1、1空间向量基本定理设 e1，e 2，e 3 是空间中的三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量 v 可以写成这三个向量的线性组合：vxe 1ye 2ze 3.(2)上述表达式中的系数 x，y，z 由 v 唯一决定，即：如果vxe 1ye 2ze 3x e 1ye 2ze 3，则 xx，yy，zz.2空间向量的坐标运算公式(1)加减法：(x 1，y 1，z 1)(x2，y 2，z 2)( x1x2，y 1y2，z 1z2)(2)与实数的乘法：a(x ，y，z) (ax，ay，az)(3)数量积：设 v(x ，y，z )，则| v| .x2 y2 z2(4)向量的夹角：cos v1v2|v
2、1|v2| .x1x2 y1y2 z1z2x21 y21 z21 x2 y2 z23空间向量在立体几何中的应用设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为 u，则线线平行 lmab akb，kR线面平行 l aua u0面面平行 uvu kv，kR线线垂直 lm ab ab0线面垂直 l auaku，k R面面垂直 uv uv0线线夹角 l，m 的夹角为 ，cos (0 2) |ab|a|b|线面夹角 l， 的夹角为 ，sin (0 2) |au|a|u|面面夹角 ， 的夹角为 ，cos (0 2) |u|u|其中，线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括
3、面面重合空间向量与空间位置关系例 1 如图所示，已知 PA 平面 ABCD，ABCD 为矩形，PA AD，M，N 分别为 AB，PC 的中点求证：(1)MN平面 PAD；(2)平面 PMC平面 PDC.证明 如图所示，以 A 为坐标原点， AB，AD ，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz.设 PAAD a，ABb.则有，(1)P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0) ，B(b,0,0)M，N 分别为 AB，PC 的中点，M ，N .(b2，0，0) (b2，a2，a2) ， (0,0，a) ， (0，a,0)，MN (0，a2，a2
4、) AP AD .MN 12AD 12AP 又 MN平面 PAD， MN平面 PAD.(2)由(1)可知：(b，a，a)， ，PC PM (b2，0， a)(0，a，a)PD 设平面 PMC 的一个法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，则Error!令 z1b，则 n1(2a，b， b)设平面 PDC 的一个法向量为 n2(x 2，y 2，z 2)，则Error!令 z21，则 n2(0,1,1) ，n1n20bb0，n 1n2.平面 PMC平面 PDC.(1)用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要应用直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理(2
5、)用向量法证明平行或垂直的步骤：建立空间图形与空间向量的关系 (通过取基或建立空间直角坐标系的方法)，用空间向量或以坐标形式表示问题中涉及的点、直线和平面；通过向量或坐标，研究向量之间的关系；根据的结论得出立体几何问题的结论(3)在用向量法研究线面平行或垂直时，上述判断方法不唯一，如果要证直线 l平面，只需证 la ，l，其中 l 是直线 l 的方向向量，a ；如果要证 l，只需在平面 内选取两个不共线向量 m，n ，证明Error!即可1.如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为CC1的中点，求证：A 1O平面 GBD.证明：法一
6、：设 a， b， c，A1B1 A1D1 A1A 则 ab0，b c0，ac 0， ( )A1O A1A AO A1A 12 AB AD c (ab) ，12 ba，BD AD AB ( ) (ab) c，OG OC CG 12 AB AD 12CC1 12 12 (ba)A1O BD (c 12a 12b)c(ba) (ab)(ba)12cb ca (b2a 2) (|b|2| a|2)0，12 12 .A1OBD.A1O BD 同理可证 .A1OOG.A1O OG 又 OGBD O，A1O平面 GBD.法二：如图所示，以 D 为坐标原点， DA，DC，DD 1 分别为 x 轴、y 轴、z
7、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，B(2，2,0)，A 1(2,0,2)，G(0,2,1)，O (1，1,0)，所以 (1,1，2)， (2,2,0)， (0,2,1)，A1O DB DG 则 (1,1，2)(2,2,0) 0，A1O DB ( 1,1，2)(0,2,1) 0，A1O DG 所以 ， .即 A1ODB，A 1ODG.A1O DB A1O DG 又 DBDG D，故 A1O平面 GBD.法三：以 D 为坐标原点，DA，DC，DD 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，B (2,2,0)，A 1(2,0,2)，G
