1、2018-2019 学年新疆伊犁州奎屯一中高一（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）如图是根据变量 x，y 的观测数据（x i，y i） （i1，2，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量 x，y 具有相关关系的图是（ ）A B C D2 （5 分）已知 ab，则下列成立的是（ ）A Ba 2b 2 C Dac 2bc 23 （5 分）为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的 6070岁，4050 岁，2030 岁的三个年龄段中的 160，240，X 人中，采用分层抽样的
2、方法共抽出了 30 人进行调查，若 6070 岁这个年龄段中抽查了 8 人，那么 x 为（ ）A90 B120 C180 D2004 （5 分）如图所示，执行该程序框图，为使输出的函数值在区间 内则输入的实数 x 的取值范围是（ ）A2，+ ） B1，2 C 2，1 D （，25 （5 分）已知 a0，b0，a+b2，则 y + 的最小值是（ ）A B C5 D4第 2 页（共 18 页）6 （5 分）在ABC 中，a1， ， ，则 c（ ）A B C D7 （5 分）已知a n是公差为 1 的等差数列，S n 为a n的前 n 项和，若 S8
3、4S 4，则 a10（ ）A B C10 D128 （5 分）从 1，2，3，4，5 这 5 个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中，是对立事件的是（ ）A B C D9 （5 分）若 x1，x 2，x 2018 的平均数为 3，方差为 4，且 yi2（x i2） ，ix 1，x 2，x 2018，则新数据 y1，y 2的平均数和标准差分别为（ ）A44 B4 16 C2 &n
4、bsp; 8 D2 410 （5 分）三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（ ）A B C D11 （5 分）若不等式 对任意的 x（，1恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A B C2 ，+） D （，212 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 A 是 B 和 C 的等差中项， 0，a ，则ABC 周长的
5、取值范围是（ ）第 3 页（共 18 页）A BC D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）不等式 x22x 30 的解集是 14 （5 分）把二进制数 1011（2） 化成十进制数为 15 （5 分）直线 x+ y+10 的倾斜角的大小为 16 （5 分）已知数列a n的通项公式为 ，前 n 项和为 Sn，则 三、解答题17 （10 分）三角形的三个顶点为 A（4，0） ，B（6，5） ，C（0，3） （1）求 BC 边上高所在直
6、线的方程；（2）求 BC 边上中线所在直线的方程18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 acosC+（c3b）cosA0（1）求 tanA 的值；（2）若ABC 的面积为 ，且 bc2，求 a 的值19 （12 分）已知数列a n为递增的等差数列，其中 a3 5，且 a1、a 2、a 5 成等比数列（1）求a n的通项公式；（2）设 记数列b n的前 n 项和为 Tn，求使得 成立的 m的最小正整数20 （12 分）已知函数 f（x ）x 2ax+b（1）若 a，b 都是从集合0， 1，2，3 中任取的一个数，求函数 f（x）有零点的概率；（2）若 a，
7、b 都是从区间0， 3上任取的一个数，求 f（1）0 成立的概率21 （12 分）已知某市大约有 800 万网络购物者，某电子商务公司对该市 n 名网络购物者某年度上半年的消费情况进行了统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间0.5，1.1内，其频率分布直方图如图所示（1）求该市 n 名网络购物者该年度上半年的消费金额的平均数与中位数（以各区间的第 4 页（共 18 页）中点值代表该区间的均值） （2）现从前 4 组中选取 18 人进行网络购物爱好调查（i）求在前 4 组中各组应该选取的人数；（ii）在前 2 组所选取的人中，再随机选 2 人，求这 2 人都是来自第二组的概率22 （12 分）
8、某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额） ，如表 1年份 x 2011 2012 2013 2014 2015储蓄存款 y（千亿元） 5 6 7 8 10为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，tx2010，zy5 得到表 2：时间代号 t 1 2 3 4 5z 0 1 2 3 5（1）求 z 关于 t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到 2010 年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：对于线性回归方程 bx+a，其中 ， 第 5 页（共 18 页）2018-2019 学
