1、2017-2018 学年江苏省南京市秦淮区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）1 （2 分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A BC D2 （2 分）下列事件中，必然事件是（ ）A经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B任意画一个三角形，其内角和是 360C367 人中至少有 2 人生日相同D掷一枚骰子，向上一面的点数是 63 （2 分）根据分式的基本性质，分式 可以变形为（ ）A B C D14 （2 分）下列根式中，最简二次根式是（ ）A B C D5 （2 分）已知 a 1，b +
2、1，那么 a 与 b 的关系为（ ）A互为相反数 B互为倒数C相等 Da 是 b 的平方根6 （2 分）顺次连接三角形三边中点得到的图形叫做它的中点三角形，下列三个命题：三角形的周长是它的中点三角形的周长的 2 倍；三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边；三角形的三条角平分线分别平分它的中点三角形的三个内角其中真命题是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）第 2 页（共 24 页）7 （2 分）要使 在实数范围内有意义，x 的取值范围是 8 （2 分）计算 的结果是
3、; 9 （2 分）在一个不透明的袋子里装有 9 个白球和 8 个红球，这些球除颜色外，其余均相同，将袋中的球摇匀，从中任意取出一个球，摸到红球的可能性 摸到白球的可能性 （填“大于” 、 “小于”或“等于” ）10 （2 分）调查乘坐飞机的旅客是否携带危禁物品，适宜采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查” ）11 （2 分）分式 ， ， 的最简公分母是 12 （2 分）已知 x +1，则代数式 x22x +1 的值为 13 （2 分）若 A（1，y 1） ，B（2，y 2）是反比
4、例函数 y 的图象上的两点，则 y1 与y2 的大小关系是 y1 y 2 （填“” 、 “”或“” ）14 （2 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 O 与坐标原点重合，B 点坐标是（ 4，2） ，反比例函数 y 的图象经过对角线 OB、AC 的交点 M，则 k 的值是 15 （2 分）类比二次根式的性质：（ ） 2a（a0） ， | a|，请直接写出下列式子的计算结果：（ ） 3 ； 16 （2 分）如图，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针
5、方向旋转到正方形 AB'C'D'，旋转角为a（0180） ，连接 B'D、C'D，若 B'DC 'D，则 第 3 页（共 24 页）三、解答题（本大题共 10 小题，共 68 分）17 （8 分）计算：（1） +（2） （ ）18 （5 分）先化简，再求值：（ + ） ，其中 a3，b219 （8 分）解方程：（1） （2） 820 （5 分）新学期开学时，某校对八年级学生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试测试成绩全部合格（说明：成绩大于或等于 60 分合格） ，学校随机选取了部分学生的成绩，整理并
6、绘制成以下不完整的图表：部分学生测试成绩统计表分数段 频数 频率60x 70 9 a70x 80 36 0.480x 90 27 b90x100 C 0.2请根据上述统计图表，解答下列问题：（1）表中 a ，b ，c ；（2）补全频数分布直方图第 4 页（共 24 页）21 （5 分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过 10A，那么用
7、电器可变电阻至少是多少？22 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，Q 是 BC 的中点，P 是 AD 上一点，连接PB、 PC，E、F 分别是 PB、PC 的中点，连接 QE、QF（1）求证：四边形 PEQF 是平行四边形（2） 当点 P 在什么位置时，四边形 PEQF 是菱形？证明你的结论；矩形 ABCD 的边 AB 和 AD 满足什么条件时， 中的菱形 PEQF 是正方形？（直接写出结论，不需要说明理由）23 （6 分）某校八年级学生到距学校 15km 的医院体检，一部分学生骑车先行出发 h 后，另一部分学生乘坐公交车前往，汽车速度是自行车速度的 3 倍，结果两部分学生同时到达医院（1）
8、用含 x 的代数式填表（结果不需要化简）：第 5 页（共 24 页）速度（km/h） 时间（h） 路程（km）骑车 x 15乘车 15（2）求（1）的表格中的 x 的值24 （7 分）如图，在直角坐标系中，函数 y1 与函数 y2x 的图象交于点 A、B（1）点 A、B 的坐标分别是 、 ；（2）在同一直角坐标系中，画出函数 y3 的图象；（3）垂直于 y 轴的直线 l 与函数 y1、y 2、y 3 的
