1、第 21 讲构造论证二内容概述各种需要构造具体实例或给出严格论证的组合问题论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析、染色分析和不等式估计等典型问题兴趣篇1如图 21-1 所示，在 66 的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格现在已经建了两个哨所请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。2(1)把 1，2，3，8，9 按合适的顺序填在图 21-2 第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数(2)能否将 1，2，3，10，1 1 按合适的顺序填在图 21-3 第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？3今有长度为 1，2，3，198，199
2、的金属杆各一根请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：(1)一个正方体框架； (2)一个长方体框架？4老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是 1分或者 2 分，数学得分是 1 分、2 分或者 3 分，语文得分是 1 分、2 分、3 分或者 4 分如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？5把图 21-4 中的圆圈任意涂上红色或蓝色问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数?6(1)能否在 44 的方格表的各
3、个小方格内分别填人数 1，2，15，16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？(2)能否在 55 方格表的各个小方格内分别填人数 1，2，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？7图 21-5 是把一张 66 的方格纸去掉两个角所得的图形(1)请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个 12 小长方形（不论横竖）的 2 个方格中都恰有 1 个红格和 1 个蓝格；(2)能否用 12 的小长方形恰好拼满这张表格？8全班 25 名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座在儿童节每一位同学都买了一份礼物
4、送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？9将一个 44 的方格表分为如图 21-6 的 5 块区域，在其中填人 16 个互不相同的正整数，使得每一块区域中所填数的和都相等这 16 个数的总和最小是多少？10能否将 1，2，3，9，10 排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于 167 能否使得任意相邻三个数之和都不大于 15 7拓展篇1有 7 个不为 0 的自然数，它们的和正好等于它们的积请写出一组满足要求的数2如图 21-7，平面上有 5 个点，它们之间可以连 10 条线段，请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这 5 个点为顶点的三角形？
5、3如图 21-8，一个幸运转盘分成内圆和外环两部分，并且被五条半径平均分割开其中内圆是固定的，外环可以转动，但转动后必须使得分割线重新组成半径请把 0 至 9 这 10 个数字分别填入图中的 10 个区域，使得不管外环怎么转动，总有大圆的一个扇形的两部分所填数字的和为 94平面上 6 条直线，它们的交点称为“结点” ，每条直线上“结点”的个数称为这条直线的“标志数” ，图 21-9 中的 3 条直线的 “标志数”都等于 2，只有一种取值；图 21-10 中的 3 条直线的“标志数”却有两种取值现在请你用直尺画出 6 条直线，使得它们中间任何 3 条直线都不共点，且相应的 6 个“标志数”至少取
