1、2019 年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1 （3 分）计算下列各式，值最小的是（ ）A20+19 B2+019 C2+019 D2+0+192 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A（m ，2）与点 B（3，n）关于 y 轴对称，则（ ）Am3，n2 Bm3，n2 Cm2，n3 Dm 2，n33 （3 分）如图，P 为圆 O 外一点， PA，PB 分别切圆 O 于 A，B 两点，若 PA3，则PB（ ）A2 B3 C4 D54 （3 分）已知九年
2、级某班 30 位学生种树 72 棵，男生每人种 3 棵树，女生每人种 2 棵树，设男生有 x 人，则（ ）A2x+3（72x）30 B3x+2（72x）30C2x+3（30x ）72 D3x+2（30x ）725 （3 分）点点同学对数据 26，36，46，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）A平均数 B中位数 C方差 D标准差6 （3 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，DEBC，M 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合） ，连接 AM 交 DE 于点 N，则（
3、 ）第 2 页（共 23 页）A B C D 7 （3 分）在ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）A必有一个内角等于 30 B必有一个内角等于 45C必有一个内角等于 60 D必有一个内角等于 908 （3 分）已知一次函数 y1ax+b 和 y2bx+a（ab） ，函数 y1 和 y2 的图象可能是（ ）A BC D9 （3 分）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边（OCOB，点 A，B，C，D，O 在同一平面内） ，已知 ABa，AD b，BCOx，则点 A 到 OC 的距离等于（ ）Aasinx+bsin x Bacos
4、x+bcosxCasinx+bcosx Dacosx+bsin x10 （3 分）在平面直角坐标系中，已知 ab，设函数 y（x+a） （x+b）的图象与 x 轴有M 个交点，函数 y（ax +1） （bx+1）的图象与 x 轴有 N 个交点，则（ ）AMN 1 或 MN +1 BM N 1 或 MN+2CMN 或 MN+1 DMN 或 MN1二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分；第 3 页（共 23 页）11 （4 分）因式分解：1x 2 12 （4 分）某计算机程序第一次算得 m 个数据的平均数为 x，第二次算得另外 n 个
5、数据的平均数为 y，则这 m+n 个数据的平均数等于 13 （4 分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度） ，已知其母线长为 12cm，底面圆半径为 3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm 2（结果精确到个位） 14 （4 分）在直角三角形 ABC 中，若 2ABAC ，则 cosC 15 （4 分）某函数满足当自变量 x1 时，函数值 y0，当自变量 x0 时，函数值 y1，写出一个满足条件的函数表达式 16 （4 分）如图，把某矩形纸片 ABCD 沿
6、 EF，GH 折叠（点 E，H 在 AD 边上，点 F，G在 BC 边上） ，使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处，A 点的对称点为 A点，D 点的对称点为 D点，若FPG 90，AEP 的面积为 4，DPH 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等于 三、解答题：本小题 7 个小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （6 分）化简： 1圆圆的解答如下： 14x2（x+2）（x 24）x 2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案18 （8 分）称量五筐水果的质量，若每筐以 50 千克为基准，超过基准部分的千克数记为
7、正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克） 实际称量读数和记录数据统计表序号数据1 2 3 4 5甲组 48 52 47 49 54第 4 页（共 23 页）乙组 2 2 3 1 4（1）补充完成乙组数据的折线统计图（2） 甲，乙两组数据的平均数分别为 ， ，写出 与 之间的等量关系甲，乙两组数据的方差分别为 S 甲 2，S 乙 2，比较 S 甲 2 与 S 乙 2 的大小，并说明理由19 （8 分）如图，在ABC 中，AC ABBC （1）已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连接 AP，求
8、证：APC2B（2）以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连接 AQ若AQC3B，求B 的度数20 （10 分）方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地，行驶里程为 480 千米，设小汽车的行驶时间为 t（单位：小时） ，行驶速度为 v（单位：千米/小时） ，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时（1）求 v 关于 t 的函数表达式；（2）方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发第 5 页（共 23 页）方方需在当天 12 点 48 分至 14 点（含 12 点 48 分和 14 点）间到达 B 地，求小汽车行驶速度 v 的范围方方能否在当天 11 点
