1、2017 年山东省齐鲁名校教科研协作体、湖北省部分重点中学联考高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1 （5 分）已知集合 AxZ| 0，B y|yx 2+1，xA，则集合 B 的子集个数为（ ）A5 B8 C3 D22 （5 分）若（1+i） 2+|2i| ，其中 za+bi（a，bR，i 为虚数单位） ，则直线bxay +a0 的斜率为（ ）A1 B1 C D3 （5 分）从编号为 150 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验，若采用每部分选
2、取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取 5 枚导弹的编号可能是（ ）A5，10，15，20，25 B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5 D2，4，8 ，16，324 （5 分）若直线 yx 上存在点（x ，y）满足约束条件 ，则实数 m 的最大值为（ ）A1 B1 C D25 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）第 2 页（共 24 页）A B C D 6 （5 分）若双曲线 1（a0，b0）的渐近线与圆（x2） 2+y22 相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A （
3、2，+） B （1，2） C （1， ） D （ ，+）7 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 ，则A（ ）A45 B30 C60 D908 （5 分）已知方程|lnx|kx+1 在（0，e 3）上有三个不等实根，则实数 k 的取值范围是（ ）A BC D9 （5 分）函数 f（x ） ，则 yf（1x）的图象是（ ）A B第 3 页（共 24 页）C D10 （5 分）如图，在OMN 中，A，B 分别是 OM，ON 的中点，若x +y （x，y R） ，且点 P 落在四边形 ABNM 内（含边界） ，则 的取值范围是（
4、 ）A ， B ， C ， D ， 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11 （5 分）阅读如图程序框图，为使输出的数据为 40，则处应填的自然数为 12 （5 分）数列a n的前 n 项和为 Snn 2+n+1，b n（1） n（a n2） （nN *） ，则数列bn的前 50 项和为 13 （5 分）等腰ABC 的角 A ，|BC| 2，以 A 为圆心， 为半径作圆，MN 为该圆的一条直径，则 的最大值为 14 （5 分）一只小虫在半径为 3 的球内自由飞行，
5、若在飞行中始终保持与球面的距离大于1，称为“安全距离” ，则小虫安全的概率为 15 （5 分）以下四个关于圆锥曲线的命题中设 A，B 为两个定点，k 为非零常数， ，则动点 P 的轨迹为椭圆；第 4 页（共 24 页）设定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点，若 ，则动点P 的轨迹为圆；方程 ln2xlnx20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线 与椭圆 有相同的焦点其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三解答题（本大题共 6 小题，共 75 分.应写出证明过程或演算步骤 ）16 （12 分）某学校高三年
6、级 800 名学生在一次百米测试中，成绩全部在 12 秒到 17 秒之间，抽取其中 50 个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组12，13） ，第二组13，14 ） ，第五组16，17，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图（1）若成绩小于 13 秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本次测试的平均成绩；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取 1 名学生组成一个实验组，求所抽取的 2 名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率17 （12 分）已知 （ sinx，cosx） ， （cos x，cosx） （ 0，xR） ，f
7、（x） 且 f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 （1）求函数 f（x ）的单调递增区间；（2）若ABC 中内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c 且 b ，f （B）0，sinA3sinC，求 a，c 的值及 ABC 的面积18 （12 分）如图，已知 ABCD 是边长为 2 的正方形，EA平面 ABCD，FCEA，设EA 1，FC2 （1）证明：EFBD ；第 5 页（共 24 页）（2）求多面体 ABCDEF 的体积19 （12 分）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成等比数列，将这 n+2个数的乘积记作 Tn，再令 anlgT n，n1，且
