1、2018 年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分 ）1 （2 分） “五一”假期第一天，铁路南京站迎来假日旅客出行最高峰，截止上午十时，当天预售票已达 317000 张，将 317000 用科学记数法表示为（ ）A0.31710 6 B3.1710 6 C3.1710 5 D31.710 42 （2 分）下列数中，使|x 2|x2 成立的是（ ）A1 B0 C1 D23 （2 分）某班全体同学“运动与健康”评价等级的扇形统计图如图所示，则 A 等级所在扇形的圆心角度数为（ ）A72 B105 C108
2、 D1264 （2 分）已知 a ，b ，c ，则下列大小关系正确的是（ ）Aabc Bcba Cbac Dac b5 （2 分）如图，在APBC 中，C40，若O 与 PA、PB 相切于点 A、B，则CAB（ ）A40 B50 C60 D706 （2 分）如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，若四边形 ADEH 的面积等于 20，则阴影部分的面积等于（ ）第 2 页（共 27 页）A10 B20 C18 D20二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分 ）7 （2 分）9 的平方根是 ，9 的算术平方根是
3、 8 （2 分）使 有意义的 x 的取值范围是 9 （2 分）计算 的结果是 10 （2 分）分解因式：4x 28xy+4y 2 11 （2 分）若 2x3，2 y5，则 22x+y 12 （2 分）已知 x1、x 2 是一元二次方程 x2+x+m0 的两个根，且 x1+x22+x 1x2，则 m 13 （2 分）已知反比例函数 y （k 为常数，k 0） ，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x
4、1 2 4 8 y 8 4 2 1 则当4y1 时，x 的取值范围是 14 （2 分）如图，O 的内接五边形 ABCDE 的对角线 AC 与 BD 相交于点 G，若E92 ，BAC41，则 DGC 15 （2 分）如图，在ABC 中，D、F 在 BC 上，且 BDDFFC，连接 AD、AF ，E、G分别在 AF、AC 上，且 EDAB，GFAB，则 的值为 第 3 页（共 27 页）16 （2 分）如图，4 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为 60，A、B、C 都是格点
5、，则 tanABC 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分 ）17 （10 分） （1）解方程： 1（2）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来18 （6 分）化简（ ）19 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，且 AOCO，ABCD（1）求证：ABCD；（2）若OABOBA ，求证：四边形 ABCD 是矩形20 （8 分）甲、乙两人在相同的条件下各射击 5 次，每次射击的成绩情况如图：第 4 页（共 27 页）（1）请你根据图中的数据填写下表：平均数（环） 众数（环）甲 6乙 6
6、 （2）请通过计算方差，说明谁的成绩更稳定21 （7 分）一个不透明的袋中装有 2 个黄球，1 个红球和 1 个白球，除颜色外都相同（1）搅匀后，从袋中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率是 ；（2）搅匀后，从袋中随机摸出两个球，求摸到一个红球和一个黄球的概率22 （8 分）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度 y（m ）与注水时间 x（h）之间的函数图象如图所示（1）分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度 y1、y 2 与注水时间 x 之间的函数表达式；（2）求点 P 的坐标，并说明其实际意
7、义23 （7 分）在ABC 中，AB6，AC 8，D、E 分别在 AB、AC 上，连接 DE，设BDx（0x 6） ，CEy （0y8） （1）当 x2，y 5 时，求证：AED ABC ；（2）若ADE 和ABC 相似，求 y 与 x 的函数表达式第 5 页（共 27 页）24 （7 分）如图是在写字台上放置一本摊开的数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知摊开的数学书 AB 长 20cm，台灯上半节 DE 长 40cm，下半节 DC 长 50cm当台灯灯泡 E 恰好在数学书 AB 的中点 O 的正上方时，台灯上、下半节的夹角即EDC120，下半节 DC 与写字台 FG 的夹角即 DCG7