9、年新疆伊犁州奎屯一中高一（下） ）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）如图是根据变量 x，y 的观测数据（x i，y i） （i1，2，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量 x，y 具有相关关系的图是（ ）A B C D【分析】通过观察散点图可以知道，y 随 x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关，u 随 v 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u 与 v 正相关【解答】解：由题图可知，y 随 x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与 y 负相关，由题图 可知， u 随
10、v 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u 与 v 正相关故选：D【点评】本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关2 （5 分）已知 ab，则下列成立的是（ ）A Ba 2b 2 C Dac 2bc 2【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可【解答】解：Aab，不能保证 a，b 都大于 0，故不成立；Bba0 时，不成立；C ， ，故 C 成立；D当 c0 时，不成立故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质属基础题3 （5 分）为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的 6070第 6
11、页（共 18 页）岁，4050 岁，2030 岁的三个年龄段中的 160，240，X 人中，采用分层抽样的方法共抽出了 30 人进行调查，若 6070 岁这个年龄段中抽查了 8 人，那么 x 为（ ）A90 B120 C180 D200【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，利用已知在 6070 岁这个年龄段中抽查了 8 人，可以求出抽取的总人数，从而求出 x 的值【解答】解：6070 岁，4050 岁，2030 岁的三个年龄段中的 160，240，X 人中可以抽取 30 人，每个个体被抽到的概率等于： ，在 6070 岁这
12、个年龄段中抽查了 8 人，可知 1608，解得 x200，故选：D【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数4 （5 分）如图所示，执行该程序框图，为使输出的函数值在区间 内则输入的实数 x 的取值范围是（ ）A2，+ ） B1，2 C 2，1 D （，2【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 f（x ） 的函数值根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间 内，即可得到答案【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：第 7 页（共 18 页）
13、该程序的作用是计算分段函数 f（x ） 的函数值又输出的函数值在区间 ，即2 2 ，2 1 内，x 2，1故选：C【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基础题5 （5 分）已知 a0，b0，a+b2，则 y + 的最小值是（ ）A B C5 D4【分析】利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出【解答】解：a0，b0，a+b2，y + （ + ） （a+b） （1+4+ + ） （5+2 ） ，当且仅当 b2a 时等号成立，故选：A【点评】本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质，属于基础题6 （5 分）在ABC 中，a1， ，
14、 ，则 c（ ）A B C D【分析】由已知利用正弦定理可求 b，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，进而利用正弦定理可求 c 的值【解答】解：a1， ， ，由正弦定理可得：b ，可得：sinC sin（AB），由正弦定理可得：c 故选：A第 8 页（共 18 页）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7 （5 分）已知a n是公差为 1 的等差数列，S n 为a n的前 n 项和，若 S84S 4，则 a10（ ）A B C10
