1、河北省 2019 年中考数学试卷(解析版)一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）下列图形为正多边形的是（ ）A B C D2 （3 分）规定：（2）表示向右移动 2 记作+2，则（3）表示向左移动 3 记作（ ）A+3 B 3 C D+3 （3 分）如图，从点 C 观测点 D 的仰角是（ ）ADAB BDCE C DCA D ADC4 （3 分）语句“x 的 与 x 的和不超过 5”可以表示为（ ）A +x5 B +x5 C 5 D +x55 （3 分）如图，菱形
2、 ABCD 中，D 150 ，则 1（ ）A30 B25 C20 D156 （3 分）小明总结了以下结论：a（b +c） ab+ac；a（b c）abac；（bc）ab aca（a0） ；a（ b+c） ab+ac（a0）其中一定成立的个数是（ ）A1 B2 C3 D47 （3 分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（ ）A代表FEC B代表同位角C代表EFC D代表 AB8 （3 分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表示为（ ）A510 4 B510 5 C210 4 D210 59 （3 分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有 6 个小
3、正三角形涂黑，还需涂黑 n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 n 的最小值为（ ）A10 B6 C3 D210 （3 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）A BC D11 （2 分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类去图书馆收集学生借阅图书的记录绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（ ）A B C 一 D12 （2 分）如图，函数 y 的图象所在坐标系的原点是（ ）A点 M B点 N C点 P D点 Q13 （2
4、 分）如图，若 x 为正整数，则表示 的值的点落在（ ）A段 B段 C段 D段14 （2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S 主 x 2+2x，S 左 x 2+x，则 S 俯 （ ）Ax 2+3x+2 Bx 2+2 Cx 2+2x+1 D2x 2+3x15 （2 分）小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c0（a0）时，只抄对了 a1，b4，解出其中一个根是x1他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2则原方程的根的情况是（ ）A不存在实数根 B有两个不相等的实数根C有一个根是 x1 D有两个相等的实数根16 （2 分）对于题目：“如图 1，平面上，正方形内
5、有一长为 12、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n ”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长 x，再取最小整数 n甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n13乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n14丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果取 n13下列正确的是（ ）A甲的思路错，他的 n 值对B乙的思路和他的 n 值都对C甲和丙的 n 值都对D甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有 3
6、 个小题，共 11 分，17 小题 3 分：1819 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上）17 （3 分）若 7271707 p，则 p 的值为 18 （4 分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数示例： 即 4+37则（1）用含 x 的式子表示 m ；（2）当 y2 时，n 的值为 19 （4 分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A，B，C 三地的坐标，数据如图（单位：km） 笔直铁路经过 A，B 两地（1）A，B 间的距离为 km；（2）计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l，并在 l 上建一个维修站 D，使 D 到 A，C
7、 的距离相等，则 C，D 间的距离为 km三、解答题（本大题有 7 个小题，共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20 （8 分）有个填写运算符号的游戏：在“1269”中的每个内，填入+， ，中的某一个（可重复使用） ，然后计算结果（1）计算：1+2 69；（2）若 12696，请推算 内的符号；（3）在“1269”的 内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数21 （9 分）已知：整式 A（n 21） 2+（2n） 2，整式 B0尝试 化简整式 A发现 AB 2，求整式 B联想 由上可知，B 2（n 21） 2+（2n） 2，当 n1 时，n 21，2n，B 为直角三
8、角形的三边长，如图填写下表中 B 的值：直角三角形三边 n21 2n B勾股数组 / 8 勾股数组 35 / 22 （9 分）某球室有三种品牌的 4 个乒乓球，价格是 7，8，9（单位：元）三种从中随机拿出一个球，已知 P（一次拿到 8 元球） （1）求这 4 个球价格的众数；（2）若甲组已拿走一个 7 元球训练，乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训练所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到 8 元球的概率又拿先拿23 （9 分）如图，ABC 和 ADE 中，ABAD6，B
