1、2019 年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足（1i ）z2 i，则下列关于复数 z 说法正确的是（ ）Az1i B| z|2 Cz 2 Dz 222 （5 分）命题“x R，x 2x+10”的否定是（ ）AxR，x 2x +10 B x0R，x 02x 0+10Cx 0R，x 02x 0+10 Dx 0R， x02x 0+103 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A171 B
2、342 C683 D3414 （5 分）设 （0， ） ，（0， ） ，且 costan（1+sin） ，则（ ）A B C2 D25 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z（x+1） 2+y2 的最小值为（ ）A B C2 D46 （5 分）某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）第 2 页（共 24 页）A27 B24 C18 D127 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+） （0，| | ）的部分图象如图所示，其中点 A 坐标为（ ） ，点 B 的坐标为（ ，1） ，点 C 的坐标为（3，1） ，则 f（x）的
3、递增区间为（ ）A （4k ，4k+ ） ，kZ B （2k ，2k+ ） ，kZC （4k ，4k + ） ，k Z D （2k ，2k+ ） ，kZ8 （5 分）已知正数 x，y ，z 满足 log2xlog 3ylog 5z0，则下列结论不可能成立的是（ ）A B C D9 （5 分）设双曲线 1（a0，b0）的左、右两焦点分别为 F1、F 2，P 是双曲线上一点，点 P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF 1|+|PF2|4a，则双曲线离心率是（ ）A B C D10 （5 分）若ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
4、已知 bsin2AasinB，且第 3 页（共 24 页）c2b，则 等于（ ）A B C D11 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件 A 为“4 名同学所报项目各不相同”事件 B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目” ，则P（A |B）的值为（ ）A B C D12 （5 分）若函数 f（x ）log ax（a0 且 a1）的定义域与值域都是m，n （mn） ，则a 的取值范围是（ ）A （1，+） B （e，+） C （1，e） D （1，e
5、）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13 （5 分）已知平面向量 ， 满足| |2，| |3， （ ） ，则| | 14 （5 分）若关于 x 的二项式（2x+ ） 7 的展开式中一次项的系数是70，则 a 15 （5 分）若 f（x ）是 R 上的奇函数，且 f（x + ）+f （ x）0，又 f（1）1，f（2）2，则 f（3）+f（4）+ f（5） 16 （5 分）在数学实践活动课中，某同学在如图 1 所示的边长为 4 的正方形模板中，利用尺规作出其中的实线图案，其步骤如下：（
6、1）取正方形中心 O 及四边中点M，N ，S，T ；（2）取线段 MN 靠近中心 O 的两个八等分点 A，B；（3）过点 B 作 MN的垂线 l；（4）在直线 1（位于正方形区域内）上任取点 C，过 C 作 1 的垂线l1；（5）作线段 AC 的垂直平分线 l2；（6）标记 l1 与 l2 的交点 P，如图 2 所示：不断重复步骤（4）至（6）直到形成图 1 中的弧线（） 类似方法作出图 1 中的其它弧线，则图 1 中实线围成区域面积为 第 4 页（共 24 页）三、解答题：本大题满分 60 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）设各项均为正数的
7、数列a n的前 n 项和为 Sn，满足：对任意的 nN*，都有an+1+Sn+11，又 a1 （）求数列a n的通项公式；（）令 bnlog 2an，求 （n N*）18 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADCD，AD AB2，作BE CD，E 为垂足，将 CBE 沿 BE 折到PBE 位置，如图 2 所示（）证明：平面 PBE平面 PDE；（）当 PEDE 时，平面 PBE 与平面 PAD 所成角的余弦值为 时，求直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值19 （12 分）为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中
8、，检验员在一天中按照规定每间隔 2 小时对该药品进行检测，每天检测 4 次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取 20 件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ） 根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布 N（， 2） （）假设生产状态正常，记 X 表示某次抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在（3 ， +3）之外的药品件数，求 P（X1） （精确到 0.001）及 X 的数学期望；（）在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在第 5 页（共 24 页）（3 ， +3）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程
