1、2019 年湖南省株洲市高考数学二模试卷（文科）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）已知集合 M1，0，1，2，Nx|1x3，则 MN （ ）A 1，0，1，2，3 B 1，0，1 C1，2D 1，2，32 （3 分）复数 z2 （i 为虚数单位） ，则复数 z 的共轭复数为（ ）A2i B2+i C4i D4+i3 （3 分）如图，在边长为 1 的正方形内有不规则图形 ，由电脑随机从正方形中抽取10000 个点，若落在图形 内和图形 外的豆子分别为 3335，6665，则图形 面积的估计值为（ ）A B C D4
2、（3 分）已知向量 （1，1） ， （1，2） ， （k，1） ，且（2 ） ，则实数 k（ ）A4 B4 C0 D5 （3 分）等差数列a n的公差为 1，若 a2，a 4，a 8 成等比数列，则 an的前 10 项和S10（ ）A110 B90 C55 D456 （3 分）执行如图的程序框图，则输出 x 的值是（ ）第 2 页（共 25 页）A2018 B2019 C D27 （3 分）某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示则该物质含量的众数和平均数分别为（ ）A83 和 84 B83
3、 和 85 C85 和 84 D85 和 858 （3 分）已知命题 p：x 0，e xx+1，命题 q： x（ 0，+ ） ，lnx x，则下列命题正确的是（ ）Apq B （p）q Cp（q） D （p）（q）9 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）A96 B120 C144 D18010 （3 分）已知函数 f（x ）sin2x+ cos2x，给出下列四个结论：函数 f（x）的最小正周期是 函数 f（x）在区间 上是减函数函数 f（x）的图象关于点（ ）对称函数 f（x）的图象可由函数 y2sin2x 的图象向左平移 个单位得到其中正
4、确结论的个数是（ ）第 3 页（共 25 页）A1 B2 C3 D411 （3 分）已知抛物线 y24x 与双曲线 1 的一条渐近线的交点为 M，F 为抛物线的焦点，若|MF|2，则该双曲线的离心率为（ ）A B C2 D12 （3 分）如图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 2，E 为棱 CC1 的中点，F 为棱AA1 上的点，且满足 A1F：FA 1：2，点 F，B，E，G ， H 为过 B，E，F 三点的面BMN 与正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱的交点，则下列说法错误的是（ ）AHFBEB三棱锥的体积 V 4C直
5、线 MN 与面 A1B1BA 的夹角是 45DD 1G：GC 11：3二、填空题（将答案填在答题纸上）13 （3 分）曲线 yx 2+lnx+1 在点（1，2）处的切线方程为 14 （3 分）若 x，y 满足条件 ，则 z2x +y 的最大值为 15 （3 分）设直线 l：3x +4y+a0，与圆 C：（x2） 2+（y1） 225 交于 A，B，且|AB|6，则 a 的值是 16 （3 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，a 12，S n（1 ）a n+1，b nlog 2an，则数列的前 n 项和 Tn
6、 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且 （）求角 B；（）若 D 为 BC 的中点，AB2，AD ，求ABC 的面积第 4 页（共 25 页）18如图，四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD平面 ABE，AB10，AE6，BE8（）求证：平面 ADE平面 BCE；（）若线 DE 与面 ABCD 的夹角正弦值为 ，求几何体 ABCDE 的体积19随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备
7、推出一款流量包该通信公司选了人口规模相当的 4 个城市采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价：x（单位：元/月）和购买总人数 y（单位：万人）的关系如表：定价 x（元/月） 20 30 50 60年轻人（40 岁以下） 10 15 7 8中老年人（40 岁以及 40 岁以上） 20 15 3 2购买总人数 y（万人） 30 30 10 10（）根据表中的数据，请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求出 y 关于 x 的回归方程；并估计 10 元/月的流量包将有多少人购买？（）若把 50 元/月以下（不包括 50 元）的流量包称为低价流量包，50 元以上（包括50
8、元）的流量包称为高价流量包，试运用独立性检验知识，填写下面列联表，并通过计算说明是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关？定价 x（元/月） 小于 50 元 大于或等于 50 元 总计第 5 页（共 25 页）年轻人（40 岁以下）中老年人（40 岁以及 40 岁以上）总计参考公式：其中 x ， ， K2 ，其中 na+b+c+d参考数据：P（K 2k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，椭