8、(0,2,1)，O(1,1,0) ，所以 (1,1，2)， (2,2,0)， (0,2,1)A1O DB DG 设向量 n(x，y，z)为平面 GBD 的一个法向量，则 n ，n .DB DG 即 n 0，n 0.DB DG 所以Error!令 x1，则 y1，z2，所以 n(1，1,2)所以 n.即 n.A1O A1O 所以 A1O平面 GBD.2.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M ，N 分别为 AB，B 1C 的中点(1)用向量法证明平面 A1BD 平面 B1CD1；(2)用向量法证明 MN平面 A1BD.证明：(1)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， ， ，BD AD
9、 AB B1D1 A1D1 A1B1 又 ， ， ，AD A1D1 AB A1B1 BD B1D1 BDB1D1.同理可证 A1BD1C，又 BDA 1BB，B 1D1D 1CD 1，所以平面 A1BD平面 B1CD1.(2) ( )MN MB BC CN 12AB AD 12 CB BB1 ( )12AB AD 12 AD AA1 .12AB 12AD 12AA1 设 a， b， c，则 (abc)AB AD AA1 MN 12又 ba，BD AD AB (abc)( ba)MN BD 12 (b2a 2cbc a)12又 A1AAD，A 1AAB，c b0，ca0.又|b |a|，b 2a
10、 2.b2a 20. 0.MNBD.MN BD 同理可证 MNA1B.又 A1BBD B，MN平面 A1BD.空间向量与空间角例 2 四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA底面 ABCD，PAAD 2，点 M，N分别在棱 PD，PC 上，且 PC平面 AMN.(1)求 AM 与 PD 所成的角；(2)求二面角 PAMN 的余弦值；(3)求直线 CD 与平面 AMN 所成角的余弦值解 建立如图所示的空间直角坐标系A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(0 ，2,0)， (2,2，2)， (0,2，2)PC PD 设 M(x1，y 1，z 1)， ，PM PD 则(x 1， y
11、1，z 12)(0,2，2)x1 0， y12 ，z 122.M(0,2，22 )PC平面 AMN， ，PC AM 0.PC AM (2,2，2)(0,2 ，22)0 42(2 2)0. .M(0,1,1)12设 N(x2，y 2，z 2)， t ，PN PC 则(x 2， y2，z 22)t(2,2，2) x2 2t，y 22t，z 22t2.N(2t,2t,22t) ， 0.PC AN AN PC (2t,2t,22t)(2,2，2)0.4t 4t2(22t)0，t .N .13 (23，23，43)(1)cos ， 0，AM PD 0，1，10，2， 20 1 10 4 4AM 与 PD
12、 所成角为 90.(2)AB平面 PAD，PC平面 AMN， ， 分别是平面 PAD，平面 AMN 的法向量AB PC (2,0,0)(2,2，2) 4，AB PC | | 2，| |2 ，AB PC 3cos ， .AB PC 443 33二面角 PAMN 的余弦值为 .33(3) 是平面 AMN 的法向量，PC CD 与平面 AMN 所成角即为 CD 与 PC 所成角的余角 (2,0,0)(2,2，2)4，CD PC cos ， .CD PC 4223 33直线 CD 与 PC 所成角的正弦值为 ，63即直线 CD 与平面 AMN 所成角的余弦值为 .63(1)求异面直线所成的角：设两异面
13、直线的方向向量分别为 n1，n 2，那么这两条异面直线所成的角为 n1，n 2 或 n 1，n 2 ，cos |cosn 1，n 2|.(2)求二面角的大小：如图，设平面 ， 的法向量分别为 n1，n 2.因为两平面的法向量所成的角就等于平面 ， 所成的锐二面角 ，所以 cos |cos n 1，n 2|.(3)求斜线与平面所成的角：如图，设平面 的法向量为 n1，斜线 OA 的方向向量为 n2，斜线 OA 与平面所成的角为 ，则 sin |cosn 1，n 2|.3.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，沿对角线 AC 折起，使 D 在平面ABC 上的射影 E 恰好落在 AB 上，
14、求这时二面角 BACD 的余弦值解：如图所示，作 DGAC 于 G，BHAC 于 H.在 RtADC 中，AC 5，AD2 DC2cosDAC .ADAC 35在 RtAGD 中，AGADcosDAC3 ，35 95DG .AD2 AG29 8125 125同理，cosBCA ，CH ，BH .35 95 125 ( ) 0，AD BC AE ED BC AE BC ED BC ( )( )GD HB GA AD HC CB GA HC GA CB AD HC AD CB 3 3 0 .95 95 95 35 95 35 8125又| | | ，GD HB 14425cos ， .GD HB
