1、2019 年湖北省黄石市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）下列四个数：3，0.5， ， 中，绝对值最大的数是（ ）A3 B0.5 C D2 （3 分）国际行星命名委员会将紫金山天文台于 2007 年 9 月 11 日发现的编号为 171448的小行星命名为“谷超豪星” ，则 171448 用科学记数法可表示为（ ）A0.17144810 6 B1.7144810 5C0.17144810 5 D1.71448 1063 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心
2、对称图形的是（ ）A B C D4 （3 分）如图，该正方体的俯视图是（ ）A BC D5 （3 分）化简 （9x3）2（x+1）的结果是（ ）A2x2 Bx+1 C5x+3 Dx 36 （3 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）Ax1 且 x2 Bx1 Cx1 且 x2 Dx 17 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB边的中点是坐标原点 O，将正方形绕点 C 按逆时针方向旋转 90后，点 B 的对应点 B'的坐标是（ ）第 2 页（共 24
3、页）A （1，2） B （1，4） C （3，2） D （1，0）8 （3 分）如图，在ABC 中，B50，CDAB 于点 D，BCD 和BDC 的角平分线相交于点 E，F 为边 AC 的中点， CDCF ，则ACD+CED（ ）A125 B145 C175 D1909 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，BAx 轴于点 A，反比例函数y （x 0）的图象与线段 AB 相交于点 C，且 C 是线段 AB 的中点，点 C 关于直线yx 的对称点 C'的坐标为（1，n） （n1） ，若OAB 的面积为 3，则 k 的值为（ ）A B1 C2 D3
4、10 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 E，AD：AB ：1，将ABD 沿BD 折叠，点 A 的对应点为 F，连接 AF 交 BC 于点 G，且 BG2，在 AD 边上有一点H，使得 BH+EH 的值最小，此时 （ ）A B C D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）第 3 页（共 24 页）11 （3 分）分解因式：x 2y24x 2 12 （3 分）分式方程： 1 的解为 13 （3 分）如图，一轮船在 M 处观测灯塔 P 位于南偏西 30方向，该轮船沿正南方向以15
5、海里/小时的速度匀速航行 2 小时后到达 N 处，再观测灯塔 P 位于南偏西 60方向，若该轮船继续向南航行至灯塔 P 最近的位置 T 处，此时轮船与灯塔之间的距离 PT 为 海里（结果保留根号） 14 （3 分）根据下列统计图，回答问题：该超市 10 月份的水果类销售额 11 月份的水果类销售额（请从“” “” “”中选一个填空） 15 （3 分）如图，RtABC 中，A90，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，O 是 BC 上一点，经过 C、D 两点的 O 分别交 AC、BC 于点 E、F，AD ，ADC60，则劣弧 的长为 &nb
6、sp; 16 （3 分）将被 3 整除余数为 1 的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第 20行第 19 个数是 第 4 页（共 24 页）三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （7 分）计算：（2019） 0+| 1|2sin45+（ ） 1 18 （7 分）先化简，再求值：（ +x2） ，其中|x| 219 （7 分）若点 P 的坐标为（ ，2x9） ，其中 x 满足不等式组 ，求点 P 所在的象限20 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x26x +（4m +1） 0 有实数
7、根（1）求 m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为 x1、x 2，且| x1x 2|4，求 m 的值21 （8 分）如图，在ABC 中，BAC 90，E 为边 BC 上的点，且 ABAE ，D 为线段 BE 的中点，过点 E 作 EFAE ，过点 A 作 AFBC，且 AF、EF 相交于点 F（1）求证：CBAD ；（2）求证：ACEF22 （8 分）将正面分别写着数字 1，2，3 的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 m，然后放回洗匀
8、，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 n，组成一数对（m，n） （1）请写出（m，n）所有可能出现的结果；（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢你认为这个游戏公平吗？请说明理由第 5 页（共 24 页）23 （8 分） “今有善行者行一百步，不善行者行六十步 ”（出自九章算术 ）意思是：同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人
9、先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？24 （10 分）如图，AB 是 O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，C、E 是O 上的两点，CECB，BCDCAE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）求证：CECF；（3）若 BD1，CD ，求弦 AC 的长25 （10 分）如图，已知抛物线 y x2+bx+c 经过点 A（1，0） 、B（5，0） （1）求抛物线的解析式