9、圆 C 截直线 y1 所得的线段的长度为 2 （）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 D 是椭圆 C 上的点，O 是坐标原点，若 ，判定四边形 OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由21已知函数 f（x ）ln（x+1）+ax 2x ，g（x）alnx ln（x+1）ax 2+2x（）若 a0，讨论函数 f（ x）的单调性；（）设 h（x）f（x）+g（x） ，且 h（x）有两个极值点 x1，x 2，其中 x1（0， ，求 h（x 1）h（x 2）的最小值 （注：其中 e 为自然对数的底数）选修 4-4：坐标系与参数方程22在直
10、角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数） ，现以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系第 6 页（共 25 页）（）求圆 C 的极坐标方程；（）设 P，Q 是圆 C 上的两个动点，且POQ ，求 |OP|+|OQ|的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |+|x1|，a R（）若 a2，解不等式 f（x ）5；（）当 a2 时，函数 f（x）的最小值为 3，求实数 a 的值第 7 页（共 25 页）2019 年湖南省株洲市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分
11、）已知集合 M1，0，1，2，Nx|1x3，则 MN （ ）A 1，0，1，2，3 B 1，0，1 C1，2D 1，2，3【分析】进行交集的运算即可【解答】解：M1，0，1，2，Nx|1x3；MN1 ， 2故选：C【点评】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算2 （3 分）复数 z2 （i 为虚数单位） ，则复数 z 的共轭复数为（ ）A2i B2+i C4i D4+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算，把复数化简为 za+bi 的形式，再求其共轭复数即可【解答】解：z2 ， ，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （3 分）
12、如图，在边长为 1 的正方形内有不规则图形 ，由电脑随机从正方形中抽取10000 个点，若落在图形 内和图形 外的豆子分别为 3335，6665，则图形 面积的估计值为（ ）A B C D【分析】根据几何槪型的概率公式进行估计即可得到结论【解答】解：设图形 的面积为 S，因为由电脑随机从正方形中抽取 10000 个点，落在 图形内和图形 外的豆子分别第 8 页（共 25 页）3335，6665，所以 ，故选：A【点评】本题主要考查几何槪型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础4 （3 分）已知向量 （1，1） ， （1，2） ， （k，1） ，且（2 ） ，则实数
13、k（ ）A4 B4 C0 D【分析】先求出向量 2 的坐标，由（2 ） ，利用向量垂直的性质能求出 k的值【解答】解：向量 （1，1） ， （1，2） ， （k，1） ， （1，4） ，（2 ） ，（2 ） k1+140，解得 k4故选：A【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （3 分）等差数列a n的公差为 1，若 a2，a 4，a 8 成等比数列，则 an的前 10 项和S10（ ）A110 B90 C55 D45【分析】由 a2，a 4，a 8 成等比数列，列出关系式，通过公差，
14、解得：首项，再利用求和公式即可得出【解答】解：a 2，a 4，a 8 成等比数列，a 42a 2a8，可得（a 1+3d） 2（a 1+d） （a 1+7d） ，又等差数列a n的公差为 1，化简得：a 11，a 1010，则a n的前 10 项和 S10 55故选：C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计第 9 页（共 25 页）算能力，属于中档题6 （3 分）执行如图的程序框图，则输出 x 的值是（ ）A2018 B2019 C D2【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x，y 的值，当 y2019 时，不满足条件退出循环，输出
15、 x 的值即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x2，y0满足条件 y2019，执行循环体，x1，y 1；满足条件 y2019，执行循环体，x ，y 2；满足条件 y2019，执行循环体，x2，y 3；满足条件 y2019，执行循环体，x1，y 4；观察规律可知，x 的取值周期为 3，由于 20196733，可得：满足条件 y2019，执行循环体，当 x2，y2019，不满足条件 y2019，退出循环，输出 x 的值为 2故选：D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的 x，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时 x 的值是解题的关键7 （3 分）某企业对其生产
