1、2018-2019 学年甘肃省天水一中高二（下）第二次段考数学试卷（理科） （5 月份）一、单选题（每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1 （5 分）复数 的虚部为（ ）A1 B3 C1 D22 （5 分）已知集合 Ax| ylog 2（x1），B y|y 2+ ，则 AB（ ）A2，+ ） B （1，2） C （1，2 D （1，+）3 （5 分）已知 sincos ，且 （0，） ，则 sin+cos（ ）A B C D4 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2+a39，S 530，则 a5（ &n
2、bsp;）A12 B15 C18 D215 （5 分） “m2”是“直线（ m+1）x+y+10 与直线 2x+（m +4）y+20 互相垂直”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）A ， B ， C ，D ，7 （5 分）函数 f（x ）lnx+4x3 的零点个数为（ ）A3 B2 C1 D0第 2 页（共 22 页）8 （5 分）要得到函数 y cos2x+sinxcosx 的图象，只需将函数 ysin2x 的图象（ ）A向
3、左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位9 （5 分）某产品在某零售摊位上的零售价 x（元）与每天的销售量 y（个）统计如表：x 16 17 18 19y 50 34 41 31据上表可得回归直线方程 中的 4，据此模型预计零售价定为 16 元时，销售量为（ ）A48 B45 C50 D5110 （5 分）设 A（2，3） ，B（1，2） ，若直线 ax+y10 与线段 AB 相交，则 a 的取值范围是（ ）A1，1 B （1，1）C （，11，+） D （， 1）（1，+）11 （5 分）在ABC 中，若 AB3BC ，cosA ，则
4、cosB（ ）A B C D12 （5 分）若直线 l：y kx 1 与曲线 C：f （x）x1+ 没有公共点，则实数 k 的最大值为（ ）A1 B C1 D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）设向量 ， 的模分别为 1，2，它们的夹角为 60，则向量 与 的夹角为 14 （5 分） （1x） （1+x ） 8 的展开式中，x 3 的系数是 15 （5 分）直三棱柱 ABCABC中，ABC90 ，AB4，BC2， ，则异面直线 AC与 BC 所成角的余弦值为 16
5、（5 分）给出下列五个命题：第 3 页（共 22 页）直线 l 平行于平面 内的一条直线，则 l ；若 ABC 是锐角三角形，则 cosAsinB；已知 Sn 是等差数列 an的前 n 项和，若 S7S 5，则 S9S 3；当 x（1，2）时，不等式 x2+mx+40 恒成立，则实数 m 的取值范围为（，5） 其中正确命题的序号为 三、解答题（本题共 5 小题，共 60 分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2+b2c 28，ABC 的面积为 2 （1）求角 C 的大小
6、；（2）若 c2 ，求 sinA+sinB 的值18 （12 分）某省确定从 2021 年开始，高考采用“3 十 l+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目， “1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从，生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目某高中从高一年级2000 名学生（其中女生 900 人）中，采用分层抽样的方法抽取 n 名学进行讲行调查（1）已知抽取的 n 名学生中含男生 110 人，求 n 的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的
7、以名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） 下表是根据调查结果得到的 22 列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；性别 选择物理 选择历史 总计男生 50女生 30总计（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取 6 人，再从这6 名学生中抽取 2 人，对“物理 的选课意向作深入了解，求 2 人中至少有 1 名女生的概率，第 4 页（共 22 页）附：K 2 ，其中 na+b+c+d19 （12 分）三棱锥 ABCD 中，底面BCD 是等腰直角三角形，BCBD2，AB ，且
