1、62 直接证明与间接证明62.1 直接证明：分析法与综合法读教材填要点综合法和分析法综合法 分析法定义从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法特点从“已知”看“可知” ，由因导果，寻找必要条件从“未知”看“需知” ，执果索因，寻找充分条件小问题大思维1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 2综合法与分析法
2、有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件综合法的应用已知 a，b 是正数，且 ab1，求证： 4.1a 1b自主解答 法一：a，bR 且 ab1，a b2 ，当且仅当 ab 时等号成立ab .ab12 4.1a 1b a bab 1ab法二：a，bR ，a b2 0， 2 0，当且仅当 ab 时等号成立ab1a 1b 1ab(ab) 4.(1a 1b)又 ab1， 4.1a 1b法三：a，bR ，且 ab1， 1a 1b a ba a bb1 122 4.ba ab abba当且仅当 ab 时，取“
3、”号保持例题条件不变，求证： 9.4a 1b证明：法一：a0，b0，且 ab1. 4 14a 1b 4a ba a bb 4ba ab52 549.4baab当且仅当 ，即 a2b 时等号成立4ba ab 23法二：a0，b0，且 a b1. (ab) 4 14a 1b (4a 1b) 4ba ab52 549.4baab当且仅当 ，即 a2b 时等号成立4ba ab 23综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程1在ABC 中
4、，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 a2b(bc)，求证：A2B .证明：a 2b(bc )，cos A ，b2 c2 a22bc b2 c2 b2 bc2bc c b2bcos 2B2cos 2B12 21(a2 c2 b22ac )2 21 ，(b c2a) b c2 2bb c2bb c c b2bcos A cos 2B.又 A，B 是三角形的内角， A2B.分析法的应用当 ab0 时，求证： (ab)a2 b222自主解答 要证 (ab) ，a2 b222只需证( )2 2，a2 b2 22a b即证 a2b 2 (a2b 22ab)，即证 a2b 22ab.12因为
5、a2b 22ab 对一切实数恒成立，所以 (ab)成立a2 b222综上所述，不等式得证分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可(2)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以结论 成立2已知 a6，求证： .a 3 a 4 a 5 a 6a6，a30，a40 ，a50，a60.又 a3a5， ，a 3 a 5同理有 ，a 4 a 6则 .a 3 a 4 a 5 a 6 abbcca.证明 法一：( 分析法)要证 a2b 2c 2abbc ca ，只需证 2(a2b 2c 2)
6、2(ab bcca) ，只需证(a 2b 22ab)( b2c 22bc)(c 2a 22ca)0，只需证(ab) 2( bc) 2( ca) 20，因为 a，b，cR ，所以(ab) 20，( bc) 20， (ca) 20.又因为 a，b，c 不全相等，所以(ab) 2(bc) 2( ca) 20.所以原不等式 a2b 2c 2abbcca 成立法二：(综合法)因为 a，b，cR ，所以(ab) 20，( bc) 20， (ca) 20.又因为 a，b，c 不全相等，所以(ab) 2(bc) 2( ca) 20.所以(a 2b 22ab)( b2c 22bc)(c 2a 22ca)0.所以
7、 2(a2b 2c 2)2(abbcca) 所以 a2b 2c 2abbc ca .1命题“对于任意角 ，cos 4sin 4cos 2”的证明过程：“cos4sin 4(cos 2sin 2)(cos2sin 2)cos 2sin 2cos 2” ，此过程应用了( )A分析法 B综合法C综合法、分析法综合使用 D间接证明法解析：结合推理及分析法和综合法的定义可知，B 正确答案：B2在ABC 中，若 sin Bsin Ccos 2 ，则下列等式一定成立的是 ( )A2AAB BACCBC DABC解析：sin Bsin Ccos 2 ，A2 1 cos A2 1 cos B C2cos(BC)
8、1 2sin Bsin C，cos Bcos Csin Bsin C12sin Bsin C，cos Bcos Csin Bsin C1， cos(BC)1.又 0bc，且 abc0，求证： 0 Bac 0C(ab)(ac)0 D( ab)(ac)0(ac)(2ac)0( ac)(ab)0.故选 C.答案：C4命题“函数 f(x)xx ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)x xln x 求导得 f(x )ln x，当 x(0,1)时，f(x)ln x0，故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法解析：由证明过程可知，该证明方法为综合法答案：综合
9、法5将下面用分析法证明 ab 的步骤补充完整：要证 ab，只需证a2 b22 a2 b22a2b 22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立答案：a 2b 22ab0 (a b)20 (ab) 206已知 x0，y 0，且 xy 1，试分别用综合法与分析法证明 9.(1 1x)(1 1y)证明：法一：(综合法)左边 (1 x yx )(1 x yy ) (2 yx)(2 xy)42 1549.(yx xy)法二：(分析法)要证 9 成立，(1 1x)(1 1y)x， yR 且 xy1， y1 x .只需证明 9 成立，(1 1x)(1 11 x)即证(1x)(1x1)9x
10、(1 x)，即证 2xx 29x 9x 2，即证 4x24x10，即证(2x 1) 20，此式显然成立，所以原不等式成立一、选择题1已知 a，b，cR，那么下列命题中正确的是( )A若 ab，则 ac2bc2B若 ，则 abacbcC若 a3b3 且 ab1a1bD若 a2b2 且 ab0，则 b3 且 ab ，故 C 对；1a1b对于 D：若Error!则 D 不成立答案：C2设 a0，b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为( )31a 1bA8 B4C1 D14解析： 是 3a与 3b的等比中项3 a3b33 ab 3 ab1，3因为 a0，b0，所以 ab ，aba b2
11、12 14所以 4.1a 1b a bab 1ab 114答案：B3已知ABC 中，cos A cos B0，则必有( )A00，得 cos Acos B，cos Acos( B)02)，q 2a 24a2( a2)，则 p 与 q 的大小关系是_1a 2解析：pa2 22 24，1a 2 a 2 1a 2a 24a22(a2) 2q8若对任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是_xx2 3x 1解析：a 对任意 x0 恒成立，xx2 3x 1 1x 1x 3设 x 3(x0)1x只需 a 恒成立即可1又 x 35，当且仅当 x1 时“”成立1x00 ， 2m 10，1a2 4b2所以 m .72