16、的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示则该物质含量的众数和平均数分别为（ ）第 10 页（共 25 页）A83 和 84 B83 和 85 C85 和 84 D85 和 85【分析】根据频率分布直方图中最高小矩形得出众数落在第三组，从而求出众数的值，再根据每个小组的频率以及中间值求出频率分布直方图的平均数【解答】解：根据频率分布直方图得出众数落在第三组80，90）内，所以众数为 85，含量在60，70）之间的频率为 0.1，含量在70，80）之间的频率为 0.2，含量在80，90）之间的频率为 0.4，根据概率和为 1，可得含量在90，1
17、00）之间的频率为 0.3，所以频率分布直方图的平均数为：650.1+750.2+850.4+950.384故选：C【点评】本题考查考查频率分布直方图中众数和平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8 （3 分）已知命题 p：x 0，e xx+1，命题 q： x（ 0，+ ） ，lnx x，则下列命题正确的是（ ）Apq B （p）q Cp（q） D （p）（q）【分析】利用导数和函数零点分别判断命题 p，q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：令 f（x ）e xx1，则 f（x ）e x1，当 x0 时，f （x）0，所以 f（x
18、 ）在（0，+） 单调递增，f（x）f（0）0，x0， exx+1 ，p 真；第 11 页（共 25 页）令 g（x）lnxx ，g（x） 1 ，当 0x1 时，g（x ）0，当 x1 时，g（x）0，即当 x1 时，g（x）取得极大值，同时也是最大值 g（1）10，所以 g（x）0 在（0，+） 恒成立，则 q 为假命题；则 p（q）为真命题，故选：C【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，构造函数利用导数研究函数最值是解决本题的关键9 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）A96 B120 C144 D180【分析】由已知中的三视图，可得该几何体
19、是一个以侧视图为底面的柱体，分别求出柱体的底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，柱体的底面由一个边长为 4 的正方形和一个底边长为 4，高为 2 的三角形组成，故柱体的底面面积 S44+ 2420，柱体的高即为三视图的长，即 h6故柱体的体积 VSh120，故选：B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，难度不大，属于基础题10 （3 分）已知函数 f（x ）sin2x+ cos2x，给出
20、下列四个结论：函数 f（x）的最小正周期是 第 12 页（共 25 页）函数 f（x）在区间 上是减函数函数 f（x）的图象关于点（ ）对称函数 f（x）的图象可由函数 y2sin2x 的图象向左平移 个单位得到其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】先利用两角和与差的三角函数公式对函数 f（x）化简，求解函数的周期判断的正误；利用函数的单调性判断 的正误；利用函数 ysin x 的对称中心判断 的正误；利用函数的图象的变换判断的正误；【解答】解：函数 f（x ）sin2x+ cos2x2sin（2x + ） ，因为 2，则 f（x）的最小正周期 T，结论正确当 时
21、， ，ysinx 在0，上不是单调函数，结论错误因为 f（ ）0，则函数 f（x）图象的一个对称中心为 结论正确函数 f（x）的图象可由函数 ysin2x 的图象向左平移 个单位得到，结论错误故正确结论有 ，故选：B【点评】本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的周期性、对称性、单调性以及图象平移问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题11 （3 分）已知抛物线 y24x 与双曲线 1 的一条渐近线的交点为 M，F 为抛物线的焦点，若|MF|2，则该双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【分析】设出 M 坐标，利用抛物
22、线的定义以及双曲线方程，转化推出 a，c 关系，即可得到双曲线的离心率【解答】解：设 M（m，n） ，则由抛物线的定义可得|MF|m+12，m1，n 24，n2 ，第 13 页（共 25 页）点 M（1，2）代入双曲线的渐近线方程 ， ， 5， ，故选：D【点评】本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力12 （3 分）如图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 2，E 为棱 CC1 的中点，F 为棱AA1 上的点，且满足 A1F：FA 1：2，点 F，B，E，G ， H 为过 B，E，F 三点的面BMN 与正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱的交点，则下
