1、2019 年北京市门头沟区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 30 ，Bx|x 0 ，则 AB 等于（ ）A （1，3） B0，3） C （1，0 D （1，22 （5 分）复数 z 满足 z ，那么|z|是（ ）A B2 C2 D3 （5 分）一个体积为 12 正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A6 B8 C8 D124 （5 分）如图的程序框图，如果输入三个实数 a，b，c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断
2、框中，应该填入下面四个选项中的（ ）Acx Bxc Ccb Dbc5 （5 分）向量 ， 满足| | |1，且其夹角为 ，则“| |1”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不垂直的是（ ）A BC D7 （5 分）已知ABC 中，AB ，BC 1，sin C cosC，则ABC 的面积为（ ）A2 B C D8 （5 分）函数 f（x ）x 2+2ex+m1，函数 g（x） x+ （x0） ， （其中
3、 e 为自然对数的底数，e 2.718）若函数 h（x）f （x）g（x）有两个零点，则实数 m 的取值范围为（ ）Ame 2+2e+1 Bme 22e+1 Cme 2+2e+1 Dm e 22e+1二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分)9 （5 分）若 x，y 满足条件 ，则 zx +2y 的最大值为 10 （5 分）双曲线 C：2x 2y 21 的渐近线方程是 11 （5 分）等比数列a n中，S 321，2a 2a 3 则数列a n的通项公式 an 12 （5 分）过抛物线 y24x 焦点且斜率为 1 的直线 l 与此抛物线相交于 A，B 两点，则|AB| 13
4、 （5 分）若函数 f（x ）满足对定义域上任意 x1，x 2 都有不等式 f（ ）成立，则称此函数为“P 函数” ，请你写出一个“P 函数”的解析式 14 （5 分）一半径为 4m 的水轮，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时开始计时，即从图中点 P0 开始计算时间（）当 t5 秒时点 P 离水面的高度 ；（）将点 P 距离水面的高度 h（单位：m ）表示为时间 t（单位：s）的函数，则此函数表达式为 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 80 分)15 （13 分）已知函数 f（x ） sinxcosxcos 2x+ （x
5、R） （1）求 f（x）的周期及单调增区间；（2）若 x0， 时，求 f（x ）的最大值与最小值16 （13 分）在等差数列a n中，S n 为其前 n 项的和，若 S525，a 1019（1）求数列a n的通项公式 an 及前 n 项和 Sn；（2）若数列b n中 bn ，求数列b n的前 n 和 Tn17 （12 分）在某区“创文明城区” （简称“创城” ）活动中，教委对本区 A，B，C，D 四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了 100 人，将调查情况进行整理后制成如表：学校 A B C D抽查人数 50 15 10 25“创城”活动中参与的人数40 10 9 15（注：参与率是指：
6、一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的（）若该区共 2000 名高中学生，估计 A 学校参与“创城”活动的人数；（）在随机抽查的 100 名高中学生中，随机抽取 1 名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（）在表中从 B，C 两校没有参与 “创城”活动的同学中随机抽取 2 人，求恰好B，C 两校各有 1 人没有参与 “创城”活动的概率是多少？18 （14 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 6 的菱形，且ABC60，PA 平面 ABCD，PA6，F 是棱 PA 上的一动点，E 为 PD 的中点（）求此三棱
7、锥 DPBC 的体积；（）求证：平面 BDF平面 ACF；（）若 AF2，侧面 PAD 内是否存在过点 E 的一条直线，使得直线上任一点 M 都有CM平面 BDF，若存在，给出证明，若不存在，请明理由19 （14 分）如图，已知椭圆 C： 1（ab0） ，F 1，F 2 分别为其左、右焦点，过 F1 的直线与此椭圆相交于 D，E 两点，且F 2DE 的周长为 8，椭圆 C 的离心率为（）求椭圆 C 的方程；（）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（0，1）与点 Q（0，2） ，过 P 的动直线l（不与 x 轴平行）与椭圆相交于 A，B 两点，点 B1 是点 B 关于 y 轴的对称点（i）Q
8、，A，B 1 三点共线（ii） 20 （14 分）已知 f（x ）axe x 在点（0，0）处的切线与直线 yx2 平行（）求实数 a 的值；（）设 g（x）f（x）b（ +x） （bR） （i）若函数 g（x ）0 在0 ，+）上恒成立，求 b 的最大值；（ii）当 b0 时，判断函数 g（x）有几个零点，并给出证明2019 年北京市门头沟区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 30 ，Bx|x 0 ，则 AB 等于（ ）A （1
9、，3） B0，3） C （1，0 D （1，2【分析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| 1x 3；AB0 ，3） 故选：B【点评】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算2 （5 分）复数 z 满足 z ，那么|z|是（ ）A B2 C2 D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z ，|z| 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）一个体积为 12 正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A6 B8 C8 D12【分析】此几何体是一个正三棱柱，正