6、 3 个不同的数值5(1)能否将 1 至 8 这 8 个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于 13？(2)能否将 l 至 8 这 8 个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于 13？6一本故事书有 10 篇故事，这些故事占的篇幅从 1 页到 10 页各不相同，如果从书的第 1 页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？7在 44 的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图 21-11 所示的“L 型”？8黑板上写着 3 个数 8、18、28，老师现在请一些同学上黑板对这 3 个数进行操作进行一次
7、操作是指：把 3 个数进行如下变化，或者减 1，或者加 2请问：能否经过若干次操作后得到 6、7、87 能否经过若干次操作后得到 8、8、879有 3 堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（各次这个数目可以改变） ，也可以由一堆中取一半石子放人另外任一堆石子中请问：(1)如果开始时，3 堆石子的数目分别是 34、55、82，按上述操作，能否把 3 堆石子都拿光？(2)如果开始时，3 堆石子的数目分别是 80、60、50，按上述操作，能否把 3 堆石子都拿光？如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由10(1)能否将 l 至 15 排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方
8、数？(2)能否将 1 至 15 排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？11(1)能否用 16 个如图 21-12 所示的“T 型”拼成一个 88 的棋盘？(2)能否用 8 个如图 21-12 所示的“T 型”和 8 个如图 21-13 所示的“L 型” 拼成一个 88 的棋盘？(3)能否用 1 个如图 21-12 所示的“T 型”和 15 个如图 21-13 所示的“L 型” 拼成一个 88 的棋盘？12(1)能否用 9 个如图 21-14 所示的 14 的长方形拼成一个 66 的棋盘？(2)能否用 9 个如图 21-15 所示的 “L 型”拼成一个 66 的棋盘？超越篇1能否可以用 77
9、个 331 的长方体小木块装满一个 7911 的长方体匣子（匣内不留任何空隙）?若能，请给出具体装法；若不能，请说明理由2黑板上写着两个数 1 和 2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数 a 和 b，则增写 ab + a + b 这个数，比如：可增写 5（因为 12 + 1 + 2 = 5） ；可增写 11(因为 15 + l + 5 = 11)一直写下去，请问：能否得到下面两个数？若能，请你写出得出的过程；若不能，请说明理由 (1) 143； (2) 144.3将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一证明：无论怎样染色，都一定存在长为 1 的线段，它的两个端点是同样颜色的4在 66 的方格表中