23、列说法错误的是（ ）AHFBEB三棱锥的体积 V 4C直线 MN 与面 A1B1BA 的夹角是 45DD 1G：GC 11：3【分析】利用平面与平面平行的性质判断 A 正误；通过等体积转换求解三棱锥NBMB 1 的体积判断 B 的正误；通过作面的垂线求线面角判断 C 的正误；通过三角形相似判断 D 的正误【解答】解：A 项：因为面 AD1面 BC1，且面 AD1 与面 MBN 的交线为 FH，面 BC1 与面 MBN 的交线为 BE，所以 HFBE ，A 正确；B 项：A 1F：FA1：2，MA 1：AB1：2，MA 11，同理可得 C1NBC2，B 1N4，V V N MBB1
24、SBMB1 B1N 2344，B 正确；C 项：B 1N面 A1B1BA，所以 NMB 1 即为所求线面角，tanNMB 1 1，即NMB 1 ，C 错；第 14 页（共 25 页）D 项： ，MB 13，C 1G ，D 1G ，D 1G：GC 11：3，D 对故选：C【点评】本题考查面面平行的性质定理，等体积转换求解三棱锥的体积，线面角的求法，以及利用平行关系推导三角形相似进而利用相似比求线段长，比较综合，属于中档题二、填空题（将答案填在答题纸上）13 （3 分）曲线 yx 2+lnx+1 在点（1，2）处的切线方程为 y3x1 【分析】先对原函数求导，再令 x1 解出切线的斜率，利用点斜式
25、求出切线方程【解答】解：曲线 f（x ）x 2+lnx+1，可得 f（x ）2x+ ，f（1）2+1 3，所以 k3，切线方程为：y23（x 1） ，即 y3x1故答案为：y3x 1【点评】本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程14 （3 分）若 x，y 满足条件 ，则 z2x +y 的最大值为 4 【分析】先作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z2x+y 得 y2x +z，平移直线 y2x +z，由图象可知当直线 y2x +z 经过（2，0）时，直线 y2x+z 的截距最大，此时 z
26、最大代入目标函数 z2x+y 得 z22+04第 15 页（共 25 页）即目标函数 z2x+y 的最大值为 4，故答案为：4【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合是解决此类问题的基本方法15 （3 分）设直线 l：3x +4y+a0，与圆 C：（x2） 2+（y1） 225 交于 A，B，且|AB|6，则 a 的值是 10 或30 【分析】首先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出 a 即可【解答】解：根据题意，圆 C：（x 2） 2+（y 1） 225，其圆心 C（2，1） ，半径为r5，又由|AB|6，则 d 4，即圆心到直线的距离为
27、4；则有 d 4，解可得 a10 或30；故答案为：10 或30【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交的垂径定理以及点到直线距离公式的应用16 （3 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，a 12，S n（1 ）a n+1，b nlog 2an，则数列的前 n 项和 Tn 第 16 页（共 25 页）【分析】由题意可得 Sn（1 ）a n+1，n2 时，S n1 （1 ）a n，两式作差，得 2，经过检验得出数列a n 的通项公式，进而求得 ，裂项相消求和即可【解答】解：a 12，S n（1 ）a n+1，n2 时，S n1 （1 ）a n，两式作差，得 a
28、n（1 ）a n+1（1 ）a n，化简得 2，检验：当 n1 时，S 1a 1 a2，即 a24， 2，所以数列a n 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列；an2 n，b nlog 2ann， ，前 n 项和 Tn1 + + 1 故答案为： 【点评】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前 n 项和，解题过程中需要注意 n 的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且 （）求角 B；（）若 D 为 BC 的中点，AB2，AD ，求ABC 的面积【分析】 （）利用正弦定
29、理把边化角，利用 B 的正切值求角；（）先利用余弦定理解出 BD，求出 BC，再利用面积公式即可求解第 17 页（共 25 页）【解答】解：（） ， sinAcosBsinBsinA，A，B（0 ，180）tanB ，B60（）设 BDx，在ABD 中，由余弦定理：x 2+2222x cos607，解得：x3 或1（舍去） ，BC6，S ABC 3 【点评】本题考查正余弦定理综合应用，利用正弦定理边角互化达到化简的目的，利用余弦定理求三角形的边，以及面积公式的应用，属于基础题18如图，四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD平面 ABE，AB10，AE6，BE8（）求证：平面 ADE平面 BC