9、可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在（3， +3）之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测（1）下面是检验员在某一次抽取的 20 件药品的主要药理成分含量：10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.9510.09 9.96 9.88 10.01 9.98 9.95 10.05 10.05 9.96 10.12经计算得 xi9.96，s 0.19其中 xi 为抽取的第 i 件药品的主要药理成分含量，i 1， 2，20用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为
10、 的估计值 ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（2）试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到 0.001） 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（3Z+3）0.9974，0.9974 190.9517，0.9974 200.9493，0.0507 20.0026，0.9493 20.901220 （12 分）已知椭圆 C： l （ab0）的离心率为 ，且过点（2， ） （）求椭圆 C 的标准方程；（）设 A、B 为椭圆 C 的左、右顶点，过 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆于 M，N 两点，分别记ABM ， ABN 的面积为 S1，S 2，求
11、|S 1S 2|的最大值21 （12 分）已知函数 f（x ）axlnx（aR） （）讨论 f（x ）的单调性（）若 f（x） 0 有两个相异的正实数根 x1，x 2，求证 f（x 1）+f（x 2）0请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位圆 C 的方程为 2 sin，l 被圆 C 截得的弦长为 （）求实数 m 的值；第 6 页（共 24 页）（
12、）设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为（m， ） ，且 m0，求|PA|+|PB|的值选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） 2|x+1|+|2x 1|（）解不等式 f（x ）f（1） ；（）若不等式 f（x ） + （m0，n0）对任意的 xR 都成立，证明：m+n 第 7 页（共 24 页）2019 年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足（1i ）z2 i，则下列关于复数 z 说法正确的是
13、（ ）Az1i B| z|2 Cz 2 Dz 22【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求出 z，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：由（1i）z 2i，得 z ，故 A 错；|z| ，故 B 错； ，故 C 正确；z 2（1+i） 22i ，故 D 错误故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2 （5 分）命题“x R，x 2x+10”的否定是（ ）AxR，x 2x +10 B x0R，x 02x 0+10Cx 0R，x 02x 0+10 Dx 0R， x02x 0+10【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断
14、即可【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：x 0R，x 02x 0+10故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键3 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）第 8 页（共 24 页）A171 B342 C683 D341【分析】根据程序框图进行模拟运算即可得到结论【解答】解：根据程序框图可知：i1 S1； i2 S2 ； i3 S3； i4 S6；i5，S11； i6 S22； i7，S43； i8，S86； i9 S171；i10，S342； i11 S683，i1110 满足条件输出 S68
15、3，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的应用，根据条件利用模拟法 是解决程序框图的基本方法4 （5 分）设 （0， ） ，（0， ） ，且 costan（1+sin） ，则（ ）A B C2 D2【分析】通过切化弦，结合两角和与差的三角函数，通过角的范围，转化求解即可【解答】解：由 costan（1+sin） ，可得 cos （1+sin） ，cossinsincossincos（ ） ，即 cos（+）cos（ ） ，又 （0， ） ，（0， ） ，则 +（0， ） ， 故 ，第 9 页（共 24 页）即 2+ 故选：D【点评】本题考查两角和与差的三角函数，化简求值考查计算能力