8、 ABCD，O 为 CD 中点，如图（1）求证：平面 ABO平面 BCD；（2）若二面角 ACDB 的大小为 ，求 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值20 （12 分）已知椭圆 E： （ab0）过点 P（ ） ，且其中一个焦点的坐标为（1，0） ，（1）求椭圆 E 的方程；（2）若直线 l：x my +1（mR ）与椭圆交于两点 A，B，在 x 轴上是否存在点 M，使得 为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）xe x，g（x ）2a（x+lnx） ，aR（1）求 f（x）单调区间；（2）若 f（x） g（x）在1，+ ）上恒成立，求 a
9、 的取值范围请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22 （10 分）直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 其中 为参数） ；以 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为，曲线 C2：4sin （）求曲线 C1 的普通方程和极坐标方程；（）已知直线 l 与曲线 C1 和曲线 C2 分别交于 M 和 N 两点（均异于点 O） ，求线段MN 的长23已知函数 f（x ）|x 2|+2 （）解不等式 f（x ）+f（x+1）f （7） ；第 5 页（共 22 页）（）设 g（x）|2xa|+|2x +3|，若对任意 x1R
10、，都有 x2R，使得 g（x 1）f（x 2）成立，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 22 页）2018-2019 学年甘肃省天水一中高二（下）第二次段考数学试卷（理科） （5 月份）参考答案与试题解析一、单选题（每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1 （5 分）复数 的虚部为（ ）A1 B3 C1 D2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： ， 的虚部为3故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2 （5 分）已知集合 Ax| ylog 2（x1），B y|y 2+ ，则 AB（ &
11、nbsp;）A2，+ ） B （1，2） C （1，2 D （1，+）【分析】可解出集合 A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| x1，By|y2；AB2 ，+） 故选：A【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算3 （5 分）已知 sincos ，且 （0，） ，则 sin+cos（ ）A B C D【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系可得 sincos 0，可得 为锐角，再根据 sin+cos ，计算求的结果【解答】解：sincos ，12sin cos ，sin cos 0再结合 （0，） ，可得 为锐角，故 sin+cos ，故选：A第
12、7 页（共 22 页）【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题4 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2+a39，S 530，则 a5（ ）A12 B15 C18 D21【分析】将 a2+a39，S 530，转化为 a1 和 d 的二元一次方程组，解方程组得到 a1 和d，求出 a5 即可【解答】解：由题意，a 2+a39，S 530，即 ，解得 ，所以a50+3412故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题5 （5 分） “m2”是“直线（ m+1）x+y+10 与直线 2x+（m +4）y+20 互相垂
13、直”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的等价，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：，直线（m+1）x +y+10 与直线 2x+（m +4）y +20 互相垂直，则 2（m1）+m+4 0，解得 m2，故“m2”是“直线（m+1）x+y+10 与直线 2x+（m+4）y+20 互相垂直的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件 求出 m是解决本题的关键6 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）第 8 页（共
14、22 页）A ， B ， C ，D ，【分析】根据三视图知该几何体是圆柱，在中间挖去一个同底等高的圆锥，结合图中数据，求出它的体积和表面积【解答】解：根据三视图知，该几何体是圆柱，在中间挖去一个同底等高的圆锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为：V1 21 121 ；表面积为：S1 2+211+1 （3+ ）故选：B【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，几何体的体积以及表面积的求法，是基本知识的考查7 （5 分）函数 f（x ）lnx+4x3 的零点个数为（ ）A3 B2 C1 D0【分析】要求函数的零点，只要使得函数等于 0，移项变成等号两个边分别是两个基本初等函数