30、E；（）若线 DE 与面 ABCD 的夹角正弦值为 ，求几何体 ABCDE 的体积【分析】 （）由已知条件推导出 DABE，AEBE，由此能证明 BE面 ADE，从而得到平面 ADE平面 BCE（）作 EFAB 于 F，连结 DF，通过 DE 与面 ABCD 夹角的正弦值求得 EF，进而得到 DA 的值，再利用锥体体积公式求出体积即可【解答】证明：（）四边形 ABCD 是矩形，DAAB，第 18 页（共 25 页）又平面 ABCD平面 ABE，DA面 ABE，DABE，又AB10，AE 6，BE8 ，AB 2AE 2+BE2，AEBE，又 DAAEA ， BE面 ADE，平面 ADE平面 BC
31、E解：（）作 EFAB 于 F，连结 DF，则EDF 为线 DE 与面 ABCD 的夹角，线 DE 与面 ABCD 的夹角正弦值为 ，sinEDF ，EF ，DE 8，DA 2 ，几何体 ABCDE 的体积：VE ABCD 32 【点评】本题考查面面垂直判定定理的应用，已知线面角的三角函数值求线段长，以及锥体体积公式，作出面的垂线是解题关键19随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包该通信公司选了人口规模相当的 4 个城市采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包
32、的定价：x（单位：元/月）和购买总人数 y（单位：万人）的关系如表：定价 x（元/月） 20 30 50 60年轻人（40 岁以下） 10 15 7 8中老年人（40 岁以及 40 岁以上） 20 15 3 2第 19 页（共 25 页）购买总人数 y（万人） 30 30 10 10（）根据表中的数据，请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求出 y 关于 x 的回归方程；并估计 10 元/月的流量包将有多少人购买？（）若把 50 元/月以下（不包括 50 元）的流量包称为低价流量包，50 元以上（包括50 元）的流量包称为高价流量包，试运用独立性检验知识，填写下面列联表，并通过计算说明是否
33、能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关？定价 x（元/月） 小于 50 元 大于或等于 50 元 总计年轻人（40 岁以下）中老年人（40 岁以及 40 岁以上）总计参考公式：其中 x ， ， K2 ，其中 na+b+c+d参考数据：P（K 2k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【分析】 （）利用所给公式与参考数值即可求解回归方程，令 x10 代入即可求出此时 y 的估计值；（）根据流量包的定价和购买总人数的关系表中的数值填写列联表，
34、计算 K2 的值，比较它与 6.635 的大小即可【解答】解：（）由题意，计算 第 20 页（共 25 页）0.6， 20（0.6）4044；所以：y 关于 x 的回归方程是： 0.6x +44，当 x10 时， 0.610+4438，所以估计 10 元/月的流量包将有 38 万人购买；（）由题意填写列联表如下；定价 x（元/月） 小于 50 元 大于或等于 50 元 总计年轻人（40 岁以下） 25 15 40中老年人（40 岁以及 40 岁以上） 35 5 40总 计
35、 60 20 80由表中数据，计算 K2 6.667，且 6.6676.635，所以能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关【点评】本题考查了线性回归方程的求法应用问题，也考查了独立性检验的应用问题和计算能力，属于基础题20已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，椭圆 C 截直线 y1 所得的线段的长度为 2 （）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 D 是椭圆 C 上的点，O 是坐标原点，若 ，判定四边形 OADB 的面
36、积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由【分析】 （）根据椭圆 C 截直线 y1 所得的线段的长度为 2 ，可得椭圆过点（ ，1） ，结合离心率即可求得椭圆方程；（）分类讨论：当直线 l 的斜率不存在时，四边形 OADB 的面积为 ； 当直线 l 的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由 ，得 ，y D第 21 页（共 25 页）代入曲线 C，整理出 k，m 的等量关系式，再根据 S 平行四边形 OAPB| AB|d，写出面积的表达式整理即可得到定值【解答】解：（）由 ， ，a 2b 2+c2解得 a2，bc 得椭圆 C 的方程为 （）当直线 l 的斜率不存在时，直线 AB