10、视图即内侧面，底面正三角形的高是 ，由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可【解答】解：设棱柱的高为 h，由左视图知，底面正三角形的高是 ，由正三角形的性质知，其边长是 4，故底面三角形的面积是 4 由于其体积为 ，故有 h ，得 h3由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是 3，其面积为 3故选：A【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能力以及利用体积公式建立方程求参数的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平
11、齐，左视、俯视 宽相等” 4 （5 分）如图的程序框图，如果输入三个实数 a，b，c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）Acx Bxc Ccb Dbc【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小，故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量 XC【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小，故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小，条件成立时，保存最大值的变量 XC故选：A【点
12、评】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题5 （5 分）向量 ， 满足| | |1，且其夹角为 ，则“| |1”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由| |1 得 | |21，得| |2+| |22 1，即 1+12 1，得 2 1，即 ，则 cos ，即 成立，反之当 时， ，则| |2| |2+| |22 1+12 1+111，即| |1 成立，即“| |1” 是“ ”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的
13、判断，结合成立数量积与向量模长公式的关系是解决本题的关键6 （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不垂直的是（ ）A BC D【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论【解答】解：对于 A，AB 为体对角线，MN，MQ，NQ 分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线，连接另一条面对角线，由三垂线定理可得 AB 垂直于 MN，MQ，NQ，可得 AB 垂直于平面 MNQ；对于 B，AB 为上底面的对角线，显然 AB 垂直于 MN，与 AB 相对的下底面
14、的面对角线平行，且与直线 NQ垂直，可得 AB 垂直于平面 MNQ；对于 C，AB 为前面的面对角线，显然 AB 垂直于 MN，QN 在下底面且与棱平行，此棱垂直于 AB 所在的面，即有 AB 垂直于 QN，可得 AB 垂直于平面 MNQ；对于 D，AB 为上底面的对角线，MN 平行于前面的一条对角线，此对角线与 AB 所成角为 60，则 AB 不垂直于平面 MNQ故选：D【点评】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题7 （5 分）已知ABC 中，AB ，BC 1，sin C cosC，则ABC 的面积为（ ）A2 B C D【分析】根据
15、已知条件求得 tanC 的值，进而取得 C，利用正弦定理求得 sinA 的值，求得 A，利用内角和求得 B，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：sinC cosC，tanC ，C ， ，sinA sinC ，A 或 ，当 A 时，C+A，应舍去A ，B ，即三角形为直角三角形，S ABC ABBC 1 故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用在求角的时候，一定注意角的范围8 （5 分）函数 f（x ）x 2+2ex+m1，函数 g（x） x+ （x0） ， （其中 e 为自然对数的底数，e 2.718）若函数 h（x）f （x）g（x）有两个零点，则实数 m 的取值范围为（ ）Ame
16、 2+2e+1 Bme 22e+1 Cme 2+2e+1 Dm e 22e+1【分析】由导数的应用得：函数 h（x）在（0，e）为增函数，在（e，+）为减函数，由函数 yh（x ）的最值可得：函数 h（x ）f（x）g（x）有两个零点，则需 h（x）maxh（e）e 22e+ m10，即 me 2+2e+1，得解【解答】解：由已知有 h（x）f （x）g（x）x 2+（2e1）x +m1，所以 h（x）2x +（2e 1）+ ，由复合函数的单调性可得：h（x）在（0，+）为减函数，又 h（e）0，即 0xe 时，h（x ）0 ，xe 时，h（x）0，即函数 h（x）在（0，e ）为增函数，在（
17、e ，+）为减函数，即 h（x） maxh（e ）e 22e+m 1，函数 h（x）f（x）g（x）有两个零点，则需 h（x） maxh（e ）e 22e+m 10，即 me 2+2e+1，故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，属中档题二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分)9 （5 分）若 x，y 满足条件 ，则 zx +2y 的最大值为 2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数 zx2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在 y 轴上的截距最小时 z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求 z 的最大值【解答】
