1、41 导数概念读教材填要点1物体在任意时刻的瞬时速度若物体的运动方程为 sf(t),则物体在任意时刻 t 的瞬时速度 v(t),就是平均速度v(t,d) 在 d 趋于 0 时的极限ft d ftd2函数 yf(x)的曲线上任一点处的切线斜率函数 yf(x) 的曲线上任一点 P(u,f(u)处的切线的斜率 k(u),就是过 P(u,f(u) ,Q(ud, f(ud )两点割线 PQ 的斜率 k(u,d) 在 d 趋于 0 时的极限fu d fud3导数的概念(1)函数 yf(x)在点 xx 0 处的导数:设函数 yf(x) 在包含 x0 的某个区间上有定义,如果比值 在 d 趋于 0 时fx0
2、d fx0d(d0)趋于确定的极限值,则称此极限值为函数 f(x)在 xx 0 处的导数或微商,记作 f(x 0),简述为: f (x0)(d0)fx0 d fx0d(2)导函数:当 x0 为 f(x)的定义区间中的任意一点,即为 x,而 f(x) 也是 x 的函数,叫作 f(x)的导函数或一阶导数,若 f(x )在 x 处又可导,则它的导数叫作 f(x)的二阶导数,记作 f(x) ,类似地,可以定义三阶导数 f(x)等等小问题大思维1若函数 f(x)在x 1,x 2内差商为 0,能否说明函数 f(x)没有变化?提示:不能说明理由:函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋势,步长 d 取值越小,越
3、能准确地体现函数的变化情况在某些情况下,求出的差商为 0,并不一定说明函数没有发生变化如函数 f(x)x 2 在2,2 上的差商为 0,但 f(x)的图象在2,2上先减后增2.函数 yf(x) 的部分图象如图,根据导数的几何意义,你能比较f(x 1),f(x 2)和 f(x 3)的大小吗?提示:根据导数的几何意义,因为在 A,B 处的切线斜率大于零且 kAkB,在 C 处的切线斜率小于零,所以 f(x 1)f(x 2)f(x 3)3f(x 0)与 f(x )的区别是什么?提示:f(x) 是函数 f(x)的导函数,简称导数,是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,而与 x0,d
4、无关;f ( x0)表示的是函数 f(x)在 xx 0 处的导数,是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及 x0 的位置有关,而与 d 无关求函数在某一点处的导数求函数 f(x)2x 24x 在 x3 处的导数自主解答 法一:f(3 d)f(3)2(3d) 24(3d)(23 243)12d2d 24d2d 216d, 2d16.f3 d f3d 2d2 16ddd 0 时,f(3) 16.法二: 2x d2 4x d 2x2 4xd 4xd 2d2 4dd4x2d44x 4(d0),即 f(x )4x4,f (3) 43 416.在本例中,若函数在 xx 0 处的导数是 8,求 x
5、0 的值解:根据导数的定义,fx d fxd 2x d2 4x d 2x2 4xd4xd 2d2 4dd4x2d44x 4(d0),f (x) 4x4.令 f(x 0)4x 048,解得 x01.根据导数的定义,求函数 yf (x)在点 x0 处的导数的步骤(1)求函数的差分 f(x0d)f(x 0);(2)求差商 ;fx0 d fx0d(3)取极限,d0 得导数 f(x 0)1求函数 f(x)x 在 x1 处的导数1x解:f(1d) f(1)(1d) d ,11 d (1 11) d1 d 1 ,f1 d f1d d d1 dd 11 dd 0 时,f(1) 112.求瞬时速度一条水管中流过
6、的水量 y(单位:m 3)是时间 t(单位:s) 的函数,且 yf(t)3t.求函数 yf(t) 在 t2 处的导数 f(2),并解释它的实际意义自主解答 根据导数的定义, 3,f2 d f2d 32 d 32df (2) 3.f(2)的意义是:水流在 2 s 时的瞬时流量为 3 m3/s,即如果保持这一速度,每经过 1 s,水管中流过的水量为 3 m3.求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系 ss( t);(2)求时间改变量 d,位移改变量 ss (t0d) s(t 0);(3)求平均速度 ;sd(4)求瞬时速度,vli .md 0sd2一辆汽车按规律 s2t 2 3 作直线运动,
7、求这辆车在 t2 时的瞬时速度( 时间单位:s,位移单位:m.)解:设这辆车在 t2 附近的时间步长为 d,则位移的差分2(2d) 23(22 23) 8d2d 2,差商82df(2)8( d0) 所以这辆车在 t2 时的瞬时速度为 8 m/s.确定或应用曲线的切线方程抛物线 yx 2 在点 P 处的切线与直线 4xy20 平行,求 P 点的坐标及切线 方程自主解答 设 P 点坐标为(x 0,y 0),x d2 x2d 2xd d2d2xdy2x (d0),切线的斜率为 k2x 0.又由切线与直线 4xy 20 平行,2x04 , x0 2.P(2,y 0)在抛物线 yx 2 上,y0 4.点
8、 P 的坐标为(2,4)切线方程为 y44( x2)即 4xy40.若将本例中的“平行”改为“垂直” ,其它条件不变,如何求解?解:设 P 点坐标为(x 0,y 0),x d2 x2d2xd d2d2xd2x(d0),y 2 x,故切线斜率为 k2x 0.又 切线与直线 4xy20 垂直,2x0 ,14即 x0 .18y0 x .20164P 点坐标为 .( 18,164)切线方程为 y ,164 14(x 18)即 16x64y10.利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x 0,y 0)在已知曲线上,则先求出函数 yf(x)在点 x0 处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线方
9、程 yy 0f (x 0)(xx 0)(2)若题中所给的点(x 0,y 0)不在曲线上,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程3已知曲线 C:y x3 .13 43(1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点?解:(1)将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4,切点 P(2,4)f(2d) f (2) (2d) 3 23 4d2d 2 d3,13 43 13 43 13 42d d2,f2 d f2d 4d 2d2 13d3d 13当 d 趋于 0 时, 趋于 4.f2 d f2d曲线在
