1、71 两个计数原理第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理读教材填要点1分类加法计数原理如果完成一件事有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有m2 种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm 1 m2m n种不同的方法2分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成 n 个步骤，第一个步骤有 m1 种不同的方法，第二个步骤有m2 种不同的方法，第 n 个步骤有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm 1m2m3mn种不同的方法小问题大思维何时使用分类加法计数原理？何时使用分步乘法计数原理？提示：完成一件事时，若每一类方法中的任一种方
2、法均能将这件事从头到尾完成，则计算完成这件事的方法总数用分类加法计数原理；完成一件事，若每一步的任一种方法只能完成这件事的一部分，而且必须依次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原理分类加法计数原理的应用例 1 甲班有学生 56 人，其中男生 36 人；乙班有学生 58 人，其中女生 36 人；丙班有学生 56 人，其中男生 35 人(1)从这三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从这三个班的男生中选一人担任学生会体育部部长，有多少种不同的选法？解 (1)分 3 类：从甲班选一名，有 56 种不同选法；从乙班选一名，有 58 种不同选法；
3、从丙班选一名，有 56 种不同选法每一种方法都能独立完成“选一名学生担任学生会主席”这件事，根据分类加法计数原理，共有 565856170 种不同的选法(2)分 3 类：从甲班选一名男生，有 36 种不同选法；从乙班选一名男生，有 583622 种不同选法；从丙班选一名男生，有 35 种不同选法根据分类加法计数原理，共有 36223593 种不同的选法用分类加法计数原理解题应注意以下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事(2)分类计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉(3)“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的，也
4、就是说，完成一件事情，每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法(4)若完成某件事情有 n 类办法，则它们两两的交集为空集， n 类的并集为全集1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：法一：按十位上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有 8765432136(个) 法二：按个位上的数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个
5、，6 个，7 个，8 个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数共有 1234567836(个) 分步乘法计数原理的应用例 2 从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数解 (1)三位数有三个数位， 百 位 十 位 个 位故可分三个步骤完成：第一步，排个位，从 1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法；第二步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；第三步，排百位，从剩下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法依据分步乘法计数原理，共有 43224 个满足要求的三位数(2)分三个步骤完成
6、：第一步，排个位，从 2,4 中选 1 个，有 2 种方法；第二步，排十位，从余下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；第三步，排百位，只能从余下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法故共有 23212 个三位数的偶数利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的或缺一不可的，但也不能重复、交叉(3)若完成某件事情需 n 步，则必须且只需依次完成这 n 个步骤后，这件事情才算完成2乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2
7、 名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？解：法一：按出场次序，第一位置队员的安排有 3 种方法，第二位置队员的安排有 7种方法，第三位置队员的安排有 2 种方法，第四位置队员的安排有 6 种方法，第五位置队员的安排只有 1 种方法由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为 37261252.法二：按主力与非主力，分两步安排第一步，安排 3 名主力队员在第一、三、五位置上，有 6 种方法，第二步，安排 7 名非主力队员中的 2 名在第二、四位置上，有 76 种方法由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为 676252.两个计数原理的综合问题例 3 若直线方程 AxBy0 中的 A，