9、30 分前到达 B 地？说明理由21 （10 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 CEFG 的面积为 S1，点 E 在DC 边上，点 G 在 BC 的延长线上，设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为 S2，且S1S 2（1）求线段 CE 的长；（2）若点 H 为 BC 边的中点，连接 HD，求证：HDHG22 （12 分）设二次函数 y（xx 1） （xx 2） （x 1，x 2 是实数） （1）甲求得当 x0 时，y 0；当 x1 时，y0；乙求得当 x 时，y 若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小
10、值（用含 x1，x 2 的代数式表示） （3）已知二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n）两点（m ，n 是实数） ，当0x 1x 21 时，求证：0mn 23 （12 分）如图，已知锐角三角形 ABC 内接于圆 O，OD BC 于点 D，连接 OA（1）若BAC60，求证： OD OA当 OA1 时，求 ABC 面积的最大值（2）点 E 在线段 OA 上，OEOD，连接 DE，设ABCmOED ，ACBnOED（m，n 是正数） ，若ABCACB ，求证：mn+20第 6 页（共 23 页）第 7 页（共 23 页）2019 年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有
11、 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1 （3 分）计算下列各式，值最小的是（ ）A20+19 B2+019 C2+019 D2+0+19【分析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算【解答】解：A.20+198，B2+0197C2+0 197D2+0+1 9 6，故选：A【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键2 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A（m ，2）与点 B（3，n）关于 y 轴对称，则（ &nb
12、sp;）Am3，n2 Bm3，n2 Cm2，n3 Dm 2，n3【分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质得出答案【解答】解：点 A（m，2）与点 B（3，n）关于 y 轴对称，m3，n2故选：B【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键3 （3 分）如图，P 为圆 O 外一点， PA，PB 分别切圆 O 于 A，B 两点，若 PA3，则PB（ ）第 8 页（共 23 页）A2 B3 C4 D5【分析】连接 OA、OB、OP，根据切线的性质得出 OAPA，OB PB，然后证得 RtAOPRtBOP，即可求得 PBPA3【解答】解：连接 OA、O
13、B、OP，PA，PB 分别切圆 O 于 A，B 两点，OAPA，OBPB，在 Rt AOP 和 RtBOP 中，RtAOPRtBOP（HL） ，PBPA3，故选：B【点评】本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键4 （3 分）已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵，男生每人种 3 棵树，女生每人种 2 棵树，设男生有 x 人，则（ ）A2x+3（72x）30 B3x+2（72x）30C2x+3（30x ）72 D3x+2（30x ）72【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用 30 位学生种树 72 棵，得出等式求出答案【解答】解
14、：设男生有 x 人，则女生（30x）人，根据题意可得：3x+2（30x） 72故选：D【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出男女生的植树棵树是解题关键5 （3 分）点点同学对数据 26，36，46，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）A平均数 B中位数 C方差 D标准差【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第 4 个数有关，而这组数据的中位第 9 页（共 23 页）数为 46，与第 4 个数无关故选：B【点评】本题考查
15、了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度也考查了中位数、平均数6 （3 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，DEBC，M 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合） ，连接 AM 交 DE 于点 N，则（ ）A B C D 【分析】先证明ADNABM 得到 ，再证明ANEAMC 得到 ，则 ，从而可对各选项进行判断【解答】解：DNBM，ADNABM， ，NEMC，ANEAMC， ， 故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥
16、基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系7 （3 分）在ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）A必有一个内角等于 30 B必有一个内角等于 45第 10 页（共 23 页）C必有一个内角等于 60 D必有一个内角等于 90【分析】根据三角形内角和定理得出A+B+C180，把C A+B 代入求出C 即可【解答】解：A+B+C180，AC B ，2C180，C90，ABC 是直角三角形，故选：D【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于
