1、2017-2018 学年山西省晋中市灵石县八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（2，4）关于原点对称的点的坐标是（ ）A（2，4） B（2，4） C（2，4） D（4，2）2（3 分）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论正确的是（ ）AABCD 是轴对称图形 BAC BDCACBD DS ABCD 4S AOB3（3 分）在分式 ， ， ， 中，最简分式有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4（3 分）如图，在 RtACB 中，C90，BE
2、平分ABC，ED 垂直平分 AB 于 D，则图中的全等三角形对数共有（ ）A1 对 B2 对 C3 对 D4 对5（3 分）如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则1 为（ ）A32 B36 C40 D426（3 分）关于 x 的分式方程 1 有增根，则 m 的值为（ ）A1 B4 C2 D07（3 分）下列说法正确的个数为（ ）个两组对边分别相等的四边形是平行四边形对角线相等的四边形是矩形对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形是轴对称图形，有 2 条对称轴A1 B2 C3 D48（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AC8，
3、菱形 ABCD 的面积为 24，则其周长为（ ）A20 B24 C28 D409（3 分）将边长为 1 的正方形巾的一角折叠至正方形的中心位置，折痕 PQ 的长为（ ）A1 B2 C D10（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，BAD60，ACAD，AC 平分BAD，M，N 分别为 AC， CD 的中点，BM 的延长线交 AD 于点 E，连接 MN，BN对于下列四个结论：MNAD ；BMMN；BAEACB； AD BN，其中正确结论的序号是（ ）A B C D二、填空题（每题 3 分，共 15 分）11（3 分）举出既是轴对称又是中心对称的图形
4、 （至少写 3 个）12（3 分）在括号内填上适当地整式，使下列等式成立： 13（3 分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线已知：直线 l 及其外一点 A求作：l 的平行线，使它经过点 A小云的作法如下：（1）在直线 l 上任取一点 B，以点 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交直线 l 于点 C；（2）分别以 A，C 为圆心，以 AB 长为半径作弧，两弧相交于点 D；（3）作直线 AD所以直线 AD 即为所求老师说：“小云的作法正确”请回答：小云的作图依据是 &n
5、bsp; 14（3 分）如图，将周长为 15cm 的ABC 沿射线 BC 方向平移 2cm 后得到DEF，则四边形ABFD 的周长为 cm15（3 分）如图，点 M、N 分别在矩形 ABCD 边 AD、BC 上，将矩形 ABCD 沿 MN 翻折后点 C恰好与点 A 重合，若此时 ，则AMD 的面积与AMN 的面积的比为 三、解答题（共 75 分）16（10 分）（1）分解因式：18a 28b 2（2）先化简，再求值：（ +1） + ，然后从2x2 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值17（7 分）对于分式方程 +1
6、 ，小明的解法如下：解：方程两边同乘（x2），得 x3+13解得 x1检验：当 x1 时，x 20 所以 x1 是原分式方程的解小明的解法有错误吗？错在第几步？请你写出正确的解题过程18（8 分）如图，在ABCD 中，AC 是它的一条对角线，过 B、D 两点分别作直线 AC 的垂线，垂足分别为 E、F，连接 DE、BF求证：DEBF 19（8 分）因式分解是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的相等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的
7、基础知识在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便因式分解的方法很多，请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题x4+ （x 2） 2+x2+ x 2（ ） 2x 2（ ）（ ）解决问题：计算：20（8 分）如图，在ABC 中，ABC 90，BD 是ABC 的角平分线，过点 A 作 AEBC 交BD 的延长线于点 E，过点 E 作 EFBC 交其延长线于点 F求证：四边形 ABFE 是正方形21（10 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶
8、点均为格点上（1）请按要求画图，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90，点 B 的对应点为 B，点 C 的对应点为 C，连接 BB；（2）在（1）所画图形中，ABB 【问题解决】如图 ，在等边三角形 ABC 中，点 P 在ABC 内，且 APC90，BPC120，猜想PA，PB，PC 三条线段之间有何数量关系，并说明理由小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将APC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60，得到APB，连接 PP，寻找PA，PB，PC 三条线段之间的数量关系；想法二：将APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60，得到APC，连接