9、图象分别交于点 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） 、N（x 3， y3） ，若 x1x 2x 3，结合函数的图象，直接写出 x1+x2+x3 的取值范围25 （8 分）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法回顾旧知，类比求解（1）填空：经检验，x 是原方程的解类比解方程 2第 6 页（共 24 页）解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 解这个方程，得 x 经检验，x 是原方程的解学会转化，解决问题（2）运用上面的方法解下列方程： 3 0 +2x126 （8 分）如图，ACQ 与BCP
10、 都是等腰直角三角形，AQCCPB90，AQ2， BP1，连接 PQ（1）若点 A、C、B 在同一直线上，则 PQ ；（2）连接 BQ，分别以 BQ、AQ 为邻边作平行四边形 ADBQ，将BCP 绕点 C 逆时针旋转一周，当ADBQ 为菱形时，求 PQ 的长度第 7 页（共 24 页）2017-2018 学年江苏省南京市秦淮区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）1 （2 分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】
11、解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合2 （2 分）下列事件中，必然事件是（ ）A经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B任意画一个三角形，其内角和是 360C367 人中至少有 2 人生日相同D掷一枚骰子，向上一面的点数是 6【分析】必然事件就是一定发生的
12、事件，即发生的概率是 1 的事件【解答】解：A，B，D 选项，是可能发生也可能不发生事件，属于不确定事件C 是必然事件的是 367 人中至少有 2 人生日相同第 8 页（共 24 页）故选：C【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件3 （2 分）根据分式的基本性质，分式 可以变形为（ ）A B C D1【分析】根据分式的基本性质即可求出答案【解答】解：原式 ，故选：C
13、【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型4 （2 分）下列根式中，最简二次根式是（ ）A B C D【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方由被选答案可以用排除法可以得出正确答案【解答】A、 可以化简，不是最简二次根式；B、 ，不能再开方，被开方数是整式，是最简二根式；C、 ，被开方数是分数，不是最简二次根式；D、 ，被开方数是分数，不是最简二次根式故选：B【点评】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方
14、5 （2 分）已知 a 1，b +1，那么 a 与 b 的关系为（ ）A互为相反数 B互为倒数C相等 Da 是 b 的平方根【分析】计算出 ab 的值即可作出判断第 9 页（共 24 页）【解答】解：ab（ +1） （ 1）1，a、b 互为倒数，故选：B【点评】本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与倒数的定义6 （2 分）顺次连接三角形三边中点得到的图形叫做它的中点三角形，下列三个命题：三角形的周长是它的中点三角形的周长的 2 倍；三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边；三角形的三条角平分线分别平分它的中点三角形的三个内角其中真命题是（ ）A
15、 B C D【分析】根据中点三角形的性质判断即可【解答】解：三角形的周长是它的中点三角形的周长的 2 倍是真命题；三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边是真命题；三角形的三条内角平分线平分它的中点三角形的三个内角，三角形的角平分线不一定经过对边中点，是假命题；故选：A【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）7 （2 分）要使 在实数范围内有意义
16、，x 的取值范围是 x1 【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案【解答】解：由题意，得1x0，解得 x1，故答案为：x1【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义得出不等式是解题关键第 10 页（共 24 页）8 （2 分）计算 的结果是 4a 【分析】根据二次根式的乘法法则得出【解答】解： 4a【点评】主要考查了二次根式的乘法运算二次根式的乘法法则： 9 （2 分）在一个不透明的袋子里装有 9 个白球和 8 个红球，这些球除颜色外，其余均相同，将袋中的球摇匀，从中任意取出一个球，摸到红球的可能性 小于 摸到白球的可能性 （填“大于” 、 “小于”或“等于” ）【分析】用