8、5，求 BC 的长（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，F、A、O、B、C、G 在同一条直线上参考数据：sin750.97 ，cos750.26， 1.41，结果精确到 0.1）25 （9 分）已知二次函数 yx 2（m +1）x+m （m 是常数）（1）求证：不论 m 为何值，该二次函数的图象与 x 轴总有公共点（2）若把该二次函数的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得图象的函数表达式为 yx 2，则 m （3）若该二次函数的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，当ABC的面积与ABD 的面积相等时，求 m
9、 的值26 （9 分）如图，在O 中，AB 是弦，AC 与O 相切于点 A，ABAC，连接 BC，点 D是 BC 的中点，连接 AD 交O 于点 E，连接 OE 交 AB 于点 F（1）求证：OEAB ；（2）若 AD4， ，求 O 的半径第 6 页（共 27 页）27 （12 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD3cm ，AB2cm，将矩形纸片 ABCD 沿直线 l 折叠，使点 A 落在边 BC 上的 A'处，设点 A'与点 B 的距离为 xcm（1）当直线 l 恰好过点 D 时，用直尺和圆规在图中作出直线 l，并求出 x 的值 （保留作图痕迹，不写作法）（2）对于每一个
10、确定的 x 的值，都能画出与矩形纸片 ABCD 某些边相交的直线 l请画出不同情形的示意图，并写出对应的 x 的取值范围（3）设直线 l 与矩形纸片 ABCD 的边相交于点 E、F，从第（2）问所画的示意图中选一个计算 EF 的长度，则 EF 的长度为 cm（用含 x 的代数式表示） 第 7 页（共 27 页）2018 年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分 ）1 （2 分） “五一”假期第一天，铁路南京站迎来假日旅客出行最高峰，截止上午十时，当天预售票已达 317000 张，将 31700
11、0 用科学记数法表示为（ ）A0.31710 6 B3.1710 6 C3.1710 5 D31.710 4【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：3170003.1710 5，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值2 （2 分）下列数中，使|x
12、2|x2 成立的是（ ）A1 B0 C1 D2【分析】直接利用绝对值的性质得出 x2 的符号进而得出答案【解答】解：|x 2|x2 成立，x20，解得：x2故 x 可以是 2故选：D【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键3 （2 分）某班全体同学“运动与健康”评价等级的扇形统计图如图所示，则 A 等级所在扇形的圆心角度数为（ ）A72 B105 C108 D126第 8 页（共 27 页）【分析】根据扇形统计图中的数据可以求得 A 等级所在扇形的圆心角度数【解答】解：由扇形统计图可得，A 等级所在扇形的圆心角度数为：360（135%20%15%）1
13、08，故选：C【点评】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答4 （2 分）已知 a ，b ，c ，则下列大小关系正确的是（ ）Aabc Bcba Cbac Dac b【分析】将 a，b，c 变形后，根据分母大的反而小比较大小即可【解答】解：a ，b ，c ，且 ， ，即 abc，故选：A【点评】此题考查了实数比较大小，将 a，b，c 进行适当的变形是解本题的关键5 （2 分）如图，在APBC 中，C40，若O 与 PA、PB 相切于点 A、B，则CAB（ ）A40 B50 C60 D70【分析】首先根据切线长定理，判断四边形是菱形，再利用菱
14、形的对角线平分一组对角得结论【解答】解：O 与 PA、PB 相切于点 A、B，PAPB四边形 APBC 是平行四边形，四边形 APBC 是菱形，PC40，PAC140CAB PAC第 9 页（共 27 页）70故选：D【点评】本题考查了切线长定理及菱形的判定和性质题目难度不大，但有一点的综合性切线长定理：从圆外引圆的两条切线，它们的切线长相等6 （2 分）如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，若四边形 ADEH 的面积等于 20，则阴影部分的面积等于（ ）A10 B20 C18 D20【分析】设直角AMB 中，AM x，则 BMx，AB x，正八边形的边长是x根据空白部分的面积是
15、 20 即可列方程求得 x 的值，然后利用矩形和三角形的面积求解【解答】解：作出正方形 MNQR，如图所示：AMB 中，AMx，则 BMx，AB x，正八边形的边长是 x则正方形的边长是（2+ ）x根据题意得： x（2+ ）x20，解得：x 210（ 1） 则阴影部分的面积是：2x（2+ ）x2 x22（ +1）x 22（ +1）10（ 1）20第 10 页（共 27 页）故选：B【点评】本题考查了正多边形的计算，作出正方形，根据空白部分的面积，正确求得直角AMB 的直角边 AM 的长是关键二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分 ）7 （2 分）9 的平方根是 3 ，9
