1、2018 年山东省枣庄市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 UR， A x|x2x20，则 UA（ ）A1，2 B （1，2） C （2，1） D 2，1）2 （5 分）已知复数 z ，其中 i 为虚数单位，则| z|（ ）A B C D23 （5 分）已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aacb Bcab Cabc Dc ba4 （5 分）如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A
2、i2015？ Bi 2017？ Ci2018 ？ Di2016？5 （5 分）若（x 2a） （x + ） 10 的展开式 x6 的系数为 30，则 a 等于（ ）A B C1 D26 （5 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此第 2 页（共 32 页）点取自阴影部分的概率是（ ）A B C D7 （5 分）已知 ，则 sin2（ ）A B C D8 （5 分）函数 f
3、（x ）ln（| x|1）+x 的大致图象是（ ）A BC D9 （5 分）已知 ，则满足 f（2x +1）f（2）成立的 x 取值范围是（ ）A BC D10 （5 分）某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为（ ）第 3 页（共 32 页）A B C D11 （5 分）设 F1、F 2 是椭圆 C： 的两个焦点，若 C 上存在点 M 满足F 1MF2120，则 m 的取值范围是（ ）A B （0，1 8 ，+ ）C D （0，14，+）12 （5 分）已知函数 f（x
4、 ）（1+2x） （x 2+ax+b） （a，bR）的图象关于点（1，0）对称，则 f（x ）在1，1上的值域为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则（x +1） 2+y2 的最大值为 14 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，AB4， ，若 ，则 15 （5 分）已知圆 M 与直线 xy0 及 xy +40 都相切，圆心在直线 yx+2 上，则圆 M 的标准方程为 16 （5 分）已知 f（x ）sinxc
5、os x ，若函数 f（x ）图象的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间（2 ，3） ，则 的取值范围是 （结果用区间表示）三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.17 （12 分）S n 为数列a n的前 n 项和已知 an0， （）求a n的通项公式；第 4 页（共 32 页）（）设 ，求数列b n的前 n 项和 Tn18 （12 分）在四棱锥 SABCD 中，平面 SAB平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD（）证明：SA平面 ABCD；（）若底面 ABCD 为矩形，SA2AD3AB，F 为 SC 的中点， ，求直线 EF与平面 SCD
6、所成角的正弦值19 （12 分）随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了 40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了 6 个区间：（0，10、 （10，20、 （20 ，30、 （30，40 、 （40，50、 （ 50，60，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间 t，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：学习时间（分钟/天） t20 20t50 t50喜好等级 一般 爱好 痴迷（）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数 m 甲 （精确到
7、0.01） ；（）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的 40 名学生一周内平均每天学习数学的时第 5 页（共 32 页）间的平均值 与 及方差 与 的大小关系（只需写出结论） ，并计算其中的、 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）记事件 A：“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 A 的概率20 （12 分）已知抛物线 C： ，不过坐标原点 O 的直线 l 交于 A，B 两点（）若 OAOB，证明：直线 l 过定点；（）设过 A 且与 C 相切的直线为 l1，过 B 且与 C 相切的直线为 l2当 l1
