1、2017-2018 学年江苏省南京市玄武区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）1 （2 分）下列事件是确定事件的是（ ）A任买一张电影票，座位是偶数B在一个装有红球和白球的箱子中，任摸一个球是红色的C随意掷一枚均匀的硬币，正面朝上D三根长度分别为 2cm、3cm、5cm 的木棒能摆成三角形2 （2 分）若分式 中的 x、y 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ）A扩大为原来的 2 倍 B扩大为原来的 4 倍C缩小为原来的 倍 D不变3 （2 分）下列关系中，两个变量之间为反比例函数关系的是（ ）A长 40
2、 米的绳子减去 x 米，还剩 y 米B买单价 3 元的笔记本 x 本，花了 y 元C正方形的面积为 S，边长为 aD菱形的面积为 20，对角线的长分别为 x，y4 （2 分）下列各式成立的是（ ）A BC D5 （2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（ ）ABACACB BBAC ACD CBAC DAC DBACABD6 （2 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 内取一点 E，使得 BECE，连接ED、BDBD 与 CE 相交于点 O，若EOD 75，则BED 的面积为（
3、;）第 2 页（共 25 页）A B C D二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 20 分）7 （3 分）式子 在实数范围内有意义，则实数 a 的取值范围是 8 （3 分）在ABCD 中，A+C100，则B 的度数为 9 （3 分）计算 （a0，b0）的结果是 10 （3 分）用配方法将方程 x2+10x110 化成（x +m） 2n 的形式（m 、n 为常数） ，则m+n 11 （3 分）若 ，则 的值为 12 （3 分）已知反比例函数
4、y （k 为常数，k 0）中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x 1 2 4 8 y4 2 1则当2y 时，x 的取值范围是 13 （3 分）已知 x2 ，则 x24x 6 的值为 14 （3 分）如图，正比例函数 yk 1x 与反比例函数 y 的图象交于点 A（2，2） ，则关于 x 的不等式 k1x 的解集为 第 3 页（共 25 页）15 （3 分）如图，在ABC 中，CD 平分ACB，ADCD，垂足为 D，E 为 AB 的中点，连接 DE，AC15，BC27，则 DE
5、; 16 （3 分）如图，在反比例函数 y （x0）的图象上有点 P1、P 2、P 3，P n（n 为常数，n2） ，它们的横坐标依次为 1，2，3，n，分别过点 P1、P 2、P 2，P n作 x 轴，y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1、S 2、S 3，S n1 ，则 S1+S2+S3+Sn1 （用含 n 的代数式表示）三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）17 （8 分）计算：（1）（2）第 4 页（共 25 页）18 （8 分）解分式方程：（1）（2）19 （8 分）解一元二次方程：（1）2x 25x+10（2）
6、（x+1） 2（2x 3） 220 （7 分）先化简，再求值： ，其中 a1+ 21 （7 分）某商场进行有奖促销活动，规定顾客购物达到一定金额就可以获得一次转动转盘的机会（如图） ，当转盘停止转动时指针落在哪一区域就可获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘） 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1000落在“10 元兑换券”的次数 m 68 111 136 345 564 701落在“10 元兑换券”的频率 0.68 a 0.68 0.69 b 0.701（1）a 的值为 ，b 的值为 &nb
7、sp;；（2）假如你去转动该转盘一次，获得“10 元兑换券”的概率约是 ；（结果精确到 0.01）（3）根据（2）的结果，在该转盘中表示“20 元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是多少度？（结果精确到 1）22 （6 分）某中学组织学生去离学校 15km 的农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的 1.2 倍，结果先遣队比大队早到 0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？23 （8 分）如图，E、F 分别为ABC 的边 BC、AB 的中点，延长 EF 至点 D，使得DFEF，连接 DA、DB、AE（1）求证：四边形 ACED 是平行四边形；第 5 页（共
