1、1圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为 Ax2By 2 1(A0，B0，AB)；双曲线方程为 Ax2By 21( AB0，b0) 的一条渐近线方程为x2a2 y2b2y x，且与椭圆 1 有公共焦点，则 C 的方程为( )52 x212 y23A. 1 B. 1x28 y210 x24 y25C. 1 D. 1x25 y24 x24 y23解析：根据双曲线 C 的渐近线方程为 y x，52可知 .ba 52又椭圆 1 的焦点坐标为(3,0)和(3,
2、0) ，x212 y23所以 a2b 29.根据可知 a24，b 25，所以 C 的方程为 1.x24 y25答案：B4抛物线 y22px (p0)上有 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF|，| BF|，|CF| 成等差数列，则( )Ax 1，x 2，x 3 成等差数列By 1， y2，y 3 成等差数列Cx 1， x3，x 2 成等差数列Dy 1，y 3，y 2 成等差数列解析：由抛物线定义：|AF| AA| ， |BF|BB|， |CF|CC|.2|BF|AF|CF|，2|BB|AA | |CC |.又 |AA|x 1 ，|BB|x
3、 2 ，|CC| x 3 ，p2 p2 p22 x 1 x 3 2x2x 1x 3.(x2 p2) p2 p2答案：A直线与圆锥曲线的位置关系例 3 已知椭圆的一个顶点为 A(0，1)，焦点在 x 轴上，若右焦点到直线xy2 0 的距离为 3.2(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线 ykxm(k0)相交于不同的两点 M，N，当|AM| |AN| 时，求 m 的取值范围解 (1)依题意可设椭圆方程为 y 21(a1)，x2a2则右焦点 F( ，0)，a2 1由题设，知 3，| a2 1 22|2解得 a23，故所求椭圆的方程为 y 21.x23(2)设点 P 为弦 MN 的中点，由Error!
4、得(3k 2 1)x2 6mkx3( m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，所以 0，即 m2m2，解得 00，2m 13解得 m ，12故所求 m 的取值范围是 .(12，2)讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于 x(或 y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1x 2，x 1x2(或 y1y 2，y 1y2)进而解决了与“距离” “中点 ”等有关的问题5设抛物线 y24x 截直线 y2xk 所得弦长| AB|3 .5(1)求 k 的值；(2)以弦 AB 为底边，x 轴上的 P 点为顶点组成的三角形面积为 39 时，求点
5、P 的坐标解：(1)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)由Error!得 4x24( k1)xk 20，16(k1) 216k 20，k .12又由根与系数的关系有 x1x 21k ，x 1x2 ，k24|AB| x1 x22 y1 y22 1 22 x1 x22 4x1x2 ，5 1 2k即 3 ， k4.51 2k 5(2)设 x 轴上点 P(x,0)，P 到 AB 的距离为 d，则 d ，|2x 0 4|5 |2x 4|5SPAB 3 39，12 5|2x 4|5|2x4|26， x15 或 x11.P 点坐标为(15,0) 或(11,0).圆锥曲线中的定点、定值、最值问题例 4
6、 (2017全国卷)已知椭圆 C： 1(a b0)，四点 P1(1,1)，P 2(0，1)，P 3x2a2 y2b2，P 4 中恰有三点在椭圆 C 上( 1，32) (1，32)(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点解析 (1)由于 P3，P 4 两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3， P4 两点又由 知，椭圆 C 不经过点 P1，1a2 1b2 1a2 34b2所以点 P2 在椭圆 C 上因此Error!解得Error!故椭圆 C 的方程为 y 21.x24(2)证
7、明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k 2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x t，由题设知 t0，且| t|0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .8km4k2 1 4m2 44k2 1而 k1k 2 y1 1x1 y2 1x2 kx1 m 1x1 kx2 m 1x2 .2kx1x2 m 1x1 x2x1x2由题设 k1k 21，故(2k 1)x1x2(m1)(x 1x 2)0.即(2k 1) (m1) 0.4m2 44k2 1 8km4k2 1解得 k .m 12当且仅当 m 1 时，0，于是 l：y xm ，即 y1 (x2
8、)，所以 lm 12 m 12过定点(2 ，1)(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数 ”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法” (2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决6设椭圆 1 上的动点 P(x，y )，点 A(a,0)(0a3)若|AP|的最小值为 1，求x29 y24a 的值解：|AP|
