1、26.3 曲线的交点对 应 学 生 用 书 P43给出下列两组直线，回答问题(1)l1：x2y 0，l 2：2x 4y 30；(2)l1：2xy 0，l 2：3x y 70.问题 1：两组直线的位置关系提示：(1)平行；(2) 相交问题 2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方程的解来判定第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系问题 3：如何求两曲线的交点坐标提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标已知曲线 C1：f 1(x，y)0 和 C2：f 2(x，y )0.(1)P
2、0(x0，y 0)是 C1 和 C2 的公共点 Error! (2)求两曲线的交点，就是求方程组Error!的实数解(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点直线与圆锥曲线联立，消元得方程 ax2bxc 0方程特征 交点个数 位置关系a0， 0 2 相交a0，0 1 相切直线与椭圆a0， 0 2 相交直线与双曲线a0，0 1 相切a0， 0 2 相交a0，0 1 相切直线与抛物线a0， 0直线与圆锥曲线相交于两个点；0直线与圆锥曲线相交于一个点；0，5 5直线与椭圆相交；当 m 或 m 时，0，5 5直线与椭圆相切；当 m 时，0，即1 时，
3、直线 l 与抛物线相离，没有公共点12综上：当 k1 或 或 0 时，12直线 l 与抛物线只有一个公共点；当1 时，直线 l 与抛物线没有公共点12直线被圆锥曲线截得的弦长问题例 2 已知斜率为 2 的直线经过椭圆 1 的右焦点 F1，与椭圆相交于 A、B 两x25 y24点，求弦 AB 的长思路点拨 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查 A、B 坐标间的联系，进行整体运算精解详析 法一：直线 l 过椭圆 1 的右焦点 F1(1,0)，又直线的斜率为 2.x25 y24直线 l 的方程为 y2( x1)，即 2xy 20.由方程组Error!得交点 A(0，
4、 2)，B .(53， 43)则 AB (xA xB)2 (yA yB)2 .(0 f(5,3) 2 ( 2 f(4,3) 21259 553法二：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 A、B 的坐标为方程组Error!的公共解对方程组消去 y，得 3x25x 0.则 x1x 2 ，x 1x20.53AB (x1 x2)2 (y1 y2)2 (x1 x2)2(1 koal(2,AB) (1 koal(2,AB) (x1 x2)2 4x1x2 .(1 22)(f(5,3) 2 40553法三：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立Error!消去 y，得 3x25x 0，
5、则 x1，x 2 是方程 3x25x0 的两根x 1x 2 .53由圆锥曲线的统一定义，得 AF1 (5x 1)，15F1B (5x 2)，15则 ABAF 1F 1B 10( x1x 2) .15 15 253 553一点通 弦长的求法：(1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解(2)结合根与系数的关系，利用变形公式l 或(1 k2)(x1 x2)2 4x1x2l 求解(1 f(1,k2)(y1 y2)2 4y1y2(3)利用圆锥曲线的统一定义求解3过抛物线 y28x 的焦点作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为_解析：由抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为 yx
6、2，代入 y28x 得(x2) 28x ，即 x212x 40.x1 x212，弦长x 1x 2p12416.答案：164直线 y2x3 与双曲线 y 21 相交于两点 A、B，则 AB_.x22解析：设直线 y2x 3 与双曲线 y 21 两交点坐标分别为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)x22由Error!得 7x224x 200，x1 x2 ，x 1x2 ，247 207|AB| |x1x 2| .1 22 5 (x1 x2)2 4x1x2 5(f(24,7)2 4207 457答案：4575如图，椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1，F 2，一条直线x216 y29l 经过 F1
7、 与椭圆交于 A，B 两点，若直线 l 的倾斜角为 45，求ABF 2 的面积解：由椭圆的方程 1 知，a4，b3，x216 y29c .a2 b2 7由 c 知 F1( ，0)，F 2( ，0) ，7 7 7又直线 l 的斜率 ktan 451，直线 l 的方程为 xy 0.7设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由Error!消去 x，整理得 25y218 y810，7y1 y2 ，y 1y2 .18 725 8125|y1y 2| ，(y1 y2)2 4y1y2 (18725)2 48125 72225SABF2 |F1F2|y1y 2| 2 .12 12 7 72 225 7