8、25 页）（2）若 ABAC ，求证：四边形 AEBD 是菱形24 （8 分）厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时，面条的总长度 y（m）与面条横截面积 x（mm 2）之间成反比例函数关系其图象经过 A（4，32） 、B（t ，80）两点（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）求 t 的值，并解释 t 的实际意义；（3）如果厨师做出的面条横截面面积不超过 3.2mm2，那么面条的总长度至少为 m25 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m +1）x+2m 30（m 为常数） （1）若方程的一个根为 1，求 m 的值及方程的另一个根；（
9、2）求证：不论 m 为何值时，方程总有两个不相等的实数根26 （9 分）已知矩形的一边长为 2，另一边长为 1（1）是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍？小明是这样想的：小刚是这样想的：按照小明思路，完成解答：根据小刚的思路，直接写出两个交点坐标；（2）如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的 2 倍，面积是已知矩形面积的 k 倍（k0） ，求 k 的取值范围27 （11 分）已知正方形 ABCD，点 P 是边 AD 上一点（不与点 A、D 重合） 第 6 页（共 25 页）（1）在图 中用直尺和圆规求作一点 P，使得APB60（保留作图痕迹，不写作法） （2）
10、如图 ， CEBP ，交 AB 于点 E，垂足为 O、M、N 分别是 BE、CP 的中点，MN交 BP、CE 于点 H、G求证： OGOH（3）如图 ，若正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 为 AD 中点，连接 BP 并延长，与 CD的延长线交于点 F，在线段 CF 上找一点 Q，使得PFQ 为等腰三角形，求 DQ 的长，直接写出结论第 7 页（共 25 页）2017-2018 学年江苏省南京市玄武区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）1 （2 分）下列事件是确定事件的是（ ）A任买一张电影票，座位是偶数B在一
11、个装有红球和白球的箱子中，任摸一个球是红色的C随意掷一枚均匀的硬币，正面朝上D三根长度分别为 2cm、3cm、5cm 的木棒能摆成三角形【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可【解答】解：任买一张电影票，座位是偶数是随机事件，A 错误；在一个装有红球和白球的箱子中，任摸一个球是红色的是随机事件，B 错误；随意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，C 错误；三根长度分别为 2cm、3cm 、5cm 的木棒能摆成三角形是不可能事件，D 正确，故选：D【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事
12、件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件2 （2 分）若分式 中的 x、y 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ）A扩大为原来的 2 倍 B扩大为原来的 4 倍C缩小为原来的 倍 D不变【分析】根据分式的性质，可得答案【解答】解： 中的 x、y 都扩大为原来的 2 倍，得 ，故选：A【点评】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键3 （2 分）下列关系中，两个变量之间为反比例函数关系的是（ ）A长 40 米的绳子减去 x 米，还剩 y 米第 8 页（共 25 页）B买单价 3 元的笔记本 x 本，花了 y 元C正方形的面积为 S，边
13、长为 aD菱形的面积为 20，对角线的长分别为 x，y【分析】根据题意写出 y 与 x 的关系式，根据反比例函数的定义判断即可【解答】解：长 40 米的绳子减去 x 米，还剩 y 米，则 y40x，A 不是反比例函数；买单价 3 元的笔记本 x 本，花了 y 元，则 y3x，B 不是反比例函数；正方形的面积为 S，边长为 a，则 Sa 2，C 不是反比例函数；菱形的面积为 20，对角线的长分别为 x，y，则 y 是反比例函数，故选：D【点评】本题考查的是反比例函数的概念，形如 y （k 为常数，k0）的函数称为反比例函数其中 x 是自变量，y 是函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切
14、实数4 （2 分）下列各式成立的是（ ）A BC D【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案【解答】解：A、 ，故此选项错误；B、 3，故此选项错误；C、 （ ） 2 ，正确；D、 5，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键第 9 页（共 25 页）5 （2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（ ）ABACACB BBAC ACD CBAC DAC DBACABD【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案【解答】解：A、BACACB ，能判定