8、与 l2 交于点（1，2）时，求 l 的方程21 （12 分）已知 f（x ）x 21alnx（aR） （）若曲线 yf（x）与 x 轴有唯一公共点 A，求 a 的取值范围；（）若不等式 f（x ）e x1 +x2x1 对任意的 x1 恒成立，求 a 的取值范围请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l的参数方程为 （t 为参数） （）若 a1，求直线 l 被曲线 C 截得的线段的长度；（）若 a11，在曲线 C 上求一点 M
9、，使得点 M 到直线 l 的距离最小，并求出最小距离选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x a |（）当 a4 时，求不等式 f（x ）3 的解集；（）设函数 g（x）|x+1|当 xR 时，f （x）+g（x）1 恒成立，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 32 页）2018 年山东省枣庄市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 UR， A x|x2x20，则 UA（ ）A1，2 B （1，2） C （2，1） D 2，
10、1）【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，根据全集 UR，求出 A 的补集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得：（x2） （x +1）0，解得：x1 或 x2，即 A（，1 2，+） ，UR， UA（1，2） ，故选：B【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2 （5 分）已知复数 z ，其中 i 为虚数单位，则| z|（ ）A B C D2【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，再利用复数求模公式计算得答案【解答】解：z ，则|z| 故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3 （5 分）已知 ， ，
11、，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aacb Bcab Cabc Dc ba【分析】由指数函数和对数函数的单调性求解即可【解答】解：0 3 01， log 310， ，第 7 页（共 32 页）cab故选：B【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了指数函数和对数函数的单调性，是基础题4 （5 分）如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）Ai2015？ Bi 2017？ Ci2018 ？ Di2016？【分析】根据已知中程序的功能是求 S 的值，由于满足条件进入循环，每次累加的是 的值，当 i2014 时进入循环，进而得到答案【解答】解：程序的功能
12、是求 S 的值，且在循环体中，SS+ 表示，每次累加的是 的值，故当 i2018 应满足条件进入循环，i2018 时就不满足条件，分析四个答案可得条件为：i2018？故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，利用当型循环结构进行累加运算时，如果每次累加的值为循环变量值时，一般条件为循环条件小于等于终值，若本题是填空题，则最优解为 i2018第 8 页（共 32 页）5 （5 分）若（x 2a） （x + ） 10 的展开式 x6 的系数为 30，则 a 等于（ ）A B C1 D2【分析】根据题意求出（x+ ） 10 展开式中含 x4 项、x 6 项的系数，得出（ x2a）（x+
13、 ） 10 的展开式中 x6 的系数，再列出方程求出 a 的值【解答】解：（x+ ） 10 展开式的通项公式为：Tr+1 x10r x102r ；令 102r4，解得 r3，所以 x4 项的系数为 ；令 102r6，解得 r2，所以 x6 项的系数为 ；所以（x 2a） （x + ） 10 的展开式中 x6 的系数为：a 30，解得 a2故选：D【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题目6 （5 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、一块正方形和一块平行四