8、21425两曲线相交的综合问题例 3 已知椭圆 1，过点 P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直x216 y24线方程思路点拨 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去 y，得关于 x 的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解精解详析 法一：设所求直线的方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 21) x28(2 k2k) x4(2 k1) 2160.又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)、B( x2，y 2)，则 x1，x 2 是上面的方程的两个根，所以 x1x 2 ，8(2k2 k)4k2 1因为 P 为弦 AB 的中点，
9、所以 2 ，x1 x22 4(2k2 k)4k2 1解得 k ，所以所求直线的方程为 x2y 40.12法二：设直线与椭圆交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，因为 P 为弦 AB 的中点，所以 x1x 24，y 1y 22，又因为 A，B 在椭圆上，所以 x 4y 16，x 4y 16，21 21 2 2两式相减，得(x x )4( y y )0，21 2 21 2即(x 1 x2)(x1x 2)4(y 1y 2)(y1y 2)0，所以 ，即 kAB .y1 y2x1 x2 (x1 x2)4(y1 y2) 12 12所以所求直线的方程为 y1 (x2)，12即 x2y40.一点通
10、 解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用“设而不求”的思想，将直线方程与圆锥曲线方程联成方程组，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系，把已知条件转化为弦的端点坐标之间的关系求解，在涉及“中点弦”问题时， “点差法”是最常用的方法6已知过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点求证：(1)x 1x2 为定值；(2) 为定值1FA 1FB证明：(1)抛物线 y22px 的焦点为 F ，(p2，0)当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为yk(x )(k0)p2由Error!消去 y，得 k2x2p(k 2 2)x 0.k
11、2p24由根与系数的关系，得 x1x2 (定值)p24当 ABx 轴时，x 1x 2 ，x 1x2 也成立p2 p24(2)由抛物线的定义知，FAx 1 ，FBx 2 .p2 p2 1FA 1FB 1x1 p2 1x2 p2x1 x2 pp2(x1 x2) x1x2 p24x1 x2 pp2(x1 x2) p22 (定值)x1 x2 pp2(x1 x2 p) 2p7设双曲线 C： y 21(a0)与直线 l：x y1 相交于两个不同点 A，B .x2a2(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，若 B，求 a 的值A512解：(1)将 yx1 代入
12、双曲线 y 21(a0)中得(1 a 2)x 22a 2x2a 20.x2a2所以Error!解得 0a ，且 a1.2又双曲线的离心率 e ，1 a2a 1a2 1所以 e ，且 e .62 2(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P (0,1)，因为 A PB，512所以(x 1，y 11) (x2，y 21) 512由此得 x1 x2.512由于 x1，x 2 是方程(1a 2)x22a 2x2a 20 的两根，且 1a 20，所以x2 ， x .1712 2a21 a2 5122 2a21 a2消去 x2，得 .由 a0，解得 a .2a21 a2 28960 17138
13、(陕西高考)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B(1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点解： (1)如图，设动圆圆心 O1(x，y)，由题意得，O 1AO 1M.当O1 不在 y 轴上时，过 O1 作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，O1M ，x2 42又 O1A ，(x 4)2 y2 ，(x 4)2 y2 x2 42化简得 y28x(x 0)当 O1 在 y 轴上时，O 1 与 O 重合，点
14、O1 的坐标(0,0)也满足方程 y28x，动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x.(2)证明：如图，由题意，设直线 l 的方程为 ykxb(k0)，P(x1，y 1)，Q( x2，y 2)，将 ykxb 代入 y28x 中，得 k2x2(2bk8)xb 20，其中 32kb640.由根与系数的关系得，x 1x 2 ，8 2bkk2x1x2 ，b2k2因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以 ，y1x1 1 y2x2 1即 y1(x21) y 2(x11)0，(kx1b)(x 21)( kx2b)( x11) 0，2kx1x2 (bk)(x 1x 2)2b0，将代入，得 2kb2( kb)(82
15、bk)2k 2b0，kb，此时 0，直线 l 的方程为 yk(x1) ，直线 l 过定点(1,0)讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程，消去 x 或 y，得出一个一元二次方程，通过研究判别式 的情况，研究位置关系，值得注意的是，若是直线与圆或椭圆时，无需讨论二次项系数是否为零( 一定不为零) ，直接考察 的情况即可若是直线与双曲线或抛物线时，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况这是特别要注意的问题同时还要注意直线斜率不存在时的情形对应课时跟踪训练( 十七) 1曲线 x2xyy 23x 4y40 与 x 轴的交点坐标是_解析：当 y0 时，得 x23x40，解得 x14 或 x21.