17、1808 （3 分）已知一次函数 y1ax+b 和 y2bx+a（ab） ，函数 y1 和 y2 的图象可能是（ ）A BC D【分析】根据直线判断出 a、b 的符号，然后根据 a、b 的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断【解答】解：A、由可知：a0，b0直线 经过一、二、三象限，故 A 正确；B、由可知： a0，b0第 11 页（共 23 页）直线 经过一、二、三象限，故 B 错误；C、由可知：a0，b0直线 经过一、二、四象限，交点不对，故 C 错误；D、由 可知：a0，b0，直线 经过二、三、四象限，故 D 错误故选：A【点评】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一
18、次函数的图象和性质是解题的关键9 （3 分）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边（OCOB，点 A，B，C，D，O 在同一平面内） ，已知 ABa，AD b，BCOx，则点 A 到 OC 的距离等于（ ）Aasinx+bsin x Bacos x+bcosxCasinx+bcosx Dacosx+bsin x【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点 A 到 OC的距离，本题得以解决【解答】解：作 AEOC 于点 E，作 AFOB 于点 F，四边形 ABCD 是矩形，ABC90，ABCAEC，BCOx，EAB x，FBA x，ABa，AD b，FOFB
19、+BOacos x+bsinx，故选：D第 12 页（共 23 页）【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答10 （3 分）在平面直角坐标系中，已知 ab，设函数 y（x+a） （x+b）的图象与 x 轴有M 个交点，函数 y（ax +1） （bx+1）的图象与 x 轴有 N 个交点，则（ ）AMN 1 或 MN +1 BM N 1 或 MN+2CMN 或 MN+1 DMN 或 MN1【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与 x 轴的交点个数，若一次函数，则与 x 轴只有一个
20、交点，据此解答【解答】解：y（x +a） （x +b）x 2+（a+b）x+1，（a+b） 24ab（ab） 20，函数 y（x+a） （x +b）的图象与 x 轴有 2 个交点，M2，函数 y（ax+1） （bx +1）abx 2+（a+b）x+1，当 ab0 时，（a+b） 24ab（ab） 20，函数 y（ax+1） （bx+1）的图象与 x 轴有 2 个交点，即 N2，此时 MN ；当 ab0 时，不妨令 a0，ab，b0，函数 y（ax+1） （bx+1）bx+1 为一次函数，与 x 轴有一个交点，即 N1，此时 MN +1；综上可知，MN 或 MN+1故选：C【点评】本题主要考查一
21、次函数与二次函数与 x 轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与 x 轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为 0，确定它是什么函数，进而确定与 x 轴的交点个数二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分；11 （4 分）因式分解：1x 2 （1x） （1+x ） 【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解第 13 页（共 23 页）【解答】解：1x 2（1x） （1+x ） ，故答案为：（1x） （1+x ） 【点评】本题考查因式分解运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解12 （4 分）某计算机程序第一
22、次算得 m 个数据的平均数为 x，第二次算得另外 n 个数据的平均数为 y，则这 m+n 个数据的平均数等于 【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数【解答】解：某计算机程序第一次算得 m 个数据的平均数为 x，第二次算得另外 n 个数据的平均数为 y，则这 m+n 个数据的平均数等于： 故答案为： 【点评】此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键13 （4 分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度） ，已知其母线长为 12cm，底面圆半径为 3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 113 cm 2（结果精确到个位） 【分
23、析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积 231236 113（cm 2） 故答案为 113【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长14 （4 分）在直角三角形 ABC 中，若 2ABAC ，则 cosC 或 【分析】讨论：若B90，设 ABx ，则 AC2x，利用勾股定理计算出BC x，然后根据余弦的定义求 cosC 的值；若A90，设 ABx，则 AC2x，利用勾股定理计算出 BC