9、PP，寻找PA，PB，PC 三条线段之间的数量关系请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程（一种方法即可）22（12 分）某服装店用 4000 元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用 6300 元钱购进第二批这种文化衫，所进的件数比第一批多 40%，每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多 10 元，请解答下列问题：（1）求购进的第一批文化衫的件数；（2）为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于 4100 元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？23（12 分）在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角
10、形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题如图 1，ABCDEF，其中ACB 90，BC 2，BAC30操作与发现：（1）如图 2，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置后，经过观察发现四边形 ACBF是矩形，请你证明这个结论操作与探究：（2）创新小组在图 2 的基础上，将DEF 纸片沿 AB 方向平移至如图 3 的位置，其中点 E 与AB 的中点重合，连接 CE，BF经过探究后发现四边形 BCEF 是菱形请你证明这个结论（3）创新小组在图 3 的基础上又进行了探究，将DEF 纸片绕点 E 逆时针旋转至 DE 与 BC 平行的位置，如图
11、 4 所示，连接 AF，BF，创新小组经过观察与推理后发现四边形 ACBF 是矩形请你证明这个结论提出问题：（4）请你参照以上操作过程，利用图 1 中的两个三角形纸片，拼出新的图形，在图 5 中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，并提出一个所要探究的问题，不必解答2017-2018 学年山西省晋中市灵石县八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案【解答】解：点 P（2，4）关于原点对称的点的坐标是（2，4），故选：B【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握
12、点的坐标的变化规律2【分析】由平行四边形的性质可判断 A、B、C ，由平行四边形的性质可知OAOC，OBOD，可求得 SAOB S BOC S COD S AOD ，则可判断 D【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，不一定是轴对称图形，AC BD 不正确、ACBD 不正确，OAOC，OBOD，S AOB S BOC S COD S AOD ，S ABCD 4S AOB ，即 D 正确；故选：D【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对称性、对角线互相平分是解题的关键3【分析】能化简的分式不是最简分式，分式 和 还能继续化简，所以不是最简分式；而 和 不能继续化简，是最简分式
13、【解答】解： ， ， 和 是最简分式，故选：B【点评】本题考查了最简分式的定义和分式的约分，判断一个分式是否为最简分式的依据是：看一个分式的分子和分母是否有公因式存在，有则不是最简分式，反之则是4【分析】由在 RtACB 中，C90，BE 平分ABC，ED 垂直平分 AB，利用 HL 易证得RtEBCRtEBD 与 RtEADRtEBD ，继而可得AEDBCE【解答】解：ED 垂直平分 AB，AEBE，EDAB，在 RtACB 中，C90，BE 平分ABC ，ECED，在 Rt ECB 和 RtEDB 中，RtEBCRtEBD （HL），在 Rt EAD 和 RtEBD 中，RtEADRtEB
14、D（HL），AEDBCE图中的全等三角形对数共有 3 对故选：C【点评】此题考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质注意掌握 HL 的判定方法是解此题的关键5【分析】根据正多边形的内角，角的和差，可得答案【解答】解：正方形的内角为 90，正五边形的内角为 108，正六边形的内角为 120，13609010812042，故选：D【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的内角是解题关键6【分析】根据分式方程的解法即可求出答案【解答】解：将分式方程 1 两边同乘（x1），得 m22xx1若原分式方程有增根，则必有 x1，将 x1 代入 m22xx1，得 m4故选：B【
15、点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型7【分析】由平行四边形和菱形的判定方法得出正确；由矩形的判定方法得出 错误；由正方形的对称性质得出错误；即可得出结论【解答】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；对角线相等的平行四边形是矩形，错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴，错误；正确的有 2 个，故选：B【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的性质；熟记平行四边形、矩形、菱形的判定方法是解决问题的关键8【分析】根据菱形面积公式可求 BD 的长，根据勾股定理可求菱形边长，即可