16、所以交点坐标为(4,0)和(1,0)答案：(4,0)，(1,0)2曲线 x2y 24 与曲线 x2 1 的交点个数为_y29解析：由数形结合可知两曲线有 4 个交点答案：43设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 _解析：由 y28x ，得准线方程为 x2.则 Q 点坐标为(2,0)设直线 yk(x 2)由Error!得 k2x2(4k 28)x4k 20.若直线 l 与 y2 8x 有公共点，则 (4k 28) 216k 40.解得1k1.答案：1,14曲线 yx 2x 2 和 yxm 有两个不同的公共点，则实
17、数 m 的范围是_解析：由Error!消去 y，得 x22x 2m0.若有两个不同的公共点，则 44(2 m )0，m1.答案：(1，)5如果椭圆 1 的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是x236 y29_解析：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)P(4,2)为 AB 中点，x 1x 28，y 1y 24.又 A，B 在椭圆上，x 4y 36，x 4y 36.21 21 2 2两式相减得(x x )4( y y )0，21 2 21 2即(x 1 x2)(x1x 2)4(y 1y 2)(y1y 2)0， .y1 y2x1 x2 (x1 x2)4(y1
18、 y2) 12即直线 l 的斜率为 .12所求直线方程为 x2y80.答案：x2y806已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 4 ，离心率为 .264(1)求椭圆的标准方程；(2)直线 l 与该椭圆交于 M、N 两点，MN 的中点为 A(2， 1)，求直线 l 的方程解：(1)由题意 2a4 ，2a 2 ，又 e ，2ca c22 64c .3b2 a2c 28 35.故所求椭圆的标准方程为 1.x28 y25(2)点 A 在椭圆内部，过 A 点的直线必与椭圆有两交点当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为 y1k( x2)，它与椭圆的交点分别为 M(x1， y
19、1)，N (x2，y 2)，则Error!消去 y 得(8k25)x 216 k(2k1)x 8(2k 1) 250，x1 x2 ，16k(2k 1)8k2 5又 A(2， 1)为弦 MN 的中点，x1 x24，即 4，16k(2k 1)8k2 5k ，从而直线方程为 5x4y140.547已知椭圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上，C 1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 2 4 2y 2 3 0 4 22(1)求 C1，C 2 的标准方程；(2)请问是否存在直线 l 满足条件：过 C2 的焦点 F；与 C1 交于不同两点 M，
20、N 且满足 OM N？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解：(1)设抛物线 C2：y 22px( p0)，则有 2p(x0)，据此验证 4 个点知(3，2 )，y2x 3(4，4)在抛物线上，易求 C2：y 24x.设 C1： 1(ab0)，把点( 2,0)， 代入得Error!解得Error!x2a2 y2b2 ( 2，22)C1 的方程为 y 21.x24(2)容易验证直线 l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线 l 的斜率存在时，假设存在直线 l 过抛物线焦点 F(1,0)，设其方程为 yk(x 1)，与 C1 的交点坐标为 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)由Err
21、or!消去 y 得，(14k 2)x28k 2x4( k21)0，于是 x1x 2 ，x 1x2 . 8k21 4k2 4(k2 1)1 4k2所以 y1y2k(x 11) k(x21)k 2x1x2( x1x 2)1k 2 . (4(k2 1)1 4k2 8k21 4k2 1) 3k21 4k2由 OM N，即O0，得 x1x2y 1y20. 将代入式得， 0，解得 k2.4(k2 1)1 4k2 3k21 4k2 k2 41 4k2所以存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为：y2x2 或 y2x2.8已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为
22、 3，最小值为 1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点( A，B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意设椭圆 C 的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2由题意得 ac3，ac 1，a 2，c1， b23.椭圆的标准方程为 1.x24 y23(2)证明：设 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)，由Error!得，(34k 2)x28mkx4( m23)0，64m 2k216(34k 2)(m23)0，即 34k 2m 20.x1 x2 ，x 1x2 .
23、8mk3 4k2 4(m2 3)3 4k2y1y2(kx 1m)(kx 2m)k 2x1x2mk(x 1x 2)m 2 .3(m2 4k2)3 4k2以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)，kADkBD1， 1，化简得y1x1 2 y2x2 2y1y2x 1x22(x 1x 2)40，即 40，3(m2 4k2)3 4k2 4(m2 3)3 4k2 16mk3 4k2化简得 7m216mk 4k 20，解得 m12k，m 2 ，且满足 34k 2m 20.2k7当 m2k 时，l ：y k (x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当 m 时，l ：y k ，直线过定点 .2k7 (x 27) (27，0)综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为 .(27，0)