9、C DE，B D30，边 AD 与边 BC 交于点P（不与点 B， C 重合） ，点 B，E 在 AD 异侧，I 为APC 的内心（1）求证：BADCAE；（2）设 APx，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值；（3）当 ABAC 时， AIC 的取值范围为 m AICn ，分别直接写出 m，n 的值24 （10 分）长为 300m 的春游队伍，以 v（m /s）的速度向东行进，如图 1 和图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 2v（m /s） ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进设排尾从位置 O 开始行进的时
10、间为 t（s） ，排头与 O 的距离为S 头 （m） （1）当 v2 时，解答：求 S 头 与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） ；当甲赶到排头位置时，求 S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为 S 甲 （m） ，求 S 甲 与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为 T（s） ，求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围） ，并写出队伍在此过程中行进的路程25 （10 分）如图 1 和 2，ABCD 中，AB3，BC15，tanDAB 点 P 为 AB 延长线上一点，过点A 作O 切 CP 于点 P，设 BPx（1）如
11、图 1，x 为何值时，圆心 O 落在 AP 上？若此时O 交 AD 于点 E，直接指出 PE 与 BC 的位置关系；（2）当 x4 时，如图 2， O 与 AC 交于点 Q，求CAP 的度数，并通过计算比较弦 AP 与劣弧 长度的大小；（3）当O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出 x 的取值范围26 （12 分）如图，若 b 是正数，直线 l：y b 与 y 轴交于点 A；直线 a：yxb 与 y 轴交于点 B；抛物线L：y x2+bx 的顶点为 C，且 L 与 x 轴右交点为 D（1）若 AB8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标；（2）当点 C 在 l 下方时，
12、求点 C 与 l 距离的最大值；（3）设 x00，点（ x0，y 1） ， （x 0，y 2） ， （x 0，y 3）分别在 l，a 和 L 上，且 y3 是 y1，y 2 的平均数，求点（x 0，0）与点 D 间的距离；（4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b2019 和 b2019.5 时“美点”的个数河北省 2019 年中考数学试卷(解析版)一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【解答】解：正五边形五个角相等
13、，五条边都相等，故选：D2 【解答】解：“正” 和“ 负”相对，所以，如果（2）表示向右移动 2 记作+2，则（3）表示向左移动 3记作 3故选：B3 【解答】解：从点 C 观测点 D 的视线是 CD，水平线是 CE，从点 C 观测点 D 的仰角是DCE，故选：B4 【解答】解：“x 的 与 x 的和不超过 5”用不等式表示为 x+x5故选：A5 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，D150，ABCD，BAD21，BAD+D180 ，BAD18015030 ，115；故选：D6 【解答】解：a（b+c ）ab+ac，正确；a（b c）abac，正确；（bc）ab aca（a0） ，正确；a（
14、 b+c） ab+ac（a0） ，错误，无法分解计算故选：C7 【解答】证明：延长 BE 交 CD 于点 F，则BEC EFC+C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和） 又BEC B+C，得B EFC故 ABCD（内错角相等，两直线平行） 故选：C8 【解答】解： 0.00002 210 5故选：D9 【解答】解：如图所示，n 的最小值为 3，故选：C10 【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心故选：C11 【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：去图书馆收集学生借阅图书的记录整理借阅图书记录并绘制
15、频数分布表 绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D12 【解答】解：由已知可知函数 y 关于 y 轴对称，所以点 M 是原点；故选：A13 【解答】解 1 又 x 为正整数， x 1故表示 的值的点落在故选：B14 【解答】解：S 主 x 2+2xx（x +2） ，S 左 x 2+xx（x+1） ，俯视图的长为 x+2，宽为 x+1，则俯视图的面积 S 俯 （x+2） （x+1）x 2+3x+2，故选：A15 【解答】解：小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c0（a0）时，只抄对了 a1，b4，解出其中一个根是 x 1，（ 1） 24+c0，解得
16、：c3，故原方程中 c5，则 b24ac16 41540，则原方程的根的情况是不存在实数根故选：A16 【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n14；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B二、填空题（本大题有 3 个小题，共 11 分，17 小题 3 分：1819 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上）17 【解答】解：7 271707 p，21+0p，解得：p3故答案为：318 【解答】解：（1）根据约定的方法可得：mx+2x3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出 nx+2x+2x+
17、3m +ny 当 y2 时，5x+3 2解得 x1n 2x+3 2+31故答案为：119 【解答】解：（1）由 A、B 两点的纵坐标相同可知：ABx 轴，AB12（ 8） 20；（2）过点 C 作 lAB 于点 E，连接 AC，作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D，由（1）可知：CE1（ 17）18，AE12，设 CDx，ADCDx，由勾股定理可知：x 2（18x） 2+122，解得：x13，CD13，故答案为：（1）20；（2）13；三、解答题（本大题有 7 个小题，共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20 【解答】解：（1）1+2 6936 93 912 ；（2）1