15、四边形 ABCD 是菱形，不能判断四边形ABCD 是矩形；B、BAC ACD，不能判断四边形 ABCD 是矩形；C、BACDAC，能判定四边形 ABCD 是菱形，不能判断四边形 ABCD 是矩形；D、BACABD ，能得出对角线相等，能判断四边形 ABCD 是矩形；故选：D【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键6 （2 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 内取一点 E，使得 BECE，连接ED、BDBD 与 CE 相交于点 O，若EOD 75，则BED 的面积为（ ）A B C D【分析】先求得EOD 的度数，然后可证
16、明 BCE 为等边三角形，然后求得BCE 和CDE 的面积，最后由BED 的面积BCE 的面积+CDE 的面积BCD 的面积求解即可【解答】解：如图所示：过点 E 作 EFBC，垂足为 F，作 EGDC，垂足为 G第 10 页（共 25 页）EOD 75 ，ECD+ODC EOD，ECD30ECB60又BECE，BCE 为等边三角形ECBC4EF FC 2 在 RtEGC 中，ECG 30，EG EC2S 四边形 BDEC CBEF+ DCEG 42 + 424 +4又S BCD BCDC8，BED 的面积（4 +4）84 4故选：B【点评】本题主要考查的是正方形的性质、等边三角形的性质和判定
17、、含 30直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 20 分）7 （3 分）式子 在实数范围内有意义，则实数 a 的取值范围是 a 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可【解答】解：由题意得，2a+10，解得，a ，故答案为：a 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数8 （3 分）在ABCD 中，A+C100，则B 的度数为 130 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得AC，又由A+C 200，即可求得A 的度数，继而求得答案【解答】解：四边形 ABCD 是平行四
18、边形，AC，A+C 100 ，第 11 页（共 25 页）AC50，B180A130故答案为 130【点评】此题考查了平行四边形的性质此题比较简单，注意掌握方程思想的应用9 （3 分）计算 （a0，b0）的结果是 3 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案【解答】解： （a0，b0）3 故答案为：3 【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键10 （3 分）用配方法将方程 x2+10x110 化成（x +m） 2n 的形式（m 、n 为常数） ，则m+n 41 【分析】方程常数项移到右边，两边加上 25 配方得到结果，求出 m 与 n 的值即可【解答】解
19、：x 2+10x110，x 2+10x11，则 x2+10x+2511+25，即（x+5） 236，m5、n36，m+ n 41，故答案为：41【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键11 （3 分）若 ，则 的值为 1 【分析】直接利用比例的性质得出 x，y 之间的关系进而得出答案【解答】解： ，2y3x，则 y x，第 12 页（共 25 页）则 1故答案为：1【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数代替另一未知数是解题关键12 （3 分）已知反比例函数 y （k 为常数，k 0）中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x 1 2 4 8
20、 y4 2 1则当2y 时，x 的取值范围是 8x 2 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得 kxy 4，所以将 y2 和 y分别代入函数解析式求得相应的 x 的值，确定 x 的极值【解答】解：kxy144，反比例函数解析式是：y 当 y2 时，x 2当 y 时，x 8x 的取值范围是8x 2故答案是：8x2【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk13 （3 分）已知 x2 ，则 x24x 6 的值为 0 【分析】将 x 的值代入 x24x 6（x2） 210 计算可得【解答】解：当 x2 时，x2