8、nN+（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bntana ntanan+1，求数列b n的前 n 和 Sn20 （13 分）已知函数 f（x ）ax 2lnx，对任意实数 x0，都有 f（x）f（ ）成立（1）求函数 yf（e x）所有零点之和；（2）对任意实数 x1，函数 f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围21 （14 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点P（1， ）在椭圆 C 上，满足 （）求椭圆 C 的标准方程；（）直线 l1 过点 P，且与椭圆只有一个公共点，直线 l2 与 l1 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点 P 的两点 M，N，与直线 x
9、1 交于点 K（K 介于 M，N 两点之间） （i）求证：|PM| KN| PN|KM|；（ii）是否存在直线 l2，使得直线 l1、l 2、PM 、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出 l2 的方程；若不能，请说明理由第 6 页（共 24 页）2017 年山东省齐鲁名校教科研协作体、湖北省部分重点中学联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1 （5 分）已知集合 AxZ| 0，B y|yx 2+1，xA，则集合 B 的子集个数为（ ）A5 B8 C3 D2
10、【分析】利用列举法求得集合 A、B，然后根据子集的概念，即可得出结论【解答】解：A1，0，1 ，2 ，B1，2，5 ，子集个数为 238 个，故选：B【点评】本题考查子集的概念，考查集合的化简，比较基础2 （5 分）若（1+i） 2+|2i| ，其中 za+bi（a，bR，i 为虚数单位） ，则直线bxay +a0 的斜率为（ ）A1 B1 C D【分析】利用复数的运算法则、复数相等、共轭复数的定义、直线斜率即可得出【解答】解：（1+i） 2+|2i| ， ，z22i，a 2，b2，k 1故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、共轭复数的定义、直线斜率，考查了推理能力与
11、计算能力，属于基础题3 （5 分）从编号为 150 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取 5 枚导弹的编号可能是（ ）A5，10，15，20，25 B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5 D2，4，8 ，16，32【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的第 7 页（共 24 页）间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为 10 的一组数据是由系统抽样得到的【解答】解：从 50 枚某型导弹中随机抽取 5
12、 枚，采用系统抽样间隔应为 10，只有 B 答案中导弹的编号间隔为 10，故选：B【点评】一般地，要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本4 （5 分）若直线 yx 上存在点（x ，y）满足约束条件 ，则实数 m 的最大值为（ ）A1 B1 C D2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线 yx 与 x+y40 确定交点（2，2） ，则由条件确定 m 的取值范围【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，由 ，解得 x2，y2，即交点坐标 A（2，2） 要使直线 yx 上存在点（x
13、， y）满足约束条件 ，如图所示可得 m2实数 m 的最大值为 2故选：D【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，利用数形结合是解决此第 8 页（共 24 页）类问题的基本方法，是中档题5 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）A B C D 【分析】设外接球半径为 r，则有 ，解出利用体积计算公式即可得出【解答】解：设外接球半径为 r，则有 ，所以 ，所以 故选：D【点评】本题考查了三棱锥的三视图、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分）若双曲线 1（a0，b0）的渐近线与圆（x