16、 的算术平方根是 3 【分析】利用平方根、算术平方根的定义计算即可得到结果【解答】解：9 的平方根是3，9 的算术平方根是 3，故答案为：3；3【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键8 （2 分）使 有意义的 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出答案【解答】解：由题意得：2x0，解得：x2故答案为：x2【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的被开方数为非负数9 （2 分）计算 的结果是 3 【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简得出答案【解答】解： 3故答案为：3【点评】此题主要考查了
17、二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键10 （2 分）分解因式：4x 28xy+4y 2 4（xy ） 2 【分析】先提取公因式 4，再根据完全平方公式进行二次分解【解答】解：4x 28xy+4y 2，4（x 22xy+y 2） ，4（xy） 2故答案为：4（xy ） 2【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底第 11 页（共 27 页）11 （2 分）若 2x3，2 y5，则 22x+y 45 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算将所求式子进行变形，2 2x+y2 2x2y，代入计算即可【解答】解：2 2x+y2 2x2y（2
18、 x） 22y3 2545，故答案为：45【点评】本题考查幂的乘方、同底数幂乘法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题12 （2 分）已知 x1、x 2 是一元二次方程 x2+x+m0 的两个根，且 x1+x22+x 1x2，则 m 3 【分析】根据根与系数的关系可得出 x1+x21、x 1x2m ，结合 x1+x22+x 1x2 即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：x 1、x 2 是一元二次方程 x2+x+m0 的两个根，x 1+x21， x1x2mx 1+x22+x 1x2，即12+m ，m3故答案为：3【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系结
19、合 x1+x22+x 1x2 找出关于 m 的一元一次方程是解题的关键13 （2 分）已知反比例函数 y （k 为常数，k 0） ，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x 1 2 4 8 y 8 4 2 1 则当4y1 时，x 的取值范围是 8x 2 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征得到 kxy 8，所以将 y4 和 y1 代入函数解析式，即可得到相应的 x 的值，即 x 的极值，从而得到 x 的取值范围【解答】解：从表格中的数据知，kxy8，则该反比例函数解析式为：y 把 y4 代入得到：x 2，把 y1 代入得到：x 8，第 12 页（共 27 页）故 x 的取值范围为：8x
20、 2故答案是：8x2【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk14 （2 分）如图，O 的内接五边形 ABCDE 的对角线 AC 与 BD 相交于点 G，若E92 ，BAC41，则 DGC 51 【分析】利用圆的内接四边形的对角互补，求出ABG，再利用三角形内角和定理求出AGB 即可解决问题；【解答】解：E+ABD180，E92，ABD88，BAC41，AGB180ABG BAC180884151，DGCAGB ，DGC51故答案为 51【点评】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键
21、是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型15 （2 分）如图，在ABC 中，D、F 在 BC 上，且 BDDFFC，连接 AD、AF ，E、G分别在 AF、AC 上，且 EDAB，GFAB，则 的值为 【分析】由 BDDFFC 知 、 ，证ABFEDF 得 DE AB，证第 13 页（共 27 页）ABCGFC 得 GF AB，从而得出答案【解答】解：BDDFFC ， 、 ，EDAB，ABF EDF，则 2，DE AB，GFAB，ABCGFC， 3，GF AB，则 ，故答案为： 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角