21、4x6（x 2） 210（2 2） 210（ ） 2101010第 13 页（共 25 页）0，故答案为：0【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序与运算法则及完全平方公式14 （3 分）如图，正比例函数 yk 1x 与反比例函数 y 的图象交于点 A（2，2） ，则关于 x 的不等式 k1x 的解集为 2x0 或 x2 【分析】先利用正比例函数图象和反比例函数图象的性质得正比例函数 yk 1x 与反比例函数 y 的图象的另一个交点坐标为（2，2） ，然后利用函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：正比
22、例函数 yk 1x 与反比例函数 y 的图象交于点 A（2，2） ，正比例函数 yk 1x 与反比例函数 y 的图象的另一个交点坐标为（2，2） ，当2x0 或 x2 时，y 1y 2，即关于 x 的不等式 k1x 的解集为 2x0 或 x2故答案为2x0 或 x2【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点15 （3 分）如图，在ABC 中，CD 平分ACB，ADCD，垂足为 D，E 为 AB 的中点，连接 DE，AC15，BC27，则 DE 6 第 14 页（共 25
23、 页）【分析】证明CDACDF，根据全等三角形的性质得到 ADDF ，CF AC，根据三角形中位线定理解答【解答】解：在CDA 和CDF 中，CDACDF，ADDF ，CF AC15，BFBCCF12，ADDF ，AEEB，DE BF6，故答案为：6【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键16 （3 分）如图，在反比例函数 y （x0）的图象上有点 P1、P 2、P 3，P n（n 为常数，n2） ，它们的横坐标依次为 1，2，3，n，分别过点 P1、P 2、P 2，P n作 x 轴，y 轴的垂线，图中所构成
24、的阴影部分面积从左到右依次为S1、S 2、S 3，S n1 ，则 S1+S2+S3+Sn1 （用含 n 的代数式表示）【分析】求出 P1、P 2、P 3、P 4的纵坐标，从而可计算出 S1、S 2、S 3、S 4的高，进而第 15 页（共 25 页）求出 S1、S 2、S 3、S 4，从而得出 S1+S2+S3+Sn1 的值【解答】解：当 x1 时，P 1 的纵坐标为 6，当 x2 时，P 2 的纵坐标 3，当 x3 时，P 3 的纵坐标 2，当 x4 时，P 4 的纵坐标 ，当 x5 时，P 5 的纵坐标 ，则 S11（63）63；S21（32）32；S31（2
25、）2 ；S41（ ） ；Sn1 ；S 1+S2+S3+Sn1 63+32+2 + 6 故答案为 【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出各阴影部分面积的表达式是解题的关键三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）17 （8 分）计算：（1）（2）【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算；（2）利用平方差公式计算【解答】解：（1）原式（2 ）第 16 页（共 25 页） 3 ；（2）原式（3 2 ） （ 3 +2 ） 2（1812） 236【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的
26、乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍18 （8 分）解分式方程：（1）（2）【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：（1）去括号得：2x43x+6，解得：x10，经检验 x10 是分式方程的解；（2）去分母得：2x912x213x +9，移项合并得：7x3，解得：x ，经检验 x 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验19 （8 分）解一元二次方程：（1）2x 25x+10（2） （x+1） 2（2
27、x 3） 2【分析】 （1）利用公式法求解可得；（2）两边直接开平方法求解可得【解答】解：（1）a2、b5、c1，25421170，第 17 页（共 25 页）则 x ；（2）（x+1） 2（2x 3） 2，x+12x3 或 x+132x，解得：x4 或 x 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键20 （7 分）先化简，再求值： ，其中 a1+ 【分析】原式利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算，得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式 + + ，当 a1+ 时，原式 1+ 【点评】此题考查了分式的化简求