14、边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A B C D【分析】求出阴影部分的面积，根据几何概型的定义求出满足条件的概率即可【解答】解：设正方形的面积是 1，结合图象，阴影部分是和大三角形的面积相等，第 9 页（共 32 页）从而阴影部分占正方形的 ，故满足条件的概率 p ，故选：C【点评】本题考查了几何概型问题，考查数形结合思想，是一道基础题7 （5 分）已知 ，则 sin2（ ）A B C D【分析】由已知直接利用万能公式求值【解答】解：由 ，得sin2 cos（ ） 故选：B【点评】本题考查三角函数的化简求值，
15、考查万能公式的应用，是基础题8 （5 分）函数 f（x ）ln（| x|1）+x 的大致图象是（ ）A BC D【分析】化简 f（x ） ，利用导数判断 f（x）的单调性即可得出正确答案【解答】解：f（x ）的定义域为 x|x1 或 x1第 10 页（共 32 页）f（x） ，f（x） ，当 x1 时，f（x）0，当 x2 时，f （x）0，当2x1 时，f（x）0，f（x）在（ ，2）上单调递增，在（2，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增故选：A【点评】本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题9 （5 分）已知 ，则满足 f（2x +1）f（2）成立的 x 取值
16、范围是（ ）A BC D【分析】判断函数的奇偶性，然后转化求解不等式的解集即可【解答】解： ，f（x ）f（x） ，所以函数 f（x ）是偶函数，在 x0 时是增函数，所以 f（2x+1）f（2） ，可得|2 x+1|2，解得： x 故选：B【点评】本题考查分段函数以及函数的大小以及函数的奇偶性的应用，绝对值不等式的解法，考查计算能力10 （5 分）某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为（ ）第 11 页（共 32 页）A B C D【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体是四棱锥 ABCDE
17、，其中底面 BCDE为边长是 4 的正方形，侧面 ABE 为等腰三角形，侧面 ADC 为等腰三角形，然后由三角形面积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥 ABCDE，其中底面 BCDE 为边长是 4 的正方形，侧面 ABE、ADC 为等腰三角形，侧面 ABC、AED 为直角三角形ABE 底边 BE 上的高为 2， ，AC ，等腰三角形 ACD 底边 CD 上的高为 ， 这些等腰三角形的面积之和为 4+4 故选：B【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题11 （5 分）设 F1、F 2 是椭圆 C： 的两个焦点，若 C 上存在点 M 满
18、足第 12 页（共 32 页）F 1MF2120 ，则 m 的取值范围是（ ）A B （0，1 8 ，+ ）C D （0，14，+）【分析】分类讨论，由要使椭圆 C 上存在点 M 满足F 1MF2120，F 1MO60，当假设椭圆的焦点在 x 轴上，F 1MF2120，F 1MO60，tanF 1MOtan60，当即可求得椭圆的焦点在 y 轴上时，F 1MF2120，F 1MO60，通过tanF 1MO，即可求得 m 的取值范围【解答】解：假设椭圆 C： 的焦点在 x 轴上，则 2m，假设 M 位于短轴的端点时， F 1MF2 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足F 1MF2
19、120 ，F 1MF2120 ，F 1MO60，tanF 1MO tan60 ，解得：m8；当椭圆的焦点在 y 轴上时，0m 3，假设 M 位于短轴的端点时， F 1MF2 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足F 1MF2120 ，F 1MF2120 ，F 1MO60，tanF 1MO tan60 ，解得：0m，m 的取值范围是（0， 8，+）故选：A第 13 页（共 32 页）【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）（1+2x） （x 2+ax+b） （a，bR）的图象关于点（
20、1，0）对称，则 f（x ）在1，1上的值域为（ ）A B C D【分析】根据函数的对称性得到关于 a，b 的方程组，求出 a，b，求出函数 f（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出 f（x ）的最大、小值即可【解答】解：由 f（x ）的图象关于点（1，0）对称，得 f（1）3（a+b+1 ）0，而 f（ ）f（ ）6（ + a+b）0， ，联立，解得： a ， b ，第 14 页（共 32 页）故 f（x）（1+2x） （x 2 x+ ） ，f（x）6x 212x+ ，令 f（x）0 ，解得：x ，或 x （舍） ，故 f（x）在 1， ）递增，在（ ，1递减，故
