最小值，且|MQ|+|MF 2|的最小值为|F 2Q|，又由|F 2Q| b1 ，则|MQ|+|MF 1|的最小值为 2a+13，解可得 a1，则双曲线 C 的通径 2；故答案为：2第 17 页（共 26 页）【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是分析|MQ|+|MF 1|取得最小值的条件17 （5 分）已知球 O 是棱长为 2 的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，MN 为球 O 的一条直径，点 P 为正八面体表面上的一个动点，则 的取值范围是 【分析】设球 O 的半径为 R，
28、则 ，解得 R . 可得 （ ）（ ） 【解答】解：设球 O 的半径为 R，则 ，解得 R （ ）（ ） 故答案为： 【点评】本题考查了正八面体及其内切球的性质、等边三角形与直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）第 18 页（共 26 页）18 （12 分）已知在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c， ，且 （）求角 C；（）若 c3，求ABC 周长的最大值【分析】 （）由已知可得 2ccosC（acosB+bcos A）0结合正弦定理可得2sinCcosC（sin AcosB+cosAsinB）
29、0进一步得到 cosC ，得 C ；（）写出余弦定理，可得（a+b） 23ab9，即ab 然后利用基本不等式求最值【解答】解：（） ， ，且 ，2ccos C（acos B+bcosA） 0由正弦定理得 2sinCcosC（sinAcosB+cosAsinB ）0即 2sinCcosCsin （A +B）0，2sinCcosC sin C0，在ABC 中，0C，sin C0cosC ，得 C ；（）c3，由余弦定理可得：c2a 2+b22abcosC（a+b） 22ab（1+cosC）9即（a+b） 23ab9，ab （a+b） 236，即 a+b6，当且仅当 ab3 时取等号，ABC 周长的
30、最大值为 6+39【点评】本题考查三角形的解法，考查了余弦定理及基本不等式的应用，是中档题19 （12 分）2018 年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80 名群众进行调查，将他们的年龄分成 6 段：20，30 ） ，30 ，40） ，40，50） ，50，60 ） ，60，70） ，70 ，80 ，得到如图所示的频率分布直方图（）求这 80 名群众年龄的中位数；第 19 页（共 26 页）（）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该社区群众中每次抽取 1 人，共抽取 3 次，记被抽取的 3 人
31、中年龄在30，40）的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，及数学期望 E（） 【分析】 （）根据中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值；（）求出任意抽取 1 名群众年龄在30，40）的概率，由题意知 B（3， ） ，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值【解答】解：（）设 80 名群众年龄的中位数为 x，则0.00510+0.01010+0.02010+0.030（x 50）0.5，解得 x55，即 80 名群众年龄的中位数 55；（）由频率分布直方图可知，任意抽取 1 名群众，年龄恰在30，40）的概率为 ，由题意可知 B（3， ） ， 的所有可能取值为 0，1，2
32、，3，P（0） ，P（1） ，P（2） ，P（3） ； 的分布列为： 0 1 2 3P数学期望为 E0 +1 +2 +3 第 20 页（共 26 页）或者 E3 【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PDDA ，PDDC（）若 E 是 PA 的中点，求证：PC平面 BED；（）若 PDAD，PE 2AE，求直线 PB 与平面 BED 所成角的正弦值【分析】 （）连接 AC 交 DB 于 G，连接 EG在三角形 ACP 中，中位线 EGPC ，即可证明 PC平面 BED（）
33、分别以 DA，DC，DP 为 x，y，z 轴的正方向建立坐标系，求出平面 BED 的一个法向量为 （x，y ，z） ，设直线 PB 与平面 BED 所成角为 ，则 sin|cos| 即可【解答】解：（）连接 AC 交 DB 于 G，连接 EG在三角形 ACP 中，中位线EGPC，且 EG平面 BED，PC平面 BED，PC 平面 BED（）设 CD2，则 ABBCAD PD2，且 PE 分别以 DA，DC，DP 为 x， y，z 轴的正方向建立坐标系，则 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，E（ ，0， ） ，C （0，2，0） ，B（2，2，0） ，P（0，0，2） ，第 21 页（共
34、26 页）设平面 BED 的一个法向量为 （x，y ，z） ，则 ，令x1x1，则 y1，z 2设直线 PB 与平面 BED 所成角为 ，则 sin|cos | 所以 PB 与平面 BED 所成角的正弦值为 ，【点评】本题考查了空间线面位置关系，向量法求线面角，属于中档题21 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点 F 为曲线 ：12x 24y 23 的一个焦点，O 为坐标原点，点 M 为抛物线 C 上任意一点，过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线的准线于 P，直线 OP 交抛物线于点 N（）求抛物线 C 的方程；第 22 页（共 26 页）（）若 M、F、N 三个点满足 ，求
35、直线 MN 的方程【分析】 （）求得双曲线的 a，b，c，可得焦点坐标，求得抛物线的焦点，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程；（）设直线 MN 的方程为 xty+1，联立直线与抛物线的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得 t，进而得到所求直线方程【解答】解：（）由曲线 ：12x 24y 23，可得 1，所以是焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a ，b ，故 c 1， 的焦点坐标分别为 F1（1，0） ，F 2（1，0） ，因为抛物线的焦点坐标为 F（ ，0） （p0） ，由题意知 1，得 p2，所抛物线的方程为 y24x ；（）设直线 MN 的方程为 xty+1，联立直线与抛物线