22、形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可16 （2 分）如图，4 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为 60，A、B、C 都是格点，则 tanABC 【分析】由四边形 ACGE 是菱形，推出 AGCE，设 AGBG 2a，则 FGAFa，在RtACF 中，CAF30，推出 CF a，根据 tanABC ，计算即可；第 14 页（共 27 页）【解答】解：四边形 ACGE 是菱形，AGCE，设 AGBG
23、 2a ，则 FGAFa，在 Rt ACF 中，CAF30 ，CF a，tanABC 故答案为 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分 ）17 （10 分） （1）解方程： 1（2）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来【分析】 （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可【解答】解：（1）去分母得：2xx3+1，解得：x2，经检验 x2
24、是分式方程的解；（2） ，由得： x2，由得： x1，则不等式组的解集为2x1，第 15 页（共 27 页）【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验18 （6 分）化简（ ）【分析】先计算括号内分式的减法、除法转化为乘法，再约分即可得【解答】解：原式 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则19 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，且 AOCO，ABCD（1）求证：ABCD；（2）若OABOBA ，求证：四边形 ABCD 是矩形【分析】 （1）欲证明 ABCD，只要证明OABOCD 即可；（2）
25、根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可；【解答】 （1）证明：ABCD，OABOCD，在OAB 和OCD 中，OABOCD，ABCD（2）证明：OABOCD ，第 16 页（共 27 页）ABCD，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，OA AC，OB BD，OABOBA，OAOB ，ACBD，平行四边形 ABCD 是矩形【点评】本题考查矩形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型20 （8 分）甲、乙两人在相同的条件下各射击 5 次，每次射击的成绩情况如图：（1）请你根据图中的数据填写下表：平均数（环） 众数
26、（环）甲 6 6乙 6 6 （2）请通过计算方差，说明谁的成绩更稳定【分析】 （1）利用平均数求法以及结合众数的定义分析得出答案；（2）分别求出甲、乙成绩的方差进而得出答案【解答】解：（1） （5+6+7+6+6）6（环） ，乙的 5 次射击中，有两次 6 环，出现次数最多，第 17 页（共 27 页）故众数为 6 环；故答案为：6，6；（2） （56） 2+（66） 2+（76） 2+（66） 2+（66） 2 ， （36） 2+（66） 2+（66） 2+（76） 2+（86） 2 ， ，甲成绩的方差比乙成绩的方差小，甲的成绩更稳定【点评】此题主要考查了
27、算术平均数以及方差求法和众数的定义，正确记忆方差公式是解题关键21 （7 分）一个不透明的袋中装有 2 个黄球，1 个红球和 1 个白球，除颜色外都相同（1）搅匀后，从袋中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率是 ；（2）搅匀后，从袋中随机摸出两个球，求摸到一个红球和一个黄球的概率【分析】 （1）用黄球的个数除以总个数即可得；（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球是一个红球和一个黄球的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）袋子中共有 4 个小球，其中黄球有 2 个，从袋中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率是 ；（2）画树状图为：共有 12
28、种等可能的结果数，其中摸到一个红球和一个黄球的结果数为 4，所以摸到一个红球和一个黄球的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求第 18 页（共 27 页）出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率22 （8 分）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度 y（m ）与注水时间 x（h）之间的函数图象如图所示（1）分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度 y1、y 2 与注水时间 x 之间的函数表达式；（2）求点 P 的坐标，并说明其实际意义【分析】 （1）根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解