10、至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，图 21-16 中阴影部分的三个格子组成的直线也是与对角线平行的直线 ）5 (1)能 否 从 图 21-17 中 的 A 格 出 发 ， 每 次 走 到 相 邻 的 小 格 子 ， 最 后 走 到 B 格 ， 并 且 每 个 格 子都 刚 好 到 一 次 ？(2)中国象棋的马是走“日”字型路线如图 21-18，如果马在 A 点，那么它能跳到 B、C、D、E四点之一如果马开始在 A 点，它能否跳 3 步后回到 A 点；能否跳 9 步后回到 A 点？6如图 21-19
11、，用若干个 16 和 17 的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个 1112 的大长方形，最少要用小长方形共多少个？7六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为观众欣赏演出要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？8把 1111 的方格纸分成若干张 33、22 或 11 的小纸片，最少能分成多少张？第2 1 讲 构造论 证二兴趣篇1、 如 图所 示 ， 在 6 6 的警戒 方 格内 ， 每个 哨所 可以 监视 横 、 竖 、 斜 方向 的全 部单 位方 格 。 现在已 经建 了两 个哨 所
12、。 请你挑 选一 个方 格 ， 再建 立一个 哨所 ， 使 得所 有的 方格都 被监 视到 。【 分析 】 第 二行 第三 列2（1 ） 把1,2, 3， ， 8,9按合 适的 顺序 填在 图 1第二行 的空 格中 ， 使得 每 一列上 、 下两 数 之和都 是平 方数 。（ 2） 能 否将1,2, 3， ， 10,11 按 合适 的顺 序填 在图2 第二 行的 空格 中 ， 使得每 一列 上 、 下两数 之和 都是 平方 数 ？【 分析 】 （ 1） 考 虑到9 只 能和7 配 ， 先 填入9 和7 ； 剩下 的6 只 能和3 配 ， 4 只能和5 配 ， 依次填好 ； 所以 从左 至右 填
13、入的 数依 次 是8 ， 2， 6， 5， 4， 3， 9， 1， 7；（ 2） 考虑11 只 能 和5 配 ， 那么 没有 数 和4 配 ， 不 能3、 今有 长度 为 1,2,3， ， 198,199 的 金属 杆各 一根 。 请问 ： 能否 用上全 部的 金属杆 ， 不弯 曲其中 的任 何一 根 ， 把它 们焊接 成 （ 1） 一个 正方 体框架 （ 2） 一 个长 方体 框架 ？【 分析 】 （ 1） 总 长 (1 199) 199 2 19900 ， 不是 12 的 倍 数 ， 不能 ；（ 2） 能 ， 此 时 长 方 体 框 架 的 长 、 宽 、 高 之 和 为 199 25 ，
14、 可 以分别 为 4577、 199、 1994、 老师 对六位 同学 的三门 功课语 文 、 数 学、 体 育进 行了一 次测验 ， 六位 同学 的体育 得分是1 分或 者2 分 ， 数学 得分 是1 分 、 2 分或 者3 分 ， 语 文得分 是 1分 、 2 分 、 3 分 或者4 分 。 如果一位 同学 的三门 功课 成绩都不 低于 另一个 同学 的三门功 课成 绩 ， 就 说这 个同学比 另 一个同学 优秀 。 测验 完成 后老师发 现这 六位同 学谁 也不比别 人优 秀 ， 请 问： 这六位同 学 三科得分分 别为 多少 ？【 分析 】 这6 位 同学 在三 门课上 的得 分分 别
15、是（ 1 分 ， 1 分 ， 4分 （ 1 分 ， 2分 ， 3 分 （ 1 分 ， 3 分 ，2 分 （2 分 ， 1 分 ， 3 分 （2 分 ， 2 分 ， 2分 （ 2 分 ， 3 分 ， 1 分 ）5、 把 图中 的圆 圈任 意涂 上 红色或 蓝色 。 问 ： 能 否使 得每一 条直 线上 的红 圈个 数都是 奇数 ？【 分析 】 如果 每边 红色 圈 数目都 是奇 数 ， 那 么5 条 边总红 色圈 个数 就是 奇数； 而 实际 上每 个 红圈被 计算 了2 次 ， 总红 色圈数 目 是2 的 倍数 ， 是 偶数 ， 矛盾 ， 所 以不 能6（1 ） 能否 在4 4的方格 表的 各