17、白球和红球的个数分别除以总球的个数即可得出答案【解答】解：不透明的袋子中装有 8 个红球和 9 个白球共 17 个球，任意摸出一个球，这个球是白球的概率为 ；任意摸出一个球，这个球是红球的概率为 ；则从中任意取出一个球，摸到红球的可能性小于摸到白球的可能性故答案为：小于【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 10 （2 分）调查乘坐飞机的旅客是否携带危禁物品，适宜采用的调查方式是 普查 （填“普查”或“抽样调查” ）【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样
18、调查得到的调查结果比较近似解答【解答】解：调查乘坐飞机的旅客是否携带危禁物品，适宜采用普查方式，故答案为：普查【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查11 （2 分）分式 ， ， 的最简公分母是 12x 2y2 【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的第 11 页（共 24 页）公分母叫做最简公分母【解答】解：三分式分母系数的最小公倍数为 12，x、y 的最高次幂均
19、为 2，最简公分母是 12x2y2故答案为：12x 2y2【点评】考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握本题属于基础题12 （2 分）已知 x +1，则代数式 x22x +1 的值为 2 【分析】根据 x 的值和完全平方差公式可以解答本题【解答】解：x +1，x 22x+1（x1） 2（ +11） 2（ ） 22，故答案为：2【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法13 （2 分）若 A（1，y 1） ，B（2，y 2）是反比例函数 y 的图象上的两点，则 y1 与y2 的大小关系是 y1 y 2
20、（填“” 、 “”或“” ）【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限进而可得出结论【解答】解：反比例函数 y 中，k60，函数图象的两个分式分别位于第一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小A（1，y 1） ，B（2，y 2） ，点 A、B 都在第三象限，又12，y 1y，故答案为：【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征注意：反比例函数的增减性只第 12 页（共 24 页）指在同一象限内14 （2 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 O 与坐标原点重合，B 点坐标是（
21、 4，2） ，反比例函数 y 的图象经过对角线 OB、AC 的交点 M，则 k 的值是 2 【分析】根据矩形的性质求得点 M 的坐标，将点 M 的坐标代入函数解析式求得 k 的值即可【解答】解：四边形 OABC 是矩形，OB 与 AC 的交点 M 是 OB、AC 的中点B 点坐标是（4，2） ，点 M 的坐标是（2，1） 将其代入 y 得到：k xy 212故答案是：2【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分求得点 M 的坐标是解题的关键15 （2 分）类比二次根式的性质：（ ） 2a（a0） ， | a|，请直接写出下列式子的计算结果：（ ） 3
22、 2 ； 2 【分析】类比二次根式的性质逐一计算可得【解答】解：根据题意知（ ） 32， |2| 2，故答案为：2、2【点评】本题主要考查二次根式的性质和立方根，解题的关键是掌握二次根式的性质16 （2 分）如图，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转到正方形 AB'C'D'，旋转角为a（0180） ，连接 B'D、C'D，若 B'DC 'D，则 60 第 13 页（共 24 页）【分析】作 DHBC于 H，交 AD于 G，如图，根据旋转的性质得ADAD ，DAD ，再根据等腰三角形的性质由 B'DC'D 得到 B
23、HCH，则 AGDG ，从而在 RtADG中可计算出ADG 30，于是得到DAG60，从而得到 的度数【解答】解：作 DHBC 于 H，交 AD于 G，如图，正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转到正方形 AB'C'D'，旋转角为 a，ADAD ，DAD ，B'DC' D，BHCH，四边形 AB'C'D'为正方形，AGDG ，在 Rt ADG中，AG AD AD，ADG 30 ，DAG 60 ，即 60故答案为 60【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后
24、的图形全等也考查了正方形的性质三、解答题（本大题共 10 小题，共 68 分）第 14 页（共 24 页）17 （8 分）计算：（1） +（2） （ ）【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后把可能内合并后进行二次根式的除法运算【解答】解：（1）原式2 + ；（2）原式（4 ）3 3 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍18 （5 分）先化简，再求值：（ + ） ，其