18、269 6，1 696，396，内的符号是“ ”；（3）这个最小数是20，理由：在“126 9”的内填入符号后，使计算所得数最小，126 的结果是负数即可，126 的最小值是 12611，1269 的最小值是11 9 20，这个最小数是 2021 【解答】解：A（n 21） 2+（2n） 2n 42n2+1+4n2n 4+2n2+1（n 2+1） 2，A B2，B0，B n2+1，当 2n8 时，n4，n 2+1 42+115；当 n21 35 时， n2+137故答案为：15；3722 【解答】解：（1）P（一次拿到 8 元球） ，8 元球的个数为 4 2（个） ，按照从小到大的顺序排列为
19、7，8，8，9，这 4 个球价格的众数为 8 元；（2） 所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同；理由如下：原来 4 个球的价格按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9，原来 4 个球价格的中位数为 8（元） ，所剩的 3 个球价格为 8，8，9，所剩的 3 个球价格的中位数为 8 元，所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同；列表如图所示：共有 9 个等可能的结果，乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 个，乙组两次都拿到 8 元球的概率为 23 【解答】解：（1）在ABC 和 ADE 中， （如图 1）ABCADE（SAS ）BACDAE即BAD+D
20、ACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x当 ADBC 时，AP AB3 最小，即 PD633 为 PD 的最大值（3）如图 2，设BAP，则APC +30，ABACBAC90 ，PCA60，PAC 90 ，I 为 APC 的内心AI、CI 分别平分 PAC，PCA，IAC PAC，ICA PCAAIC180（ IAC+ICA）180 （PAC+PCA）180 （90+60） +1050 90，105 +105150 ，即 105 AIC150 ，m 105，n 15024 【解答】解：（1）排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s） ，则排头也离开原排头 t（s ） ，S
21、头 2t+300甲从排尾赶到排头的时间为 300（2vv）300 v3002150 s，此时 S 头 2t+300 600 m甲返回时间为：（t150）sS 甲 S 头 S 甲回 2150+300 4（t150） 4t+1200；因此，S 头 与 t 的函数关系式为 S 头 2t +300，当甲赶到排头位置时，求 S 的值为 600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S 甲 与 t 的函数关系式为 S 甲 4t+1200（2）Tt 追及 +t 返回 + ，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v（T150）v（ 150）400150v；因此 T 与 v 的函数关系式为：T ，此时队伍在此过程中
22、行进的路程为（400150v）m25 【解答】解：（1）如图 1，AP 经过圆心 O，CP 与O 相切于 P，APC90 ，ABCD，ADBC，PBCDAB tan PBCtan DAB ，设 CP4k，BP3k，由 CP2+BP2BC 2，得（4k） 2+（3k ） 215 2，解得 k13（舍去） ，k 23，xBP339，故当 x9 时，圆心 O 落在 AP 上；AP 是O 的直径，AEP90 ，PEAD，ABCD，BCADPEBC（2）如图 2，过点 C 作 CGAP 于 G，ABCD，BCAD，CBGDAB tan CBGtanDAB ，设 CG4m，BG3m，由勾股定理得：（4m）
23、 2+（3m） 215 2，解得 m3，CG4312，BG339，PGBG BP945，APAB+BP3+47，AGAB+ BG3+912tanCAP 1，CAP45 ；连接 OP，OQ ，过点 O 作 OHAP 于 H，则POQ2 CAP24590，PH AP ，在 RtCPG 中， 13，CP 是 O 的切线，OPCOHP90 ， OPH+CPG90，PCG+CPG90OPHPCGOPHPCG ，即 PHCPCGOP， 1312OP ，OP劣弧 长度 ， 2 7弦 AP 的长度劣弧 长度（3）如图 3，O 与线段 AD 只有一个公共点，即圆心 O 位于直线 AB 下方，且OAD 90，当O
24、AD 90， CPMDAB 时，此时 BP 取得最小值，过点 C 作 CMAB 于 M，DABCBP，CPMCBPCBCP，CMABBP2BM2918，x1826 【解答】解：（1）当 x0 吋，yx bb，B （0，b） ，AB8，而 A（0，b） ，b（b）8，b 4L： y x2+4x，L 的对称轴 x2，当 x2 吋，yx 42，L 的对称轴与 a 的交点为（ 2，2 ） ；（2）y（x ） 2+ ，L 的顶点 C（ ）点 C 在 l 下方，C 与 l 的距离 b （b2） 2+11，点 C 与 1 距离的最大值为 1；（3）由題意得 ，即 y1+y22y 3，得 b+x0b2（ x0
25、2+bx0）解得 x00 或 x0b 但 x0#0，取 x0b ，对于 L，当 y0 吋，0x 2+bx，即 0x（x b） ，解得 x10，x 2b，b 0，右交点 D（b， 0） 点（ x0，0）与点 D 间的距离 b（b ）（4） 当 b 2019 时，抛物线解析式 L：y x 2+2019x直线解析式 a：yx 2019联立上述两个解析式可得：x 1 1，x 22019，可知每一个整数 x 的值 都对应的一个整数 y 值，且1 和 2019 之间（包括 1 和2019）共有 2021 个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有 2021 个整数点总
26、计 4042 个点，这两段图象交点有 2 个点重复重复，美点 ”的个数：404224040（个） ；当 b 2019.5 时，抛物线解析式 L：yx 2+2019.5x，直线解析式 a：yx 2019.5，联立上述两个解析式可得：x 1 1，x 22019.5，当 x 取整数时，在一次函数 yx 2019.5 上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为 0，在二次函数 yx +2019.5x 图象上，当 x 为偶数时，函数值 y 可取整数，可知1 到 2019.5 之 间有 1009 个偶数，并且在 1 和 2019.5 之间还有整数 0，验证后可知 0 也符合条件，因此“美点” 共有 1010 个故 b2019 时“美点” 的个数为 4040 个，b2019.5 时“ 美点 ”的个数为 1010 个