21、 f（x） maxf（ ） ，f （1）0，f（1）7则 f（x）在 1，1上的值域为7， 故选：D【点评】本题考查了函数的对称性和单调性问题，考查导数的应用以及求函数的最值问题，是一道中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则（x +1） 2+y2 的最大值为 4 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可【解答】解：实数 x，y 满足 的可行域如图：则 的几何意义是可行域内的点与 P（1，0）的距离的平方，由可行域可知 A（1，0）到 P（1，0）距离最大，显然距离最大值为：2则（x+1） 2+y2 的
22、最大值为：4故答案为：4第 15 页（共 32 页）【点评】本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义，是基本知识的考查14 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，AB4， ，若 ，则 11 【分析】用 表示出 ，根据 解出答案【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AB4， ， ， ， （ ） 121，11故答案为：11【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题15 （5 分）已知圆 M 与直线 xy0 及 xy +40 都相切，圆心在直线 yx+2 上，则圆 M 的标准方程为 x 2+（y 2） 22 【分析】根据圆心在直线 yx+2 上，设出圆心坐标为（a，2a） ，利用圆 C
23、与直线xy0 及 x y+40 都相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程【解答】解：圆心在 yx +2 上，设圆心为（a，2a） ，圆 C 与直线 xy0 及 xy+40 都相切，第 16 页（共 32 页）圆心到直线 xy 0 的距离等于圆心到直线 xy+40 的距离，即： ，解得 a0，圆心坐标为（0，2） ，r ，圆 C 的标准方程为 x2+（y 2） 22故答案为：x 2+（y 2） 22【点评】本题主要考查圆的标准方程的求解，根据条件利用待定系数法是解决本题的关键，是基础题16 （5 分）已知 f（x ）sinxcos x ，若函数 f（x ）图象的任何一条对称轴与 x 轴交
24、点的横坐标都不属于区间（2 ，3） ，则 的取值范围是 （结果用区间表示）【分析】由已知化简函数解析式可得 f（x ） sin（x ） （ ） ，利用正弦函数的对称性可得 1，令 x k+ ，k Z，可得数 f（x）图象的对称轴为：x ，k Z，由 2 ，且 3，kZ，可得，且 ，分类讨论即可得解 的取值范围【解答】解：f（x ）sin xcos x sin（x ） （ ，xR） ，若 f（x）的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间（2，3 ） ，则 32 ， 1，即 1，令 x k+ ，k Z，可得数 f（x）图象的对称轴为： x ，kZ ， 2，且 3 ，k Z，
25、解得： k+ ，kZ， 且 k+ ，kZ，第 17 页（共 32 页） ，且 ，解得： ，1 ，且 ， ，综上，可得 的取值范围是： 故答案为： 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期性及对称性，考查了分类讨论思想及数形结合思想的综合应用，属于中档题三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.17 （12 分）S n 为数列a n的前 n 项和已知 an0， （）求a n的通项公式；（）设 ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （）利用已知条件，求出数列的首项，判断数列是等差数列，然后求a n的通项公式；（）化简 ，利用裂项消项法求解数列的和即可【解答】解：（）当
26、 n1 时，有 ，即（a 14） （a 1+1）0因为 a10，所以 a1+10从而 a140，即 a14由 ，知 两式相减，得 即 ，即 ，即（a n+1+an） （a n+1a n3）0因为 an0，所以 an+1a n30，即 an+1a n3所以，数列a n是首项为 4，公差为 3 的等差数列所以 an4+3（n1）3n+1（）由（）知 数列b n的前 n 项和为第 18 页（共 32 页） 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力18 （12 分）在四棱锥 SABCD 中，平面 SAB平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD（）证明：SA平