10、，并写出顶点 M 的坐标；（2）若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 8，求四边形 AMBC 的面积；（3）定点 D（0，m）在 y 轴上，若将抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3个单位得到一条新的抛物线，点 P 在新的抛物线上运动，求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d（用含 m 的代数式表示）第 6 页（共 24 页）第 7 页（共 24 页）2019 年湖北省黄石市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）下列四个数：3，0.5， ， 中，绝对值最
11、大的数是（ ）A3 B0.5 C D【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小判断即可【解答】解：|3| 3，|0.5|0.5，| | ，| | 且 0.5 3，所给的几个数中，绝对值最大的数是3故选：A【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法以及绝对值的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0负实数，两个负实数绝对值大的反而小2 （3 分）国际行星命名委员会将紫金山天文台于 2007 年 9 月 11 日发现的编号为 171448的小行星命名为“谷超豪星” ，则 171448 用科学记数法可表示为（
12、 ）A0.17144810 6 B1.7144810 5C0.17144810 5 D1.71448 106【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 7760000 用科学记数法表示为：1.7144810 5故选：B【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定
13、 a 的值以及 n 的值3 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D第 8 页（共 24 页）【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确故选：D【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合4 （3 分
14、）如图，该正方体的俯视图是（ ）A BC D【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断正方体的俯视图【解答】解：正方体的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形都是正方形，故选：A【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中5 （3 分）化简 （9x3）2（x+1）的结果是（ ）A2x2 Bx+1 C5x+3 Dx 3【分析】原式去括号合并即可得到结果【解答】解：原式3x12x2x 3，故选：D第 9 页（共 24 页）【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键6 （3 分）若
15、式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）Ax1 且 x2 Bx1 Cx1 且 x2 Dx 1【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数【解答】解：依题意，得x10 且 x200，解得 x1 且 x2故选：A【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负7 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB边的中点是坐
16、标原点 O，将正方形绕点 C 按逆时针方向旋转 90后，点 B 的对应点 B'的坐标是（ ）A （1，2） B （1，4） C （3，2） D （1，0）【分析】根据旋转可得：CB 'CB 2，BCB '90，可得 B'的坐标【解答】解：如图所示，由旋转得：CB'CB2，BCB '90，四边形 ABCD 是正方形，且 O 是 AB 的中点，第 10 页（共 24 页）OB1，B'（2+1，2） ，即 B'（3，2） ，故选：C【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键8 （
17、3 分）如图，在ABC 中，B50，CDAB 于点 D，BCD 和BDC 的角平分线相交于点 E，F 为边 AC 的中点， CDCF ，则ACD+CED（ ）A125 B145 C175 D190【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到CDF 是等边三角形，进而得到ACD60，根据BCD 和BDC 的角平分线相交于点 E，即可得出CED115，即可得到ACD+CED60+115175【解答】解：CDAB，F 为边 AC 的中点，DF ACCF，又CDCF，CDDFCF，CDF 是等边三角形，ACD60，B50，BCD+BDC130，BCD 和BDC 的角平分线相交于点
