1、4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值读教材填要点1三次函数的性质：单调区间和极值设 F(x)ax 3bx 2cxd(a0) ，则 F(x)3ax 22bxc 是二次函数(1)函数 F( x)没有零点，F(x)在( ，)上不变号，则：若 a0，则 F(x)恒正，F( x)在(，) 上递增；若 a0，则 F(x)恒负，F( x)在(，) 上递减(2)函数 F( x)有一个零点 x w，则：若 a0，则 F(x)在(，w )(w，)上恒正，F(x)在( ，)上递增；若 a0，则 F(x)在(，w )(w，)上恒负，F(x)在( ，)上递减(3)函数 F( x)有两个零点，xu 和 xv，设 u
2、v，则：若 a0，则 F(x)在(，u)和( v，)上为正，在(u，v) 上为负；对应地，F(x)在( ，u) 上递 增，在( u，v) 上递减，在(v，)上递增可见 F(x)在 xu 处取极大值，在 xv 处取极小值若 a0，则 F(x)在(，u)和( v，)上为负，在(u，v) 上为正；对应地，F(x)在( ，u) 上递 减，在( u，v) 上递增，在(v，)上递减可见 F(x)在 xu 处取极小值，在 xv 处取极大值2求函数 yf( x)在 a，b上的最值的步骤(1)求函数 yf(x )在(a，b)内的极值；(2)将函数 yf(x )的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b) 比较，
3、其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值小问题大思维1根据三次函数的性质能否画出其图象草图？提示：根据三次函数的单调性、极值，可以画出2在区间a，b上函数 yf(x) 的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在 a，b上一定存在最值和极值吗？在区间( a，b) 上呢？提示：一定有最值，但不一定有极值如果函数 f(x)在a，b上是单调的，此时 f(x)在a，b上无极值；如果 f(x)在a，b 上不是单调函数，则 f(x)在a，b 上有极值当 f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值三次函数性质的确定与应用设函数 f(x)x 36x5，x R.(1)求函数 f(x)的单调区间和极值
4、；(2)若关于 x 的方程 f(x)a 有三个不同实根，求实数 a 的取值范围；(3)已知当 x(1，)时，f (x)k(x1)恒成立，求实数 k 的取值范围自主解答 (1)f(x )3x 2 6，令 f(x )0，解得 x1 ，x 2 ，2 2当 x 或 x 时，f(x)0；2 2当 x 时，f(x )0.2 2f(x)的单调递增区间为(， )和( ，)；2 2f(x)的单调递减区间为( ， )2 2当 x 时， f(x)有极大值 54 ；2 2当 x 时，f(x)有极小值 54 .2 2(2)由(1)知，函数 yf( x)的图象大致形状如图所示，当 54 a54 时，直线 ya 与 yf
5、(x)的图象有三个不同交点，2 2即方程 f(x)a 有三个不同的解实数 a 的取值范围是(54 ，54 )2 2(3)f(x)k(x1)，即(x1)(x 2x5)k(x1)x 1， kx 2x5 在(1，)上恒成立令 g(x)x 2x5，g(x)在(1，)上是增函数，g(x)g(1) 3.k 的取值范围是 (，31求三次函数的单调区间与极值的问题，求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的求解问题去解决2解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式 f(x)g(x)(f(x)0(F(x)f(x) g( x) 恒成立，求
6、 c 的取值范围1c 12解：(1)f(x) 3x22axb.由题意，得Error!即Error!解得Error!(2)由(1)知 f(x)3x 23x63(x2)(x1) 令 f(x )0，得 x2 或 x1.当 x 变化时，f( x)，f( x)变化情况如下表所示：x 3 (3，2)2 ( 2,1) 1 (1,2) 2f (x) 0 0 f(x) c92极大值c10极小值c72 2cf(x)在3,2上的最小值为 c .即 .3 132 3 132即 c 的取值范围为 .(3 132 ，0) (3 132 ， )求函数的最值求下列各函数的最值(1)f(x)x 42x 23，x 3,2；(2)
7、f(x)x 33x 26x 2，x 1,1自主解答 (1)f(x )4x 34x，令 f(x )4x( x1)(x1)0，得x1 或 x0 或 x1.当 x 变化时，f( x)及 f(x)的变化情况如下表：x 3(3，1)1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2f (x) 0 0 0 f(x) 60 极大值 4极小值 3极大值 4 5当 x 3 时， f(x)取最小值 60；当 x1 或 x1 时，f(x)取最大值 4.(2)f(x) 3x 26x63(x 2 2x2)3( x1) 23，f (x)在 1,1内恒大于 0，f(x)在1,1上为增函数故 x1 时，f( x)最小值 12
8、；x1 时，f (x)最大值 2.即 f(x)的最小值为12，最大值为 2.求函数最值的 4 个步骤注意 求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较2已知函数 f(x)x 3ax 2 bxc，曲线 yf (x)在点 x1 处的切线为l：3xy10，若 x 时，yf (x)有极值23(1)求 a，b，c 的值；(2)求 yf(x) 在3,1上的最大值和最小值解：(1)由 f(x) x3ax 2bx c ，得 f(x )3x 22ax b.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab0， 当 x 时，yf(x)有极值，则 f 0，23 (23)可得 4a3b40， 由，解得 a2，