15、，在同一个坐标系中画出函数的图象，看出交点的个数【解答】解：f（x ）lnx+4x30，4x3lnx，第 9 页（共 22 页）令 y1lnx，y 24x3，根据这两个函数的图象在同一个坐标系中的位置关系知，两个图象有两个公共点，原函数的零点的个数是 2，故选：B【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是把一个函数变化为两个基本初等函数，利用数形结合的方法得到结果，属基础题8 （5 分）要得到函数 y cos2x+sinxcosx 的图象，只需将函数 ysin2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【分析】由题意利用函数 yAsi
16、n （ x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：要得到函数y cos2x+sinxcosx + sin2x sin（2x+ ）的图象，只需将函数 ysin2x 的图象向左平移 个单位，故选：C【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，属于基础题9 （5 分）某产品在某零售摊位上的零售价 x（元）与每天的销售量 y（个）统计如表：x 16 17 18 19第 10 页（共 22 页）y 50 34 41 31据上表可得回归直线方程 中的 4，据此模型预计零售价定为 16 元时，销售量为（ ）A48 B45 C50 D51【分析】由表中数据计算 、
17、 ，代入线性回归方程求出 a 的值，写出回归方程，再计算 x16 时 y 的值【解答】解：由表中数据，计算 （16+17+18+19）17.5， （50+34+41+31）39，代入线性回归方程 中，得 39417.5+a，解得 a109；y4x+109 ，当 x16 时，y416+10945故选：B【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题10 （5 分）设 A（2，3） ，B（1，2） ，若直线 ax+y10 与线段 AB 相交，则 a 的取值范围是（ ）A1，1 B （1，1）C （，11，+） D （， 1）（1，+）【分析】直线 ax+y10 经过定点 P（
18、0，1） ，根据直线 ax+y10 与线段 AB 相交，可得ak PA，或ak PB【解答】解：直线 ax+y10 经过定点 P（0，1） ，kPA 1，k PB 1直线 ax+y 10 与线段 AB 相交，a1 或a1，则 a 的取值范围是（，11 ，+） 故选：C【点评】本题考查了斜率计算公式及其意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题第 11 页（共 22 页）11 （5 分）在ABC 中，若 AB3BC ，cosA ，则 cosB（ ）A B C D【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，由正弦定理可得 sinC1，结合范围 C（0，） ，可求 C ，利用
19、三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式即可计算得解 cosB 的值【解答】解：cosA ，可得：sinA ，AB3BC，由正弦定理可得： ，可得： ，可得：sinC 1，C（0， ） ，C ，cosBcos（A+ C）sinAsinC cos AcosC 0 故选：A【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题12 （5 分）若直线 l：y kx 1 与曲线 C：f （x）x1+ 没有公共点，则实数 k 的最大值为（ ）A1 B C1 D【分析】直线 l：y kx1 与曲线 f
20、（x）x 1+ 没有公共点，则 x1+ kx 1无解，可化为 k1+ ，设 g（x）1+ ，求导，研究此函数的单调性即可解决【解答】解：若直线 l：y kx 1 与曲线 f（x）x 1+ 没有公共点，则x1+ kx1 无解，x0 时，上述方程不成立，x0则 x1+ kx1 可化为 k1+ ，第 12 页（共 22 页）设 g（x）1+ ，g（x）g（x）满足：在（，1）上 g（x）0，在（1，0）上 g（x）0，在（0，+）上 g（x）0，g（x）满足：在（，1）上递增，在（1，0）上递减，在（0，+）上递减，g（1）1e，而当 x+时，g（x ）1，g（x）的图象：g（x）（ ，1e（ 1，