18、E，DCE+CDE65，CED115，ACD+CED60+115175，故选：C第 11 页（共 24 页）【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，BAx 轴于点 A，反比例函数y （x 0）的图象与线段 AB 相交于点 C，且 C 是线段 AB 的中点，点 C 关于直线yx 的对称点 C'的坐标为（1，n） （n1） ，若OAB 的面积为 3，则 k 的值为（ ）A B1 C2 D3【分析】根据对称性求出 C 点坐标，进而得 OA 与 AB 的长度，再根据已
19、知三角形的面积列出 n 的方程求得 n，进而用待定系数法求得 k【解答】解：点 C 关于直线 yx 的对称点 C'的坐标为（ 1，n） （n1） ，C（n，1） ，OAn，AC1，AB2AC2 ，OAB 的面积为 3， ，解得，n3，C（3，1） ，k313故选：D【点评】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得 C 点坐标及由三角形的面积列出方程第 12 页（共 24 页）10 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 E，AD：AB ：1，将ABD 沿BD 折叠，点 A 的对应点为 F，连接
20、 AF 交 BC 于点 G，且 BG2，在 AD 边上有一点H，使得 BH+EH 的值最小，此时 （ ）A B C D【分析】设 BD 与 AF 交于点 M设 ABa，AD a，根据矩形的性质可得ABE、 CDE 都是等边三角形，利用折叠的性质得到 BM 垂直平分AF，BFAB a，DFDA a解直角BGM，求出 BM，再表示 DM，由ADMGBM，求出 a2 ，再证明 CFCD2 作 B 点关于 AD 的对称点B，连接 BE ，设 BE 与 AD 交于点 H，则此时 BH+EHBE，值最小建立平面直角坐标系，得出 B（3，2 ） ，B（3，2 ） ，E（0， ） ，利用待定系数法
21、求出直线 BE 的解析式，得到 H（1，0） ，然后利用两点间的距离公式求出 BH4，进而求出 【解答】解：如图，设 BD 与 AF 交于点 M设 ABa，AD a，四边形 ABCD 是矩形，DAB90，tan ABD ，BDAC 2a，ABD60，ABE 、CDE 都是等边三角形，BEDE AECEAB CDa将ABD 沿 BD 折叠，点 A 的对应点为 F，BM 垂直平分 AF，BFABa，DF DA a在BGM 中，BMG 90，GBM 30，BG2，GM BG 1，BM GM ，DM BDBM2a 矩形 ABCD 中，BCAD，第 13 页（共 24 页）ADMGBM ， ，即 ，a2
22、 ，BEDE AECEAB CD2 ，AD BC 6，BDAC 4 易证BAF FACCAD ADB BDFCDF30，ADF 是等边三角形，AC 平分DAF ，AC 垂直平分 DF，CFCD2 作 B 点关于 AD 的对称点 B，连接 BE，设 BE 与 AD 交于点 H，则此时BH+EHBE，值最小如图，建立平面直角坐标系，则 A（3，0） ，B（3，2 ） ，B（3，2 ） ，E（0，） ，易求直线 BE 的解析式为 y x+ ，H（1，0） ，BH 4， 故选：B第 14 页（共 24 页）【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位
23、置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称最短路线问题，两点间的距离公式等知识综合性较强，有一定难度分别求出 BH、CF 的长是解题的关键二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）分解因式：x 2y24x 2 x 2（y+2） （y2） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式x 2（y 24）x 2（y+2） （y2） ，故答案为：x 2（y +2） （y 2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解
24、的方法是解本题的关键12 （3 分）分式方程： 1 的解为 x1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：4xx 24x ，即 x23x40，解得：x4 或 x1，经检验 x4 是增根，分式方程的解为 x1，故答案为：x1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验13 （3 分）如图，一轮船在 M 处观测灯塔 P 位于南偏西 30方向，该轮船沿正南方向以15 海里/小时的速度匀速航行 2 小时后到达 N 处，再观测灯塔 P 位于南偏西 60方向，若该轮船继续向南航行至灯塔 P 最近的位置 T
25、 处，此时轮船与灯塔之间的距离 PT 为 第 15 页（共 24 页）15 海里（结果保留根号） 【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔 P 最近的位置 T 处，此时轮船与灯塔之间的距离为 PT”，得 PTMN，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：由题意得，MN15230 海里，PMN30，PNT 60 ，MPNPMN30，PNMN30 海里，PTPNsinPNT 15 海里故答案为：15 【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是求得 PN 的长度，属于中考常考题14 （3 分）根据下列统计图，回答问题：该超市 10 月份的水果类销
26、售额 11 月份的水果类销售额（请从“” “” “”中选一个填空） 【分析】10 月份的水果类销售额 6020%12（万元） ，11 月份的水果类销售额7015%10.5（万元） ，所以 10 月份的水果类销售额11 月份的水果类销售额【解答】解：10 月份的水果类销售额 6020%12（万元） ，11 月份的水果类销售额 7015%10.5（万元） ，所以 10 月份的水果类销售额11 月份的水果类销售额，故答案为第 16 页（共 24 页）【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键15 （3 分）如图，RtABC 中，A9