28、值，熟练掌握运算法则是解本题的关键21 （7 分）某商场进行有奖促销活动，规定顾客购物达到一定金额就可以获得一次转动转盘的机会（如图） ，当转盘停止转动时指针落在哪一区域就可获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘） 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1000落在“10 元兑换券”的次数 m 68 111 136 345 564 701落在“10 元兑换券”的频率 0.68 a 0.68 0.69 b 0.701（1）a 的值为 0.74 ，b 的值为 0.705 ；（2）假如你去转动该转盘一次，获得“10 元兑换券”的概率约是 0.70
29、 ；（结果精确到 0.01）（3）根据（2）的结果，在该转盘中表示“20 元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是多少度？（结果精确到 1）第 18 页（共 25 页）【分析】 （1）根据“频率频数总数”可得；（2）由随着转动次数越大，频率逐渐稳定在 0.70 附近可得；（3）用 360乘以“20 元兑换券”对应的频率即可得【解答】解：（1）a1111500.74、b5648000.705，故答案为：0.74、0.705；（2）由表可知，随着转动次数越大，频率逐渐稳定在 0.70 附近，所以获得“10 元兑换券”的概率约是 0.70，故答案为：0.70；（3）在该转盘中表示“20 元兑换券”区域的扇
30、形的圆心角大约是 3600.3108【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确22 （6 分）某中学组织学生去离学校 15km 的农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的 1.2 倍，结果先遣队比大队早到 0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？【分析】首先设大队的速度为 x 千米/ 时，则先遣队的速度是 1.2x 千米/时，由题意可知先遣队用的时间+0.5 小时
31、大队用的时间【解答】解：设大队的速度为 x 千米/ 时，则先遣队的速度是 1.2x 千米/时，+0.5，解得：x5，经检验 x5 是原方程的解，1.2x1.256答：先遣队的速度是 6 千米/时，大队的速度是 5 千米/ 时第 19 页（共 25 页）【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，表示出大队和先遣队各走15 千米所用的时间，根据时间关系：先遣队比大队早到 0.5h 列出方程解决问题23 （8 分）如图，E、F 分别为ABC 的边 BC、AB 的中点，延长 EF 至点 D，使得DFEF，连接 DA、DB、AE（1）求证：四边形 ACED 是平行四边形；（2）若 ABAC
32、，求证：四边形 AEBD 是菱形【分析】 （1）由已知可得：EF 是ABC 的中位线，则可得 EFAC，EF AC，又由DFEF，易得 ACDE，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形 ACED 是平行四边形；（2）想办法证明四边形 AEBD 是平行四边形，AB DE 即可；【解答】证明：（1）E、F 分别为ABC 的边 BC、BA 的中点，EFAC，EF AC，DFEF，EF DE，ACDE，四边形 ACED 是平行四边形；（2）四边形 ACED 是平行四边形，ADEC，DEAC，ADEC，BEEC，ADBE，ADBE，四边形 AEBD 是平行四边形，ACAB，ACDE
33、 ，ABED ，第 20 页（共 25 页）四边形 AEBD 是菱形【点评】此题考查了平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）、菱形的判定（对角线垂直的平行四边形是菱形）以及三角形中位线的性质（三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半） 解题的关键是仔细分析图形，注意数形结合思想的应用24 （8 分）厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时，面条的总长度 y（m）与面条横截面积 x（mm 2）之间成反比例函数关系其图象经过 A（4，32） 、B（t ，80）两点（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）求 t 的值，并解释 t 的实际意义；（3）如果厨师做出
34、的面条横截面面积不超过 3.2mm2，那么面条的总长度至少为 40 m【分析】 （1）直接利用待定系数法得出反比例函数解析式即可；（2）利用（1）中所求进而得出 t 的值，得出其实际意义；（3）利用 x3.2 求出 y 的值即可得出答案【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数表达式为：y （x0） ，将（4，32）代入可得：k128，y 与 x 之间的函数表达式为：y （x0） ，（2）将（t，80）代入 y 可得 t1.6，实际意义：当面条的横截面积为 1.6mm2 时，面条长度为 80m；（3）厨师做出的面条横截面面积不超过 3.2mm2，y 40，第 21 页（共 25