14、2） 2+y22 相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A （2，+） B （1，2） C （1， ） D （ ，+）【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得 a 和 b 的关系，进而利用 c2a 2+b2 求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可求【解答】解：双曲线渐近线为 bxay0，与圆（x 2 ） 2+y22 相交圆心到渐近线的距离小于半径，即第 9 页（共 24 页）b 2a 2，c 2a 2+b22a 2，e e11e故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等考查了学生数形结
15、合的思想的运用7 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 ，则A（ ）A45 B30 C60 D90【分析】由正弦定理化简已知可得 ，利用基本不等式可求2sinC2，可得 sinC1，求得 C 的值，进而可求 A 的值【解答】解： ，由正弦定理得 ， （当且仅当 sinAsin B 时取等号） 2sinC2，即 sinC1，又 sinC1，故 sinC1，C90，AB45故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，基本不等式及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题8 （5 分）已知方程|lnx|kx+1 在（0，e 3）上
16、有三个不等实根，则实数 k 的取值范围是（ ）A BC D【分析】ykx+1 与 y|lnx |的图象在（0，1）一定有一个交点，第 10 页（共 24 页）依题意只需 f（x ）kx+1，g（x ）lnx 在（1，e 3）上有 2 个交点即可作 f（x）kx+1 与 g（x ） lnx 的图象，利用数形结合的思想求解即可【解答】解：令 f（x ）kx+1，g（x ）lnx，ykx+1 与 y|lnx| 的图象在（0，1）一定有一个交点，依题意只需 f（x ）kx+1，g（x ）lnx 在（1，e 3）上有 2 个交点即可作 f（x）kx+1 与 g（x ） lnx 的图象如下 &
17、nbsp; 设直线 f（x） kx+1 与 g（x）lnx 相切于点（a，b） ；则 ke 2且对数函数 g（x）lnx 的增长速度越来越慢，直线 f（x）kx +1 过定点（0，1）方程|lnx|kx+1 中取 xe 3 得 k2e 3 ，则实数 k 的取值范围是2e3 ke
18、2 故选：C【点评】本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用，属于中档题9 （5 分）函数 f（x ） ，则 yf（1x）的图象是（ ）A B第 11 页（共 24 页）C D【分析】根据图象的平移和对称即可求出答案【解答】解：f（x ） ，则 yf（1x ）的图象是由 yf（x）的图象，沿 y 轴对折，得到 yf（x）的图象，再向右平移一个单位得到的，故选：C【点评】本题考查了图象的平移和对称，属于基础题10 （5 分）如图，在OMN 中，A，B 分别是 OM，ON 的中点，若x +y （x，y R） ，且点 P 落在四边形 ABNM 内（含边界） ，则 的取值范围是（
19、 ）A ， B ， C ， D ， 【分析】若 P 在线段 AB 上，设 ，则有 ，由于 x +y ，则有 x+y1，第 12 页（共 24 页）由于在OMN 中，A，B 分别是 OM，ON 的中点，P 落在线段 MN 上，则 x+y2即可得到取值范围【解答】解：若 P 在线段 AB 上，设 ，则有 ， ，由于 x +y （x ，yR） ，则 x ，y ，故有 x+y1，若 P 在线段 MN 上，设 ，则有 ，故 x1，y 0 时，最小值为，当 x0，y 1 时，最大值为故范围为 由于在OMN 中，A，B 分别是 OM，ON 的中点，则 x +y x + y （x，y R） ，则
20、x ， y ，故有 x+y2，当 x2，y 0 时有最小值 ，当x0，y2 时，有最大值故范围为 若 P 在阴影部分内（含边界） ，则 故选：C【点评】本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11 （5 分）阅读如图程序框图，为使输出的数据为 40，则处应填的自然数为 4 第 13 页（共 24 页）【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求 S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案【解答】解：程序在运
21、行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1，第一圈 4，2 是第二圈 13，3 是第三圈 40 4 否故最后当 i4 时退出，故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果
22、，选择恰当的数学模型解模12 （5 分）数列a n的前 n 项和为 Snn 2+n+1，b n（1） n（a n2） （nN *） ，则数列bn的前 50 项和为 49 【分析】利用递推关系可得：a n 数列b n的前 50 项的和1+2（12+34+4748+49） ，即可得出【解答】解：数列a n的前 n 项和为 Snn 2+n+1，当 n1 时，a 1S 13；第 14 页（共 24 页）当 n2 时，a nS nS n1 （n 2+n+1） （n1） 2+（n1）+12na n b n数列b n的前 50 项的和1+2（12+34+47 48+49）1+2（24+49）1+