15、D12【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出【解答】解：a n是公差为 1 的等差数列，S 84S 4，8a 1+ 14（4a 1+ ） ，解得 a1 则 a10 +91 故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分）从 1，2，3，4，5 这 5 个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中，是对立事件的是（ ）A B C D【分析】分析四组事件，中表示的
16、是同一个事件，前者包含后者， 中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件【解答】解：在恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，只有第三所包含的事件是对立事件故选：C【点评】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件第 9 页（共 18 页）9 （5 分
17、）若 x1，x 2，x 2018 的平均数为 3，方差为 4，且 yi2（x i2） ，ix 1，x 2，x 2018，则新数据 y1，y 2的平均数和标准差分别为（ ）A44 B4 16 C2 8 D2 4【分析】新数据 y1，y 2的平均数为：2（32）2，标准差为：4【解答】解：x 1，x 2，x 2018 的平均数为 3，方差为 4，yi2（x i2） ，ix 1，x 2， ，x 2018，新数据 y1，y 2的平均数为：2（32）2，标准差为： 4故选：D【点评】本题考查平均数、标准差的求法
18、，考查平均数、标准差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10 （5 分）三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（ ）A B C D【分析】设正六边形的边长，得到圆的半径，分别求出正六边形及圆的面积，由测度比为面积比得答案【解答】解：如图，第 10 页（共 18 页）设正六边形的边长为 r，则圆的半径为 r，圆面积为 r2，正六边形的面积为 向圆中随机投掷
19、一个点，则该点落在正六边形的概率为 故选：A【点评】本题考查几何概型概率的求法，是基础的计算题11 （5 分）若不等式 对任意的 x（，1恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A B C2 ，+） D （，2【分析】取掉对数符号，分离待求的变量 a，利用函数的单调性的性质及其不等式的基本性质，推出结果即可【解答】解：原不等式等价于 In In3 （x 1） 1+32x+（1a）3x 3x32xa3 x+10 a ，当 x1 时，a +3x 恒成立a（ ） min2，即 a2故选：D【点评】本题考查函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力12 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C
20、 所对的边分别为 a，b，c，且 A 是 B 和 C 的等差中项， 0，a ，则ABC 周长的取值范围是（ ）A BC D【分析】在ABC 中，A 是 B 和 C 的等差中项，可得 2AB+C A，解得Aa+ b+csinB+sin C+a ，由 0， ，即可【解答】解：在ABC 中，A 是 B 和 C 的等差中项，可得 2AB+C A，解得 A第 11 页（共 18 页）由正弦定理可得 ，2R1c2Rsin CsinC，b2RsinBsin B，设周长为 y，则 ya+b+ csinB+sinC+asin B+sin（ +B）+asinB+sin（B+ ）+asinB+sinBc
21、os +cosBsin +a ， 0， ， ，即 ，故选：B【点评】此题考查了正弦定理，正弦函数的定义域与值域，等差数列的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）不等式 x22x 30 的解集是 x| x1 或 x3 【分析】把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，结合二次函数的图象可得二次不等式的解集【解答】解：由 x22x 30，得（x +1） （x3）0，解得 x1 或 x3所以原不等式的解集为x| x1 或 x3 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，训练了因式分解法，是基础题14 （5
22、分）把二进制数 1011（2） 化成十进制数为 11 【分析】欲将二进制数 1011 用十进制表示，只须根据转换公式：12 3+022+121+1进行计算即得【解答】解：二进制数 1011 用十进制可以表示为：123+022+121+111故答案为：11【点评】本题主要考查了算法的概念以及二进制数与用十进制的互化，属于基础题15 （5 分）直线 x+ y+10 的倾斜角的大小为 【分析】化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角第 12 页（共 18 页）【解答】解：由 x+ y+10，得，直线 x+ y+10 的斜率为 ，设其倾斜角