25、中 a3，b2【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a、b 的值代入计算可得【解答】解：原式 ，当 a3、b2 时，原式1【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则19 （8 分）解方程：第 15 页（共 24 页）（1） （2） 8【分析】 （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，代入检验即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，代入检验即可【解答】解：（1）两边都乘以（x+1） （x+2） ，得：3（x+1）x+2，解得：x ，检验：x 时， （x +1） （x+2 ） 0，所
26、以分式方程的解为 x ；（2）方程两边都乘以 x7，得：x8+18（x 7） ，解得：x7，检验：x7 时，x 70，所以分式方程无解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验20 （5 分）新学期开学时，某校对八年级学生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试测试成绩全部合格（说明：成绩大于或等于 60 分合格） ，学校随机选取了部分学生的成绩，整理并绘制成以下不完整的图表：部分学生测试成绩统计表分数段 频数 频率60x 70 9 a70x 80 36 0.480x 90 27 b90x100 C 0.2请根据上述统计图表，解答下列问题：（1）表中 a 0.1
27、 ，b 0.3 ，c 18 ；第 16 页（共 24 页）（2）补全频数分布直方图【分析】 （1）先由 70x80 分数段的频数及其频率求得总人数，再根据“频率频数总数”可分别求得 a、b、c 的值；（2）根据以上所求结果即可补全直方图【解答】解：（1）被调查的总人数为 360.490，a9900.1、b27900.3、c900.218，故答案为：0.1、0.3、18；（2）补全频数直方图如下：【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布表得出解题所需数据21 （5 分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比
28、例函数关系，它的图象如图所示（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过 10A，那么用电器可变电阻至少是多少？第 17 页（共 24 页）【分析】 （1）先由电流 I 是电阻 R 的反比例函数，可设 I ，将点（9，4） ，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2）将 I10 代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围【解答】解：（1）电流 I 是电阻 R 的反比例函数，设 I ，图象经过（9，4） ，4 ，解得 k4936，I ；（2）I10，I ， 10，R3.6，即用电器可变电阻应控制在 3.6 欧以上的范围内【点评】本题考查了反比例
29、函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题22 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，Q 是 BC 的中点，P 是 AD 上一点，连接PB、 PC，E、F 分别是 PB、PC 的中点，连接 QE、QF（1）求证：四边形 PEQF 是平行四边形（2） 当点 P 在什么位置时，四边形 PEQF 是菱形？证明你的结论；矩形 ABCD 的边 AB 和 AD 满足什么条件时， 中的菱形 PEQF 是正方形？（直接写出结论，不需要说明理由）第 18 页（共 24 页）【分析】 （1）运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明；（2） 当 P 位于 DC 中点时，四
30、边形 EFPG 是菱形先由矩形的性质，得DA90，AB CD ，再根据中点的定义证明 BAPCDP，从而得PCPB，也可以根据勾股定理得：PBPC ，最后根据中点的定义证得 PEPF，根据一组邻边相等的平行四边形得证四边形 PEQF 是菱形；矩形 ABCD 的边 AB 和 AD 满足 AD2AB 时，中的菱形 PEQF 是正方形；证明ABP 是等腰直角三角形，得APB45CPD，可得EPF90，所以菱形 PEQF 是正方形【解答】 （1）证明：在PBC 中，E、F 分别是 PB、PC 的中点，Q 是 BC 的中点，QE、QF 为PBC 的中位线，QEPF，QFPE，四边形 PEQF 是平行四边
31、形；（2）解： 当点 P 为 AD 的中点时，四边形 PEQF 是菱形，理由是：当 P 为 AD 的中点时， APPD，由勾股定理得：PB ，PC ，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，PBPC，E、F 分别是 PB、PC 的中点，PEPF，由（1）知：四边形 PEQF 是平行四边形，四边形 PEQF 是菱形；矩形 ABCD 的边 AB 和 AD 满足 AD2AB 时，中的菱形 PEQF 是正方形，第 19 页（共 24 页）理由是：AD2AB ，AD 2AP，ABAP，ABP 是等腰直角三角形，APB 45，同理可得CPD45，EPF 90，中的菱形 PEQF 是正方形【点评】此题主要考查了