27、面 ABCD；（）若底面 ABCD 为矩形，SA2AD3AB，F 为 SC 的中点， ，求直线 EF与平面 SCD 所成角的正弦值【分析】 （）证法 1：在平面 ABCD 内过点 C 作两条直线 l1，l 2，使得l1AB ， l2AD通过平面 SAB平面 ABCD，平面 SAB平面 ABCDAB，推出 l1平面 SAB得到 l1SA l 2 SA然后证明 SA平面 ABCD证法 2：在平面 SAB 内过点 S 作 l1AB，在平面 SAD 内过点 S 作 l2AD平面 SAB平面 ABCD，说明 l1平面 ABCD同理可证 l2平面 ABCD然后证明 SA平面ABCD（）分别以 、 、 所在
28、方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz设 SA6，求出平面 SCD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线 EF与平面 SCD 所成角的正弦值【解答】 （）证法 1：在平面 ABCD 内过点 C 作两条直线 l1，l 2，使得 l1AB， l2AD 因为 ABAD A，所以 l1，l 2 为两条相交直线因为平面 SAB平面 ABCD，平面 SAB平面 ABCDAB ，l 1平面 ABCD，l 1AB，所以 l1平面 SAB第 19 页（共 32 页）所以 l1SA同理可证 l2SA又因为 l1平面 ABCD，l 2平面 ABCD，l 1l 2C ，所以 SA平面
29、 ABCD证法 2：在平面 SAB 内过点 S 作 l1AB，在平面 SAD 内过点 S 作 l2AD因为平面 SAB平面 ABCD，平面 SAB平面 ABCDAB ，l 1平面 SAB，l 1AB，所以l1平面 ABCD同理可证 l2平面 ABCD而过点 S 作平面 ABCD 的垂线有且仅有一条，所以 l1 与 l2 重合所以 l1平面 SAD所以，直线 l1 为平面 SAB 与平面 SAD 的交线所以，直线 l1 与直线 SA 重合所以 SA平面 ABCD（）如图，分别以 、 、 所在方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Axyz设 SA6，则 AB2，AD3，B（2
30、，0，0） ，C（2，3，0） ，D（0，3，0） ，S（0，0，6） 第 20 页（共 32 页）由 F 为 SC 的中点，得 ；由 ，得 E（2，2，0） 所以 ， ， 设平面 SCD 的一个法向量为 ，则 ，即 取 z1，则 y2，x 0所以 所以 所以，直线 EF 与平面 SCD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力19 （12 分）随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了 40名学生，记录他们在
31、一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了 6 个区间：（0，10、 （10，20、 （20 ，30、 （30，40 、 （40，50、 （ 50，60，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间 t，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：学习时间（分钟/天） t20 20t50 t50第 21 页（共 32 页）喜好等级 一般 爱好 痴迷（）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数 m 甲 （精确到 0.01） ；（）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的 40 名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值 与 及方差 与 的大小关系（只需写出结论） ，并计算其中的、
32、 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）记事件 A：“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 A 的概率【分析】 （）根据定义计算甲学生一周内平均每天学习数学时间的中位数；（）判断甲、乙二人的平均数与方差的大小，再计算；（）由题意用频率估算所求的概率值【解答】解：（）根据题意，计算甲学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数为m 甲 20+ 1026.67；（） ；+350.2+450.15+550.0527.5；+（2527.5） 20.3+（3527.5）20.2+（4527.5） 20.15+（5527