8、B 可以从 0,1,2,3,5 这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解 分两类完成第 1 类，当 A 或 B 中有一个为 0 时，表示的直线为 x0 或 y0，共 2 条第 2 类，当 A，B 不为 0 时，直线 AxBy 0 被确定需分两步完成第 1 步，确定 A 的值，有 4 种不同的方法；第 2 步，确定 B 的值，有 3 种不同的方法由分步乘法计数原理知，共可确定 4312 条直线由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有21214 条利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出
9、完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律(3)综合问题一般是先分类再分步3某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有 30 封，乙箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？解：若幸运之星在甲箱中抽取，则有 30292017 400 种不同的结果；若幸运之星在乙箱中抽取，则有 20193011 400 种不同的结果故共有 17 40011 40028 8
10、00 种不同结果解题高手 易错题某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7 人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？尝试 错解 第一步，从会英语的 7 人中选一人，有 7 种选法；第二步，从会日语的 3 人中选一人，有 3 种选法，故共有 7321(种)不同的选法错因 由题目条件可知，外语组共有 9 人，显然错解误认为会英语的 7 人，会日语的 3 人，共 10 人而忽视了其中有一人既会英语又会日语这一隐含条件，从而导致解题错误由于该题中既会英语又会日语的有 1 人，而选不选该人对下一步都有影响，所以要进行分类：第一类他不当选；第二类按会英语当
11、选；第三类按会日语当选在每一类中，又要分两步，因此是先分类后分步问题正解 “完成一件事”指“从 9 人中选出会英语与日语的各 1 人” ，故需分三类：既会英语又会日语的不当选；既会英语又会日语的按会英语当选；既会英语又会日语的按会日语当选既会英语又会日语的有 7391(人) ，仅会英语的有 6 人，仅会日语的有 2 人先分类后分步，从仅会英、日语的人中各选 1 人有 62 种选法；从仅会英语与英、日语都会的人中各选 1 人有 61 种选法；从仅会日语与英、日语都会的人中各选 1 人有 21 种选法根据分类加法计数原理，共有 62612120( 种) 不同选法1某同学从 4 本不同的科普杂志，3
12、 本不同的文摘杂志，2 本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )A24 种 B9 种C3 种 D26 种解析：选 B 不同的杂志本数为 4329 种，从其中任选一本阅读，共有 9 种选法2(全国卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A24 B18C12 D9解析：选 B 由题意可知 E F 有 6 种走法，FG 有 3 种走法，由分步乘法计数原理知，共 6318 种走法3如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组” 在一个长方体中，由两个顶点
13、确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A60 B48C36 D24解析：选 B 长方体的 6 个表面构成的 “平行线面组”有 6636(个)，另外含 4 个顶点的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”有 6212(个)，所以共有 361248( 个)4已知 x2,3,7，y 3，4,8 ，则 xy 可表示不同的值的个数为_解析：分两步：第 1 步，在集合2,3,7中任取一个值，有 3 种不同取法；第 2 步，在集合 3，4,8中任取一个值，有 3 种不同取法故 xy 可表示 339 个不同的值答案：95现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤
14、与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为_解析：完成配成一套衣服这件事分两步：第一步选长裤，有 3 种选法，第二步选上衣，有 4 种选法，共有 3412 种不同配法答案：126某座山，若从东侧通往山顶的道路有 3 条，从西侧通往山顶的道路有 2 条，其余无道路通向山顶(1)某游人从一侧上山，另一侧下山，共有多少种不同的走法？(2)某游人任意选择上山与下山的道路，共有多少种不同的走法？解：(1)分两类：从东侧上山，西侧下山，走法有 326( 种)；从西侧上山，东侧下山，走法有 236(种)，所以共有 6612(种) 不同的走法(2)法一：完成从上山到下山这件事可分为四类：从东侧上山，且从东侧下山，