9、 2( x a)2y 2(x a)24 (1 x29) 2 4.59(x 9a5) 4a25因为 1 ，所以 1,0 |x| 3.x29 y24 x29(1)当 0 3，即 0a 时，9a5 53x ，|AP| 2 取最小值 4 1.9a5 4a25解得 a .因为 ，所以 a 不存在152 152 53(2)当 3，即 a3 时，9a5 53x3，|AP| 2 取最小值 24 1.59(3 9a5) 4a25解得 a2 或 a4(舍)所以，当 a2 时，|AP|的最小值为 1.7过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴
10、，证明：直线 AC 经过原点 O.证明：如图所示抛物线 y22px(p0)的焦点为F ，(p2，0)经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 xmy ，代入抛物线方程得 y22pmy p 20，p2设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1，y 2 是该方程的两个根，y1y2p 2，BCx 轴，且点 C 在准线 x 上，p2点 C 的坐标为 ，( p2，y2)故直线 CO 的斜率 k ，y2 p2 2y2p y1x1即 k 也是直线 OA 的斜率，直线 AC 经过原点 O.(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小
11、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2017浙江高考)椭圆 1 的离心率是( )x29 y24A. B.133 53C. D.23 59解析：根据题意知，a3，b2，则 c ，椭圆的离心率 e .a2 b2 5ca 53答案：B2如果方程 x2ky 22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是( )A(1，) B(1,2)C. D(0,1)(12，1)解析：由 x2ky 22，得 1，x22 y22k又 椭圆的焦点在 y 轴上， 2，即 0k 1.2k答案：D3若抛物线 x22ay 的焦点与椭圆 1 的下焦点重合，则 a 的值为( )x23 y24A2 B2C4
12、D4解析：椭圆 1 的下焦点为(0，1)，x23 y24 1，即 a2.a2答案：A4 是任意实数，则方程 x2y 2sin 4 的曲线不可能是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：由于 R，对 sin 的值举例代入判断sin 可以等于 1，这时曲线表示圆，sin 可以小于 0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于 0 且小于 1，这时曲线表示椭圆答案：C5已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C：y 28x 的焦12点重合，A ，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB| ( )A3 B6C9 D12解析：抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，椭圆中 c
13、2，又 ，a4，b 2a 2c 212，ca 12从而椭圆的方程为 1.x216 y212抛物线 y28x 的准线为 x2，xAx B2，将 xA2 代入椭圆方程可得| yA|3，由图象可知|AB|2| yA|6.故选 B.答案：B6设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1,0)，过 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，若直线 l 的倾斜角为 45，则弦 AB 的中点坐标为( )A(1,0) B(2,2)C(3,2) D(2,4)解析：依题意得，抛物线 C 的方程是 y24x，直线 l 的方程是 yx1.由Error!消去 y得(x1) 24x，即 x26x10.因此
14、线段 AB 的中点的横坐标是 3，纵坐标是 y312.所以线段62AB 的中点坐标是 (3,2)答案：C7过双曲线 1(a0，b0)的左焦点 F(c,0)(c0)作圆 x2y 2 的切线，切点x2a2 y2b2 a24为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 ( )，则双曲线的离心率为( )OE 12 OF OP A. B.102 105C. D.10 2解析：设双曲线右焦点为 M， OEPF，在直角三角形 OEF 中，|EF| .又c2 a24 ( )，OE 12 OF OP E 是 PF 的中点 |PF|2 ，|PM |a.c2 a24又|PF| |PM| 2a，2 a2a.c2 a2
15、4离心率 e .ca 102答案：A8已知| | 3，A ，B 分别在 y 轴和 x 轴上运动，O 为原点，AB ，则动点 P 的轨迹方程是( )OP 13OA 23OB A. y 21 Bx 2 1x24 y24C. y 21 Dx 2 1x29 y29解析：设 P(x，y) ，A(0，y 0)， B(x0,0)，由已知得(x，y) (0，y 0) (x0,0)，13 23即 x x0，y y0，所以 x0 x，y 03y.23 13 32因为| |3，所以 x y 9，AB 20 20即 2(3y) 29，(32x)化简整理得动点 P 的轨迹方程是 y 21.x24答案：A9已知双曲线 1