33、.5） 20.05178.75（）由题意，甲高中学生对数学的喜好程度为“一般” 、 “爱好” 、 “痴迷”的概率分别为 0.05、0.8、0.15；P（A）0.650.05+0.05（0.05+0.8）0.075；【点评】本题考查了频率分布直方图与样本特征值的应用问题，是基础题20 （12 分）已知抛物线 C： ，不过坐标原点 O 的直线 l 交于 A，B 两点（）若 OAOB，证明：直线 l 过定点；（）设过 A 且与 C 相切的直线为 l1，过 B 且与 C 相切的直线为 l2当 l1 与 l2 交于点（1，2）时，求 l 的方程【分析】 （）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2
34、） 显然直线 l 的斜率存在，设为 k，直线的方第 22 页（共 32 页）程为 ykx+m由题意，m0由 ，得 x22kx2m0利用判别式以及韦达定理，利用向量的数量积为 0，求出 m，定点直线 l 的方程为 ykx+2直线 l 过定点（0，2） （）解法一：过点（1，2）且与 C： 相切的直线的斜率必存在，设其斜率为 k，则其方程 yk （x1）2由 消去 y 并整理得 x22kx+2（k+2）0利用判别式以及韦达定理求出 A，B 坐标，即可求解直线 l 的方程为 yx+2解法二：利用导数 ，所以过 A 且与 C 相切的直线 l1 的斜率为 x1同理 l2 的斜率为 x2l 1： 同理 l
35、2： l 1 与 l2 的交点（1，2）的坐标为方程组 的解，转化求解直线方程解法三：求出 ，所以过 A 且与 C 相切的直线 l1 的斜率为 x1同理，l2 的斜率为 x2切线 l1： （x 1，y 1）是抛物线 上的点，推出切线 l1 的方程为 yx 1xy 1同理切线 l2 的方程为 yx 2xy 2切线 l1 与切线 l2 均过点（1，2） ，推出 l 的方程为 yx+2【解答】解：设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） （）解：显然直线 l 的斜率存在，设为 k，直线的方程为 ykx+m 由题意，m0由 ，得 x22kx2m0由题意，该方程的判别式4（k 2+2m）0，即
36、 k2+2m0（） 则 x1+x22k，x 1x22m因为 OAOB ，所以 ，所以 x1x2+y1y20，即 x1x2+（kx 1+m） （kx 2+m）0，即（1+k 2）x 1x2+km（x 1+x2）+m 20所以2m（1+k 2）+2k 2m+m20所以 m22m0解得 m0（舍去） ，或 m2第 23 页（共 32 页）当 m2 时，k 2+2m0，满足（）式所以直线 l 的方程为 ykx+2直线 l 过定点（0，2） （）解法一：过点（1，2）且与 C： 相切的直线的斜率必存在，设其斜率为 k，则其方程为 y（2）k （x1） ，即 yk（x 1）2由 消去 y 并整理得 x22
37、kx+2（k+2）0由判别式（2k） 28（k+2）0，解得 不妨设 l1 的斜率 ，则 l2 的斜率 由韦达定理，得 x1+x22k 1，即 y 1k 1（x 11）2所以 同理可得 直线 l 的方程为 ，即直线 l 的方程为 yx+2解法二： ，所以过 A 且与 C 相切的直线 l1 的斜率为 x1同理，l 2 的斜率为 x2l 1： ，即 l1： 同理 l2：因为 l1 与 l2 的交点（1，2）的坐标为方程组 的解，所以 ，且 所以方程 ，即 的两个实根是 x1，x 2由 ，解得 ， 又点 A，B 在 C： 上，可得 ， 直线 l 的方程为 ，即直线 l 的方程为 yx+2第 24 页
38、（共 32 页）解法三： ，所以过 A 且与 C 相切的直线 l1 的斜率为 x1同理，l 2 的斜率为 x2所以，切线 l1：y y 1x 1（xx 1） ，即 又（x 1，y 1）是抛物线 上的点，所以 ，即 故切线 l1 的方程为 yx 1xy 1同理切线 l2 的方程为 yx 2xy 2又切线 l1 与切线 l2 均过点（1，2） ，故 x1y 12，x 2y 22所以切点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）的坐标适合方程 xy2所以 l 的方程为 yx+2【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线恒过定点，以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力21 （12