27、0，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，O 是 BC 上一点，经过 C、D 两点的 O 分别交 AC、BC 于点 E、F，AD ，ADC60，则劣弧 的长为 【分析】连接 DF，OD，根据圆周角定理得到ADF90，根据三角形的内角和得到AOD 120 ，根据三角函数的定义得到 CF 4，根据弧长个公式即可得到结论【解答】解：连接 DF，OD，CF 是O 的直径，CDF90，ADC60，A90，ACD30，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，DCF30，OCOD，OCDODC30，COD120，在 Rt CAD 中， CD2AD 2 ，在 Rt FCD 中， CF 4， O 的
28、半径2，劣弧 的长 ，故答案为 第 17 页（共 24 页）【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键16 （3 分）将被 3 整除余数为 1 的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第 20行第 19 个数是 625 【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第 20 行第 19 个数是多少，本题得以解决【解答】解：由图可得，第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数，则前 20 行的数字有：1+2+3+19+20210 个数，第 20 行第 20 个数是：1+3（2101）628，第 20 行第 19 个数是：6
29、283625，故答案为：625【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第 n 个数可以表示为 1+3（n1） 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （7 分）计算：（2019） 0+| 1|2sin45+（ ） 1 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值【解答】解：原式1+ 12 +33【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18 （7 分）先化简，再求值：（ +x2） ，其中|x| 2【分析】根据分式的运算
30、法则即可求出答案【解答】解：原式 第 18 页（共 24 页） ，|x |2 时，x2，由分式有意义的条件可知：x2，原式3【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型19 （7 分）若点 P 的坐标为（ ，2x9） ，其中 x 满足不等式组 ，求点 P 所在的象限【分析】先求出不等式组的解集，进而求得 P 点的坐标，即可求得点 P 所在的象限【解答】解： ，解得： x4，解得： x4，则不等式组的解是：x4， 1，2x91，点 P 的坐标为（1，1） ，点 P 在的第四象限【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等
31、式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）20 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x26x +（4m +1） 0 有实数根（1）求 m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为 x1、x 2，且| x1x 2|4，求 m 的值【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围；第 19 页（共 24 页）（2）由根与系数的关系可得出 x1+x26，x 1x24m +1，结合 |x1x 2|4 可得出关于 m的一元一次方程，解之即可得出 m 的值【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程 x26x
32、 +（4 m+1）0 有实数根，（6） 241（4m +1）0，解得：m2（2）方程 x26x +（4m+1）0 的两个实数根为 x1、x 2，x 1+x26，x 1x24m+1 ，（x 1x 2） 2（x 1+x2） 24x 1x24 2，即 3216m16，解得：m1【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程有实数根” ；（2）利用根与系数的关系结合|x 1x 2|4，找出关于 m 的一元一次方程21 （8 分）如图，在ABC 中，BAC 90，E 为边 BC 上的点，且 ABAE ，D 为线段 BE 的中点，过点 E 作 EFAE ，过点 A
33、 作 AFBC，且 AF、EF 相交于点 F（1）求证：CBAD ；（2）求证：ACEF【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得 ADBC，由余角的性质可得CBAD；（2）由“ASA”可证ABC EAF，可得 ACEF【解答】证明：（1）ABAE，D 为线段 BE 的中点，ADBCC+DAC90，BAC90BAD+DAC90CBAD（2）AFBCFAE AEB第 20 页（共 24 页）ABAEBAEBBFAE，且AEF BAC 90，AB AEABCEAF（ASA ）ACEF【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键22 （8 分）将正面分