15、916因此所求二面角的余弦值为 .9164.如图，ABCDA 1B1C1D1 是正四棱柱(1)求证：BD 平面 ACC1A1；(2)二面角 C1BDC 的大小为 60，求异面直线 BC1 与 AC 所成角的余弦值解：(1)证明：建立空间直角坐标系 Dxyz，如图设 ADa，DD 1b，则有 D(0,0,0)，A(a，0,0) ，B(a，a,0)，C(0，a,0) ，C 1(0，a，b)， (a，a,0)， (a，a,0)， (0,0 ，b) ，BD AC CC1 0， 0.BD AC BD CC1 BDAC，BD CC1.又 AC，CC 1平面 ACC1A1，且 ACCC 1C，BD平面 AC
16、C1A1.(2)设 BD 与 AC 相交于点 O，连接 C1O，则点 O 的坐标为 ， .(a2，a2，0) OC1 ( a2，a2，b) 0，BDC 1O.BD OC1 又 BDCO，C1OC 是二面角 C1BDC 的平面角，C1OC60，tanC1OC ，CC1OC b22a 3b a.62 (a，a,0)， (a,0，b)，AC BC1 cos ， .AC BC1 55异面直线 BC1 与 AC 所成角的余弦值为 .55(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 l
17、，且 l 的方向向量为(2 ，m, 1)，平面 的法向量为 ，则 m( )(1，12，2)A8 B5C5 D8解析：l，直线 l 的方向向量与平面 的法向量垂直2 20，m8.m2答案：A2在空间四边形 ABCD 中，连接 AC，BD ，若BCD 是正三角形，且 E 为其中心，则 的化简结果为( )AB 12BC 32DE AD A B2AB BD C0 D2 DE 解析：如图，F 是 BC 的中点，E 是 DF 的三等分点， .32DE DF ，则 12BC BF AB 12BC 32DE AD AB BF DF AD AF 0.FD AD AD AD 答案：C3在以下命题中，不正确的个数为
18、( )|a |b| a b|是 a，b 共线的充要条件；若 ab，则存在唯一的实数 ，使 ab ；对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若 2 2 ，则OP OA OB OC P，A ，B ，C 四点共面；若a，b，c为空间的一组基，则 ab，bc，ca构成空间的另一组基； |( ab)c| a|b|c|.A2 B3C4 D5解析：|a| |b| ab| a 与 b 的夹角为 ，故是充分不必要条件，故不正确；b 需为非零向量，故不正确；因为 2211，由共面向量定理知，不正确；由基的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确答案：C4直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 a， b，
19、c，则 ( )CA CB CC1 A1B Aabc BabcCabc Dabc解析： ( )ba c.A1B CB CA1 CB CA CC1 答案：D5已知四面体 ABCD 的各边长都是 a，点 E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 的值是( )AE AF Aa 2 B. a212C. a2 D. a214 34解析：由已知得 ABCD 为正四面体，因为 ( )， ，所以AE 12 AB AC AF 12AD ( ) ( )AE AF 12 AB AC 12AD 14 AB AD AC AD (a2cos 60a 2cos 60) a2.14 14答案：C6已知正四棱锥 SABCD 的侧棱
20、长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE 与 SD所成角的余弦值为( )A. B.13 23C. D.33 23解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设 A(1,0,0)，则B(0,1,0)，D(0，1,0)，AB ，SD ， SO1，2 2S(0,0,1)，E ， 1， (0，1，1) (0，12，12) AE 1212 SD cos ， ，AE SD 12 1262 2 33AE 与 SD 所成角的余弦值为 .33答案：C7在平行六面体 ABCDABCD 中，若 x 2y 3z ，则AC AB BC C C xyz 等于( )A1 B.76C. D.56 23解析：如图， ，所以A