16、5 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z（x+1） 2+y2 的最小值为（ ）A B C2 D4【分析】由约束条件作出可行域，再由 z（x+1） 2+y2 的几何意义，即可行域中点（x，y）与定点 P（1，0）的距离的平方求解【解答】解：作出可行域，z（x+1） 2+y2 的几何意义表示可行域中点（x，y）与定点 D（1，0）的距离的平方，可知当 x1，y 0 时，目标函数 z（x +1） 2+y2 取到最小值，最小值为 z（x+1） 2+y24，故选：D【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6 （5 分）某一简单几何体的三视图如
17、图所示，该几何体的体积是（ ）第 10 页（共 24 页）A27 B24 C18 D12【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为， ，3，再由长方体的体积公式得答案【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为 ，3，其体积为 故选：B【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题7 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+） （0，| | ）的部分图象如图所示，其中点 A 坐标为（ ） ，点 B 的坐标为（ ，1） ，点 C 的坐标为（3，1） ，则 f（x）的递增区间为（ ）第 1
18、1 页（共 24 页）A （4k ，4k+ ） ，kZ B （2k ，2k+ ） ，kZC （4k ，4k + ） ，k Z D （2k ，2k+ ） ，kZ【分析】根据 B，C 的坐标，求出 B，C 之间的对称轴，然后求出函数的周期，结合图象求出一个单调递增区间为，加上周期即可求出所有的单调递增区间【解答】解：由 B，C 的坐标可知，函数 f（x）的图象有对称轴 x则 2，故 T4，则 4 ，可得函数的一个单调递增区间为（ ， ） ，则 f（x）的递增区间为（ 4k ，4k+ ） ，kZ故选：A【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的周期和一个单调递增区间是解决本题的关键
19、8 （5 分）已知正数 x，y ，z 满足 log2xlog 3ylog 5z0，则下列结论不可能成立的是（ ）A B C D【分析】可设 log2xlog 3y log5zk0，从而可得出【解答】解：设 log2xlog 3ylog 5zk0，则：， ， ；k1 时， ；k 1 时， ；0k 1 时， 故选：B【点评】考查对数的定义，对数与指数的互化，分类讨论的思想，以及幂函数的单调性9 （5 分）设双曲线 1（a0，b0）的左、右两焦点分别为 F1、F 2，P 是双曲线上一点，点 P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF 1|+|PF2|4a，则双曲线离心率是（ &
20、nbsp;）A B C D第 12 页（共 24 页）【分析】由|PF 1|+|PF2|4a，可得|PF 1|3a，| PF2|a利用| PF1|2+|PF2|2|F 1F2|2，得即可【解答】解：不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF 1|PF 2|2a因为|PF1|+|PF2|4a，所以|PF 1|3a，| PF2|a由点 P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，PF 1|PF 2，所以|PF1|2+|PF2|2|F 1F2|2，即 9a2+a24c 2，得 所以双曲线的离心率 e 故选：A【点评】本题考查了双曲线的离心率，属于中档题10 （5 分）若ABC 的内角 A，B，C
21、所对的边分别为 a，b，c，已知 bsin2AasinB，且c2b，则 等于（ ）A B C D【分析】利用正弦定理化简已知等式可得 cosA 的值，进而根据余弦定理即可计算得解【解答】解：由 bsin2AasinB，得 2sinBsinAcosAsinAsinB，得 cosA 又 c2b，由余弦定理得 a2b 2+c22bc cosAb 2+4b24b 2 3b 2，得 故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题11 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教
22、育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件 A 为“4 名同学所报项目各不相同”事件 B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目” ，则P（A |B）的值为（ ）A B C D第 13 页（共 24 页）【分析】由条件概率与独立事件可得：P（B） ，P（AB） ，所以 P（A |B） ，得解【解答】解：由已知有：P（B） ，P（AB） ，所以 P（A |B） ，故选：C【点评】本题考查了条件概率与独立事件，属中档题12 （5 分）若函数 f（x ）log ax（a0 且 a1）的定义域与值域都是m，n （mn） ，则a 的取值范围是（ ）A （1，+） B （e，+
23、） C （1，e） D （1，e ）【分析】所求问题可等价于方程 f（x ）log axx 有两个不同的实数解，问题等价于直线 ylna 与函数 y 的图象有两个交，结合函数的图象可求【解答】解：f（x ）log ax 的定义域与值域相同，等价于方程 f（x ）log axx 有两个不同的实数解因为 f（x）log axx ， ，lna 有 2 个不同解，问题等价于直线 ylna 与函数 y 的图象有两个交点作函数 y 的图象，如图所示根据图象可知，当 0 时，即 1a 时，直线 ylna 与函数 y 的图象有两个交点第 14 页（共 24 页）故选：D【点评】本题主要考查了方程的解与函数图象