21、+ ）无解时，k（1 e，1，k max1，故选：C【点评】本题考查导数的应用，考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）设向量 ， 的模分别为 1，2，它们的夹角为 60，则向量 与 的夹角为 【分析】根据条件即可求出 ，从而求出 ，从而求得 ，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角【解答】解： ； ， ；第 13 页（共 22 页） ；又 ； 与 的夹角为 故答案为： 【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，以及向量长度的求法14 （5 分） （1x） （
22、1+x ） 8 的展开式中，x 3 的系数是 28 【分析】把（1+x） 8 按照二项式定理展开，可得展开式中 x3 的系数【解答】解：（1x） （1+x） 8（1+x）（1+8x+28x 2+56x3+70x4+56x5+28x6+8x7+x8） ，故它的展开式中 x3 的系数为 562828，故答案为：28【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15 （5 分）直三棱柱 ABCABC中，ABC90 ，AB4，BC2， ，则异面直线 AC与 BC 所成角的余弦值为 【分析】由题意画出图形，建立空间直角坐标系
23、，利用空间向量求异面直线 AC与BC 所成角的余弦值【解答】解：以 B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，第 14 页（共 22 页）由 AB4，BC 2，BB ，则 A（4，0，0） ，C（0，2， 0） ，C （0，2， ） ，B （0，0， ） ， （4，2， ） ， （0，2， ） ，cos ， 由异面直线所成角的范围知，异面直线 AC与 BC 所成角的余弦值为 故答案为： 【点评】本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，是中档题16 （5 分）给出下列五个命题：直线 l 平行于平面 内的一条直线，则 l ；若 ABC 是锐角三角形，则 cosAsinB；已知
24、 Sn 是等差数列 an的前 n 项和，若 S7S 5，则 S9S 3；当 x（1，2）时，不等式 x2+mx+40 恒成立，则实数 m 的取值范围为（，5） 其中正确命题的序号为 【分析】由命题的真假定义判断命题的真假，对每项判断即可【解答】解：直线 l 平行于平面 内的一条直线，则 l；由线面平行的判定，直线l 在平面外，故错误第 15 页（共 22 页）若 ABC 是锐角三角形，则 cosAsinB；因为：ABC 是锐角三角形，A+B ，A B，由余弦函数在（0， ）上单调递减可知：cosAcos （ B）sin B；故正确已知 Sn 是等差数列 an的前 n 项和，若 S7S 5，则设
25、等差数列的首项 a1 和公差 d，由等差数列求和公式得：2a 1+11d0，则有 S9S 36a 1+33d0；故正确当 x（1，2）时，不等式 x2+mx+40 恒成立，设 f（ x）x 2+mx+4，当 x（1，2）时，不等式 x2+mx+40 恒成立时，有：f （1）0 且 f（2）0，解得：m5，则实数 m 的取值范围为（，5故 错误故答案为：【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了线面位置关系，数列，解三角形和不等式，难度不大，属于中档题三、解答题（本题共 5 小题，共 60 分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知在ABC 中，A，B，C 所对
26、的边分别为 a，b，c，若 a2+b2c 28，ABC 的面积为 2 （1）求角 C 的大小；（2）若 c2 ，求 sinA+sinB 的值【分析】 （1）由ABC 的面积为 2 ，可得： ，由 a2+b2c 28，及余弦定理可得：2abcosC8，可得 tanC ，得到角 C；（2）由（1）的结果，先求出 ab，根据 c，即可求出 a+b，再由正弦定理可得sinA+sinB ，即可求出结果【解答】解：（1）由ABC 的面积为 2 ，可得： ，由 a2+b2c 28，及余弦定理可得：2abcosC8，故：tanC ，可得：C ；（2）C ，2abcosC8 ，解得：ab8，又 a2+b2c 2
27、8，c 2 ，可得 a+b6，第 16 页（共 22 页）由正弦定理， ，得：sinA+sin B （a+b） 【点评】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型18 （12 分）某省确定从 2021 年开始，高考采用“3 十 l+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目， “1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从，生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目某高中从高一年级2000 名学生（其中女生 900 人）中，采用分层抽样的方法抽取 n 名学进行讲行调查（1）已知抽取的 n 名学生中含男生 110 人，求 n 的值及抽取到的女生