36、的方程，消去 x 得 y24ty40，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，由根与系数的关系得 y1+y24t ，y 1y24，因为 ，故（1x 1，y 1）2（x 21，y 2） ，得 2，又 y1y24，解得 y12 ，y 2 或 y12 ，y 2 ，代入 y1+y24t ，解得 t 或 t ，故 MN 的方程为 x y+1，化简得 4x+ y40 或 4x y40【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用双曲线的方程和性质，考查直线方程的求法，注意运用联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题22 （12 分）已知函数 f（x ）
37、（x+2）ln （x +1）ax （aR）（）若 a1，求曲线 yf （x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（）若 f（x） 0 在0 ，f（0） ）上恒成立，求实数 a 的取值范围；第 23 页（共 26 页）（）若数列a n的前 n 项和 ， ，求证：数列 bn的前 n 项和Tnln（n+1） （n+2） 【分析】 （）由 a1，得 f（x ）（x+2）ln （x +1） x，切点为（0，0） 由f（x）ln（x +1）+ 1，得 f（0）1，由此能求出曲线 yf（x）在（0，0）处的切线方程（）由 a，令 g（x）f （x） ，则 0，从而 f（x ）在0 ，+）上为增函数由此利用分
38、类讨论思想结合导数性质能求出实数 a 的取值范围（III）由 ，推导出 ，从而 ，再证明 Tnln（n+1） （n+2） ，由此能证明数列 bn的前 n 项和 Tnln（n+1） （n+2 ） 【解答】解：（）因为 a1，所以 f（x ）（x+2）ln（x+1）x，f（0）（0+2 ）ln100，切点为（0，0 ） 由 f（x）ln（x +1）+ 1，所以 11，所以曲线 yf（ x）在（0，0）处的切线方程为 y01（x0） ，即 xy0（）由 a，令 g（x）f （x） ， （x0，+） ） ，则 0， （当且仅当 x0 取等号） 故 f（x）在0，+ ）上为增函数当 a 2 时， f（x
39、 ）f（0）0，故 f（x ）在0 ，+）上为增函数，所以 f（x）f（0）0 恒成立，故 a2 符合题意；当 a 2 时，由于 f（0）2a0，f （e a1）1+ 0，根据零点存在定理，必存在 t（0，e a1） ，使得 f（t）0，由于 f（x）在 0，+ ）上为增函数，故当 x（0，t）时，f（t）0，故 f（x）在 x（0，t）上为减函数，所以当 x（0， t）时，f（x）f（0）0，故 f（x）0 在0，+）上不恒成立，所以 a2 不符合题意第 24 页（共 26 页）综上所述，实数 a 的取值范围为（，2证明：（III ）由 ，n1 时，a 1S 11+313，n2 时， （n1
40、） 2+3（n1）1 2n+2 ，n2， ， ，由（）知当 x0 时， （x +2）ln（1+x）2x，故当 x0 时，ln（1+x） ，故 ln（1+ ） ，故 下面证明：T nln （n+1） （n+2） ，因为 ln（1+ ）+ln （1+ ）+ln（1+ ）+ln （1+ ）+ln（1+ ）ln（3 ）lnln（n+1） （n +2）ln2，Tn ，1+ 1+T n T n ，ln（n+1） （n +2）ln2T n ，即数列b n的前 n 项和 Tnln（n+1） （n+2） 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性
41、质、数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐第 25 页（共 26 页）标系与参数方程23 （10 分）已知直线 ， （t 为参数， 为倾斜角） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24y0（）将曲线 C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（）设点 M 的直角坐标为（ 2，4） ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A、B，求|MA|+|MB|的取值范围【分析】 （）由 2x 2+y2，ysin ，能求出曲线 C 的极坐标方程（II）将直线
42、 l 的参数方程代入 x2+y24y0，得 t2+4（sin +cos）t+40，由此能求出|MA |+|MB|的取值范围【解答】解：（）曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24y0由 2 x2+y2，y sin，得 24sin，即 4sin ，曲线 C 的极坐标方程为 4sin （II）将直线 ， （t 为参数， 为倾斜角）代入 x2+y24y0，得t2+4（sin +cos）t+40， ，sin20，又 0 ，（0， ） ，且 t10，t 20，|MA |+|MB|t 1|+|t2|t 1+t2|4（sin +cos）4 sin（ ） ，由 ，得 （ ） ， 故|MA |+|MB|的取值范
43、围是（4，4 【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段和的取值范围的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲24已知 a、b、c 均为正实数（）若 ab+bc+ca3，求证：a+b+c3第 26 页（共 26 页）（）若 a+b1，求证：【分析】 （）要证原不等式成立，运用两边平方和不等式的性质，即可得到证明；（）运用分析法证明要证 a+b+c3，只需证明（a+b+c）2a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca9 即可【解答】证明：（）a 2+b22ab，b 2+c22bc，c 2+a22ca，三式相加可得a2+b2+c2ab+bc+ ca，（a+b+c） 2a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca（ab+ bc+ca）+2（ab+bc+ca）3（ab+bc+ca）9，又 a，b，c 均为正整数，a+b+c3 成立（）：a、b 为正实数，a+b1，a 2+2ab+b21，（ + ） （ + ）5+ 9，当且仅当 ，即 ab 时， “”成立【点评】本题考查不等式的证明，注意运用综合法证明，结合均值不等式和不等式的性质，考查推理能力，属于中档题