10、点 P(2,4)处的切线的斜率为 k4,切线方程为 y44( x2),即 4xy40.(2)由Error!可得(x 2) 2(x4)0.解得 x12,x 24.从而求得公共点为 P(2,4)或 M(4,20),即切线与曲线 C 的公共点除了切点外,还有另一公共点 (4,20).设 P 为曲线 C:f(x)x 22x3 上的一点,且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角 的取值范围为 ,求点 P 横坐标的取值范围0,4巧思 曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角 的取值范围为 ,即切线的斜率 k0,1,0,4故曲线 C 在 P 点处的导数的取值范围为 0,1妙解 设点 P(x0,y 0),则x0 d
11、2 2x0 d 3 x20 2x0 3d2x 0d22x 02( d0)f (x0)2x 02. ,0,40 tan 1.即 02x 021.解得1x 0 .12点 P 横坐标的取值范围是 . 1, 121函数 yx 2 在 x1 处的导数为 ( )A2x B2dC2 D1解析:yx 2 在 x1 处的导数为 f(1),则 2d2(d0),f (1)2.1 d2 1d答案:C2一个物体的运动方程为 s1tt 2,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( )A7 米/秒 B6 米/ 秒C5 米/秒 D8 米/秒解析:1 3 d 3 d2 1 3 32d5d5(d
12、0),s(3) 5.答案:C3若曲线 yf( x)在点( x0,f(x 0)处的切线方程为 2xy 10,则( )Af(x 0)0 Bf ( x0)f (xB)Bf(x A)f( xB)Cf(x A)f(x B)D不能确定解析:由图可知,曲线在点 A 处的切线的斜率比曲线在点 B 处的切线的斜率小,结合导数的几何意义知 f(x A)f( xB),选 B.答案:B2下列说法正确的是( )A曲线的切线和曲线有且只有一个交点B过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点C若 f(x 0)不存在,则曲线 yf(x)在点( x0,f (x0)处无切线D若 yf(x) 在点 (x0,f(x 0)处有切线,则
13、 f(x 0)不一定存在解析:曲线的切线和曲线除有一个公共切点外,还可能有其它的公共点,故 A、B 错误;f( x0)不存在,曲线 yf (x)在点(x 0,f(x 0)的切线也可能存在,此时切线方程为 xx 0,故 C 错误答案:D3已知曲线 y2x 2 上一点 A(2,8),则 A 处的切线斜率为( )A4 B16C8 D2解析:曲线在点 A 处的切线的斜率就是函数 y2x 2 在 x 2 处的导数 4x(d0)2x d2 2x2d 4xd 2d2df (x) 4x.则 f(2)8.答案:C4已知曲线 C:y x 3 在点 P 处的切线斜率为 3,则点 P 的坐标为( )A(2,8) B(
14、2,8)C(1,1)或(1,1) D ( 12, 18)解析:设 P(x0,y 0),则 3x (d0),f ( x0)3x .x0 d3 x30d 20 20令 3x 3,解得 x01 或 x0 1.20P(1,1)或( 1,1)答案:C二、填空题5如果质点 M 按照规律 s 3t2 运动,则在 t3 时的瞬时速度为_解析:差商 183d18( d0)33 d2 332ds(3) 18.答案:186一物体的运动方程为 s7t 213t 8,且在 tt 0 时的瞬时速度为 1,则t0_.解析:差分7(t 0d) 213( t0d) 87t 13t 082014t 0d13d7d 2.差商 14
15、t 0137d14t 013(d0)s (t0)14t 0131.t0 1.答案:17已知函数 yf( x)的图象在点 M(1,f (1)处的切线方程是 y x2,则 f(1)f(1)12_.解析:由导数的几何意义得 f(1) ,12由切线方程得 f(1) 12 ,12 52所以 f(1)f(1)3.答案:38曲线 f(x) 在点(2,1) 处的切线方程为_2x解析: (d0)f 2 d f 2d 2 2 d 1d 1 2 d 12f (2) .故曲线在点( 2,1) 处的切线方程为 y1 (x2) ,12 12整理得 x2y40.答案:x2y40三、解答题9设质点做直线运动,已知路程 s 是
16、时间 t 的函数,s3t 22t1.(1)求从 t2 到 t2d 的平均速度,并求当 d1,d0.1 与 d0.01 时的平均速度;(2)求当 t2 时的瞬时速度解:(1)差分s (2d)s(2)3(2d) 22(2d)1(32 2221)14d3d 2,差商143d,v当 d1 时, 17;当 d0.1 时, 14.3;v v当 d0.01 时, 14.03.v(2)由(1)可知,143d14(d0),s (2)14.当 t2 时的瞬时速度为 14.10已知抛物线 y2x 21,求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45?(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4xy20?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x8y30?解:设切点的坐标为(x 0,y 0),则差分2(x 0d) 212x 1204x 0d2d 2.差商4x 02 d.当 d 无限趋近于零时,差商无限趋近于 4x0.即 f(x 0)4x 0.(1)抛物线的切线的倾斜角为 45,斜率为 tan 451.即 f(x 0)4x 01,得 x0 .14该切点为 .(14,98)(2)抛物线的切线平行于直线 4xy 20,斜率为 4,即 f(x 0)4x 0 4.得 x01.该切点为 (1,3)(3)抛物线的切线与直线 x8y 30 垂直,斜率为 8.即 f(x 0)4x 08,得 x02.该切点为(2,9)