1、1北京市 2019 年中考数学试卷(解析版)一.选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个14 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点 439 000米将 439 000 用科学记数法表示应为（ ）A.0.439106 B.4.39106 C.4.39105 D.139103【解析】本题考察科学记数法较大数， 中要求 ，此题中 ，故Na1010|a5,39.4Na选 C2下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）A.
2、 B. C. D.【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选 C3正十边形的外角和为（ ）A.180 B.360 C.720 D.1440【解析】多边形的外角和是一个定值 360，故选 B4在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，2，将点 A 向右平移 1 个单位长度，得到点 C若 CO=BO，则 a 的值为（ ）A.-3 B.-2 C.-1 D.1【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点 A 表示数为 a，点 B 表示数为 2，点 C 表示数为 a+1，由题意可知， a0， CO=BO， ，解得 （舍）或 ，2|1|a13故选 A25已知锐角AOB如图， （1）在
3、射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 ，交射线 OB 于点 D，连接 CD；APQ（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交 于点 M，N；APQ（3）连接 OM，MN根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A.COM=COD B.若 OM=MN，则AOB=20C.MNCD D.MN=3CD 【解析】连接 ON，由作图可知COMDON.A. 由COM DON.，可得COM= COD，故 A 正确.B. 若 OM=MN，则OMN 为等边三角形，由全等可知 COM=COD=DON=20，故 B 正确C.由题意，OC=OD ，OCD= .设 OC 与
4、OD 与 MN 分别交于 R，S，易证2COD180MORNOS，则 OR=OS， ORS= ，OCD= ORS.MNCD，故 C 正确.D.由题意，易证 MC=CD=DN，MC+CD+DN=3CD.两点之间线段最短.MNMC+CD+DN=3CD ，故选 D6如果 ，那么代数式 的值为（ ） A.-3 1mn221mnnB.-1 C.1 D.3【解析】： 22nn)()()( mmNMDO BCPQA3)(3)()(3nmnm1原式 =3，故选 D7用三个不等式 ， ， 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作ab01ab为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D
5、.3【解析】本题共有 3 种命题：命题 ，如果 ，那么 .0,abba1 ， ， ， ，整理得 ， 该命题是真命题.ba0ab1命题 ，如果 那么 .,1,ba ， ， .,1ba.0,0abb该命题为真命题.命题 ，如果 ，那么 .ba1,0 ， ，,1ba.,0ab该命题为真命题.故，选 D8某校共有 200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时4间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分学 生类 型人数时间01t 20t 30t 40t t男 7 31 25 30 4性别女 8 29 26 32 8初中 25 36 44 11学段高中 2
6、1.827.025.24.万万万/万万 万5105205300下面有四个推断：这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在 24.5-25.5 之间这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在 20-30 之间学生类别5这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在 20-30 之间这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在 20-30 之间所有合理推断的序号是（ ）A. B. C. D.【解析】 由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为 24.5h，女生为 25.5h，则平均数一定在 24.525.5 之间，故正确由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为
7、15,60,51,62,12，则中位数在 2030 之间，故正确 .由统计表计算可得，初中学段栏 0t10 的人数在 015 之间，当人数为 0 时，中位数在2030 之间；当人数为 15 时，中位数在 2030 之间，故正确.由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 015，35,15，18,1.当0t10 时间段人数为 0 时，中位数在 1020 之间；当 0t10 时间段人数为 15 时，中位数在1020 之间，故错误故，选 C二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9若分式 的值为 0，则 的值为 .1xx_【解析】本题考查分式值为 0，则分子 ，且分母 ，故答案为 101
8、x0x10如图，已知ABC，通过测量、计算得 ABC 的面积约为 cm2.（结果保留一位小数） 【解析】本题考查三角形面积，直接动手操作测量即可，故答案为“测量可知”11在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 .（写出所有正确答案的序号）_6【解析】本题考查对三视图的认识.长方体的主视图，俯视图，左视图均为矩形；圆柱的主视图，左视图均为矩形，俯视图为圆；圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为圆.故答案为 万10 CBA第 1题 图 圆 锥 圆 柱 长 方 体 万12万PBA12如图所示的网格是正方形网格，则 （点 A，B ，P 是网 _格线交点）.【解析】本题考查三角形的外角，可延长 AP
9、 交正方形网格于点 Q，连接 BQ，如图所示，经计算 ， ，即 PBQ 为等腰直角三角形，105PBQP， 22PBQBPQ=45，PAB+PBA=BPQ=45，故答案为 45713在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上点 关xOyAab， 0， 1kyxA于 轴的对称点 在双曲线 上，则 的值为 .xB2k12k_【解析】本题考查反比例函数的性质，A （a，b）在反比例 上，则 ，A 关于 轴xky1ab1x的对称点 B 的坐标为 ，又因为 B 在 上，则 ，),(baxky2ab202故答案为 014把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图