15、走法有 33 种；从东侧上山，从西侧下山，走法有 32 种；从西侧上山，从东侧下山，走法有 23 种；从西侧上山，且从西侧下山，走法有 22 种根据分类加法计数原理知，共有 3332232225(种) 不同的走法法二：上山共有 5 条道路，下山也有 5 条道路，由分步乘法计数原理得从上山到下山共有 5525(种)不同的走法一、选择题1从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( )A6 B5C3 D2答案：B2在 2,3,5,7,11 这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( )A20 B10C5 D24解析：选 B 假分数的分子大于分母故以
16、 2 为分母的有 4 个；以 3 为分母的有 3 个；以 5 为分母的有 2 个；以 7 为分母的只有 1 个由分类加法计数原理知共有432110 个3从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 abi ，其中虚数有( )A30 个 B42 个C36 个 D35 个解析：选 C 要完成这件事可分两步，第一步确定 b(b0)有 6 种方法，第二步确定 a有 6 种方法，故由分步乘法计数原理知共有 6636 个虚数4已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为( )A40 B16C13 D10解析：选 C 分两类：
17、第 1 类，直线 a 与直线 b 上 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第 2 类，直线 b 与直线 a 上 5 个点可以确定 5 个不同的平面故可以确定 8513 个不同的平面二、填空题5已知 a2,4,6,8，b3,5,7,9，能组成 logab1 的对数值有_个解析：分四类，当 a2 时，b 取 3,5,7,9 四种情况；当 a4 时，b 取 5,7,9 三种情况；当 a6 时，b 取 7,9 两种情况；当 a8 时，b 取 9 一种情况，所以总共有 432110 种，又 log23log 49，所以对数值有 9 个答案：96圆周上有 2n 个等分点(n 大于 2)，任取 3 个点可得
18、一个三角形，恰为直角三角形的个数为_解析：先在圆周上找一点，因为有 2n 个等分点，所以应有 n 条直径，不过该点的直径应有 n1 条，这 n1 条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成 n1 个直角三角形，而这样的点有 2n 个，所以一共可形成 2n(n1)个符合条件的直角三角形答案：2n(n1)7已知 A 1,0,1,2,3，B ，且 aA，bB，则不同的双曲线 0，13，2，4，5 x2a21(a 0，b0)共有_ 条y2b2解析：a 可取 1,2,3；b 可取 ，2,4,5，故不同的双曲线 1(a0，b0)共有13 x2a2 y2b23412(条) 答案：1285 名乒乓球队员
19、中，有 2 名老队员和 3 名新队员现从中选出 3 名队员参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有一名老队员的选法有_种(用数字作答)解析：分为两类完成，两名老队员、一名新队员时，有 3 种选法；两名新队员、一名老队员时，有 236 种选法，即共有 9 种不同选法答案：9三、解答题9已知集合 M3，2，1,0,1,2，P( a，b)表示平面上的点(a，bM)，问：(1)P 可表示平面上多少个不同的点？(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P 可表示多少个不在直线 yx 上的点？解：(1)确定平面上的点 P(a， b)可分两步完成：第一步确定 a 的值，共有 6 种方法；第二步确定
20、b 的值，也有 6 种方法根据分步乘法计数原理，得到 P(a，b) 可表示平面上6636( 个) 不同的点(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 a，因为 a0，所以有 2 种确定方法由分步乘法计数原理，得到 P(a，b)可表示平面上 326(个)第二象限的点(3)点 P(a，b)在直线 yx 上的充要条件是 ab.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素，共有 6 种取法，即在直线 yx 上的点有 6 个由(1) 得不在直线 yx 上的点共有36630 个10现有高一四个班的学生 34 人，其中一、二、三、四班分别有 7 人、8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学课外小组
21、(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选 1 人，有 7 种选法；第二类，从二班学生中选 1 人，有 8 种选法；第三类，从三班学生中选 1 人，有 9 种选法；第四类，从四班学生中选 1 人，有 10 种选法所以共有不同的选法 N7 891034(种)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长所以共有不同的选法 N7 89105 040(种)(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选 1 人，有 78