16、 的左、右焦点分别是 F1，F 2，P 是双曲线上的一点，若x29 y216|PF1|7 ，则 PF1F2 最大内角的余弦值为( )A B.17 17C. D.59117 1113解析：由双曲线定义知|PF 2|PF 1|2a.所以|PF 2|13 或| PF2|10)与直线 l：xy1 相交于两个不同的点，则双曲线x2a2C 的离心率 e 的取值范围为 ( )A.(62，2)B( ，)2C.(62， )D. ( ，)(62，2) 2解析：由Error!消去 y 并整理得(1a 2)x22a 2x2a 20.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则 1a 20a 21，且此时 4a 2(2a 2
17、)0a20)，圆的方程为 x2 y2r 2.|AB|4 ，|DE|2 ，2 5抛物线的准线方程为 x ，p2不妨设 A ，D .(4p，22) ( p2，5)点 A ， D 在圆 x2y 2r 2 上，(4p，22) ( p2，5)Error! 8 5，p4(负值舍去) 16p2 p24C 的焦点到准线的距离为 4.答案：B12已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 1(a b0)的左焦点，A，B 分别为 C 的x2a2 y2b2左、右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为
18、( )A. B.13 12C. D.23 34解析：如图所示，由题意得 A(a,0) ，B(a,0)，F( c, 0)设 E(0，m)，由 PFOE，得 ，|MF|OE| |AF|AO|则|MF | .ma ca又由 OEMF，得 ，12|OE|MF| |BO|BF|则|MF | .ma c2a由得 ac (ac)，即 a3c，e .12 ca 13答案：A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13已知 F1，F 2 为椭圆 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，若x225 y29|F2A| AB|6，则 |F2B|_.解析：由椭
19、圆定义知|F 1A| F2A|F 1B|F 2B|2a10，所以|F1A|10 | F2A|4，|F 1B| |AB| F1A|2，故| F2B|10 | F1B|8.答案：814已知点 P 是抛物线 y22x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A 的坐标是，则| PA| PM|的最小值是 _(72，4)解析：设抛物线焦点为 F，则|PM |PF | ，12|PA|PM| |PA|PF| .当且仅当 A，P，F 共线时|PA| PF|取最小值为|AF|5，12|PA|PM| 最小值为 .92答案：9215设 F1，F 2 分别是椭圆 1 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M
20、的坐标x225 y216为(6,4)，则|PM | PF1|的最大值为_解析：由椭圆的定义知|PF1| PF2|10 ，|PF 1|10 |PF2|，| PM| PF1|10|PM| |PF 2|，易知 M 点在椭圆外，连接 MF2 并延长交椭圆于点 P，此时| PM| PF2|取最大值| MF2|，故|PM|PF 1|的最大值为10| MF2|10 15.6 32 42答案：1516已知动点 P 与双曲线 x2y 21 的两个焦点 F1，F 2 的距离之和为定值，且cosF 1PF2 的最小值为 ，则动点 P 的轨迹方程为_13解析：x 2y 21，c .2设|PF 1| |PF2| 2a(
21、常数 a0)，2a2c2 ，2a .2由余弦定理有cosF1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2|PF1| |PF2|2 2|PF1|PF2| |F1F2|22|PF1|PF2| 1，2a2 4|PF1|PF2|PF1|PF2| 2a 2，(|PF1| |PF2|2 )当且仅当|PF 1| PF2|时，|PF1|PF2|取得最大值 a2.此时 cosF1PF2 取得最小值 1.2a2 4a2由题意 1 ，解得 a23，2a2 4a2 13b2 a2c 23 21.P 点的轨迹方程为 y 21.x23答案： y 21x23三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分
22、，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 2 ，MN MP ，当点 P 在 y 轴上运动时，求 N 点的轨迹 C 的方程PM PF 解： 2 ，故 P 为 MN 中点MN MP 又 ，P 在 y 轴上，F 为(1,0)，PM PF 故 M 在 x 轴的负方向上设 N(x，y)，则 M(x, 0)，P ，(x0)(0，y2) ， .PM ( x， y2) PF (1， y2) ， 0 ，即x 0.PM PF PM PF y24y2 4x(x0)是轨迹 C 的方程18(本小题满分 12 分)已知双曲线