37、 的方程为 x1 或 x1，此时四边形 OADB 的面积为 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 方程是 ykx+m，联立椭圆方程消 y 可得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m240（4km） 24（2k 2+1） （2m 24）8（4k 2+2m 2）0，则 m24k 2+2，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， y1+y2k（x 1+x2）+2 m|AB| 点 O 到直线 AB 的距离 d由 ，得 ，y D 因为点 D 在曲线 C 上，所以有（ ） 2+2（ ） 24整理得 1+2k22m 2由题意四边形 OADB 为平行四边形，所以四边形 OADB 的面积为S 平行四
38、边形 OAPB|AB |d 第 22 页（共 25 页）由 1+2k22m 2 得 SOADB ，故四边形 OADB 的面积是定值，其定值为 【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题21已知函数 f（x ）ln（x+1）+ax 2x ，g（x）alnx ln（x+1）ax 2+2x（）若 a0，讨论函数 f（ x）的单调性；（）设 h（x）f（x）+g（x） ，且 h（x）有两个极值点 x1，x 2，其中 x1（0， ，求 h
39、（x 1）h（x 2）的最小值 （注：其中 e 为自然对数的底数）【分析】 （）对函数 f（x ） 求导，对 a 的指分情况讨论即可确定 f（x）的单调区间；（）先对 h（x） 求导，令导数式等于 0 由韦达定理求出两个极值点 x1，x 2，利用根与系数的关系整理 h（x 1）h（x 2） ，构造关于 x1 的函数，求导根据单调性确定最值即可【解答】解：（）f（x ）的定义域是（1，+） ，f（x） 当 时，f（x ）在（ 1，0） ， （ 1，+）单调递增； f（x）在（0， 1）单调递减当 a 时， f（x ） 0，f （x）在（1，+ ）单调递增当 a 时， f（x ）在（ 1， 1）
40、， （0，+）单调递增； f（x）在（ 1，0）单调递减（）h（x）x +alnx，h（x ）1+ + ，由题意得方程 x2+ax+10 的两根分别为 x1，x 2，且 x1+x2a，x 1x21x 2 ，ax 1 则 h（x 1）h（x 2）h（x 1）h（ ）2 （x 1 ）lnx 1+x1 第 23 页（共 25 页）设 u（x）2 （x ）lnx+x ，则 u（x）2（ 1）lnx lnx，当 x（0， 时， u（x ） 0 恒成立，u（x）在 x（0， 上单调递减，u（x）minu（ ） ，即 h（x 1）h（x 2）的最小值为 【点评】本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值
41、、方程与不等式的解法、一元二次方程的根与系数，考查学生的运算推理能力，属于难题选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数） ，现以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求圆 C 的极坐标方程；（）设 P，Q 是圆 C 上的两个动点，且POQ ，求 |OP|+|OQ|的最大值【分析】 （）先由参数方程写出直角坐标方程，再由 x cos，y sin即可得到圆的极坐标方程；（）先根据POQ 设出 P，Q 的极坐标，再对|OP |+|PQ|化为辅助角的形式，求出 的范围进而求出 |OP|+|OQ|的最大值【解答】解（）圆 C
42、 直角坐标方程为（ x1） 2+y21，x 2+y22x0C： 22cos 0，2cos P（ 1，） ，Q （ 2， ）|OP| 12cos，|OQ| 22cos （+ ） ，|OP|+|OQ|2cos +2cos（+ ）3cos sin2 cos（ + ） ， 第 24 页（共 25 页） 时， |OP|+|OQ|取得最大值 2 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |+|x1|，a R（）若 a2，解不等式 f（x ）5；（）当 a2 时，函数 f（x）的最小值为 3，求实数 a 的值【分析】 （）a2 时
43、，f（ x）|2x+2|+|x+1|，f （x）的两个零点分别为1 和 1，通过零点分段法分别讨论 x1，1x1，x 1，去绝对值解不等式，最后取并集即可；（）法一：a2 时， 1，化简 f（x）为分段函数，根据函数的单调性求出 f（x）在 x 处取最小值 3，进而求出 a 值法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f（x）最小值，进而求 a【解答】解（） a2 时，不等式为|2x +2|+|x1|5当 x1 时，不等式化为2x2x+15，x2，此时2x1当 1x1 时，不等式化为 2x+2x+15，x2 时，1x1；当 x1 时，不等式化为 2x+2+x15，x ，此时 1综上所述，不等式的解集为x|2 （）法一：函数 f（x ）|2xa|+| x1|，当 a2，即 1 时，f（x）所以 f（x） minf（ ） +13，得 a42（符合题意） ，故 a4法二：f（x） |2xa|+|x1| x |+|x |+|x1| |x |+|x1| （x ）（x1）| 1|所以 f（x） min| 1|3，又 a2，所以 a4【点评】本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的第 25 页（共 25 页）最值，体现了分类讨论的数学思想属中档题