29、析式；（2）将（1）中的两个函数解析式联立方程组，即可求点 P 的坐标，并写出其实际意义【解答】解：（1）设 y1 与注水时间 x 之间的函数表达式是 y1k 1x+b1，得 ，即 y1 与注水时间 x 之间的函数表达式是 y1 x+4（0x 3） ，设 y2 与注水时间 x 之间的函数表达式是 y2k 2x+b2，得 ，即 y2 与注水时间 x 之间的函数表达式是 y22x+2（0x3） ；（2） ，解得， ，即点 P 的坐标为（ ， ） ，点 P 的实际意义是在 时，两个水池的水深相等，都是 米第 19 页（共 27 页）【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的
30、函数解析式，利用一次函数的性质解答23 （7 分）在ABC 中，AB6，AC 8，D、E 分别在 AB、AC 上，连接 DE，设BDx（0x 6） ，CEy （0y8） （1）当 x2，y 5 时，求证：AED ABC ；（2）若ADE 和ABC 相似，求 y 与 x 的函数表达式【分析】 （1）根据两边成比例夹角相等即可证明；（2）法两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）AB6，BD2，AD4，AC8，CE5，AE3， ， ， ，EADBAC，AEDABC；（2） 若ADEABC，则 ，y x（0x 6） 若 ADEACB，则 ，y x+ （ 0x 6） 【点评】本题考查相似三角形
31、的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型24 （7 分）如图是在写字台上放置一本摊开的数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知摊开的数学书 AB 长 20cm，台灯上半节 DE 长 40cm，下半节 DC 长 50cm当台灯第 20 页（共 27 页）灯泡 E 恰好在数学书 AB 的中点 O 的正上方时，台灯上、下半节的夹角即EDC120，下半节 DC 与写字台 FG 的夹角即DCG 75，求 BC 的长（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，F、A、O、B、C、G 在同一条直线上参考数据：sin750.97 ，cos750.
32、26， 1.41，结果精确到 0.1）【分析】如图作 DMOE 于 M，DNFG 于 N则四边形 DMON 是矩形利用等腰直角三角形的性质求出 DMON 28.2，在 RtDCN 中，求出 CN 即可解决问题；【解答】解：如图作 DMOE 于 M，DNFG 于 N则四边形 DMON 是矩形DM ON，DCNCDM 75，EDM1207545，DE40cm，EMDMON20 28.2（cm） ，在 Rt DCN 中，CN CDcos7513（cm） ，OB10，BCONOBCN28.210135.2（cm） 【点评】本题考查解直角三角形、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题
33、意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答第 21 页（共 27 页）25 （9 分）已知二次函数 yx 2（m +1）x+m （m 是常数）（1）求证：不论 m 为何值，该二次函数的图象与 x 轴总有公共点（2）若把该二次函数的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得图象的函数表达式为 yx 2，则 m 3 （3）若该二次函数的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，当ABC的面积与ABD 的面积相等时，求 m 的值【分析】 （1）令 y0，将二次函数转化为方程 x2（m +1）x +m0 求根的问题，根据方程根的判别式来证明；（2）根据平
34、移规律可以得到原函数解析式，找到对应系数相等即可；（3）当ABC 的面积与ABD 的面积相等时， 直线 CDAB，则点 C 与点 D 重合 C，D 的纵坐标互为相反数；【解答】解：（1）b 24ac（m +1） 24m（m1） 20，不论 m 为何值，该二次函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）将抛物线 yx 2 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度得到原抛物线解析式为：y（x 2） 21，即 yx 24x+3，该二次函数 yx 2（m+1）x+m ，m3故答案是：3（3）令 x0，则 ym，即点 C 的坐标为（0，m ） ABC 的面积与ABD 的面积相等，当直线 CDAB，