22、 种不同的选法；从一、三班学生中各选 1 人，有 79 种不同的选法；从一、四班学生中各选 1 人，有 710种不同的选法；从二、三班学生中各选 1 人，有 89 种不同的选法；从二、四班学生中各选 1 人，有 810 种不同的选法；从三、四班学生中各选 1 人，有 910 种不同的选法所以，共有不同的选法 N7 87971089810910431(种)第二课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用选(抽)与分配问题例 1 有四位同学参加三项不同的竞赛(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？解 (1)学生可以选择竞赛项目
23、，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有 3 个不同的机会要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步而每位学生均有 3 个不同机会，所以用分步乘法计数原理可得33333 481 种不同结果(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选 4 位不同学生中的一位要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步乘法计数原理可得 4444 364 种不同结果保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，则共有多少种不同结果？解：第一个项目可挑选 4 个学生中的一位，有 4 种不同的选法；第二个项
24、目可从剩余的 3 个学生中选一位，有 3 种不同的选法；第三个项目可从剩余的 2 位学生中选一位，有2 种不同的选法，故共有 43224 种不同结果选(抽) 取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可1有 4 位老师在同一年级的 4 个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安
25、排监考的方法种数是( )A11 B10C9 D8解析：选 C 法一：设四个班级分别是 A，B ，C，D ，它们的老师分别是a，b，c，d，并设 a 监考的是 B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有 3 种不同的方法；同理当 a 监考 C，D 时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有 3种不同的方法这样，由分类加法计数原理知共有 3339 种不同的安排方法法二：让 a 先选，可从 B，C，D 中选一个，即有 3 种选法若选的是 B，则 b 从剩下的 3 个班级中任选一个，也有 3 种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有 33119 种不同安排方法2从
26、6 名志愿者中选 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有( )A280 种 B240 种C180 种 D96 种解析：选 B 由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的 4 名志愿者中选1 人，有 4 种选法后面三项工作的选法有 543 种，因此共有 4543240 种选派方案组数问题例 2 用 0,1,2,3,4 这五个数字可以组成多少个无重复的数字：(1)银行存折的四位密码？(2)四位整数？(3)四位奇数？解 (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 5 种
27、选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有N5432120(个)(2)完成“组成无重复数字的四位整数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从 1,2,3,4 中选取一个数字作千位数字，有 4 种不同的选取方法；第二步：从 1,2,3,4 中剩余的三个数字和 0 共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4 种不同的选取方法；第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有 3 种不同的选取方法；第四步：从剩余的两个数字中
28、选取一个数字作个位数字，有 2 种不同的选取方法由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位数共有 N443296(个)(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法：第一类办法，四位奇数的个位数字为 1，这件事分三个步骤完成第一步：从 2,3,4 中选取一个数字作千位数字，有 3 种不同的选取方法；第二步：从 2,3,4 中剩余的两个数字与 0 共三个数字中选取一个数字作百位数字有 3 种不同的选取方法；第三步：从剩余的两个数字中，选取一个数字作十位数字，有 2 种不同的选取方法由分步乘法计数原理知，第一类中的四位奇数共有N133218(个)第二类办法，四位奇数的个位数字为 3，这件事分
29、三个步骤完成第一步：从 1,2,4 中选取一个数字作千位数字，有 3 种不同的选取方法；第二步：从 1,2,4 中剩余的两个数字和 0 共三个数字中选取一个数字作百位数字，有 3种不同的选取方法；第三步：从剩余的两个数字中，选取一个数字作十位数字，有 2 种不同的选取方法由分步乘法计数原理知，第二类中的四位奇数共有N233218(个)最后，由分类加法计数原理知，符合条件的四位奇数共有 NN 1N 236(个) 保持例题条件不变，有多少个比 2 000 大的整数？解：按千位百位十位个位的顺序接排，分别有 3,4,3,2 种不同的方法，由分步乘法计数原理知，共有 343272 个比 2 000 大