23、 C 的两个焦点坐标分别为 F1(2,0)，F 2(2,0)，双曲线 C 上一点 P 到 F1，F 2 距离差的绝对值等于 2.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A，B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方程解：(1)依题意，得双曲线 C 的实半轴长为 a1，焦半距为 c2，所以其虚半轴长 b .c2 a2 3又其焦点在 x 轴上，所以双曲线 C 的标准方程为 x2 1.y23(2)设 A， B 的坐标分别为(x 1，y 1)，( x2，y 2)，则Error!两式相减，得 3(x1 x2)(x1x 2)(y 1y 2)(
24、y1y 2)0.因为 M(2,1)为 AB 的中点，所以Error!所以 12(x1x 2)2( y1y 2) 0，即 kAB 6.y1 y2x1 x2故 AB 所在直线 l 的方程为 y16(x2) ，即 6xy110.19(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y 22 px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求 ；|OH|ON|(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由解：(1)如图，由已知得 M(0，t)，P .(t22p，t)又 N 为 M
25、 关于点 P 的对称点，故 N ，(t2p，t)故直线 ON 的方程为 y x，pt将其代入 y22px 整理得 px22t 2x0，解得 x10，x 2 .因此 H .2t2p (2t2p，2t)所以 N 为 OH 的中点，即 2.|OH|ON|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点理由如下：直线 MH 的方程为 yt x，即 x (yt)p2t 2tp代入 y22px 得 y24ty 4t 20，解得 y1y 22t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点20(本小题满分 12 分)设 F1，F 2 分别是椭圆 C： 1(
26、ab0)的左、右焦点，Mx2a2 y2b2是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；34(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN| 5|F 1N|，求 a，b.解：(1)根据 a2b 2c 2 及题设知 M ， ，得 2b23ac.(c，b2a)b2a2c 34将 b2a 2c 2 代入 2b23ac ，解得 ， 2(舍去)ca 12 ca故 C 的离心率为 .12(2)设直线 MN 与 y 轴的交点为 D，由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF 2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴
27、的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点，故 4，即 b24a.b2a由|MN | 5|F1N|得| DF1|2|F 1N|.设 N(x1，y 1)，由题意知 y10，则Error!即Error!代入 C 的方程，得 1.9c24a2 1b2将及 a2b 2c 2 代入得 1.9a2 4a4a2 14a解得 a7，b 24a28，故 a7，b2 .721(本小题满分 12 分)已知抛物线 C：y 22px(p0) 过点 A(1，2)(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的
28、距离等于 ？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，说明理由55解：(1)将(1 ， 2)代入 y22px，得(2) 22p1 ，所以 p2.故所求抛物线 C 的方程为 y24x，其准线方程为 x1.(2)假设存在符合题意的直线 l，设其方程为 y2x t，由Error!消去 x，得 y22y 2 t0.因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 48t0，解得 t .12由直线 OA 与 l 的距离 d 可得 ，55 |t|5 15解得 t1.因为1 ，1 ， 12， ) 12， )所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2xy10.22(2017全国卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆
29、C： y 21 上，过 M 作 x 轴x22的垂线，垂足为 N，点 P 满足 .NP 2 NM (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 COP PQ 的左焦点 F.解：(1)设 P(x， y)，M( x0，y 0)，则 N(x0,0)， (x x 0，y)， (0 ，y 0)NP NM 由 ，得 x0x，y 0 y.NP 2NM 22因为 M(x0，y 0)在椭圆 C 上，所以 1.x22 y22因此点 P 的轨迹方程为 x2y 22.(2)证明：由题意知 F(1,0)设 Q(3，t)，P( m，n)，则 (3，t)， ( 1m，n) ，OQ PF 33mtn，OQ PF (m，n) ， ( 3m ，tn)OP PQ 由 1，得3mm 2tn n 21，OP PQ 又由(1)知 m2 n22，故 3 3mtn 0.所以 0，即 .OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