16、个小 方格 内分 别填 入 数 1,2， ， 15,16， 使得 从 每行中 都 可以选 择若 干个 数 ， 这些 数的和 等于 该行 中其 余各 数之和 ？（ 2） 能否 在 5 5方格表 的各 个小方 格内 分别 填入 数1 ,2， ， 24,25， 使 得从 每 行中都 可 以选择 若干 个数 ， 这 些数 的和等 于该 行中 其余 各数 之和？【 分析 】 （ 1） 能 ， 构 造一 个满足 条件 的表 格1 2 15 163 4 13 145 6 11 127 8 9 10（ 2） 如 果可 以的 话 ， 每行 数字和 都是 偶数 ， 那 么总 数字和 是偶 数 ， 而 116的 数
17、字和 是奇 数 ，矛盾 ， 所以 不能7、 如 图是 把一 张6 6的方格 纸 去掉两 个角 所得 的图 形 。（ 1） 请 把所 有的 格子 涂 上红 、 蓝 两 色之 一 ， 使得 每个 1 2小长方 形 （ 不论 横竖 ） 的2 个 方格中 都恰 有 1 个红 格 和1 个蓝 格 ；（ 2） 能 否用1 2的小 长方 形 恰好拼 满这 张表 格 ？【 分析 】 （ 1）， 其中 空白 的格 子涂 上蓝 色 ，R 涂红色 ；（ 2） 不能 ， 因为 每次 1 2的小 长方形 恰好 覆盖 了 1 红1 蓝 ， 如 果可 以的 话 ， 覆盖 的红与蓝的 数目 应该 一样 ， 但 图中红 蓝数
18、目是 不一 样的， 所以 不能 。8、 全班 25 名 同学 分五 排 ， 每排 五人坐 在教 室里 ， 每个座 位的 前 、 后 、 左 、 右位子 称为 它 的 邻座 。 在儿 童节 每一 位同 学都买 了一 份礼 物送 给他 的一个 邻座 ， 能 否可 以让 大家适 当地 送出礼 物 ， 使得 每一 位同 学都刚 好收 到一 份礼 物呢 ？【 分析 】 把 25 个 方格 进行 黑白相 间染 色 ， 每次 交换 座位 ， 总是 一个 黑色 格子 的人交 换到 白 色格子 里 ， 一个 白色 格子 的人交 换到 黑色 格子 里， 如果可 以的 话 ， 黑白 数目 应该一 样 ， 但实 际黑
19、白 格子 数目 不同 ， 所 以不能9、 将 一个 4 4的方 格表 分为 如 图的 5 块 区域 ， 在 其中 填 入 16 个互 不相 同的 正整 数 ， 使得 每一块 区域 中所 填数 的和 都相等 。 这16个数 的总 和 最小是 多少 ？【 分析 】 对于 6格区 域 ， 4 格 区域 ， 3 格 区域 ， 这 13 个格子 最小 是 113， 和 是 91， 那么 平 均一个 区域 至少 是3 1， 按 照每块 区 域 31构造 一个 表 格 ， 如 下图 。 最 小 是 15515 12 4 1113 2 3 1018 5 6 931 7 8 110、 能 否 将 1,2,3，
20、， 9,10 排成 一行 ， 使得 任意 相邻三 个数 之和 都不 大 于 16？ 能 否使 得 任意相 邻三 个数 之和 都不 大于 15？【 分析 】 能 ， 其 中一 种排 法是1 0， 5， 1， 9， 4， 3， 8， 2， 6， 7； 不能 ， 如果 能的 话 ， 除去首个数 字 ， 剩下 9 个数 正 好分为 3 组 ， 每组 数之 和 都不大 于 15，总和就 不大 于45 ， 但 10个数总 和 是55 ， 所 以只 能 每组数 正 好 15， 且 第一 个 数是 10。 此时除去最 后一 个数 字 ， 剩下 9 个数 也正 好分为 3 组 ， 每组数 之和 都不 大于 15
21、， 总和就 不大 于45， 但10个数 总和 是55 ， 那么 末位 数字 也 是 10， 矛盾 ， 所以 不能 。拓展篇1、 有7 个 不为0 的 自然 数 ， 它们 的和 正好 等于 它们 的积。 请写 出一 组满 足要 求的数 。【 分析 】 1， 1， 1， 1， 1， 2， 7 或者 3,4,1,1,1,1,12、 如图 ， 平面 上有 5 个 点， 它们 之间可 以 连 10条线 段 。 请问 ： 至 少要去 掉多 少条线 段 ， 才 能使得 其中 没有 以 这5 个 点为顶 点的 三角 形 ？【 分析 】 共10个三 角形 ， 每去 掉 1 条 线段 ， 能破 坏 3个三 角形