24、的交点关系的相互转化，解题的关键数形结合思想的应用二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13 （5 分）已知平面向量 ， 满足| |2，| |3， （ ） ，则| | 【分析】由已知得：| | ，可得 4再利用数量积运算性质即可得出【解答】解：由已知得：| | ， 4| | 故答案为： 【点评】本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14 （5 分）若关于 x 的二项式（2x+ ） 7 的展开式中一次项的系数是70，则 a 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 01，求出 r 的值，即可求得一次项，再根据一次项等
25、于70，求得实数 a 的值【解答】解：展开式的通项公式为 Tr+1 ar27r x72r ，由 72r1，得 r3，所以一次项的系数为 24a370，得 a ，故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15 （5 分）若 f（x ）是 R 上的奇函数，且 f（x + ）+f （ x）0，又 f（1）1，f（2）2，则 f（3）+f（4）+ f（5） 3 第 15 页（共 24 页）【分析】根据 即可得出 f（x +5）f（ x） ，即 f（x）的周期为 5，再根据 f（1）1，f（2）2 即可得出 f（3）+f （4）+f（5） f（2
26、）+f（1）+f（0）3【解答】解：f（x ）是 R 上的奇函数，且 ； ；f（x+5）f（x ） ；f（x）的周期为 5；又 f（1）1，f（2）2；f（3）f（35）f（2）2，f （4）f（45 ）f （1）1，f（5）f（55）f（0）0；f（3）+f（4）+ f（5）3故答案为：3【点评】考查奇函数的定义，奇函数 f（x ）在原点有定义时，满足 f（0）0，以及周期函数的定义16 （5 分）在数学实践活动课中，某同学在如图 1 所示的边长为 4 的正方形模板中，利用尺规作出其中的实线图案，其步骤如下：（1）取正方形中心 O 及四边中点M，N ，S，T ；（2）取线段 MN 靠近中心
27、O 的两个八等分点 A，B；（3）过点 B 作 MN的垂线 l；（4）在直线 1（位于正方形区域内）上任取点 C，过 C 作 1 的垂线l1；（5）作线段 AC 的垂直平分线 l2；（6）标记 l1 与 l2 的交点 P，如图 2 所示：不断重复步骤（4）至（6）直到形成图 1 中的弧线（） 类似方法作出图 1 中的其它弧线，则图 1 中实线围成区域面积为 【分析】根据题意，点 P 满足抛物线的定义，可以先求图中（）的面积，再乘以 4 即第 16 页（共 24 页）可【解答】解析：由作法可知，弧（）为抛物线 y22x（0x2）弧，则实线围成的区域面积为 4（ ）| 故
28、填： 【点评】本题考查了定积分的计算，找到被积函数是解决本题的关键，本题属中档题三、解答题：本大题满分 60 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）设各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，满足：对任意的 nN*，都有an+1+Sn+11，又 a1 （）求数列a n的通项公式；（）令 bnlog 2an，求 （n N*）【分析】 （）根据题意，由 an+1+Sn+11 分析可得 an+Sn1，将两式相减，变形可得2an+1a n，求出 a2 的值，结合 a1 的值，分析可得数列 an是首项和公比都为 的等比数列，据此分析可得答案；（）根据题意，由（）的结论可得 bn
29、log 2ann，进而可得 + + + + ，由裂项相加法计算可得答案【解答】解：（）根据题意，由 an+1+Sn+11，则有 an+Sn1， （n2）得：2a n+1a n，即 an+1 an，又由 a1 ，当 n1 时，有 a2+S21，即 a2+（a 1+a2）1，解可得 a2 ，则所以数列a n是首项和公比都为 的等比数列，故 an ；（）由（）的结论，a n ，则 bnlog 2ann，第 17 页（共 24 页）则 + + + +（1 ）+（ ）+ +（ ）1 【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列a n的通项公式18 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABC
30、D 中，ABCD，ADCD，AD AB2，作BE CD，E 为垂足，将 CBE 沿 BE 折到PBE 位置，如图 2 所示（）证明：平面 PBE平面 PDE；（）当 PEDE 时，平面 PBE 与平面 PAD 所成角的余弦值为 时，求直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值【分析】 （）在图 1 中，由 BECE，BEDE ，得到在图 2 中有，BEPE，BE DE，从而 BE平面 PDE，由此能证明平面 PBE平面 PDE（）由 PEDE ，PEBE，得 PE平面 ABED再由 BEED，以 E 为原点，分别以 ED，EB，EP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用
31、向量法能求出直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值【解答】证明：（）在图 1 中，因为 BECE，BEDE，所以在图 2 中有，BEPE ，BE DE ，又因 DEPEE，所以 BE平面 PDE，因 BE平面 PBE，故平面 PBE平面 PDE解：（）因为 PEDE ，PEBE，DEBEE，所以 PE平面 ABED又 BEED ，以 E 为原点，分别以 ED，EB，EP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图 1 所示的空间直角坐标系，设 PEa，D（ 2，0，0） ，P（0，0，a） ，A（2，2，0） ，第 18 页（共 24 页）则 （2，0，a） ， （2，2，a） 设平面