9、b4.由于切点的横坐标为 1，所以 f(1)4.所以 1abc4，得 c5.(2)由(1)可得 f(x)x 32x 24x5，f(x)3x 24x 4.令 f(x )0，解得 x12，x 2 .23当 x 变化时，f( x)，f( x)的取值及变化情况如下表所示：x 3 (3，2) 2 ( 2，23) 23 (23，1) 1f(x ) 0 0 f(x) 8 13 9527 4所以 yf(x) 在3,1上的最大值为 13，最小值为 .9527已知函数的最值求参数已知函数 f(x)ax 36ax 2b 在1,2上有最大值 3，最小值29，求 a，b 的值自主解答 依题意，显然 a0.因为 f(x)
10、 3ax 212ax 3ax( x4) ，x1,2，所以令 f(x) 0，解得 x10，x 24(舍去)(1)若 a0，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x 1 (1,0) 0 (0,2) 2f(x ) 0 f(x) 7ab 极大值 b 16ab由上表知，当 x0 时，f( x)取得最大值，所以 f(0)b3.又 f(2)16a3，f( 1)7a3，故 f(1)f(2)，所以当 x2 时，f( x)取得最小值即16a329，a2.(2)若 af(1)所以当 x2 时，f( x)取得最大值即16a293，a2.综上所述，所求 a，b 的值为Error!或Error!由函数的最值
11、来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用3已知函数 f(x)2x 36x 2 a 在2,2上有最小值37，求 a 的值，并求 f(x)在2,2上的最大值解：f(x) 6x 212x 6x (x 2)，由 f(x )0，得 x0 或 x 2.当 x 变化时，f( x)，f( x)变化情况如下表：x 2 (2,0) 0 (0,2) 2f(x ) 0 0f(x) 40a 极大值 a 8a当 x 2 时， f(x)min40a37，得 a3.当 x0 时，f(x)最大值是 3.设 f(x) (x33x)，
12、讨论关于 x 的方程 f(x)m0 的解的个数情况14巧思 判断三次函数 f(x)的单调性并求得极值，画出其草图，将方程解的个数转化为两个函数图象的交点个数问题妙解 f(x) (3x23) (x1)(x1) ，14 34令 f(x )0 得 x1.当 x 变化时，f( x)与 f(x)的变化情况列表如下：x (，1) 1 (1,1) 1 (1，)f(x ) 0 0 f(x) 极大值12 极小值12画出 f(x) (x33x)的草图，如图所示：14方程 f(x)m0 的解的情况如下：(1)当 m 或 m 时，12 12方程 f(x)m0 有一个解；(2)当 m 或 m 时，12 12方程 f(x
13、)m0 有两个解；(3)当 m 时，方程 f(x)m 0 有三个解12 121函数 f(x)ax 3bx 2cxd 的图象如图，| x1| x2|，则有( )Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c 0，d0Ca0，b0，c 0，d0Da0，b0，c0，d0解析：由 f(x)图象可得 f(0)d0.f (x) 3ax22bxc，由题意知，f ( x)的图象如图a 0，c0， 0 b0.2b23a答案：C2函数 y2x 33x 212x5 在2,1 上的最大值、最小值分别是( )A12，8 B1，8C12，15 D5，16解析：y6x 26x 12，由 y0x1 或 x2(舍去)x2 时，y1；
14、x 1 时，y12；x1 时，y 8. ymax12，y min8.故选 A.答案：A3函数 f(x)x 33x (|x|1)( )A有最大值，但无最小值 B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值 D既无最大值，也无最小值解析：f(x) 3x 233( x1)(x1)，当 x(1,1) 时，f ( x)0，所以 f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值答案：D4已知函数 f(x)x 33ax 2 3(a2)x1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是_解析：f(x) 3x 26ax 3(a2)，因为函数 f(x)既有极大值又有极小值，所以方程 f(x )0 有两个不等
15、根，36a 2433(a2) 0，解得 a1 或 a2.答案：(，1)(2 ，)5若函数 f(x)x 33x a 在区间 0,3上的最大值、最小值分别为 m，n，则mn_.解析：f(x) 3x23，当 x 1 或 x1 时，f(x)0；当1x1 时，f( x)0.f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增f(x)min f(1)13a2an.又 f(0) a， f(3)18a，f (0)f(3)f(x)maxf(3) 18am，m n18a(2a)20.答案：206已知 a 为实数，f(x )(x 24)(xa) (1)求导数 f(x)；(2)若 f(1)0，求 f(x)在 2,2上的最大