21、C AB BC CC AB BC C C x1,2y1，3z1，所以 x1，y ，z ，因此 xyz1 .12 13 12 13 76答案：B8.如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1ABAC，ABAC，M 是CC1 的中点，Q 是 BC 的中点， P 是 A1B1 的中点，则直线 PQ 与 AM 所成的角为( )A. B.6 4C. D.3 2解析：以 A 为坐标原点，AB，AC，AA 1 所在直线为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AA1ABAC2，则 (0,2,1)，AM Q(1,1,0)，P (1,0,2)， (0，1,2)，所以 0 ，所以 QP 与 A
22、M 所成角为 .QP QP AM 2答案：D9如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB BC2，AA 11，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( )A. B.63 255C. D.155 105解析：以 D 点为坐标原点，以 DA，DC，DD 1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，B(2,2,0) ，C(0,2,0)，C 1(0,2,1)， (2,0,1)， (2,2,0)，且 为平面 BB1D1D 的一个法向量BC1 AC AC cos ， .BC1 AC 45 8 105BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值
23、为 .105答案：D10已知 (1,2,3)， (2,1,2)， (1,1,2) ，点 Q 在直线 OP 上运动，则当OA OB OP 取得最小值时，点 Q 的坐标为( )QA QB A. B.(12，34，13) (12，32，34)C. D.(43，43，83) (43，43，73)解析：Q 在 OP 上，可设 Q(x，x, 2x)，则 (1x，2x,32x) ， QA (2x,1x,22x )QB 6x 216x 10， x 时， 取得最小值，这时 Q .QA QB 43 QA QB (43，43，83)答案：C11.如图，在四面体 PABC 中，PC平面ABC，ABBC CAPC ，那
24、么二面角 BAPC 的余弦值为 ( )A. B.22 33C. D.77 57解析：如图，作 BDAP 于点 D，作 CEAP 于点 E.设 AB1，则易得CE ，EP ，PAPB ，可以求得 BD ，ED .22 22 2 144 24 ，BC BD DE EC 2 2 2 22 2 2 ，BC BD DE EC BD DE DE EC EC BD ，cos ， .EC BD 14 BD EC 77故二面角 BAPC 的余弦值为 .77答案：C12.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面 ABC 为正三角形，且侧棱AA1底面 ABC，且底面边长与侧棱长都等于 2，O，O 1 分别为AC
25、，A 1C1 的中点，则平面 AB1O1 与平面 BC1O 间的距离为( )A. B.355 255C. D.55 510解析：如图，连接 OO1，根据题意，OO 1底面 ABC，则以 O 为原点，分别以 OB，OC，OO 1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系AO1OC1，OBO 1B1，AO 1O 1B1O 1，OC 1OB O ，平面AB1O1平面 BC1O.平面 AB1O1 与平面 BC1O 间的距离即为 O1 到平面 BC1O 的距离 O(0，0,0)，B( ，0,0)，C 1(0,1,2)，O 1(0,0,2)， ( ，0,0) ， (0,1,2)，3 OB 3 OC1
26、 (0,0,2)，设 n(x ，y，z) 为平面 BC1O 的法向量，则 n 0，x0.又OO1 OB n 0，y 2z 0，可取 n(0,2 ，1)点 O1 到平面 BC1O 的距离记为 d，则 dOC1 .平面 AB1O1 与平面 BC1O 间的距离为 .25 255 255答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13若空间三点 A(1,5，2)，B(2,4,1)，C (p,3，q)共线，则 pq_.解析：由已知得 (1， 1,3)， (p1，2，q2)，因为 ，所以AB AC AB AC ，所以 p3，q4，故 pq7.p 11 2 1
27、 q 23答案：714.已知空间四边形 OABC，如图所示，其对角线为OB，AC ，M ， N 分别为 OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且3 ，现用基向量 ， ， 表示向量 ，并设 xMG GN OA OB OC OG OG y z ，则 x， y，z 的和为_OA OB OC 解析： OG OM MG 12OA 34MN 12OA 34 12OA 38OA 34OC 38OB 38OC ，18OA 38OB 38OC x ， y ，z .18 38 38x yz .78答案：7815已知空间三点 O(0,0,0)， A(1,1,0)，B(0,1,1) ，在直线 OA 上有一点