35、则点 C 与点 D 的纵坐标相等，点 D 是顶点，点 C 与点 D 重合，对称轴是 y 轴， 0，即 m 1当点 C 与点 D 的纵坐标互为相反数时，ABC 的面积与ABD 的面积相等， +m0，第 22 页（共 27 页）m3 综上所述，满足条件的 m 的值为 1 或 3 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，根的判别式，解答此题的时，也可以利用数形结合的思想画出函数图象，再根据函数图象直接解答26 （9 分）如图，在O 中，AB 是弦，AC 与O 相切于点 A，ABAC，连接 BC，点 D是 BC 的中点，连接 AD 交O 于点 E，连接 OE 交 AB 于点 F（1）求证：OEAB
36、 ；（2）若 AD4， ，求 O 的半径【分析】 （1）连接 OA、OB，根据切线的性质可得出OAC 90，设EAC ，则OAE90，由 OAOE 可得出OEAOAE90 ，利用三角形内角和定理可得出AOE2，由 ABAC 利用等腰三角形的三线合一可得出BAE EAC，进而可得出BOE2BAE2，即AOEBOE，再利用等腰三角形的三线合一可证出 OEAB；（2）由 可设 AC x，BC 2x，则 CD BCx ，由勾股定理结合 AD4可求出 x 的值，进而可得出 AB、AC、BD、CD 、AF 的值，由 EFABDA90、FAE DAB 可得出FAEDAB，利用相似三角形的性质可求出 EF 的
37、长度，设O 的半径为 r，则 OAr， OFOE EF r ，利用勾股定理可求出 r 的长度，此题得解【解答】 （1）证明：连接 OA、OB ，如图所示AC 与O 相切于点 A，OAC90设EAC，则OAE 90 OAOE ，OEAOAE90，AOE180OEA OAE 2第 23 页（共 27 页）ABAC，D 是 BC 的中点，BAE EAC，BOE2BAE2，AOEBOE又OAOB ，OEAB（2）解： ，可设 AC x，BC2x ABAC，D 是 BC 的中点，CD BCx ，ADBC，AD 2+CD2AC 2AD4，4 2+x2（ x） 2，解得：x 2 ，ABAC x2 ，BDCD
38、 x 2 OEAB，AF AB EFA BDA90，FAEDAB，FAE DAB， ，即 ，EF 设 O 的半径为 r，则 OAr，OFOE EF r ，OFAB，OA 2OF 2+AF2，即 r2（r ） 2+（ ） 2，解得：r ， O 的半径为 第 24 页（共 27 页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理以及切线的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出AOEBOE；（2）利用勾股定理求出 O 的半径27 （12 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD3cm ，AB2cm，将矩形纸片 ABCD 沿直线 l 折叠，使点 A 落在边 B
39、C 上的 A'处，设点 A'与点 B 的距离为 xcm（1）当直线 l 恰好过点 D 时，用直尺和圆规在图中作出直线 l，并求出 x 的值 （保留作图痕迹，不写作法）（2）对于每一个确定的 x 的值，都能画出与矩形纸片 ABCD 某些边相交的直线 l请画出不同情形的示意图，并写出对应的 x 的取值范围（3）设直线 l 与矩形纸片 ABCD 的边相交于点 E、F，从第（2）问所画的示意图中选一个计算 EF 的长度，则 EF 的长度为 或 或 cm（用含 x 的代数式表示） 【分析】 （1）以 D 为圆心、 DA 为半径画弧交 BC 于 A，连接 AA，作线
40、段 AA的垂直平分线即可；（2）分三种情形分别画出图形即可；（3）分三种情形：当 0x3 时，如图 5 中，作 FHAB 于 H，连接EA利用相似三角形的性质，构建方程解决问题；当 3 x2 时，如图 6 中，设 AEEAy ，则 BE2y利用勾股定理，相似三角形的性质，即可解决问题；当 2 x3 时，如图 7 中，作 FHBC 于 H则FHEABA 利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图 1 中，直线 l 即为所求；第 25 页（共 27 页）连接 DADADA 3，CA ，BABC CA3 ，即 x3 （2） 当 0 x3 时，如图 2 中，当 3 x2 时，如
41、图 3 中，当 2 x3 时，如图 4 中，第 26 页（共 27 页）（3） 当 0 x3 时，如图 5 中，作 FHAB 于 H，连接 EAFHEABA， ， ，EF 当 3 x2 时，如图 6 中，设 AEEAy ，则 BE2yBE 2+BA 2A E 2，（2y） 2+x2y 2，AEy ，FAE ABA， ， ，第 27 页（共 27 页）EF 当 2 x3 时，如图 7 中，作 FHBC 于 H则FHEABA ， ，EF 故答案为 或 或 【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