22、， 要 破 坏10个 三角形 ， 至少 要去掉4 条 ， 如 图， 构造 一个去 掉 4 条满 足条 件的 图形3、 如图 ， 一个 幸运 转盘分 为内圆 和外环 两部分 ， 并 且被五 条半径 平均分 割开 。 其中 内圆是固定的 ， 外环 可以转 动 ， 但转动 后必 须使 得分 割线 重新组 成半 径 。 请 把 0 至 9 这 10个 数 字分别 填入 图中 的 10个 区 域 ， 使 得不 管外 环怎 么转 动 ， 总 有大 圆的 一个 扇形 的两部 分所 填数字 的和 为 9。【 分析 】 其 中一 种填 法如 下图所 示 。4、 平面 上6 条直 线 ， 它 们 的交点 称为 “
23、结点 ”， 每 条 直线上 “结点 ”的个 数称 为这条 直线 的“标志 数 ”。 图 1 中的 3 条 直线的 “标志 数 ”都 等于 2， 只 有一 种取 值 ； 图 2 中 的 3 条 直 线的“标志 数 ”却有 两种 取值 。 现在 请你 用直 尺画 出 6 条 直线 ， 使 得它 们中 间任何 3 条 直线都 不共 点 ， 且相 应 的6 个 “标志 数 ”至少 取3 个不同 的数 值 。【 分析 】 每组 平行 线的 标 志数都 相同， 而要 取 到 3个不同 的标 志数 ， 至少 有3 组不 同的 平行 线 ，且 每组 平行 线的 数目 也 不一 样 。 其中 一种 画法 如下图
24、 所示 ， 图 中的 标志 数有3 ， 4， 55（ 1） 能 否将1 至8 这8 个数放 在一 条直 线上 ， 使 得任意 三个 相邻 数的 和都 不小 于 13？（ 2） 能 否将1 至8 这8 个数放 在一 个圆 圈上 ， 使 得任意 三个 相邻 数的 和都 不小 于 13？【 分析 】 （ 1） 能 ， 其 中一 种放法 是1 ， 4， 8， 7， 3， 6， 5， 2；（ 2） 不能 ， 8 两 边有 两个 数 ， 设 为a 和 b， 如果 a、 b 恰好是1 和2 的话 ， 这 连续的 3 个数 和小于13 。 如果a 和b 中 有 1 个 大 于2 的 话， 至少 是3 。 那么
25、 除它 和8 之外 的6 个 数， 正好分成2 组 ， 总和 不小 于3 6-8-3=25， 肯定 有1 组比 13小 。6、 一 本故 事书 有 10 篇 故 事 ， 这 些故 事占 的篇 幅 从 1 页 到 10 页 各不 相同 。 如 果从书 的 第 1 页开始印 第 一 个故事 ， 每 一个故事 总是 从新的 一页 开始印 ， 那么 故事从 奇数 页起头的 最 多有几 篇 ？ 最少 有几 篇 ？【 分析 】 令 偶数 故事 都从 奇数页 开始， 最 多 8 篇 ； 令偶数 故事 都从 偶数 页开 始， 至 少 3 篇7、 在 4 4 的方 格表 中至 少应 该 去掉多 少个 格子 ，
26、才 能使 得剩下 的图 形中 不存 在如 图所示 的 “L 型 ”？【 分析 】 把图 形分 成4 个 田字格 ， 每个 田字 格至 少 要去 掉 2 个 才能 满足 要求 ， 所 以至 少要 去掉8 个 ； 构 造一 种去 掉8 个 的方 法 ： 去 掉1 ， 3 行 。8、 黑 板上 写着 3 个数 8、 18、 28， 老 师现 在请 一些 同学上 黑板 对这 3 个数 进 行操作 。 进 行 一次操 作 是 指： 把 3 个数 进行 如 下变 化 ， 或者 减 1， 或者 加 2。 请问 ： 能否 经过 若干次 操 作后得 到 6、 7、 8？ 能否 经过若 干次 操作 后得 到 8、
27、 8、 8？【 分析 】 观 察除 以 3的余 数 （ 2,0,1（ 1,2,0（ 0,1,2（ 2,0,1） 所 以 6， 7,8可以 ， 8,8,8 不行 。9、 有 3 堆 石子 ， 每 次可 以 从这三 堆中 同时 拿走 相同 数目的 石子 （ 各 次这 个数 目可以 改变 ， 也可以 由一 堆中 取一 半石 子放入 另外 任一 堆石 子中 。 请问 ：（ 1） 如 果开 始时 ， 3 堆 石子的 数目 分别 是 34、 55、 82， 按上 述操 作 ， 能否 把3 堆 石子 都 拿光 ？（ 2） 如 果开 始时 ， 3 堆 石子的 数目 分别 是 80、 60、 50， 按上 述操