23、为 （0 ） ，则 ， 故答案为： 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题16 （5 分）已知数列a n的通项公式为 ，前 n 项和为 Sn，则 1011 【分析】数列a n每四项的和构成一数列c k，数列c k是等差数列，由前 n 项和公式可求 S2020，从而得结果【解答】解：a 10，a 24，a 30，a 416；a50，a 636，a 70，a 864；a90，a 10100，a 110，a 12144；c1a 1+a2+a3+a4a 2+a4（ 41） 2（412） 212 ；c2a 5+a6+a7+a8a 6+a8（ 42） 2（422） 228 ；c
24、3a 9+a10+a11+a12a 10+a12（43） 2（432） 244；ck（4k） 2（4k 2） 216 k4，数列c k是首项为 12，公差为 16 的等差数列，S 2020c 1+c2+c50550512+ 165054044，S 2021S 2020， 1011故答案为：1011【点评】本题主要考查等差数列通项公式和前 n 项和的求解，利用构造法是解决本题的关键第 13 页（共 18 页）三、解答题17 （10 分）三角形的三个顶点为 A（4，0） ，B（6，5） ，C（0，3） （1）求 BC 边上高所在直线的方程；（2）求 BC 边上中线所在直线的方程【分析】 （1）运用
25、直线的斜率公式可得直线 BC 的斜率，再由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得 BC 边上高的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求直线的方程；（2）运用中点坐标公式可得 BC 的中点 M，求出 AM 的斜率，由点斜式方程即可得到所求中线的方程【解答】解：（1）ABC 的三个顶点是 A（4，0） ，B（6，5） ，C（0，3） ，可得 BC 边所在直线的斜率 kBC ，因为 BC 所在直线的斜率与 BC 高线的斜率乘积为1，所以 BC 高线的斜率为3，又因为 BC 高线所在的直线过 A（4，0） ，所以 BC 高线所在的直线方程为 y03（x4） ，即 3x+y12 0；（2）设 BC 中点为 M
26、，则中点 M（3，4） ，kAM 4，所以 BC 边上的中线 AM 所在的直线方程为 y04（x4） ，即为 4x+y16 0【点评】本题考查直线方程的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于基础题18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 acosC+（c3b）cosA0（1）求 tanA 的值；（2）若ABC 的面积为 ，且 bc2，求 a 的值【分析】 （1）根据题意，对于 acosC+（c3b）cosA0 由正弦定理分析可得sinAcosC+（sinC3sinB）cosA0，变形可得 cosA ，利用同角三角
27、函数的基本关系式分析可得答案；第 14 页（共 18 页）（2）由三角形面积公式可得 S bcsinA bc ，变形可得 bc3，又由余弦定理，a 2b 2+c22bc cosA，代入数据计算即可得答案【解答】解：（1）根据题意，ABC 中，acos C+（c 3b）cosA0，则有 sinAcosC+（sin C3sinB）cos A0，即 sinAcosC+sinCcosA3sin BcosA，变形可得 cosA ，则 sinA ，则 tanA 2 ；（2）若ABC 的面积为 ，即 S bcsinA bc ，即可得 bc3，又由余弦定理，a 2b 2+c22bccosA（bc） 2+2bc
28、 bc8，则 a2 【点评】本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦定理和余弦定理的形式19 （12 分）已知数列a n为递增的等差数列，其中 a3 5，且 a1、a 2、a 5 成等比数列（1）求a n的通项公式；（2）设 记数列b n的前 n 项和为 Tn，求使得 成立的 m的最小正整数【分析】 （1）利用等差数列的通项公式和等比中项的定义即可得到首项和公差，即可得到通项公式；（2） ，利用“裂项求和”即可得出数列b n的前 n 项和为 Tn，求出 ，再由 求得使得 成立的 m 的最小正整数【解答】解：（1）在等差数列中，设公差为 d0，由题意 ，得 ，解得 a na 1+（n1）d1+
29、2 （n1）2n1；（2）由（1）知，a n2n1第 15 页（共 18 页）则 ，T n T n+1 Tn 0，T n单调递增，而 ，要使 成立，则 ，得 m ，又 mZ，则使得 成立的 m 的最小正整数为 2【点评】本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，求得数列的通项与和是关键，是中档题20 （12 分）已知函数 f（x ）x 2ax+b（1）若 a，b 都是从集合0， 1，2，3 中任取的一个数，求函数 f（x）有零点的概率；（2）若 a，b 都是从区间0， 3上任取的一个数，求 f（1）0 成立的概率【分析】 （1）由题意知本题为古典概型的概率，计算基本事件数，求出“函数 f（x