16、求周长【解答】解：S 菱形 ABCD ACBD24 8BDBD6ABCD 是菱形AOCO4，BODO3，ACBDAB 5菱形 ABCD 的周长为 4520故选：A【点评】本题考查了菱形的性质，利用菱形的面积公式求 BD 的长是本题的关键9【分析】根据正方形的性质得到1245，由折叠的性质得到 POPB，根据等腰三角形的性质得到1345，推出BPO90，同理BQO90，得到四边形 BPOQ 是正方形，根据正方形的性质得到 PQBO AC，于是得到结论【解答】解：如图，四边形 ABCD 是正方形，1245，由折叠的性质得，POPB ，1345，BPO90，同理BQO 90 ，四边形 BPOQ 是正
17、方形，PQBO AC，AB1，AC ，PQ ，故选：C【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，正方形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键10【分析】利用三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识一一判断即可；【解答】解：AMCM，CNDN，MNAD，MN AD，故正确，ABC90，AMCM，BM AC，ACAD，BMMN，故 正确，BAD60，CA 平分BAD，CAEBAM30，MAMB，MAB MBA30，AME MAB+MBA60，AEB 90，斜边 AC斜边 AB，故错误，MNAD，BMNBED 90，BMN 是等腰直角三角形，BN MN，AD2MN，
18、AD BN，故正确故选：C【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型二、填空题（每题 3 分，共 15 分）11【分析】根据轴对称与中心对称图形的概念，结合常见的几何图形写出即可【解答】解：既是轴对称又是中心对称的图形有：矩形、菱形、正方形、圆故答案为：矩形、菱形、正方形、圆【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握概念并了解常见几何图形的对称性是解题的关键12【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案【解答】解： 故答案为：a 2+ab【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确通
19、分是解题关键13【分析】利用菱形的性质得出作出以 A，B，C ，D 为顶点的四边形，进而得出答案【解答】解：由题意可得，小云的作图依据是：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行（本题答案不唯一）故答案为：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行【点评】此题主要考查了复杂作图，正确把握菱形的性质与作法是解题关键14【分析】根据平移的基本性质，得出四边形 ABFD 的周长AD+AB+BF+DF 2+AB+BC +2+AC即可得出答案【解答】解：根据题意，将周长为 15cm 的ABC 沿 BC 向右平移 2cm 得到DEF，AD2cm，BFBC+CFBC+2cm ，DFAC；又AB+BC+AC
20、15cm ，四边形 ABFD 的周长AD+AB+BF+DF 2+AB+BC +2+AC19cm故答案为：19【点评】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等得到 CFAD，DFAC 是解题的关键15【分析】由 ，可知 ，易证 ANAM，得到 ，于是可求出AMD 的面积与AMN 的面积的比【解答】解：根据折叠的性质，AN CN ，ANMCNM，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，CNMAMN，ANMAMN，AMAN， ，得到 ， ， ，AMD的面积：AMN 的面积1：3故答案为： 【点评】本题主要考查了图形的折叠问题
21、、等高的三角形面积比等于底的比，把AMD的面积与AMN 的面积的比转化为边的比，运用等高的三角形面积比等于底的比这一性质是解决问题的关键三、解答题（共 75 分）16【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解可得；（2）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的 x 的值代入计算可得【解答】解：（1）原式2（9a 24b 2）2（3a+2b）（3a2b）；（2）原式 + ，当 x2 时，原式0【点评】本题主要考查分式的混合运算与因式分解，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则17【分析】有错误，错在第步，写出正确的解法即可【解答】解：错误，错在第步，正确解法为
22、：方程两边同乘（x2）得：x3+x 23，解得：x1，经检验 x1 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验18【分析】由题意可证ABEDCF，可得 BEDF，且 BEDF 可得 BEDF 是平行四边形，则可得 DEBF【解答】证明：ABCD 是平行四边形ABDC，AB CD1234 且 ABCD，BEADFC90ABE DCFBEDF ，BEA DFC90BEDF 且 BEDFBEDF 是平行四边形DEBF【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键19【分析】根据完全平方公式和平方差公式计算可得，原式利用所得规律变