28、 作 ， 能否 把3 堆 石子 都拿光 ？ 如 果可 以 ， 请设 计一 种 取石子 的方 案 ； 如 果不 可以 ， 请 说明 理由 。【 分析 】 （ 1） 能 ， 按 照 （ 0,21,48（ 24,21,24（ 4,1,4（ 2,3,4（ 0,1,2（ 1,1,1（ 0,0,0） 的顺序 就能 做到 ；（ 2） 不能 ， 因 为总 数除 以 3 的余 数不 变 ， 原来 总 数除以 的余 数不 为 0， 所 以最后 除以 3 的 余数也 不能 是0 。10（ 1） 能 否 将1 至15排 成一行 ， 使 得任 意相 邻两 数之和 都为 平方 数 ？（ 2） 能 否 将1 至15排 成一
29、行 ， 使 得任 意相 邻两 数之和 都为 质数？【 分析 】 （ 1） 能 。 下面 的 排法满 足要 求 ： 9， 7， 2， 14， 11， 5， 4， 12， 13， 3， 6， 10， 15，1， 8（ 2） 能 。 下 面的 排 法满足 要求 ： 15， 4， 13， 6， 11， 8， 9， 10， 7， 12， 5， 14， 3， 2，111（ 1） 能 否用16个如 图1 所 示的 “T 型 ”拼成 一个 8 8 的棋盘 ？（ 2） 能否 用8 个如 图1 所示 的 “T 型 ”和8 个 如 图2 所 示的 “L 型 ”拼成 一 个 8 8 的棋 盘 ？（ 3） 能 否用1
30、个 如图 1 所示 的 “T 型 ”和 15个 如图 2 所示 的 “L 型 ”拼 成一个8 8的 棋盘 ？【 分析 】 （ 1） 能 ， 把 图形 分成4 块 ， 每块 都按 照下 左图的 方式 分割 ；（ 2） 能 ， 把图 形分 成4 块 ， 其 中2 块 按照 下左 图分 割 ， 2 块按 照下 右 图 分割 ；（ 3） 不能 ， 把 整个 图形 黑 白相间 染色 ， 那 么“ T 型 ”覆盖 黑色 格子 数为 1 个 或者 3 个 ， 而 “L 型 ”覆 盖黑 色格 子数 为 2 个 ， 那 么总 覆盖 黑格 子数为 奇数 个 ， 但实 际总 黑色格 子数 为偶 数个 。 所以 无法
31、 覆盖 。12（ 1） 能 否 用9 个 如 图1 所示 的 1 4的长方 形拼 成一 个6 6的棋 盘 ？（ 2） 能 否 用9 个 如 图2 所示 的 “L型 ”拼 成一 个6 6的棋盘 ？【 分析 】 （ 1） 不能 ， 按照 如 左图 方式 染色 ， 每个 1 4的 长方形 覆盖 了1 个黑 色格 子 ， 那么 9 个1 4的长 方形 只能 覆 盖 9 个 黑色格 子 ， 但图 中 有10个 黑色格 子 ， 所以 不能 完全 覆盖 ；（ 2） 不能 ， 如右 图方 式染 色 ， 每个 “L 型 ”覆盖 奇数 个黑格 ， 9 个 “L 型 ”覆盖 了奇数 个黑 格 ，而 黑格 总数 是偶
32、 数 ， 所以不 能完 全覆 盖 。超越篇1、 能否 可以 用7 7个3 31的长 方体小 木块 装满 一个7 9 11的长 方体匣 子 （ 匣内 不留 任何 空隙 ） ？若 能， 请给 出具 体装法 ； 若 不能 ， 请 说明 理由 。【 分析 】 不 能， 3 3 的长 方体 木块任 何一 面都 可以 被 3 整除 ， 而7 9 11的长方 体的 匣子的 7 11 面不 能被 3 整 除。2、 黑 板上 写着 两个 数 1 和2 ， 按下 列规 则增 写新 数 ， 若 黑板 有两 个数a 和b ， 则增写a b a b 这个数 ，比如：可增写 5（因为1 2 1 2 5 ） ；可增写 11