23、5049，故答案为：49【点评】本题考查了递推关系的应用、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13 （5 分）等腰ABC 的角 A ，|BC| 2，以 A 为圆心， 为半径作圆，MN 为该圆的一条直径，则 的最大值为 2 1 【分析】利用平面向量的三角形法则，进行数量积的运算，得到关于夹角 的余弦函数解析式，借助于有界性求最值即可【解答】解：设 与 的夹角为 ， （ + ）（ + ） + （ ） 22 + 32 cos12 1故答案为：【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，借助于余弦函数的有界性求最值；属于中第 15 页（共 24 页）档题14 （5 分）一只小虫在
24、半径为 3 的球内自由飞行，若在飞行中始终保持与球面的距离大于1，称为“安全距离” ，则小虫安全的概率为 【分析】根据安全飞行的定义，则安全的区域为以球中心为球心，半径为 2 的球的内部，则概率为两几何体的体积之比，进而计算可得答案【解答】解：由题意得安全的区域为以球中心为球心，半径为 2 的球的内部，故 p ，故答案为： 【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件 A 的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率15 （5 分）以下四个关于圆锥曲线的命题中设 A，B 为两个定点，k 为非零常数， ，则动点 P 的轨迹为椭圆；设定圆
25、 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点，若 ，则动点P 的轨迹为圆；方程 ln2xlnx20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线 与椭圆 有相同的焦点其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】根据题意，依次分析 4 个命题，对于、由椭圆的定义分析可得错误；对于、分析可得 P 是 AB 中点，结合垂径定理分析可得正确；对于、求出方程ln2xlnx20 的两根，分析可得两根的大小可得正确；对于、分析椭圆、双曲线的焦点位置即可得不正确，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析 4 个命题：对于 、若动点 P 的轨迹为椭圆则需满足 k|AB |，故错误；对于 、若
26、 ，则 P 是 AB 中点，即CPA90，所以 P 的轨迹是以CA 为直径的圆，故正确；第 16 页（共 24 页）对于 、方程 ln2xlnx20 的两根分别为 xe 2 或 ，而 ，故正确；对于 、双曲线焦点在 y 轴上，椭圆的焦点在 x 轴上；故不正确故答案为： 【点评】本题考查常见圆锥曲线的定义以及简单性质，关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的地定义三解答题（本大题共 6 小题，共 75 分.应写出证明过程或演算步骤 ）16 （12 分）某学校高三年级 800 名学生在一次百米测试中，成绩全部在 12 秒到 17 秒之间，抽取其中 50 个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组12
27、，13） ，第二组13，14 ） ，第五组16，17，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图（1）若成绩小于 13 秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本次测试的平均成绩；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取 1 名学生组成一个实验组，求所抽取的 2 名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率【分析】 （1）由频率分布直方图，先求出成绩小于 13 秒的频率，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数（2）由频率分布直方图能估计本次测试的平均成绩（3）由频率分布直方图，得第一组的频率为 0.06，第五组的频率为 0.08，从
28、而得到第一组有 3 人，第五组有 4 人，进而第一组中有 1 名女生 2 名男生，第五组中有 3 名女生1 名男生，现从第一、第五组中各抽取 1 名学生组成一个实验组，利用列兴法能求出所抽取的 2 名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于 13 秒的频率为 0.06，第 17 页（共 24 页）该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：0.06503（人） 3 分（2）由频率分布直方图估计本次测试的平均成绩为：12.50.06+13.50.16+14.50.38+15.50.32+16.50.0814.76 分（3）由频率分布直方图，得第一组的频率为