35、页）故面条的总长度至少为 40m故答案为：40【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出理解 y 与 x 代表的意义是解题关键25 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m +1）x+2m 30（m 为常数） （1）若方程的一个根为 1，求 m 的值及方程的另一个根；（2）求证：不论 m 为何值时，方程总有两个不相等的实数根【分析】 （1）把 x1 代入方程可求得 m 的值，再解方程可求得另一根；（2）由方程根的情况可得到关于 m 的不等式，可求得 m 的取值范围【解答】解：（1）把 x1 代入方程可得 1（m +1）+2m30，解得 m3，当 m3 时，原方程为 x24x+30
36、解得 x11，x 23，即方程的另一根为 3；（2）a1，b（m+1） ，c 2m 3，b 24ac （m+1） 241（2m3）（m3） 2+40，不论 m 为何值时，方程总有两个不相等的实数根【点评】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键26 （9 分）已知矩形的一边长为 2，另一边长为 1（1）是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍？小明是这样想的：小刚是这样想的：按照小明思路，完成解答：根据小刚的思路，直接写出两个交点坐标；（2）如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的 2 倍，面积是已知矩形面积的 k 倍第
37、 22 页（共 25 页）（k0） ，求 k 的取值范围【分析】 （1）根据面积长宽，列出关于 x 的一元二次方程，解之即可，将反比例函数和一次函数联立，求公共点即可，（2）根据“周长是已知矩形周长的 2 倍，面积是已知矩形面积的 k 倍（k0） ”，设矩形的一边长为 x，则另一个边长为（6x） ，根据面积公式列出关于 x 和 k 的方程，令 x为未知数，根据判别式得到关于 k 的不等式，解之即可【解答】解：（1）根据题意得：小明可列方程为 x（6x）4，解得：x 13+ ，x 23 ，当 x3+ 时，6x 3 ，当 x3 时，6x 3+ ，即两矩形是全等的，所以存在这样的矩形符合题意，这个矩
38、形一边为 3+ ，另一边为 3 ，根据题意得： ，解得： ， ，两个交点坐标为：（3 ，3+ ） ， （3+ ，3 ） ，（2）根据题意知这个矩形周长为 12，面积为 2k，设矩形的一边长为 x，则另一边为（6x） ，则 x（6x）2k ，整理得：x 26x +2k0，由题意得原方程有实数根，368k0， ，又k0，0k ，即 k 的取值范围为：0k 【点评】本题考查一元二次方程的应用和反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：正确找出等量关系，列出方程和不等式，根据判别式列出不等式第 23 页（共 25 页）27 （11 分）已知正方形 ABCD，点 P 是边 AD 上一点（不与点 A、
39、D 重合） （1）在图 中用直尺和圆规求作一点 P，使得APB60（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图 ， CEBP ，交 AB 于点 E，垂足为 O、M、N 分别是 BE、CP 的中点，MN交 BP、CE 于点 H、G求证： OGOH（3）如图 ，若正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 为 AD 中点，连接 BP 并延长，与 CD的延长线交于点 F，在线段 CF 上找一点 Q，使得PFQ 为等腰三角形，求 DQ 的长，直接写出结论【分析】 （1）分别以 B、C 为圆心， BC 长为半径画弧，两弧交于点 E，直线直线 BE 交AD 于点 P，点 P 即为所求；（2）如图 中，取 PE 的中
40、点 Q，连接 QM，QN首先证明 BPCE ，再利用三角形中位线定理即可解决问题；（3）分三种情形讨论求解即可；【解答】解：（1）分别以 B、C 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点 E，直线直线BE 交 AD 于点 P，点 P 即为所求；（2）如图 中，取 PE 的中点 Q，连接 QM，QN第 24 页（共 25 页）四边形 ABCD 是正方形，AABC90，AB BC ，BPCE，BOC90，ABP +CBO 90，CBO+ ECB90，ABP BCE，ABP BCE，BPEC，EMMB，EQPQ，MQ PB，MQ BP，同理可证：QNCE ，QN CE，QM QN，QMNQNM，OHG
41、QMN，QNM，OHGDGH，OHOG（3）如图 中，第 25 页（共 25 页）由题意 PBPF2 ，AB DF4，当 FPFQ 时，可得 DQ14+2 （不符合题意舍弃） ，DQ 22 4，当 QFQP 时，设 Q3P Q3Fx，在 Rt PDQ3 中，x 22 2+（4x） 2，x ，DQ 3 当 PFPQ 时，DQ 44综上所述，满足推荐的 DQ 的值为 2 4 或 或 4【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题