28、 H 满足BHOA，则点 H 的坐标为_解析：由 (1,1,0)，且点 H 在直线 OA 上，OA 可设 H( ， ，0) ，则 (，1，1)BH 又 BHOA， 0，即 (，1，1)( 1,1,0)0，即 10，解得BH OA ，12H .( 12，12，0)答案： ( 12，12，0)16.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，底面ABC 是等腰直角三角形，ACB90 ，侧棱 AA12，D，E 分别是CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G.则A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值为_解析：以 C 为坐标原点，CA 所在的
29、直线为 x 轴，CB 所在的直线为 y 轴，CC 1 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示设 CACBa，则 A(a,0,0)，B(0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)，E，G ，(a2，a2，1) (a3，a3，13) ， (0 ， a,1)GE (a6，a6，23) BD 点 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的重心 G， 平面 ABD， 0，解得 a2.GE GE BD ， (2 ，2,2) ，GE (13，13，23) BA1 平面 ABD， 为平面 ABD 的一个法向量GE GE 又 cos ， ，GE BA1 4363 23 23A1B 与平面
30、ABD 所成角的正弦值为 .23答案：23三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知向量 a(1，3,2) ，b(2,1,1)，点 A(3，1,4)，B( 2，2,2) (1)求|2 ab| ；(2)在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得 b？(O 为原点)OE 解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1) (0，5,5) ，故|2 ab| 5 .02 52 52 2(2) tOE OA AE OA AB (3，1,4)t(1 ，1， 2)(3t，1t,42t)若 b，则 b0，OE OE 所以2(3t)(
31、1t) (42t )0，解得 t ，95因此存在点 E，使得 b，OE 此时 E 点坐标为 .( 65， 145，25)18(本小题满分 12 分)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AB ADAA 11，BAD60 ，BAA 1DAA 145.(1)求| |；BD1 (2)求证：BD 平面 ACC1A1.解：(1) BD1 BA BC BB1 | |2( )2 2 2 22( BD1 BA BC BB1 BA BC BB1 BA BC BA BB1 )1 112 2，BC BB1 ( 12 22 22)| | .BD1 2(2)证明： ，BD AD AB ( )0，AA1 BD
32、 AA1 AD AB BDAA1，又 BDAC，AA 1ACA，所以 BD平面 ACC1A1.19(本小题满分 12 分)如图，已知点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的对角线 BD1 上，PDA60.(1)求 DP 与 CC1 所成角的大小；(2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小解：如图，以 D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则 (1,0,0)， (0,0,1)连接 BD，B 1D1.DA CC1 在平面 BB1D1D 中，延长 DP 交 B1D1 于 H.设 (m，m,1)( m0)，DH 由已知 ， 60，DH DA 由 | | |cos ， ，D
33、H DA DA DH DA DH 可得 2m .2m2 1解得 m ，所以 .22 DH ( 22，22，1)(1)因为 cos ， ，DH CC1 22 0 22 0 1112 22所以 ， 45.DH CC1 即 DP 与 CC1 所成的角为 45.(2)平面 AA1D1D 的一个法向量是 (0,1,0)DC 因为 cos ， ，DH DC 22 0 22 1 1012 12所以 ， 60，DH DC 可得 DP 与平面 AA1D1D 所成的角为 30.20(本小题满分 12 分)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点(1)求直线 BE 和平面 ABB1