24、x，然后根据余弦的定义求 cosC 的值【解答】解：若B90，设 ABx ，则 AC2x，所以 BC x，所以 cosC ；若A90，设 ABx ，则 AC2x，所以 BC x，所以第 14 页（共 23 页）cosC ；综上所述，cosC 的值为 或 故答案为 或 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算15 （4 分）某函数满足当自变量 x1 时，函数值 y0，当自变量 x0 时，函数值 y1，写出一个满足条件的函数表达式 yx+1 【分析】根据题意写出一个一次函数即可【解答】解：设该函数的解析式为 ykx+b，函数满足当自变量 x1 时，
25、函数值 y0，当自变量 x 0 时，函数值 y1，解得： ，所以函数的解析式为 yx +1，故答案为：yx +1【点评】本题考查了各种函数的性质，题目中 x、y 均可以取 0，故不能是反比例函数16 （4 分）如图，把某矩形纸片 ABCD 沿 EF，GH 折叠（点 E，H 在 AD 边上，点 F，G在 BC 边上） ，使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处，A 点的对称点为 A点，D 点的对称点为 D点，若FPG 90，AEP 的面积为 4，DPH 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等于 2（5+3 ） 【分析】设 ABCDx ，由翻折可知：PA ABx，PDCDx
26、，因为AEP的面积为 4，DPH 的面积为 1，推出 AE4DH，设 DH a，则 AE4a，由AEP DPH，推出 ，推出 ，可得 x2a，再利用三角形的面积公式求出 a 即可解决问题第 15 页（共 23 页）【解答】解：四边形 ABC 是矩形，ABCD，ADBC，设 ABCDx ，由翻折可知：PAAB x ， PDCDx，AEP 的面积为 4，DPH 的面积为 1，AE4D H，设 DHa，则 AE4a，AEP DPH， ， ，x 24a 2，x2a 或2a（舍弃） ，PAPD 2a， a2a1，a1，x2，ABCD2，PE 2 ，PH ，AD4+2 + +15+3 ，矩形 ABCD 的
27、面积2（5+3 ） 故答案为 2（5+3 ）【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题：本小题 7 个小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （6 分）化简： 1圆圆的解答如下： 14x2（x+2）（x 24）x 2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案【解答】解：圆圆的解答错误，第 16 页（共 23 页）正确解法： 1 【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键18 （8 分）称量五筐
28、水果的质量，若每筐以 50 千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克） 实际称量读数和记录数据统计表序号数据1 2 3 4 5甲组 48 52 47 49 54乙组 2 2 3 1 4（1）补充完成乙组数据的折线统计图（2） 甲，乙两组数据的平均数分别为 ， ，写出 与 之间的等量关系甲，乙两组数据的方差分别为 S 甲 2，S 乙 2，比较 S 甲 2 与 S 乙 2 的大小，并说明理第 17 页（共 23 页）由【分析】 （1）利用描点法画出折线图即可（2）利用方差公式
29、计算即可判断【解答】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：（2） 50+ S 甲 2S 乙 2理由：S 甲 2 （4850 ） 2+（5250） 2+（4750） 2+（4950） 2+（5450） 26.8S 乙 2 （20） 2+（20） 2+（30） 2+（10） 2+（40） 26.8，S 甲 2S 乙 2【点评】本题考查折线统计图，算术平均数，方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型19 （8 分）如图，在ABC 中，AC ABBC （1）已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连接 AP，求证：APC2B（2）以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径
30、画弧，与 BC 边交于点 Q，连接 AQ若AQC3B，求B 的度数第 18 页（共 23 页）【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质可知 PAPB，根据等腰三角形的性质可得BBAP，根据三角形的外角性质即可证得 APC2B；（2）根据题意可知 BABQ，根据等腰三角形的性质可得BAQ BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答【解答】解：（1）证明：线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，PAPB，BBAP，APCB+BAP，APC2B；（2）根据题意可知 BABQ，BAQBQA，AQC3B，AQCB+BAQ，BQA2B ，BAQ+BQA +B180，5B180，B36【点评】本题主要
31、考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中20 （10 分）方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地，行驶里程为 480 千米，设小汽车的行驶时间为 t（单位：小时） ，行驶速度为 v（单位：千米/小时） ，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时（1）求 v 关于 t 的函数表达式；（2）方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发方方需在当天 12 点 48 分至 14 点（含 12 点 48 分和 14 点）间到达 B 地，求小汽车第 19 页（共 23 页）行驶速度 v 的范围方方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地？说明理由【分析】 （1）由速度