33、（因为1 5 1 5 11。 一直 写下 去 ， 请 问： 能 否得到 下面 两个 数 ？ 若能 ， 请 你写 出得 到的 过 程 ； 若 不能 ， 请 说明 理由 。（ 1） 143（ 2） 144【 分析 】 （ 1） 1， 2， 5， 11， 71， 143（ 2） 不 能， 除2 外 全是 奇数3、 将平 面上每 一点 都染成 红 、 黄 两种颜 色之一 。 证 明： 无 论怎样 染色 ， 都一 定存在 长为 1 的线段 ， 它 的两 个端 点是 同样颜 色的。【 分析 】 边 长为1 的 等边 三角形 三个 顶点 必有 两点 同色， 那两 点所 在边 符合 要求4、 在 6 6 的方
34、 格表 中至 少需 要 放多少 个棋 子 ， 才能 保证 每行 、 每列 以及 每一 条与 对角线 平 行的直线 上都 有棋子 ？（ 角上单独 一个 格子也 可以 组成一条 与对 角线平 行的 直线 ， 图 中 阴影部 分的 三 个 格子 组成 的直线 也是 与对 角线 平行 的直线 ）【 分析 】 显 然每 个角 上的 小方格 都要 放棋 子 ， 然后 按照从 右上 到左 下的 方向 ， 共有 11 条 斜 线 ， 这 11条斜线 每条 斜线 上都至 少 要 1 个 棋子 ， 再 加上角 上多 放 的 1 个 ， 至 少要 12个 ， 如 下图是 一种 放1 2个 棋子 的 方法 。5（ 1
35、） 能否 从图 1 中 的A 格 出发 ， 每次 走到 相邻 的小 格子 ， 最后 走到B 格 ， 并 且 每个格 子 都刚好 到一 次 ？（ 2） 中 国象 棋的 马是 走 “日 ”字 型路 线 。 如 图 2， 如果马 在 A 点 ， 那么 它能 跳 到B 、 C 、D 、 E 四点之 一 。 如果 马开 始 在 A 点 ， 它 能否 跳3 步后 回 到 A 点 ； 能 否跳9 步 后回 到A 点 ？【 分析 】 （ 1） 按 照黑 白相 间染色 ， 每次 走都 是从 黑 格到白 格或 者从 白格 到黑 格 ， 如果 可以 的 话 ， 黑 格数 目应 该等 于白 格 ， 但 实际 黑格 数
36、和 白格 数目不 相同， 所 以不 能；（ 2） 把 所有格 点黑 白相间 染色 ， 每 次走 都是从 黑点 到白点 或者从 白点到 黑点 ， 如果 可以的 话 ， 黑 点数 目和 白点 应该 一样 ， 但实 际黑 点和 白点 数目不 相同 ， 所 以不 能。6、 如 图， 用若 干个 1 6和 1 7的小 长方形 既不 重叠 ， 也 不留 孔隙地 拼成 一个 11 12的大 长 方形 ， 最少 要用 小长 方形 共多少 个？【 分析 】 用 1 7 的长 方形 越多 ， 长方 形总 数越 少 ， 解 不 定方程 6 x 7 y 132 ， 得 最大 的 y 值 为 18， 对应 1 个 1
37、6的 。 次 大 的 y 值为 12， 对应 x 值为 8 个 ， 如下 图染 色 ， 每个 1 7的长 方形覆 盖 1 个 黑格 ， 每 个 1 6的最多 覆 盖 1个黑 格 ， 由 于黑格 数 是 20个 ， 所 以总 的长方 形 个数至 少 要20个 。 所以 只 能选择 次大 的方 法 ， 对应 总共 有20个长 方形 。7、 六位 音乐家 在一 个音乐 节上相 聚 ， 在 安排的 每场 音乐会 上 ， 有 某些音 乐家 演奏 ， 而另外几位音乐 家就 作为观 众欣 赏演出 。 要使 每位音 乐家 都能够作 为观 众观看 其他 任何一位 音 乐家的 表演 ， 这 样的 音乐 会至少 要
38、安 排几 场 ？ 为什 么 ？【 分析 】 定 义一 位音 乐家 观看另 一位 音乐 家 为 1次 欣赏 ， 那么 总共 需 要 30次 欣赏才 能满 足 要求 。 安排 3 人 演奏3 人 观看 ， 能得 到最 多的 欣赏 次数 ， 为 9次 ， 根据 抽屉 原理 ， 至少 需要安排4 场演 出 ， 才能 够满 足要求 。 以 下是 满足 要求 的 4 场 演出 ， 音 乐家 分别 编号 为16 号 ，括号内 的数 字为 演出 的音 乐家编 号 （ 1,2,3（ 1,5,6（ 2,4,6（ 3,4,5）8、 把1 1 11的方 格纸 分成 若干 张3 3、2 2或 1 1的小纸 片 ， 最少 能分 成多少 张 ？【 分析 】 按 照如 图方 式分 割 ， 最 少 21块