10、3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为 _万3万2万1 15【解析】设图 1 中小直角三角形的两直角边分别为 a，b（ba） ，则由图 2，图 3 可列方程组解得 ，所以菱形的面积 故答案为 12.,5ab32b.1264S15小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 在计算平均数的过程中，将20s这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4， 4，9， 5记这组新数据的方差为 ，则 . (填“ ”， “ ”或“ ”)21s_20s【解析】本题考查方差的性质。两组数据的平均值分别为 91 和 1，=6)985()9()8()914()90()12(2
11、22220 s 3681836816)5()19()4()1()0()12( 222221 s ，故答案为 =21016在矩形 ABCD 中，M ，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合） 对于任意矩形 ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形所有正确结论的序号是 _【解析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定可知，存在无数个平行四边形，无数个矩形，无数个正方形，故答案为 三、解答题（本题共 68 分，第 17-21
12、 题，每小题 5 分，第 22-24 题，每小题 6 分，第 25 题 5分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17计算： .0134264sin（ ）【解析】原式= 2132918解不等式组：4(1)2,7.3x【解析】解不等式得：，63,2424xxx， 2解不等式 得： ，7,72x不等式组的解集为 2x19关于 x 的方程 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程210m的根【解析】 有实数根，0，即 ，0122x 0)12(4)(1m 为正整数， ，故此时二次方程为 即,012xx 121x ，此时方程的根为12
13、1x20如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别在 AB，AD 上，BE=DF ，连接 EF（1）求证：ACEF ；（2）延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点 O，若BD=4，tanG= ，求 AO 的长12 FEBADC10【解析】证明：四边形 ABCD 为菱形 AB=AD，AC 平分BADBE=DF， ， AE=AFABEDFAEF 是等腰三角形， AC 平分BAD， ACEF（2）解：四边形 ABCD 为菱形， CGAB，BO= BD=2，EFBD21四边形 EBDG 为平行四边形， G=ABD，tanABD=tanG= 21tanABD
14、= ，AO=121AOB21国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数对国家创新指数得分排名前 40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析下面给出了部分信息：a国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成 7 组：30x40，40x50，50x60，60x70，70x80，80x90，90x100） ；10908070605040301298621万万万万万万b国家创新指数得分在 60x70 这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：11CBAl2l1109
15、87654321010980760543 万万/万万万d中国的国家创新指数得分为 69.5.（以上数据来源于国家创新指数报告（2018） ）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；_（2）在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线 的上方请在图中用“ ”圈出代表中国的点；1lA（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元；_（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是 _相比于点 A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家
16、”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值【解析】（1）17（2）12（3）2.7 （4）22在平面内，给定不在同一直线上的点 A，B，C，如图所示点 O 到点 A，B，C 的距离均等于 a（a 为常数） ，到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G， 的平分线交图形 G 于点 D，连接 AD，CD（1）求证：AD=CD ；（2）过点 D 作 DE BA，垂足为 E，作 DF BC，垂足为 F，延长 DF 交图形 G 于点 M，连接 CM若 AD=CM，
17、求直线 DE 与图形 G 的公共点个数 CBA13【解析】如图所示，依题意画出图形 G 为O ，如图所示（1）证明：BD 平分 ABC， ABD=CBD， ，AD=CDADC（2）解：AD=CD，AD=CM，CD=CM.DFBC，DFC=CFM=90在 RtCDF 和 RtCMF 中，CDFCMF（HL） ，DF=MF，BC 为弦 DM 的垂直平分线CFMDBC 为 O 的直径，连接 ODCOD=2CBD， ABC=2CBD，ABC=COD，ODBE.又 DEBA，DEB=90 ，ODE=90，即 ODDE，DE 为O 的切线.直线 DE 与图形 G 的公共点个数为 1 个.23小云想用 7
18、天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：将诗词分成 4 组，第 i 组有 首，i =1，2，3，4；x14对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（ ）天背诵第二遍，第（ ）天背诵第三遍，1i+3i+三遍后完成背诵，其它天无需背诵， 1，2，3，4；第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 第 6 天 第 7 天第 1 组 x11x第 2 组 222第 3 组第 4 组 4x44x每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首解答下列问题：（1）填入 补全上表；3x（2）若 ， ， ，则 的所有可能取值为 ；14234x_（3）7 天后，小云背诵的诗词最多为 首_【解析】 （1）