32、乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；（2） 8 点至 12 点 48 分时间长为 小时，8 点至 14 点时间长为 6 小时，将它们分别代入 v 关于 t 的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；8 点至 11 点 30 分时间长为 小时，将其代入 v 关于 t 的函数表达式，可得速度大于120 千米/时，从而得答案【解答】解：（1）vt480，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时，v 关于 t 的函数表达式为：v ， （0t4） （2） 8 点至 12 点 48 分时间长为 小时，8 点至 14 点时间长为 6 小时将 t6 代入 v 得 v80；将 t 代入
33、v 得 v100小汽车行驶速度 v 的范围为：80v100方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地理由如下：8 点至 11 点 30 分时间长为 小时，将 t 代入 v 得 v 120 千米/小时，超速了故方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地【点评】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档题21 （10 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 CEFG 的面积为 S1，点 E 在DC 边上，点 G 在 BC 的延长线上，设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为 S2，且S1S 2（1）求线段 CE 的长；（2）若
34、点 H 为 BC 边的中点，连接 HD，求证：HDHG第 20 页（共 23 页）【分析】 （1）设出正方形 CEFG 的边长，然后根据 S1S 2，即可求得线段 CE 的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出 HD 和 HG 的长，即可证明结论成立【解答】解：（1）设正方形 CEFG 的边长为 a，正方形 ABCD 的边长为 1，DE1a，S 1S 2，a 21（1a） ，解得， （舍去） ， ，即线段 CE 的长是 ；（2）证明：点 H 为 BC 边的中点，BC 1，CH0.5，DH ，CH0.5，CG ，HG ，HDHG【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答
35、本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答22 （12 分）设二次函数 y（xx 1） （xx 2） （x 1，x 2 是实数） （1）甲求得当 x0 时，y 0；当 x1 时，y0；乙求得当 x 时，y 若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含 x1，x 2 的代数式表示） （3）已知二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n）两点（m ，n 是实数） ，当0x 1x 21 时，求证：0mn 【分析】 （1）将（0，0） ， （1，0）代入 y（xx 1） （xx 2）求出函数解析式即可求解；第 21 页（共 23 页）
36、（2）对称轴为 x ，当 x 时，y 是函数的最小值；（3）将已知两点代入求出 mx 1x2，n1x 1x 2+x1x2，再表示出 mn ，由已知 0x 1x 21，可求出 0 ，0 ，即可求解【解答】解：（1）当 x0 时，y0；当 x1 时，y0；二次函数经过点（0，0） ， （1，0） ，x 10，x 21，yx（x1） x2x，当 x 时，y ，乙说点的不对；（2）对称轴为 x ，当 x 时，y 是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n）两点，mx 1x2，n1x 1x 2+x1x2，mn 0x 1x 21，0 ，0 ，0mn 【点评】本题考查二次函数的性质；函数
37、最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将 mn 准确的用 x1 和 x2 表示出来是解题的关键23 （12 分）如图，已知锐角三角形 ABC 内接于圆 O，OD BC 于点 D，连接 OA（1）若BAC60，求证： OD OA当 OA1 时，求 ABC 面积的最大值（2）点 E 在线段 OA 上，OEOD，连接 DE，设第 22 页（共 23 页）ABCmOED ，ACBnOED（m，n 是正数） ，若ABCACB ，求证：mn+20【分析】 （1）连接 OB、OC，则BOD BOCBAC60，即可求解；BC长度为定值，ABC 面积的最大值，要求 BC 边上的高最大，即可求解；（2）BAC1
38、80ABCACB180mxnx BOCDOC，而AOD COD+AOC180mxnx+2mx 180+mxnx ，即可求解【解答】解：（1）连接 OB、OC，则BOD BOCBAC60，OBC30，OD OB OA；BC 长度为定值，ABC 面积的最大值，要求 BC 边上的高最大，当 AD 过点 O 时，AD 最大，即：AD AO+OD ，ABC 面积的最大值 BCAD 2OBsin60 ；（2）如图 2，连接 OC，第 23 页（共 23 页）设：OED x，则ABCmx， ACBnx，则BAC180ABCACB180mxnx BOCDOC，AOC2ABC2mx ，AOD COD+AOC180mxnx+2mx 180+mxnx ，OEOD ， AOD1802x ，即：180+mxnx1802x，化简得：mn+20【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2） ，AOD COD+AOC 是本题容易忽视的地方，本题难度适中