30、的整数对于组数问题的计数，一般按特殊位置(末位或首位) 由谁占领分类，每类中再按特殊位置( 或元素) 优先的方法分步来计数当分类较多时，可用间接法处理3由数字 0,1,2,3,4,5 可组成多少个没有重复数字且不能被 5 整除的四位数字？解：组成四位数可分四步，第一步排千位有 5 种，第二步排百位有 5 种，第三步排十位有 4 种，第四步排个位有 3 种由分步乘法计数原理得共有四位数 5543300(个)同理，个位数为 0 的四位数有 60 个，个位数为 5 的四位数有 48 个不能被 5 整除的四位数共有 3004860192(个)种植与涂色问题例 3 用 6 种不同颜色为如图所示的广告牌着
31、色，要求在 A，B，C ，D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方法？解 法一：分类：第一类，A，D 涂同色，有 654120 种涂法，第二类，A，D 涂异色，有 6543360 种涂法，共有 120360480 种涂法法二：分步：先涂 B 区，有 6 种涂法，再涂 C 区，有 5 种涂法，最后涂 A，D 区域，各有 4 种涂法，所以共有 6544480 种涂法解答区域涂色(种植)问题时，为便于分析问题，先给区域 (种植的品种)标上相应序号，然后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种) 当选情况分类，最后利用两个计数原理求解4.有 4 种不同的作物可供选
32、择种植在如图所示的 4 块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？A BC D解：法一：第一步：种植 A 试验田有 4 种方法；第二步：种植 B 试验田有 3 种方法：第三步：若 C 试验田种植的作物与 B 试验田相同，则 D 试验田有 3 种方法，此时有133 种种植方法若 C 试验田种植的作物与 B 试验田不同，则 C 试验田有 2 种种植方法，D 也有 2 种种植方法，共有 224 种种植方法由分类加法计数原理知，有 347 种方法第四步：由分步乘法计数原理有 N43784 种不同的种植方法法二：(1)若 A、D 种植同种作物，则
33、 A、D 有 4 种不同的种法，B 有 3 种种植方法，C 也有 3 种种植方法，由分步乘法计数原理，共有 43336 种种植方法(2)若 A、 D 种植不同作物，则 A 有 4 种种植方法，D 有 3 种种植方法，B 有 2 种种植方法，C 有 2 种种植方法，由分步乘法计数原理，共有 432248 种种植方法. 综上所述，由分类加法计数原理，共有 N364884 种种植方法解题高手 妙解题甲、乙、丙、丁 4 个人各写 1 张贺卡，放在一起，再各取 1 张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？尝试 巧思 解决本题的关键是取贺卡顺序的确定如果甲先取，则有 3 种不同的取法，假设甲取到的贺卡是
34、乙写的，则让乙再取卡(即甲取到谁写的卡，就让准先取) ，也有 3 种不同的取法，则剩余两人的拿法就很显然了妙解 第一步，甲取 1 张不是自己所写的贺卡，有 3 种取法；第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有 3 种取法；第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有 1 种取法；第四步，最后 1 个人取，只有 1 种取法由分步乘法计数原理可知，共有 33119 种取法1由数字 1,2,3,4,5,6 可以组成没有重复数字的两位数的个数是( )A11 B12C30 D36解析：选 C 个位数字有 6 种选法，十位数字有 5 种选法，由分步乘法计数原理知，可组成 6530 个无重复数字的两位数2.如图
35、所示，一环形花坛分成 A，B，C ，D 四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为( )A96 B84C60 D48解析：选 B 依次种 A，B，C，D 4 块，当 C 与 A 种同一种花时，有 431336种种法；当 C 与 A 所种的花不同时，有 432248 种种法由分类加法计数原理知，不同的种法种数为 364884.3甲、乙、丙三个电台，分别有 3,4,4 人，新年中彼此祝贺，每两个电台的人都彼此一一通话，那么他们一共要通话( )A40 次 B48 次C36 次 D24 次解析：选 A 利用两个原理， 34344440.4现有 6 名
36、同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是_解析：依题意知，每位同学都各有 5 种不同的选择，由分步乘法计数原理得知，满足题意的选法总数为 56 种答案：5 65用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个( 用数字作答)解析：数字 2,3 至少出现一次，可分 2 出现 1 次，2 次，3 次共 3 类第一类：2 出现一次，即 2,3,3,3，此时 2 可分别位于 14 位，共有 4 种第二类：2 出现两次，即 2,2,3,3，先排 2，则 3 随之确定，当 2 先出现在第一位时，有3 种；当 2 先出现第二位