32、平行四边形和菱形、正方形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形23 （6 分）某校八年级学生到距学校 15km 的医院体检，一部分学生骑车先行出发 h 后，另一部分学生乘坐公交车前往，汽车速度是自行车速度的 3 倍，结果两部分学生同时到达医院（1）用含 x 的代数式填表（结果不需要化简）：速度（km/h） 时间（h） 路程（km）骑车 x 15乘车 x 15（2）求（1）的表格中的 x 的值【分析】 （1）设骑车的同学需要 x 小时到达医院，则乘车的同学需要（x ）小时到
33、达学校，根据速度路程时间，可得出骑车及乘车同学的速度，此题得解；（2）根据汽车速度是自行车速度的 3 倍，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：（1）设骑车的同学需要 x 小时到达医院，则乘车的同学需要（x ）小时到达学校，骑车的同学的速度为 千米/小时，乘车的同学的速度为 千米/ 小时故答案为： ； ；x 第 20 页（共 24 页）（2）根据题意得：3 ，解得：x1，经检验，x1 是原分式方程的解答：（1）的表格中的 x 的值为 1【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键24 （7 分）如图，在直角坐标系中，函数 y1 与函数
34、 y2x 的图象交于点 A、B（1）点 A、B 的坐标分别是 （2，2） 、 （2，2） ；（2）在同一直角坐标系中，画出函数 y3 的图象；（3）垂直于 y 轴的直线 l 与函数 y1、y 2、y 3 的图象分别交于点 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） 、N（x 3， y3） ，若 x1x 2x 3，结合函数的图象，直接写出 x1+x2+x3 的取值范围【分析】本题根据图象解答，在（3）中，函数 y1、y 3 的图象关于 y 轴对称，则x1+x2+x3 的取值范围即为 x2 的取值范围【解答】解：（1）由图象得到点 A、B 坐标故答案为：（2，2） 、 （2，2）（2
35、）图象如图第 21 页（共 24 页）（3）由图象可知，若 x1x 2x 3，垂直于 y 轴的直线 l 在 x 轴与直线 y2 之间函数 y1 与函数 y3 的图象关于 y 轴对称x 1+x30由图象2x 202x 1+x2+x30【点评】本题考查了正比例函数和反比例函数图象，解答过程中要注意数形结合25 （8 分）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法回顾旧知，类比求解（1）填空：经检验，x 是原方程的解类比解方程 2解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 x+14 解这个方程，得 x 3 经检验，x 3 是原方程的解第 22 页（共 24 页）学会转化，解决问题（2）运用上面
36、的方法解下列方程： 3 0 +2x1【分析】 （1）两边平方，即可得出一个有理方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2） 移项后两边平方，即可得出一个有理方程，求出方程的解，再进行检验即可；移项后两边平方，即可得出一个有理方程，求出方程的解，再进行检验即可【解答】 （1）解： 2，去根号，两边同时平方得一元一次方程 x+14，解这个方程，得 x3，经检验，x3 是原方程的解，故答案为：x+14，3，3；（2） 30，移项得： 3，两边平方得：x29，解得：x11，经检验 x11 是原方程的解，所以原方程的解为 x11； +2x1，移项得： 12x，两边平方得：4x 23x （12x ） 2，解
37、得：x1，经检验 x1 不是原方程的解，所以原方程无解【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意要进行检验26 （8 分）如图，ACQ 与BCP 都是等腰直角三角形，AQCCPB90，第 23 页（共 24 页）AQ2，BP1，连接 PQ（1）若点 A、C、B 在同一直线上，则 PQ ；（2）连接 BQ，分别以 BQ、AQ 为邻边作平行四边形 ADBQ，将BCP 绕点 C 逆时针旋转一周，当ADBQ 为菱形时，求 PQ 的长度【分析】 （1）如图 1 中，利用勾股定理计算即可；（2）分两种情形如图 2 中，当 QAQBAC 时，四边形
38、 ADBQ 是菱形 、如图3 中当 QAQB 时，四边形 ADBQ 是菱形分别求解即可；【解答】解：（1）如图 1 中，AQC，PCB 都是等腰直角三角形，ACQPCB45，AQQC2，PCPB1，PCQ90，PQ 故答案为 （2）四边形 ADBQ 为菱形，则 QBQCQA，点 B 在以 Q 为圆心，QC 为半径的圆上，又CBP 绕点 C 逆时针旋转一周，点 B 也在以 C 为圆心，BC 为半径的圆上如图 2 中，当 QAQB 时，四边形 ADBQ 是菱形第 24 页（共 24 页）延长 QP 交 BC 于 H，易知 QH ，PH ，PQ 如图 3 中，当 QBAQ 时，四边形 ADBQ 是菱形同法可得 PQQH +PH，综上所述，满足条件的 PQ 的长为 或 【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型