30、）有零点”的概率值；（2）由题意知本题为几何概型的概率，计算对应区域的面积比即可【解答】解：（1）a，b 都是从集合0，1，2，3 中任取的一个数，本题为古典概型且基本事件总数为 4416 个，设“函数 f（x）有零点 ”为事件 A，则 Aa 2 4b0，即 a24b，包含（0，0） ， （2，0） ， （2，1） ， （3，0） ， （3，1） ， （3，2）7 个基本事件， ；（2）a，b 都是从区间0， 3上任取的一个数，本题为几何概型且所有基本事件的区域为如图所示矩形 OABC，设“函数 f（x） 0”为事件 B，则 Bf（1）1a+ b0，即 ba1，B 包含的基本事件构成的区域为图
31、中阴影部分， 第 16 页（共 18 页）【点评】本题考查了古典概型的概率与几何概型的概率计算问题，是综合题21 （12 分）已知某市大约有 800 万网络购物者，某电子商务公司对该市 n 名网络购物者某年度上半年的消费情况进行了统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间0.5，1.1内，其频率分布直方图如图所示（1）求该市 n 名网络购物者该年度上半年的消费金额的平均数与中位数（以各区间的中点值代表该区间的均值） （2）现从前 4 组中选取 18 人进行网络购物爱好调查（i）求在前 4 组中各组应该选取的人数；（ii）在前 2 组所选取的人中，再随机选 2 人，求这 2 人都是来自第二组的概率
32、【分析】 （1）平均数为加权平均；根据中位数处于中间位置，即出现在中位数前的数据频率为 0.5，计算即可得到中位数；（2） （i）根据抽样比为定值，即可计算前 4 组中各组应该选取的人数；（ii）由（i）知，第一组抽到 3 人，第二组抽到 4 人，再结合计数原理即可得到再随机选 2 人，求这 2 人都是来自第二组的概率【解答】解：（1）依题意，平均数为0.550.15+0.650.2+0.750.25+0.85 0.3+0.950.08+1.050.020.752；1.50.1+2.00.10.350.5，而 1.50.1+2.00.1+2.50.10.60.5，所以中位数位于0.7，0.8）
33、之间，所以中位数为 0.7+ 0.76（2）前 4 组的频率分别为：0.15，0.2，0.25，0.3，第 17 页（共 18 页）所以前四组人数比为：0.15：0.2：0.25：0.33：4：5：6，前 4 组共抽取 18 人，所以第一组抽取 18 3 人，第二组抽取人数为 18 4人，第 3 组抽取人数为 18 5 人，第 4 组抽取人数为 18 6 人所以前 4 组中各组应该选取的人数分别为 3，4，5，6 人（ii）由（i）知，第一组抽到 3 人，第二组抽到 4 人，设事件 A 表示在前 2 组所选取的人中，再随机选 2 人，求这 2 人都是来自第二组，则 P（A） 【点评】本题考查了
34、频率分布直方图的识别与应用，分层抽样，古典概型的概率求法，属于中档题22 （12 分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额） ，如表 1年份 x 2011 2012 2013 2014 2015储蓄存款 y（千亿元） 5 6 7 8 10为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，tx2010，zy5 得到表 2：时间代号 t 1 2 3 4 5z 0 1 2 3 5（1）求 z 关于 t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到 2010 年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：
35、对于线性回归方程 bx+a，其中 ， 【分析】 （1）由表中数据计算平均数和回归系数，即可写出 z 关于 t 的线性回归方程；（2）把 tx 2010，zy5 代入 z1.2t1.4 中得到 y 关于 x 的回归方程；（3）由（2）知计算 x2010 时 y 的值即可【解答】解：（1）由表中数据，计算 （1+2+3+4+5）3，第 18 页（共 18 页） （0+1+2+3+5）2.2，tizi 10+21+32+43+5545，1 2+22+32+42+5255，所以 1.2， b 2.21.231.4，所以 z 关于 t 的线性回归方程为 z1.2t 1.4；（2）把 tx 2010，zy5 代入 z1.2t1.4 中，得到：y51.2（x2010）1.4，即 y 关于 x 的回归方程是 y 1.2x2408.4；（3）由（2）知，计算 x2010 时，y1.220102408.43.6，即预测到 2010 年年底，该地储蓄存款额可达 3.6 千亿【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算能力与分析问题解决问题的能力，是中档题