37、时，有 2 种；当 2 先出现第三位时，有 1 种，共有 1236 种第三类：2 出现 3 次，即 2,2,2,3，此时可先排 3,2 随之确定，共有 4 种共有 46414 种不同的排法答案：146将如图所示的四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法总数解：按照 SABCD 的顺序分类染色，第一类：A、C 染相同颜色有 54313180 种；第二类：A、C 染不同颜色有 54322240 种；故共有 180240420 种不同的染色方法一、选择题1已知函数 yax 2bx c，其中 a，b，c0,1,2,3,4，则不同的二次函
38、数的个数共有( )A125 B15C100 D10解析：选 C 由二次函数的定义知 a0.选 a 的方法有 4 种选 b 与选 c 的方法都有5 种只有 a、b、c 都确定后，二次函数才确定故由分步乘法计数原理知共有二次函数455100 个2.用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A，B，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有( )A BCDA12 种 B24 种C48 种 D72 种解析：选 D 先涂 C，有 4 种涂法，涂 D 有 3 种涂法，涂 A 有 3 种涂法，涂 B 有 2 种涂法由分步乘法计数原理，共有 433272 种涂法3用 0 到 9 这 10 个数字，可
39、以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A324 B328C360 D648解析：选 B 分两类第一类：个位是 0，依次确定百位、十位上的数字，各有 9,8 种方法，所以可以组成 9872( 个) 三位偶数第二类：个位不为 0，第一步从 2,4,6,8 四个数字中任选一个作为个位上的数字，有 4 种方法；第二步确定百位上的数字，有 8 种方法；第三步确定十位上的数字，有 8 种方法，所以可以组成 488256(个) 三位偶数根据分类加法计数原理共能组成 72256328(个) 三位偶数4甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有( )A6 种 B1
40、2 种C24 种 D30 种解析：选 C 可分步完成此事：第一步：甲乙选相同的 1 门共有 4 种方法；第二步：甲再选 1 门有 3 种方法；第三步：乙再选一门有 2 种选法，由分步乘法计数原理知：甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 43224(种)二、填空题55 只不同的球，放入 2 只不同的箱子中，每箱不空，共有_种不同的放法解析：第 1 只球有 2 种放法，第 2 只球有 2 种放法，第 5 只球有 2 种放法，总共有 2532 种放法，但要每箱不空，故有 2 种情况不合要求，因此，符合要求的放法有25230( 种) 答案：306古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序用天干的
41、“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成_组解析：分两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有 5630 组不同的结果；同理，第二类也有 30 组不同的结果，共可得到 303060 组答案：607从 1,2,3,4,7,9 六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为_解析：(1)当取 1 时，1 只能为真数，此时 y0.(2)不取 1 时，分两步：取底数，5 种；取真数，4 种其中 log23log 49，log 32log
42、 94，log24log 39，log 42log 93，N 1 54417.答案：178在一块并排共 10 垄的田地上，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植1 垄，为了有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄方法有_种(结果用数字作答 )解析：把空的 6 垄看作一个整体，A、B 两种作物可在其余 4 垄上种植，不同的选垄方法为(3 21)212( 种)答案：12三、解答题9.如图所示，要给“优” 、 “化” 、 “指” 、 “导”四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方
43、法？解：优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步第 1 步，涂“优”区域，有 3 种选择第 2 步，涂“化”区域，有 2 种选择第 3 步，涂“指”区域，由于它与“优” 、 “化”区域颜色不同，有 1 种选择第 4 步，涂“导”区域，由于它与“化” “指”区域颜色不同，有 1 种选择所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有 32116(种) 10在 7 名同学中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋现在从这 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解：(1)先从只会下象棋的 3 人中选一人参加象棋比赛，再从只会下围棋的 2 人和围棋象棋都会的 2 人共 4 人中选一人参加围棋比赛，有 3412 种方法；(2)先从围棋、象棋都会的 2 人中选一人参加象棋比赛，再从余下的另一人和只会围棋的 2 人合在一起选一人参加围棋赛，有 236 种方法综上(1)、(2)，根据分类加法计数原理知，共有 12618 种不同的选法