29、0.06，第五组的频率为 0.08，第一组有 500.063 人，第五组有 500.084 人，7 分样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，第一组中有 1 名女生 2 名男生，第五组中有 3 名女生 1 名男生，现从第一、第五组中各抽取 1 名学生组成一个实验组，设第一组中三人分别为 a1，a 2，a 3，其中 a1 为女生，第五组中四人分别为b1，b 2，b 3，b 4，其中 b1 为男生，则基本时间空间为 （a 1，b 1） （a 1，b 2） （a 1，b 3） （a 1，b 4） （a 2，b 1） （a 2，b 2）（a 2，b 3）（a 2，b 4） （a 3，b 1） （
30、a 3，b 2） （a 3，b 3） （a 3，b 4）n12，9 分所抽取的 2 名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数 m7，所求概率为 p 12分【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用17 （12 分）已知 （ sinx，cosx） ， （cos x，cosx） （ 0，xR） ，f（x） 且 f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 （1）求函数 f（x ）的单调递增区间；（2）若ABC 中内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c 且 b ，f （B）0，sinA3sinC，求 a，c 的值及 ABC
31、的面积【分析】 （1）根据 f（x ） ，利用向量的运用，求解 f（x）解析式，化简，根据 f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 求解 即可求解函数 f（x）的单调递增区间；（2）根据 f（B）0，求解 B 角大小利用 b ，sinA3sin C，正余弦定理求解第 18 页（共 24 页）a，c 和ABC 的面积【解答】解：由题意： （ sinx，cosx） ， （cos x，cosx）（0 ，x R） ，由 f（x） sinxcosxcos 2x sin2x cos2x1sin（2x）1相邻两对称轴之间的距离为 ，T ，1函数 f（x）的解析式为 （1）令 f（x）的单增区间为 在AB
32、C 中，由余弦定理可得：，c1，a3【点评】本题考查了向量的运算和三角函数的化解能力，正余弦定理的运用，考查计算能力属于中档题18 （12 分）如图，已知 ABCD 是边长为 2 的正方形，EA平面 ABCD，FCEA，设第 19 页（共 24 页）EA1，FC2 （1）证明：EFBD ；（2）求多面体 ABCDEF 的体积【分析】 （1）由地面 ABCD 是正方形，可得 BDAC，又 EA平面 ABCD，可得BDEA，然后利用线面垂直的判定得 BD平面 EACF，最后可得 EFBD；（2）把多面体 ABCDEF 的体积转化为 2 倍的棱锥 BACFE 的体积求解【解答】 （1）证明：ABCD
33、 是正方形，BDAC，EA平面 ABCD，BD平面 ABCD，BDEA，EA、AC 平面 EACF，EAAC A，BD平面 EACF，又EF 平面 EACF，EFBD ；（2）解：ABCD 是边长为 2 的正方形，AC ，又 EA1，FC 2， ， 第 20 页（共 24 页）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查了多面体体积的求法，训练了等积法，是中档题19 （12 分）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成等比数列，将这 n+2个数的乘积记作 Tn，再令 anlgT n，n1，且 nN+（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bntana ntana
34、n+1，求数列b n的前 n 和 Sn【分析】 （1）由题意知：T n10 n+2可得 anlgT n（2）由 tan（ n+3）（n+2） tan1可得 tan（n+3）tan（n+2） 1利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）由题意知：T n10 n+2a nlgT nn+2（2）tan （n +3）（n+2） tan1tan（n+3）tan（n+2） 1数列b n的前 n 和 Sntan（1+2）tan（1+3）+tan （2+2）tan（2+3）+tan（n+2）tan（n+3） tan（ 1+3）tan （1+2）+tan（2+3 ）tan （2+2）+tan （n+3）ta
35、n（n+2）n n【点评】本题考查了等差数列的通项公式、对数运算性质、 “裂项求和”方法、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20 （13 分）已知函数 f（x ）ax 2lnx，对任意实数 x0，都有 f（x）f（ ）成立（1）求函数 yf（e x）所有零点之和；（2）对任意实数 x1，函数 f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）由题意可知：求得 ab，由 t1t2tn1，根据函数的单调性可得ex1ex2exn t1t2tn1，由指数函数的运算性质即可求得 x1+x2+xn0；（2）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，求得函数 f（x）的最大值，即第 2
