1、2.2 双曲线22.1 双曲线的定义与标准方程读教材填要点1双曲线的定义平面上到两个定点 F1，F 2 的距离之差的绝对值为大于 0 的定值(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫作双曲线这两个定点 F1，F 2 叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2焦点坐标 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0，c)，F 2(0，c)a，b，c的关系c2a 2b 2小问题大思维1双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F 1F2|？若定值等于 |F1F
2、2|或等于 0 或大于|F1F2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F 1F2|，此时动点的轨迹是以 F1，F 2 为端点的两条射线( 包括端点)(2)如果定义中定值为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线(3)如果定义中定值改为大于|F 1F2|，此时动点轨迹不存在2在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差” ，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是是双曲线的一支3若方程 1 表示双曲线，m ，n 应满足什么条件？x2m y2n提示：若方程 1 表示双曲线，则 mn0.x2m y2n双曲线定义的应用在ABC 中，已知|AB| 4 ，且三内角 A，B，
3、C 满足 sin Bsin A sin 212C，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线自主解答 如图所示，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A(2 ，0) ，B(2 ，0) 2 2由正弦定理得 sin A ，a2Rsin B ，sin C .b2R c2Rsin Bsin A sin C，12b a .c2从而有|CA| |CB| |AB|2 |AB|.12 2由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支a ，c2 ，2 2b2 c2a 26.顶点 C 的轨迹方程为 1(x )x22 y26 2故 C 点的轨迹为双曲线
4、的右支且除去点( ，0)2解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于 0 小于两定点间的距离同时具备这两个条件才是双曲线1已知 F1，F 2 分别是双曲线 1 的左、右焦点，若 P 是双曲线左支上的点，x29 y216且|PF 1|PF2| 32.试求F 1PF2 的面积解：因为 P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|PF 1|6，两边平方得|PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2|36，所以|PF 1|2|PF 2|2362| PF1|PF2|36232100.在F 1PF2 中，由余弦定理，得 cosF1PF2 0，所以F 1PF290，|PF
5、1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 100 1002|PF1|PF2|所以 SF1PF2 |PF1|PF2| 3216.12 12求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)c ，经过点(5,2)，焦点在 x 轴上；6(2)过点 P ，Q 且焦点在坐标轴上(3，154) ( 163，5)自主解答 (1)焦点在 x 轴上，c ，6设所求双曲线方程为 1(其中 00)，x216 y2b2把 A 点的坐标代入，得 b2 0)，y216 x2b2把 A 点的坐标代入，得 b29，所求双曲线的标准方程为 1.y216 x29(2)设双曲线的方程为 mx2ny 21( m
6、n0，即10，解得m 20，且y2m x29m95 2，解得 m16.答案：166已知双曲线的两个焦点分别为 F1(3,0) 和 F2(3,0)，且 P 在双曲线右支上，则(52，1)该双曲线的方程是_解析：法一：利用双曲线定义2a|PF 1| PF2| 1214 1 14 1 2 ，552 52 5a ，b 2c 2a 24.5故所求方程为 1.x25 y24法二：待定系数法设双曲线方程为 1，x2a2 y29 a2则有 1，254a2 19 a24a465a 22250.a2 5 或 a2 9(舍去)454双曲线方程为 1.x25 y24答案： 1x25 y247在平面直角坐标系 xOy
7、中，已知双曲线 1 上一点 M 的横坐标为 3，则点x24 y212M 到此双曲线的右焦点的距离为_解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点 M 的坐标为(3， )或(3， )，则15 15点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4.答案：48已知 F 是双曲线 1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则x24 y212|PF| PA|的最小值为 _解析：设右焦点为 F1，依题意，|PF| PF1|4，|PF|PA| PF1|4|PA|PF 1| |PA| 4|AF 1| 4549.答案：9三、解答题9若方程 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，求实数 m 的取值范x25 m y
8、2m2 2m 3围解： 方程 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，x25 m y2m2 2m 3Error!即Error!m 5.即 m 的取值范围是(5，)10已知双曲线过点(3，2)且与椭圆 4x29y 236 有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点 M 在双曲线上， F1， F2 是双曲线的左、右焦点，且| MF1|MF 2|6 ，试判断3MF 1F2 的形状解：(1)椭圆的方程可化为 1，焦点在 x 轴上，且 c .故可设双曲线x29 y24 9 4 5方程为 1(a0，b0) 依题意得Error!解得 a23，b 22.x2a2 y2b2故双曲线的标准方程为 1.x23 y22(2)不妨设 M 在双曲线的右支上，则有|MF 1|MF 2|2 .3又|MF 1|MF 2|6 ，3解得|MF 1|4 ，| MF2|2 .3 3又|F 1F2|2c2 ，5因此在MF 1F2 中，|MF 1|边最长，由余弦定理可得 cosMF2F1|MF2|2 |F1F2|2 |MF1|22|MF2|F1F2| 0.232 252 43222325 215所以MF 2F1 为钝角，故MF 1F2 是钝角三角形