32、PAD 的法向量为 （x，y ，z） ，由 ，即 取 z2，得 （a，0，2） ，取平面 PBE 的法向量为 （2，0，0） ，由面 PBE 与平面 PAD 所成角的余弦值为 ，得 ，即 ，解得 a4，所以 （4，0，2） ， （0，2，4） ，设直线 PB 与平面 PAD 所成角为 ，sin |cos | 所以直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的
33、生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔 2 小时对该药品进行检测，每天检测 4 次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取 20 件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ） 根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布 N（， 2） （）假设生产状态正常，记 X 表示某次抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在（3 ， +3）之外的药品件数，求 P（X1） （精确到 0.001）及 X 的数学期望；（）在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在第 19 页（共 24 页）（3 ， +3）之外的药品，就认为这条生产线在这一
34、天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在（3， +3）之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测（1）下面是检验员在某一次抽取的 20 件药品的主要药理成分含量：10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.9510.09 9.96 9.88 10.01 9.98 9.95 10.05 10.05 9.96 10.12经计算得 xi9.96，s 0.19其中 xi 为抽取的第 i 件药品的主要药理成分含量，i 1， 2，20用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准
35、差 s 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（2）试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到 0.001） 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（3Z+3）0.9974，0.9974 190.9517，0.9974 200.9493，0.0507 20.0026，0.9493 20.9012【分析】 （）抽取的一件药品的主要药理成分含量在（3，+3）之内的概率为0.9974，从而求出主要药理成分含量在（3， +3）之外的概率，由二项分布得概率公式求 P（X1） ，再由正态分布的期望公式求 X 的数学期望；（） （1）由 ，s0.19，
36、得 的估计值为 ， 的估计值为0.19，由药品的主要药理成分（9.22）含量在（ 3 ， +3 ）之外，可知需对本次的生产过程进行检查（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件 A，由对立事件的概率公式求得 P（A） ，在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在（3，+3）之外的药品，再由二项分布的概率公式求解【解答】解：（）抽取的一件药品的主要药理成分含量在（3，+3）之内的概率为 0.9974，从而主要药理成分含量在（3， +3）之外的概率为 0.0026，故 XB（20，0.0026） 第 20 页（共 24 页
37、）因此 P（X 1） 0.0495，X 的数学期望为 EX200.00260.052；（） （1）由 ，s0.19，得 的估计值为 ， 的估计值为0.19，由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分（9.22）含量在（ 3 ， +3 ）（9.39，10.53）之外，因此需对本次的生产过程进行检查（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件 A，则 P（A）1P（X0） 201（0.9974 ） 2010.94930.0507 ；如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在（3， +3）之外的药品，故概率为 P3P （A
38、） 21P（A） 23（0.0507） 2（0.9493） 20.007故确定一天中需对原材料进行检测的概率为 0.007【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查离散型随机变量的期望与方差，是中档题20 （12 分）已知椭圆 C： l （ab0）的离心率为 ，且过点（2， ） （）求椭圆 C 的标准方程；（）设 A、B 为椭圆 C 的左、右顶点，过 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆于 M，N 两点，分别记ABM ， ABN 的面积为 S1，S 2，求|S 1S 2|的最大值【分析】 （）根据题意可得： ， 1，a 2b 2+c2，联立解出