36、1 页（共 24 页）可求得与 f（x） 0 相比较，即可求得实数 a 的取值范围【解答】解：（1）由 f（x ）f（ ） ，则（ab） （x+ ）0，则 ab，则 f（x）a（ x ）2lnx，设 x 是 f（x）的零点，则 也是 f（x ）的零点，不妨设 f（x）的零点 t1，t 2， ，t n，则 t1t2tn1，由 te x 单调递增，设函数 yf（e x）的零点 x1，x 2，x n，则ti exi， i1， 2，3，n，则 ex1ex2exnt 1t2tn1，x 1+x2+xn0，故函数 yf（e x）所有零点之和为 0；（2）f（x） a（x ）2lnx，求导 f（x）a（1+
37、） ，当 a0 时，由 x1，则 f（x）0，则 f（x ）在1 ，+）上单调递减，此时，f（2）f（1）0，与 f（x ）0 不符， （舍去）当 a0，令 g（x）ax 22x +a，44a 2，若0，即 a1 时，g（x）0，f （x）0，f（x ）在 x1，+）上单调递增，则 f（x）f（1）0，成立，若0，即 0a1，设 g（x）的零点为 x1，x 2，且 x1x 2，则 x1+x2 0，x 1x21，则 0x 11x 2，当 x（1，x 2）时，g（x）0，f （x）0，f（x）在 x（1，x 2）上单调递减，f（x）f（1）0，与 f（x）0 不符， （舍去）综上可知：实数 a 的
38、取值范围1，+ ） 【点评】本题考查函数零点的判断，导数与函数单调性的关系，利用函数单调性与最值得关系，考查计算能力，分类讨论思想，属于中档题21 （14 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点P（1， ）在椭圆 C 上，满足 第 22 页（共 24 页）（）求椭圆 C 的标准方程；（）直线 l1 过点 P，且与椭圆只有一个公共点，直线 l2 与 l1 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点 P 的两点 M，N，与直线 x1 交于点 K（K 介于 M，N 两点之间） （i）求证：|PM| KN| PN|KM|；（ii）是否存在直线 l2，使得直线 l1、l 2、PM 、
39、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出 l2 的方程；若不能，请说明理由【分析】 （）根据题意，设 F1（c，0） ，F 2（c ，0） ，则有 （c1，）（c1， ） ，解可得题意可得 c 的值，进而由椭圆的定义可得 a 的值，计算可得 b 的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程可得答案；（） （）设 l1 方程为 y k（x1） ，与 1 联立，可得关于 x 的一元二次方程，令0 解可得 k 的值，结合题意可以设直线 l2 方程，联立两直线方程，整理可得 x2+tx+t230，由根与系数的关系分析可得 PM、PN 关于直线 x1 对称，即MPKNPK，进而由正弦定理分析可得 ，即可
40、得证明；（）由（）知，k PM+kPN0，k l1 ，k l2 ，假设存在直线 l2，满足题意不妨设 kPMk，k PNk， （k 0） ，由等比数列的性质分析可得 q1，进而分析可得结论【解答】解：（）设 F1（c，0） ，F 2（c ，0） ，c0，则 （c1， ）（c1， ）1c 2+ ，所以 c1，因为 2a|PF 1|+|PF2|4，所以 a2，又由 c1，则 b2a 2c 23，故椭圆 C 的标准方程为 1；（） （）证明：设 l1 方程为 y k（x1） ，与 1 联立，消 y 得（4k 2+3）x 2+（12k 8k 2）x+ （32k ） 2120第 23 页（共 24 页）
41、由题意知0，解得 k ，因为直线 l2 与 l1 的倾斜角互补，所以 l2 的斜率是 设直线 l2 方程：y x+t，M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ，联立 ，整理得 x2+tx+t230，由0，得 t24，x 1+x2t，x 1x2t 23；直线 PM、PN 的斜率之和 kPM+kPN 0所以 PM、PN 关于直线 x1 对称，即MPKNPK，在PMK 和PNK 中，由正弦定理得 ，又因为MPKNPK，PKM+ PKN 180所以故|PM |KN|PN|KM| 成立；（）由（）知，k PM+kPN0，k l1 ，k l2 ，假设存在直线 l2，满足题意不妨设 kPMk ，k PNk ， （k0）若 ，k，k 按某种排序构成等比数列，设公比为 q，则 q1 或 q21 或q31所以 q1，则 k ，此时直线 PN 与 l2 平行或重合，与题意不符，故不存在直线 l2，满足题意【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意先利用椭圆的定义求出其标准方程第 24 页（共 24 页）