19、如下图第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 第 6 天 第 7 天第 1 组第 2 组第 3 组 3x33x第 4 组（2）根据上表可列不等式组：15，可得1423x64x（3）确定第 4 天， ，由第 2 天，第 3 天，第 5 天可得1431x， ， ，144231x422431xx 328x可取 最大整数值为 9，2 914321xx24如图，P 是 与弦 AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是 上一动点，连接 PC 交弦ABABAB 于点 DABCDP小腾根据学习函数的经验，对线段 PC，PD，AD 的长度之间的关系进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（
20、1）对于点 C 在 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 PC，PD ，AD 的长度 的几组值，AB如下表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.8316PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在 PC， PD，AD 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 _的长度都是这个自变量的函数；_（2）在同一平面直角坐标系 中
21、，画出（1）中所确定的函数的图象；xOyx/cmy/cm123456654321O（3）结合函数图象，解决问题：当 PC=2PD 时，AD 的长度约为 cm_【解析】（1）AD， PC，PD；（2）17（3）2.29 或者 3.9825. 在平面直角坐标系 中，直线 l： 与直线 ，直线 分xOy10ykxxkyk别交于点 A，B，直线 与直线 交于点 kC（1）求直线 与 轴的交点坐标；ly（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记线段 围成的区域（不含边界）为AB， ，W当 时，结合函数图象，求区域 内的整点个数；kW若区域 内没有整点，直接写出 的取值范围k【解析】 （1）令 ，则 ，直线
22、与 轴交点坐标为（0,1）0x1yly（2） 当 时，直线 ，把 代入直线 ，则 ，A（2,5）2k2:xl2l5y把 代入直线 得： ，yl13 ，整点有（0，-1 ） ， （0,0） ， （1，-1） ， （1,0） ， （1,1） ， （1,2）共 6 个点.)2,(),3(CB-1k0 或 k=-21826在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 A，将点 A 向右平xOy21axby移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在抛物线上（1）求点 B 的坐标（用含 的式子表示） ；a（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点 ， 若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，1(,)2
23、Pa(,2)Q求 的取值范围a【解析】 （1）抛物线与 轴交于点 A， 令 ，得 ，y0xay1点 A 的坐标为 ， 点 A 向右平移两个单位长度，得到点 B，),0(a点 B 的坐标为 ；1,2（2）抛物线过点 和点 ，由对称性可得，抛物线对称轴为),0(aA)1,2(aB直线 ，故对称轴为直线1xx（3） 当 时，则 ，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经0a0a过点 A 和点 P；也不可能同时经过点 B 和点 Q，所以，此时线段 PQ 与抛物线没有交点.当 时，则 .0a01a分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点 A 和点 P；但当点 Q 在点 B 上
24、方或与点 B 重合时，抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，此时 即,21a21a19综上所述，当 时，抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点.21a27已知 ，H 为射线 OA 上一定点， ，P 为射线 OB 上一点，30AOB31OHM 为线段 OH 上一动点，连接 PM，满足 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针M旋转 ，得到线段 PN，连接 ON15（1）依题意补全图 1；（2）求证： ；OPN（3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有ON=QP，并证明万万1B AO HHO AB【解析】（1）如图所示（2）在OPM 中，
25、OMP=180-POM-OPM=150-OPM20OPN=MPN-OPM=150-OPMOMP=OPN（3）过点 P 作 PKOA，过点 N 作 NFOB.OMP=OPN，PMK=NPF在NPF 和PMK 中，NPFPMK（AAS）PMNKFO90PF=MK，PNF= MPK，NF=PK.又 ON=PQ，在 RtNOF 和 RtPKQ 中， RtNOFRtPKQ（HL） ，KQ=OF.PKNFQO设 MK=y，PK=xPOA=30，PK OQ21OP=2x，OK= ，x3yxOM3 ，yPFO2 )3(1yxHHKx31M 与 Q 关于 H 对称，MH=HQKQ=KH+HQ= yxyxx 32
26、3131KQ=OF， ，整理得y22 )(所以 ，即 PK=11xPOA=30，OP=228在ABC 中， ， 分别是 两边的中点，如果 上的所有点都在 ABC 的内部DEABC!或边上，则称 为ABC 的中内弧例如，下图中 是ABC 的一条中内弧（1）如图，在 RtABC 中， 分别是 的中点画出2ABCDE， ， ABC，ABC 的最长的中内弧 ，并直接写出此时 的长；22（2）在平面直角坐标系中，已知点 ，在 ABC 中，0,2,4,0ABCt， ，分别是 的中点DE， ABC，若 ，求ABC 的中内弧 所在圆的圆心 的纵坐标的取值范围；12tP若在 ABC 中存在一条中内弧 ，使得 所在圆的圆心 在ABC 的内部或边上，直接写出 t 的取值范围【解析】（1）180nrlA（2）23当 时，C（2,0） ，D（ 0,1） ，E （1,1）21t（i）当 P 为 DE 的中点时， 是中内弧，A)1,2(P（ii）当P 与 AC 相切时， ，当 时， ，xyyBEAC, 21y),(P综上，P 的纵坐标 或1p2P（i）当 PEAC 时，EFCPFE，得 ,12,tFECP),0(t2t 20t24（ii）PFC ABC，得 23,42,PFBCFAPDP=PF=r， ， ，3,21DEt0t综上： 0t
