1、(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1把复数 z 的共轭复数记作 ，i 为虚数单位若 z1i ，则(1 z) ( )z z A3i B3iC13i D3解析：(1z) (2i)(1i)3i.z 答案：A2复数 ( )3 2i2 3iAi BiC1213i D1213i解析： i.3 2i2 3i 3 2ii2 3ii 3 2ii3 2i答案：A3(北京高考)若复数(1 i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )A(，1) B(，1)C(1，) D
2、( 1，)解析：因为 z(1i)(ai)a1(1 a)i ，所以它在复平面内对应的点为(a1,1a) ，又此点在第二象限，所以Error!解得 a1.答案：B4已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z 等于( )z 21 iA2i BiCi D2i解析：设 zbi(b0)，则 .z 21 i 2 bi1 i 2 bi1 i2 2 b 2 bi2 是实数，2b0.z 21 ib2， z2i.答案：D5设 z1i(i 是虚数单位)，则 z 2( )2zA1i B1iC1i D1i解析： z 2 (1i) 21i 2i 1i.2z 21 i答案：D6已知复数 z12ai(aR)，z 212i ，若 为
3、纯虚数，则| z1|( )z1z2A. B.2 3C2 D. 5解析：由于 z1z2 2 ai1 2i 2 ai1 2i1 2i1 2i 为纯虚数，则 a1，2 2a 4 ai5则|z 1| ，故选 D.5答案：D7若 z1(2x1)y i 与 z23xi(x ，yR)互为共轭复数，则 z1 对应的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由 z1，z 2 互为共轭复数，得Error!解得Error!所以 z1(2x1)y i3i.由复数的几何意义知 z1 对应的点在第三象限答案：C8(全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数 z 满足 R，则 zR ；1zp2：若复数 z 满
4、足 z2R ，则 zR；p3：若复数 z1，z 2 满足 z1z2R，则 z1 2；zp4：若复数 zR，则 R.z其中的真命题为( )Ap 1，p 3 Bp 1，p 4Cp 2，p 3 Dp 2，p 4解析：设复数 zabi(a，bR)，对于 p1， R， b0，zR ，p 1 是真命题；1z 1a bi a bia2 b2对于 p2，z 2 (abi) 2a 2b 22abi R，ab0， a0 或 b0，p 2 不是真命题；对于 p3，设 z1xy i(x，yR)，z 2cdi(c，d R)，则 z1z2(xyi)(cdi)cx dy(dxcy)iR，dxcy0，取 z112i，z 21
5、2i，z 1 2，p 3 不是真命题；z对于 p4，z a biR ，b0， abia R，p 4 是真命题z答案：B9若复数 z1i(i 为虚数单位 )， 是 z 的共轭复数，则 z2 2 的虚部为( )z z A0 B1C1 D2解析：因为 z1i，所以 1i ，z 所以 z2 2(1i) 2(1i) 22i 2i0.z 故 z2 2 的虚部为 0.z 答案：A10定义运算 adbc ，则符合条件 42i 的复数 z 为( )|a bc d| |1 1z zi|A3i B13iC3i D13i解析：由定义知 z i z，|1 1z zi|得 ziz42i，即 z 3i.4 2i1 i答案：
6、A11ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1，z 2，z 3，复数 z 满足| zz 1| zz 2| |zz 3|，则 z 对应的点是 ABC 的( )A外心 B内心C重心 D垂心解析：设复数 z 与复平面内的点 Z 相对应，由ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z1，z 2，z 3 及|zz 1|zz 2| |zz 3|可知点 Z 到ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点 Z 即为ABC 的外心答案：A12若 1 i 是关于 x 的实系数方程 x2bx c0 的一个复数根，则 ( )2Ab2，c3 Bb2，c 3Cb2，c 1 Db2，c1解析：因为 1 i 是实系数