18、解：由 x，y 满足条件 作出可行域如图，由 zx +2y，得 y x+ z，由图可知，当直线 y x+ z 过可行域内点 A 时直线在 y 轴上的截距最大，z 最大联立 ，解得 A（0，1） 目标函数 zx+2y 的最大值为 0+212故答案为：2【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题10 （5 分）双曲线 C：2x 2y 21 的渐近线方程是 【分析】将双曲线化成标准方程，得到 a、b 的值，再由双曲线 的渐近线方程是 y x，即可得到所求渐近线方程【解答】解：双曲线 2x2y 21 的标准方程为： ，b 21，可得 a ，b1又双曲
19、线 的渐近线方程是 y x双曲线 2x2y 21 的渐近线方程是 y x故答案为：y x【点评】本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题11 （5 分）等比数列a n中，S 321，2a 2a 3 则数列a n的通项公式 an 32 n1 【分析】设等比数列a n的公比为 q，由 S321，2a 2a 3，可得：a 1（1+ q+q2）21，2q，解出即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，S 321，2a 2a 3，a 1（1+q+q 2）21，2q，解得 a13数列a n的通项公式 an32 n1 故答案为：32 n1 【点评】本题考查
20、了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）过抛物线 y24x 焦点且斜率为 1 的直线 l 与此抛物线相交于 A，B 两点，则|AB| 8 【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去 y，根据韦达定理求得 x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|x 1+ +x2+ ，求得答案【解答】解：抛物线焦点为（1，0） ，且斜率为 1，则直线方程为 yx 1，代入抛物线方程 y24x 得x26x+10，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）x 1+x26根据抛物线的定义可知|AB|x 1+
21、+x2+x 1+x2+p6+28，故答案为：8【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质对学生基础知识的综合考查关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB| 值，从而解决问题13 （5 分）若函数 f（x ）满足对定义域上任意 x1，x 2 都有不等式 f（ ）成立，则称此函数为“P 函数” ，请你写出一个“P 函数”的解析式 f（x）log 2x 【分析】判断“P 函数”的图象特征，然后找出满足题意的函数的即可【解答】解：函数 f（x ）满足对定义域上任意 x1，x 2 都有不等式 f（ ）
22、成立，则称此函数为“P 函数” ，函数的图象如图：所以“P 函数”的解析式可以为：f （x）log 2x故答案为：f（x ）log 2x【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的图象的特征是解题的关键14 （5 分）一半径为 4m 的水轮，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时开始计时，即从图中点 P0 开始计算时间（）当 t5 秒时点 P 离水面的高度 2 ；（）将点 P 距离水面的高度 h（单位：m ）表示为时间 t（单位：s）的函数，则此函数表达式为 h（t）4sin（ ）+2 【分析】 （）根据题意，利用直角三角形的边角关系，
23、即可求出 5 秒后点 P 离开水面的距离；（）由题意求出 的值，然后结合 t0 时 z0 求出 的值，求得函数的解析式【解答】解：（）t5 秒时，水轮转过角度为 5 ，在 Rt MOP0 中，MP 01，MOP 0 ；在，Rt AON 中，AON ，AN 4sin 2 ，此时点 A（P ）离开水面的高度为 2 +2；（）由题意可知， ，设角 （ 0）是以 Ox 为始边，OP 0 为终边的角，由条件得 h（t）4sin（ t+）+2 ，其中（ 0） ；将 t0，h（0）0 代入，得 4sin+20， ；所求函数的解析式为 h（t） 4sin（ t ）+2故答案为：（）2 +2， （）h（t）4s
24、in （ t ）+2【点评】本题考查了函数 yAsin （ x+）的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 80 分)15 （13 分）已知函数 f（x ） sinxcosxcos 2x+ （x R） （1）求 f（x）的周期及单调增区间；（2）若 x0， 时，求 f（x ）的最大值与最小值【分析】 （1）利用辅助角公式进行化简，结合周期函数单调性进行求解即可（2）求出角 2x 的范围，结合三角函数的最值性进行求解【解答】解：（1）f（x ） sin2x cos2xsin （2x ） ，函数的周期 T ，由 2k 2x 2k+ ，k
25、Z，得 k xk+ ，k Z，即函数的单调递增区间为k ，k + ，k Z（2）若 x0， 时，则 2x ， ，则当 2x 时，函数 f（x）取得最小值为 sin（ ） ，当 2x 时，函数 f（x）取得最大值为 sin 1【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键16 （13 分）在等差数列a n中，S n 为其前 n 项的和，若 S525，a 1019（1）求数列a n的通项公式 an 及前 n 项和 Sn；（2）若数列b n中 bn ，求数列b n的前 n 和 Tn【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d，由 S525，a 1019可