28、人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的以名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） 下表是根据调查结果得到的 22 列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；性别 选择物理 选择历史 总计男生 50女生 30总计（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取 6 人，再从这6 名学生中抽取 2 人，对“物理 的选课意向作深入了解，求 2 人中至少有 1 名女生的概率，附：K 2 ，其中
29、na+b+c+d【分析】 （1）由题意列方程求出 n 的值，再计算女生人数；（2）根据题意填写列联表，计算 K2 的观测值，对照临界值得出结论；（3）根据分层抽样法，利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值【解答】解：（1）因为 ，解得 n200，所以女生人数为 20011090；（2）根据题意填写列联表如下，第 17 页（共 22 页）性别 选择物理 选择历史 总计男生 60 50 110女生 30 60 90总计 90 110 200由表中数据计算 K2 的观测值 k 8.9997.879，所以有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关；（3）从抽取的 90 个选择“物理”的学生中按分
30、层抽样抽取 6 人，则这 6 人中有 4 名男生，记为 a、b、c、d，两名女生记为 E、F，从这 6 人中抽取 2 人，所有的基本事件为ab、ac、ad、aE、aF、bc 、bd 、bE、bF、cd、cE、cF 、dE、dF、EF 共 15 种，选取的 2 人中至少有 1 名女生的基本事件为 aE、aF、bE、bF、cE、cF 、dE、dF、EF共 9 种，故所求的概率为 P 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题19 （12 分）三棱锥 ABCD 中，底面BCD 是等腰直角三角形，BCBD2，AB ，且 ABCD，O 为 CD 中点，如图（
31、1）求证：平面 ABO平面 BCD；（2）若二面角 ACDB 的大小为 ，求 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值【分析】 （1）证明 CD平面 AOB，即可证明平面 AOB平面 BCD；（2）证明AOB 为二面角 ACDB 的平面角，得AOB ，进而得AOB 为等边三角形，以 B 为原点建立空间直角坐标系，求平面 ABC 的法向量 ，利用向量的线面角公式求解即可【解答】 （1）证明：BCD 是等腰直角三角形，BC BD2，O 为 CD 的中点，第 18 页（共 22 页）OBCD，ABCD，AB OBB，CD平面 ABO，CD平面 BCD，平面 ABO平面 BCD，（2）CD平面 ABO，C
32、DAO，AOB 为二面角 ACD B 的平面角，即AOB ，BO ，AB OB， AOB 为等边三角形，以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B（0，0，0） ，C（2，0， 0） ，A （ ， ， ） ，D（0，2，0） ， （ ， ， ） ， （2，0，0） ， （ ， ， ） ，设平面 ABC 的法向量 （x，y，z） ，则 ，即 ，取令 z1 可得 （0， ，1） ，cos 设 AD 与平面 ABC 所成角为 ，则 sin|cos | 故 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直证明，线面垂直的判定及二面角的定义，考查空间向量的线面角求法，考查空间想
33、象及计算求解能力，是中档题20 （12 分）已知椭圆 E： （ab0）过点 P（ ） ，且其中一个焦点的坐标为（1，0） ，（1）求椭圆 E 的方程；（2）若直线 l：x my +1（mR ）与椭圆交于两点 A，B，在 x 轴上是否存在点 M，使第 19 页（共 22 页）得 为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据焦点为（1，0）可得 c1，且另一个焦点为（1，0） ，利用椭圆定义，即可求出 a 的值，结合 a，b，c 的关系，即可求出 b2，代入方程即可求解（2）设点 M（x 0，0） ，A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，联立椭圆和直线的
34、方程，结合韦达定理可得 代入 即可求解【解答】解：（1）F 1（1，0）和是椭圆 E：的两个焦点，且点 在椭圆 E 上，所以依题意 c1，又 故 a2， 由 b2+c2a 2 得 b23故所求椭圆的方程为 （2）假设存在点 M（x 0，0） ，使得 为定值，联立 ，得（3m 2+4）y 2+6my90设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，（my 1+1） （my 2+1）x 0（ my1+1+my2+1）（m 2+1）y 1y2+（1x 0）m （y 1+y2）+1第 20 页（共 22 页）要使上式为定值，即与 m 无关，应有解得 ，此时 所以，存在点 使得 为定值【点评