34、A1 所成的角的正弦值；(2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论解：设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1.如图所示，以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角坐AB AD AA1 标系(1)依题意，得 B(1,0,0)，E ，A (0,0,0)，D(0,1,0)，所以(0，1，12) ， (0,1,0)BE ( 1，1，12) AD 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，因为 AD平面 ABB1A1，所以 是平面 ABB1A1 的一个法向量，AD 设直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角为 ，则sin .1321 23即直线 BE 和平面
35、ABB1A1 所成的角的正弦值为 .23(2)依题意，得 A1(0,0,1)，(1,0,1)， .BA1 BE ( 1，1，12)设 n(x，y，z)是平面 A1BE 的一个法向量，则由 n 0，n 0，BA1 BE 得Error!所以 xz，y z.12取 z2，得 n(2,1,2) 设 F 是棱 C1D1 上的点，连接 B1F，则 F(t,1,1)(0t 1) ，又 B1(1,0,1)，所以 (t1,1,0)B1F 而 B1F平面 A1BE，于是 B1F平面 A1BE n0(t1,1,0)(2,1,2)0 2(t1) 10 t F 为B1F 12C1D1 的中点这说明在棱 C1D1 上存在
36、点 F(C1D1 的中点) ，使 B1F平面 A1BE.21(本小题满分 12 分)(2017全国卷)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABDCBD ，AB BD.(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值解：(1)证明：由题设可得，ABDCBD，从而 ADDC.又ACD 是直角三角形，所以ADC90.取 AC 的中点 O，连接 DO，BO ，则 DOAC，DOAO .又因为ABC 是正三角形，所以 BOAC.所以DOB 为二面角 DA
37、CB 的平面角在 Rt AOB 中，BO 2AO 2AB 2.又 ABBD ，所以 BO2DO 2BO 2AO 2AB 2BD 2，故DOB90.所以平面 ACD平面 ABC.(2)由题设及(1)知，OA，OB， OD 两两垂直以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，| |为单位长度，建立如图所示的空间OA OA 直角坐标系 Oxyz，则 A(1,0,0)，B(0， ，0)，C(1,0,0) ， D(0,0,1)3由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，从而 E 到平面 ABC 的距12离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，即 E 为 DB 的中点，得 E .故
38、( 1,0,1)，12 (0，32，12) AD ( 2,0,0)， .AC AE ( 1，32，12)设 n(x 1，y 1，z 1)是平面 DAE 的法向量，则 即Error!可取 n .(1，33，1)设 m(x 2，y 2，z 2)是平面 AEC 的法向量，则 即Error!可取 m(0，1， )3则 cosn，m .nm|n|m| 33 3213 2 77由图知二面角 DAEC 为锐角，所以二面角 DAEC 的余弦值为 .7722.(本小题满分 12 分)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O，AB 5，AC 6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE CF ，E
39、F 交54BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置，OD .10(1)证明：DH平面 ABCD；(2)求二面角 BDAC 的正弦值解：(1)证明：由已知得 ACBD，AD CD.又由 AECF， 得 ，AEAD CFCD故 ACEF.因此 EFHD，从而 EFDH.由 AB5，AC 6，得 DO BO 4.AB2 AO 2由 EFAC，得 .OHDO AEAD 14所以 OH1，DHDH3.于是 DH 2OH 23 21 210D O 2，故 DHOH.又 DHEF，而 OHEFH ，所以 DH平面 ABCD.(2)如图，以 H 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建HF 立空间直角坐标系 Hxyz，则 H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0， 5,0)，C (3，1,0)，D (0,0,3)，故 (3，4,0)， (6,0,0)， (3,1,3) AB AC AD 设 m(x 1，y 1，z 1)是平面 ABD的法向量，则 即Error!所以可取 m(4,3，5)设 n(x 2，y 2，z 2)是平面 ACD的法向量，则 即Error!所以可取 n(0，3,1)于是 cosm，n .mn