39、 分）已知 f（x ）x 21alnx（aR） （）若曲线 yf（x）与 x 轴有唯一公共点 A，求 a 的取值范围；（）若不等式 f（x ）e x1 +x2x1 对任意的 x1 恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围结合函数的单调性确定 a 的范围即可；（）令 g（x）x alnx ex1 ，则 g（x）0 对任意的 x1 恒成立，通过讨论 a 的范围结合函数的单调性确定 a 的范围即可【解答】 （）解：函数 f（x）的定义域为（0，+） f（ 1）0由题意，函数 f（x ）有唯一零点 1， （1）若 a0，则a0显然 f'（x ）0 恒成立，所
40、以 f（x）在（0，+）上是增函数又 f（1）0，所以 a0 符合题意（2）若 a0， . ； 所以 f（x）在 上是减函数，在 上是增函数所以 第 25 页（共 32 页）由题意，必有 （若 ，则 f（x ）0 恒成立，f（x）无零点，不符合题意） 若 ，则 令 ，则 g'（a）00a2；g' （a）0a2所以函数 g（a）在（0，2）上是增函数，在（2，+）上是减函数所以 g（a） maxg（2）0所以 g（a）0，当且仅当 a2 时取等号所以， ，且 a2取正数 ，则 f（b）b 21alnb1alnb ；取正数 ca+1，显然 而 f（c）c 21alnc，令 h（x）
41、lnxx ，则 当 x1 时，显然 所以 h（x）在1 ，+ ）上是减函数所以，当 x1 时，h（x ）lnx xh（1）10，所以 lnxx因为 c1，所以 f（c）c 21alncc 21acc（ca）1c110又 f（x）在 上是减函数，在 上是增函数则由零点存在性定理，f（x ）在 、 上各有一个零点可见，0a2，或 a2 不符合题意注：a0 时，若利用 ， ， ，说明 f（x）在 、 上各有一个零点若 ，显然 ，即 a2符合题意综上，实数 a 的取值范围为a|a0，或 a2 第 26 页（共 32 页）（）f（x） ex1 +x2x1xalnx e x1 0令 g（x）xalnx e
42、 x1 ，则 g（x）0 对任意的 x1 恒成立（1）当 a0 时，g（x）xe x1 当 x1 时，g'（x ）1e x1 1e 00，所以 g（x）在 1，+）上是减函数所以，当 x1 时，g（x ）g（1）0可见，a0 符合题意（2）若 a0，显然 在1，+ ）上是减函数取实数 ma+1，显然 m1则 （利用 ex1 1+（x1） ） 又 g'（1）a0，g'（x）在1，+ ）上是减函数，由零点存在定点，存在唯一的 x0（1，m）使得 g'（x 0）0于是，当 x（ 1，x 0）时，g'（x）0，函数 g（x）在（1，x 0）上是增函数所以，当 x
43、（ 1，x 0）时，g（x）g（1）0可见，a0 不符合题意当 a0 时，分如下三种解法：解法一：（3）若 0a1， ， 令 h（x）ax 2ex1 ，显然 h（x ）ax 2ex1 在1 ，+ ）上是减函数，所以，当 x1 时，h（x ）h（1）a10，当且仅当 a1 时取等号所以，当 x1 时， ， 在1，+）上是减函数所以，当 x1 时，g'（x ）g'（1）a0所以，g（x）在1 ，+ ）上是减函数所以，当 x1 时，g（x ）g（1）0可见，0a1 符合题意（4）若 a1， ， 令 h（x）ax 2ex1 ，显然 h（x ）在1 ，+）上是减函数，且 h（1）第 27
44、 页（共 32 页）a10，h（a）aa 2ea1 aae a1 a（1e 0） 0，所以，存在唯一的 x0（1，a） ，使得 h（x 0）0，即 于是，当 x（ 1，x a）时，h（x）0；当 x（x a，+）时，h（x）0所以，当 x（ 1，x a）时，g''（x）0；当 x（x a，+）时，g''（x）0所以，g'（x）在（1，x a）上是增函数，在（x a，+ ）上是减函数所以，g'（x）在1，+）上的最大值 g'（x ） maxg'（x a） 将（）式代入上式，得 所以，当 x1 时，g'（x ）0，所以 g（x
45、 ）在1 ，+）上是减函数所以，当 x1 时，g（x ）g（1）0可见，a1 符合题意综上，所求 a 的取值范围是0，+ ） 解法二：（3）若 a0，g（x）0 对任意的 x1 恒成立e x1 xalnx 对任意的x1 恒成立令 p（x）e x1 x ，q（x ） alnxp'（x）e x1 1 ，当 x1 时，p' （x ）e x1 1e 11 10，所以 p（x）在1 ，+ ）上是增函数所以 p（x） minp（1）0显然 q（x）alnx 在1，+）上是减函数，q（x） maxq（1）0所以，当 x1 时，p（x ）q（x ） ，即 ex1 xalnx 对任意的 x1 恒成立所以 a0 符合题意综上，所求 a 的取值范围是0，+ ） 解法三：（3）若 a0，g（x）xe x1 alnx 0 对任意的 x1 恒成立令 p（x）xe x1 ，q（x ） alnxp'（x）1e x 1，当 x1 时，p' （x ）1e x1 1e 11 0，所以 p（x）在1 ，+ ）上是减函数所以 p（x） minp（1）0所以，当 x1 时