39、即可得出椭圆 C 的标准方程（）由（）知 F（2，0） ，当直线 l 的斜率不存在时，S 1S 2，于是| S1S 2|0；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：yk（x 2） （k0） ，设 M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ，与椭圆方程联立得（1+2k 2）x 28k 2x+8k280利用根与系数的关系代入|S1 S2| 4 |y1+y2|2 |k（x 1+x2）4k |，结合基本不等式的性质即可得出【解答】解：（）根据题意可得： ， 1，a 2b 2+c2，第 21 页（共 24 页）解得：a 28，b2故椭圆 C 的标准方程为： 1（）由（）知 F（2，0） ，当直线 l
40、 的斜率不存在时，S 1S 2，于是| S1S 2|0；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：yk（x 2） （k0） ，设 M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ，联立 ，得（1+2k 2）x 28k 2x+8k280x 1+x2 ，x 1x2 ，于是|S 1S 2| 4 |y1+y2|2 |k（x 1+x2）4k | 2 | 4k| 4当且仅当 k 时等号成立，此时| S1S 2|的最大值为 4综上，|S 1S 2|的最大值为 4【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题21
41、（12 分）已知函数 f（x ）axlnx（aR） （）讨论 f（x ）的单调性（）若 f（x） 0 有两个相异的正实数根 x1，x 2，求证 f（x 1）+f（x 2）0【分析】 （）函数 f（x ）axlnx（aR）的定义域为（0，+） f（x）a 对 a 分类讨论即可得出单调性（）要证 f（x 1）+f（x 2）0即证 2a 0，即 2a + 由f（x 1）f（x 2）得 a ，只要证 2 + 不妨设x1x 20，则只要证 2ln （x 1x 2） （ + ）即证明：2ln 令第 22 页（共 24 页）t1，则只要证明当 t1 时，2lntt 成立设 g（t ）2lnt（t ） ，t1
42、，利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：（）函数 f（ x）axlnx（aR）的定义域为（0，+） f（x）a 当 a 0 时， f（x ）0， f （x）在（0，+）上为减函数；当 a 0 时， f（x ）0x ，f（x）在（0 ， ）上为减函数，在 上为增函数（）证明：要证 f（x 1）+f（x 2）0即证 2a 0，即2a + 由 f（x 1）f（x 2）得 a ，只要证 2 + 不妨设 x1x 20，则只要证 2ln （x 1x 2） （ + ）即证明：2ln 令 t1，则只要证明当 t1 时，2lntt 成立设 g（t）2lnt（t ） ，t1，则 g（t ） 1 0，函数 g（t
43、） 在（1，+）上单调递减， g（t ）g（1） 0，即 2lntt 成立由上分析可知，f（x 1）+f（x 2）0 成立【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）第 23 页（共 24 页）以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位圆 C 的方程为 2 s
44、in，l 被圆 C 截得的弦长为 （）求实数 m 的值；（）设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为（m， ） ，且 m0，求|PA|+|PB|的值【分析】 （）先将圆 C 的方程化成直角坐标方程，直线 l 化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；（）联立直线 l 与圆 C 的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得【解答】解：（）由 得 x2+y22 y 0，即 x2+（y ）25（2 分）直线的普通方程为 x+ym ，被圆 C 截得的弦长为 ，所以圆心到的距离为 ，即 ，解得 m3 或 m3 （5 分）（）当 m3 时，将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐
45、标方程得，（3 ） 2+（ ） 25，即 2t23 由于（3 ） 24420，故可设 t1，t 2 是上述方程的两实根，所以又直线 l 过点 P（3， ） ，故由上式及 t 的几何意义，得|PA|+|PB|2（|t 1|+|t2|）2（t 1+t2）3 （10 分）【点评】本题考查了参数方程化成普通方程根，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） 2|x+1|+|2x 1|（）解不等式 f（x ）f（1） ；（）若不等式 f（x ） + （m0，n0）对任意的 xR 都成立，证明：m+n 【分析】 （）分 3 种情况去绝对值，解不等式组可得；（）先求出 f（x ）的最小值，再求出 的取值范围，再由基本不等式可证【解答】解：（）f（x ）f（1）就是 2|x+1|+|2x1|5第 24 页（共 24 页）（1）当 x 时，2（x +1）+（2x1）5，得 x1（2）当1x 时，2（x+1）（2x 1）5，得 3 5，不成立（2 分）（3）当 x1 时，2（x +1）（2x 1）5，得 x 综上可知，不等式 f（x ）f（1）的解集是（， ）（1，+） （5 分）（）因为 2|x+1|+|2