35、】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，重点掌握韦达定理的应用，需要较强的计算能力，属中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）xe x，g（x ）2a（x+lnx） ，aR（1）求 f（x）单调区间；（2）若 f（x） g（x）在1，+ ）上恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，利用导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间（2）令 h（x）g（x ）f（x）2a（lnx+x）xe x，x1 ，+） ，求出函数的导数，通过 当 2a e，求出函数的最大值，推出 a 的范围；2ae，求出函数的最大值得到 a 的范围，推出结果【解答】解：（1）f（x ）e
36、 x（x+1） ，由 f（x）0 得 x（1，+ ） ，由 f（x）0 得 x（， 1） ，f（x）分别在区间（ 1，+）上单调递增在区间（，1）上单调递减（2）令 h（x）g（x ）f（x）2a（lnx+x）xe x，x1 ，+） ，则 ，由（1）知 f（x ）xe x 在1，+）上单调递增，xe xe当 2ae，即 时，2axe x0h（x ）在1 ，+ ）上单调递减，h（x）maxh（1）2ae ，令 h（x） max0，得 ，2a e，即 时，存在 x0（1，+ ） 使 ，当 x（1，x 0）时，h（x）0，当 x（x 0，+）时，h（x）0，h（x）在x（1，x 0）上单调递增，在
37、x（x 0，+）上单调递减， ，2ln2a20， h（x ） maxh（x 0）0 不能恒成立第 21 页（共 22 页）综上： 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查函数的最值的求法，转化思想的应用请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22 （10 分）直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 其中 为参数） ；以 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为，曲线 C2：4sin （）求曲线 C1 的普通方程和极坐标方程；（）已知直线 l 与曲线 C1 和曲线 C2 分别交于 M 和 N
38、两点（均异于点 O） ，求线段MN 的长【分析】 （）消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；（）设 M，N 的极坐标并分别代入 C1，C 2 可得 1， 2，再利用|MN| 1|+|2|可得【解答】解：（）因为曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数 ） ，所以 C1 的普通方程为（x 2） 2+（y 1） 25 ，在极坐标系中，将 代入得 24cos2 sin0，化简得，C 1 的极坐标方程为： 4cos+2sin（）因为直线 l 的极坐标方程为 （R ） ，且直线 l 与曲线 C1 和和曲线 C2 分别交于 M，N，可设 M（ 1， ） ，N（ 2， ） ，将 M（ 1， ）代入得
39、14cos +2sin 4（ ）+2 ，将 N（ 2， ）代入曲线 C2： 4sin 得 24sin 4 2 所以|MN | 1|+|2| |+2 3 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23已知函数 f（x ）|x 2|+2 （）解不等式 f（x ）+f（x+1）f （7） ；（）设 g（x）|2xa|+|2x +3|，若对任意 x1R，都有 x2R，使得 g（x 1）f（x 2）第 22 页（共 22 页）成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （）利用零点分段讨论可得不等式的解（）由题意可设y| yg（x） y|yf （x） ，求出两个函数的值域后可得实数 a 的取值范围【解答
40、】解：（I）不等式 f（x）+f （x+1）f（7）等价于| x2|+| x1| 3，当 x2 时，原不等式即为 2x33，解得 x3，x3；当 1 x2 时，原不等式即为 13，解得 x，x；当 x1 时，原不等式即为2x+33，解得 x0，x0；不等式解集为x| x0 或 x 3（II）对任意 x1R，都有 x2R，使得 g（x 1）f （x 2）成立，则y|y g（x） y|yf（x） ，g（x）|2xa|+|2x +3|（ 2xa）（2x+3 ）|a +3|，当且仅当（2x a） （ 2x+3）0 时取等号，又 f（x）|x 2|+22，|a +3|2，a1 或 a5，a 的取值范围（，5 1，+） 【点评】本题考查了用零点分段法解不等式与等式的有解或恒成立问题，转化为函数值域的包含关系是解决本题的关键，属于中档题