34、别写着数字 1，2，3 的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 m，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 n，组成一数对（m，n） （1）请写出（m，n）所有可能出现的结果；（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢你认为这个游戏公平吗？请说明理由【分析】 （1）利用枚举法解决问题即可（2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的
35、概率即可判断【解答】解：（1） （m，n）所有可能出现的结果：（ 1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，2） ，（2，1） ， （2，3） ， （3，1） ， （3，2） ， （3，3） （2）数字之和为奇数的概率 ，数字之和为偶数的概率 ， ，这个游戏不公平【点评】本题考查游戏公平性，概率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型23 （8 分） “今有善行者行一百步，不善行者行六十步 ”（出自九章算术 ）意思是：同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再
36、行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走第 21 页（共 24 页）600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【分析】 （1）设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步列方程求解即可；（2）设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100 步，走路慢的人只能走 60 步，及追及问题可列
37、方程求解【解答】解：（1）设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，由题意得x：600100：60x10001000600100300答：当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步（2）设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，由题意得y200+ yy500答：走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人【点评】本题考查了应用一元一次方程求解古代行程数学问题，本题中等难度24 （10 分）如图，AB 是 O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，C、E 是O 上的两点，CECB，BCDCAE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F（1）求证：CD 是
38、O 的切线；（2）求证：CECF；（3）若 BD1，CD ，求弦 AC 的长【分析】 （1）连接 OC，可证得CADBCD，由CAD+ABC90，可得出第 22 页（共 24 页）OCD90，即结论得证；（2）证明ABCAFC 可得 CBCF，又 CBCE ，则 CECF；（3）证明CBDDCA，可求出 DA 的长，求出 AB 长，设 BCa，AC a，则由勾股定理可得 AC 的长【解答】解：（1）连接 OC，AB 是O 的直径，ACB90，CAD+ABC90，CECB，CAECAB，BCDCAE，CABBCD，OBOC，OBCOCB，OCB+BCD90，OCD90，CD 是O 的切线；（2）
39、BACCAE，ACBACF 90，ACAC，ABCAFC（ASA ） ，CBCF，又CBCE，CECF；（3）BCDCAD，ADCCDB，第 23 页（共 24 页）CBDDCA， ， ，DA2，ABAD BD211，设 BCa，AC a，由勾股定理可得： ，解得：a ， 【点评】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线25 （10 分）如图，已知抛物线 y x2+bx+c 经过点 A（1，0） 、B（5，0） （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 M 的坐标；（2）若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐
40、标为 8，求四边形 AMBC 的面积；（3）定点 D（0，m）在 y 轴上，若将抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3个单位得到一条新的抛物线，点 P 在新的抛物线上运动，求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d（用含 m 的代数式表示）【分析】 （1）函数的表达式为：y （x+1） （x 5） ，即可求解；（2）S 四边形 AMBC AB（y Cy D） ，即可求解；第 24 页（共 24 页）（3）抛物线的表达式为：y x2，即可求解【解答】解：（1）函数的表达式为：y （x+1） （x 5 ） （x 24x 5） x2x ，点 M 坐标为（2，3） ；（2）当 x8 时，y （x +1） （x5）9，即点 C（8，9） ，S 四边形 AMBC AB（y Cy D） 6（9+3）36；（3）y （x+1） （x 5） （x 24x5） （x 2） 23，抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y x2，则定点 D 与动点 P 之间距离 PD ， ，PD 有最小值，当 x23m 时，PD 最小值 d 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大