16、值和最小值；(3)若 f(x)在( x，2和2 ，) 上都是递增的，求 a 的取值范围解：(1)f(x) x 3ax 24x 4a，则 f(x )3x 22ax 4.(2)由 f(1)0，得 a ，12此时有 f(x)(x 24) ，(x 12)f(x)3x 2x4.由 f(x )0，得 x 或 x 1.43又 f ， f(1) ，f(2) 0，f (2)0.(43) 5027 92f(x)在2,2上的最大值为 ，最小值为 .92 5027(3)f(x) 3x 22ax4 的图象为开口向上且过(0，4) 的抛物线，由条件得 f(2)0，f(2)0.即Error!2a2，即 a 的取值范围是2,
17、2一、选择题1函数 yf(x)在 a，b上( )A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值解析：由最值与极值的概念可知，D 选项正确答案：D2若函数 f(x)x 33x 29x k 在区间4,4 上的最大值为 10，则其最小值为( )A10 B71C15 D22解析：f(x) 3x 26x 93(x3)(x1)由 f(x )0，得 x3 或 x 1.又 f(4)k76，f(3)k 27 ，f (1) k5，f (4)k20.由 f(x)maxk 510，得 k5，f(x) mink7671.答案：B3已知函数 f(x)2x 3ax 2 36x24 在
18、x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A(2,3) B(3，)C(2，) D( ，3)解析：f(x) 6x 22ax 36，由题意得 f(2)244a360.a15.f (x) 6x230x366(x 2)( x3) ，易知在(3，)上是递增的答案：B4若 x2 与 x4 是函数 f(x)x 3ax 2bx 的两个极值点，则有( )Aa2，b4 Ba3，b24Ca1，b3 Da2，b4解析：f(x) 3x 22ax b，依题意有 2 和 4 是方程 3x22axb0 的两个根，所以有 24， 24，解得 a3，b24.2a3 b3答案：B二、填空题5已知 y x3bx 2( b2)x3
19、 在 R 上不是单调增函数，则 b 的取值范围为13_解析：若 yx 22bx b 20 恒成立，则 4 b24( b2) 0，1b2.由题意可知 b1 或 b2.答案：(，1)(2 ，)6函数 f(x) x 23x 4 在0,2 上的最小值是_x33解析：f(x) x 22x 3，令 f(x )0，得 x1( x3 舍去)，又 f(0)4，f(1) ，f(2) ，173 103故 f(x)在0,2上的最小值是 f(1) .173答案：1737已知函数 f(x)x 33mx 2nxm 2 在 x1 时有极值 0，则 mn_.解析：f(x) 3x 26mxn，由已知可得Error!Error!或
20、Error!当Error!时，f(x )3x 26x 33(x1) 20 恒成立与 x 1 是极值点矛盾，当Error!时，f(x )3x 212x93(x1)(x3)，显然 x1 是极值点，符合题意， mn11.答案：118已知函数 f(x)x 22x 3 在区间a,2上的最大值为 ，则 a_.154解析：f(x) 2x2，令 f( x)0，得 x1，函数在(，1)上单调递增，在 (1，)上单调递减若 a1，则最大值为 f(a) a22a3 ，解得 a ；154 12(a 32舍 去 )若 a1，则最大值为 f(1)1234 .154综上知，a .12答案：12三、解答题9已知函数 f(x)
21、x 3ax 2 bx5，曲线 yf(x)在点 P(1，f(1) 处的切线方程为 y 3x1.(1)求 a，b 的值；(2)求 yf(x) 在3,1上的最大值解：(1)依题意可知点 P(1，f(1)为切点，代入切线方程 y3x1 可得，f(1)3114，f(1)1 ab 54，即 ab2，又由 f(x)x 3ax 2bx 5 得，又 f(x )3x 22ax b，而由切线 y3x 1 的斜率可知 f(1)3，3 2ab3，即 2ab0 ，由Error!解得Error!a 2，b4.(2)由(1)知 f(x)x 32x 24x5，f(x)3x 24x 4(3x 2)(x2)，令 f(x )0，得
22、x 或 x 2.23当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x 3 (3，2) 2 ( 2，23) 23 (23，1) 1f(x ) 0 0 f(x) 8 极大值 极小值 4f(x)的极大值为 f(2)13，极小值为 f ，(23) 9527又 f(3)8， f(1)4，f(x)在3,1上的最大值为 13.10设函数 f(x)x 3ax 2x 1，aR.(1)若 x1 时，函数 f(x)取得极值，求函数 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)若函数 f(x)在区间 内不单调，求实数 a 的取值范围(12，1)解：(1)f(x) 3x22ax1，由 f(1)0，得 a2，f
23、(x)x 32x 2x1，当 x1 时，y 3，即切点为(1，3)，k f(x 0)3x 4x 01，20令 x01，得 k8，切线方程为 8xy50.(2)f(x)在区间 内不单调，(12，1)即 f(x )0 在 有解，(12，1)3x22 ax10,2ax3x 21，x ， 2a3x ，(12，1) 1x令 h(x)3x ，1x则 h(x) 3 ，由 h(x )0，得 x ；1x2 12 33由 h(x) 0，得 x1，33所以 h(x)在 上单调递减，在 上单调递增，(33，1) (12，33h(1) h(x)h ，(33)即 h(x)(4，2 ，3 42a2 ，即2a ，3 3而当 a 时，3f(x)3x 22 x1( x1) 20，3 3不符合题意舍去，综上，a 的取值范围为(2， )3