23、形为，再进一步计算可得【解答】解：x 4+ （x 2） 2+x2+ x 2（x 2+ ） 2x 2（x 2+ +x）（x 2+ x）解决问题： 【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式20【分析】首先证明四边形 ABFE 是矩形，再证明 ABAE 即可；【解答】证明：AEBC，ABC 90，ABC+ BAE 180，BAE 90，EFBC 于 F，F90，FABCBAE90，四边形 ABFE 是矩形，BD 平分ABC，ABDDBC45，AEB EBF45，ABE AEB45，ABAE，四边形 ABFE 是正方形【点评】本题考查正方形的判定、矩形的判定和性质、
24、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型21【分析】【操作发现】（1）如图所示，ABC 即为所求；（2）利用等腰三角形的性质即可解决问题；【问题解决】结论：PA 2+PB2PC 2证法一：将APC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60，得到APB，连接 PP，寻找PA，PB，PC 三条线段之间的数量关系；证法二：将APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60，得到APC，连接 PP，寻找PA，PB，PC 三条线段之间的数量关系【解答】解：【操作发现】（1）如图所示，ABC 即为所求；（2）ABB是等腰直角三角形，ABB45 故答案为 45【问题解决】结论：PA 2+PB2P
25、C 2理由：证法一：如图1 中，将APC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60，得到APB，连接PPAPP 是等边三角形，APCAPB36090120150，PPAP，APP APP60，PPB90 ，PP 2+PB 2P B 2，PPPA，CPPB，PA 2+PB2PC 2证法二将APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60，得到APC，连接 PPAPP 是等边三角形，APCAPB36090120150，PPAP，APP APP60，PPC 90，PP 2+PC 2PC 2，PPPA，CPPB，PA 2+PB2PC 2【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理
26、等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型22【分析】（1）设第一批购进文化衫 x 件，根据数量总价单价结合第二批每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多 10 元，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据第二批购进的件数比第一批多 40%，可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为 y 元，根据利润销售单价销售数量进货总价，即可得出关于 y 的一元一次不等式，解之取其内的最小值即可得出结论【解答】解：（1）设第一批购进文化衫 x 件，根据题意得： +10 ，解得：x50，经检验，x50 是
27、原方程的解，且符合题意答：第一批购进文化衫 50 件（2）第二批购进文化衫（1+40%）5070（件）设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为 y 元，根据题意得：（50+70）y400063004100，解得：y120答：该服装店销售该品牌文化衫每件最低售价为 120 元【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式23【分析】（1）利用平行四边形的判断方法先判断出四边形 ACBF 是平行四边形，即可得出结论；（2）先判断出四边形 BCEF 是平行四边形，进而判断出 BCCE ，即可
28、得出结论；（3）先求出ABC60，进而判断出AEF 是等边三角形，即可判断出四边形 ACBF 是平行四边形，即可得出结论；（4）先根据平移设置题目，利用相似三角形，表示出 FQ，利用面积相等建立方程求解即可【解答】解：（1）ABCDEF，ACDFBF ，BCEFAF，在四边形 ACBF 中，ACBF，BC AF，四边形 ACBF 是平行四边形，ACB90，ACBF 是矩形；（2）ABCDEF 与平移可知，BC EF ，BC EF，四边形 BCEF 是平行四边形，ACB90，点 E 与 AB 的中点重合， BAC30，BCCE AB，在BCEF 中，BCCE，BCEF 是菱形；（3）在 RtAB
29、C 中，BAC+ ABC90，BAC 30，ABC60，ABCDEF，点 E 是 AB 中点，BAC30，EFAEBC，DEF60，DEBC，BEDABC60，AEF 180DEFBED60，AEF 是等边三角形，EAF 60，AFAE，AEBC，AFBC，EAF ABC60，AFBC，在四边形 ACBF 中，AF BC ，AF BC ，四边形 ACBF 是平行四边形，ACB90，ACBF 是矩形；（4）构图方法：将DEF 纸片按图所示方式放置，点 C，F，B，E 在同一条直线上，DF 交 AB于点 Q，提问：当BFQ 的面积等于四边形 CFQA 的面积时，求 CF 的长解：在 RtABC 中
30、，BC2，AB 4，AC2 ，设 CFx，则 BF2x，由平移知，ACQF，BFQBCA， ， ，FQ （2x ），S BFQ BFFQ （2x） 2，BFQ 的面积等于四边形 CFQA 的面积，S BFQ SABC BCAC ， （2x） 2 ，x2+ （舍）或 x2 ，即：CF 的长为 2 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形，矩形的判断和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断四边形 ACBF 是平行四边形，解（2）的关键是判断出 BECE，解（3）的关键是判断出AEF 是等边三角形，解（4）的关键是利用面积建立方程求解