7、方程的一个复数根，2所以 1 i 也是方程的根，2则 1 i1 i2b，(1 i)(1 i)3c，2 2 2 2解得 b2，c3.答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填写在题中横线上)13i 是虚数单位， 2 018 6_.(21 i) (1 i1 i)解析：原式 1 009 6 1 009i 6i 1009i 6(21 i)2 (1 i1 i) ( 2 2i)i 42521 i 42 ii 21i.答案：1i14若复数 z 满足方程 ii1，则 z_.z解析： ii 1，z (i 1)( i) 1i.zi 1iz 1 i.答案：1i15已知复数 z12
8、3i，z 2 abi ，z 314i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B ，C .若 2 ，则 a_，b_.OC OA OB 解析： 2 OC OA OB 1 4i2(23i)(abi)即Error! Error!答案：3 1016设 z1 是复数，z 2z 1i 1(其中 1 表示 z1 的共轭复数)，已知 z2 的实部是 1，则 z zz2 的虚部是 _解析：设 z1abi(a，bR)，则 1abi，zz2 a bii(abi)(ab)(ab)i.由已知得 ab1.z2 的虚部为1.答案：1三、解答题(本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(
9、本小题满分 10 分)已知复数 z123i ，z 2 .求： (1)z1z2；(2) .15 5i2 i2 z1z2解：z 2 13i.15 5i2 i2(1)z1z2 (23i)(13i)79i.(2) i.z1z2 2 3i1 3i 1110 31018(本小题满分 12 分)已知 z1(xy)( x2xy2y)i，z 2(2 xy)( yxy)i，问x，y 取什么实数值时，(1)z1，z 2 都是实数；(2)z1，z 2 互为共轭复数解：(1)由题意得Error!解得Error!或Error!所以当Error!或Error!时，z 1，z 2 都是实数(2)由题意得Error!解得Err
10、or!或Error!所以当Error!或Error!时，z 1，z 2 互为共轭复数19(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足(12i) 43i.z(1)求复数 z；(2)若复数(za i)2 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围解：(1)(1 2i) 43i，z 2i ，z4 3i1 2i 4 3i1 2i1 2i1 2i 10 5i5z 2 i.(2)由(1)知 z2i，则(zai) 2(2 i ai) 22 (a1)i 24(a1) 24(a1)i ，复数 (zai) 2 在复平面内对应的点在第一象限，Error!解得1 a1，即实数 a 的取值范围为(1,1)20(
11、本小题满分 12 分)已知复数 z1i(1i) 3.(1)求|z 1|；(2)若|z| 1，求 |zz 1|的最大值解：(1)z 1i(1 i) 3i(1i) 2(1i)22i ，|z1| 2 .22 22 2(2)如图所示，由| z|1 可知， z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为 O(0,0)的圆，而 z1 对应着坐标系中的点 Z1(2，2)所以|zz 1|的最大值可以看成是点 Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知|zz 1|max|z 1|r(r 为圆半径)2 1.221(本小题满分 12 分)设 为复数 z 的共轭复数，满足|z |2 .z z 3(1)若 z 为纯
12、虚数，求 z.(2)若 z 2 为实数，求|z|.z解：(1)设 zb i(bR 且 b0)，则 bi，z因为|z |2 ，则|2 bi|2 ，即| b| ，z 3 3 3所以 b ，所以 z i.3 3(2)设 z abi(a，bR)，则 abi，z因为|z |2 ，则|2 bi|2 ，即| b| ，z 3 3 3因为 z 2abi(abi) 2aa 2b 2(b2ab)i.zz 2 为实数，z所以 b2ab0.因为|b| ，所以 a ，312所以|z| .( 12)2 32 13222(本小题满分 12 分)已知 z1 是虚数，z 2z 1 是实数，且1z 21.1z1(1)求|z 1|的值以及 z1 的实部的取值范围；(2)若 ，求证： 为纯虚数1 z11 z1解：设 z1abi(a，bR，且 b0)(1)z2z 1 abi i.1z1 1a bi (a aa2 b2) (b ba2 b2)因为 z2 是实数，b0，于是有 a2b 21，即|z 1|1，所以 z22a.由1z 21，得12a1，解得 a ，12 12即 z1 的实部的取值范围是 . 12，12(2) i.1 z11 z1 1 a bi1 a bi 1 a2 b2 2bi1 a2 b2 ba 1因为 a ，b0，所以 为纯虚数 12，12