26、得5a1+ d25，a 1+9d19，联立解得：a 1，d即可得出（2）b n ，利用裂项求和即可得出【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，S 525 ，a 10195a 1+ d25，a 1+9d19，联立解得：a 11，d2a n1+2（n1）2n1Sn n 2（2）b n ，数列b n的前 n 和Tn 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17 （12 分）在某区“创文明城区” （简称“创城” ）活动中，教委对本区 A，B，C，D 四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽査了 100 人，将调查情况进行整理后制成如表：学
27、校 A B C D抽查人数 50 15 10 25“创城”活动中参与的人数40 10 9 15（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的（）若该区共 2000 名高中学生，估计 A 学校参与“创城”活动的人数；（）在随机抽查的 100 名高中学生中，随机抽取 1 名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（）在表中从 B，C 两校没有参与 “创城”活动的同学中随机抽取 2 人，求恰好B，C 两校各有 1 人没有参与 “创城”活动的概率是多少？【分析】 （）根据抽查比例进行计算即可（）根据古典概型的概率公式进行计算即
28、可（）利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可【解答】解：（ I） A 学校高中生的总人数为 50 1000 人A 学校参与“创城”活动的人数为 1000 800 人（II）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为 M，则 P（M） （II） B 校这 5 人分别记为 A1，A 2，A 3，A 4，A 5，C 校这 1 人记为 B，任取 2 人共有A1A2，A 1A3，A 1A4，A 1A5，A 1B，A 2A3，A 2A4，A 2B，A 2A5，A 3A4，A 3B，A 3A5，A 4A5，A4B，A 5B，15 种情况，设事件 N 为抽取 2 人中 B，C 两校各有 1 人参与”创城”
29、 活动，则 P（C） 【点评】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型的概率计算，利用列举法是解决本题的关键比较基础18 （14 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 6 的菱形，且ABC60，PA 平面 ABCD，PA6，F 是棱 PA 上的一动点，E 为 PD 的中点（）求此三棱锥 DPBC 的体积；（）求证：平面 BDF平面 ACF；（）若 AF2，侧面 PAD 内是否存在过点 E 的一条直线，使得直线上任一点 M 都有CM平面 BDF，若存在，给出证明，若不存在，请明理由【分析】 （）由 PA平面 ABCD， ，由此能求出结果（）由 PA平面 ABCD，得 BDPA，由
30、底面 ABCD 是菱形，得 BDAC，从而BD平面 PAC，由此能证明平面 BDF平面 ACF（）设 G 是 PF 的中点，连结 EG，CG，OF，则 EGFD ，CG OF ，由此能证明平面 CEG平面 FBD，从而直线 EG 上任一点 M 都满足 CM平面 BDF【解答】解：（）由题意得 PA平面 ABCD，18 证明：（）由题意知，PA平面 ABCD，则 BDPA，又底面 ABCD 是菱形，BDAC ，BD平面 PAC，平面 BDF平面 ACF解：（）设 G 是 PF 的中点，连结 EG，CG，OF，则 EGFD ，CGOF，EGCGG，FDOFF，平面 CEG平面 FBD，直线 EG
31、上任一点 M 都满足 CM平面 BDF【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查面面垂直的证明，考查线面平行的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （14 分）如图，已知椭圆 C： 1（ab0） ，F 1，F 2 分别为其左、右焦点，过 F1 的直线与此椭圆相交于 D，E 两点，且F 2DE 的周长为 8，椭圆 C 的离心率为（）求椭圆 C 的方程；（）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（0，1）与点 Q（0，2） ，过 P 的动直线l（不与 x 轴平行）与椭圆相交于 A，B 两点，点 B1 是点 B 关
32、于 y 轴的对称点（i）Q，A，B 1 三点共线（ii） 【分析】 （）由三角形的周长可得 a2，根据离心率可得 c ，即可求出 b22，则椭圆方程可求；（） （i）当直线 l 的斜率不存在时，A、B 分别为椭圆短轴两端点，满足 Q，A，B三点共线当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ykx+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，然后利用向量证明（ii）由（i）可知 Q，A，B 1 三点共线，即 ，问题得以证明【解答】解：（）F 2DE 的周长为 8，4a8，即 a2，e ，c ，b 2a 2c 22，故椭圆 C 的方程为 + 1（） （i）证明：当直线 l 的斜率不存在
33、时，A、B 分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B 1 三点共线当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ykx+1 ，联立 ，得（1+2k 2）x 2+4kx20设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 B1（x 2，y 2） ，x1+x2 ，x 1x2 ，（x 1，y 12） ， （x 1，y 22） ，x 1（y 22）+x 2（y 12）x 1（kx 21）+x 2（kx 11） 2kx1x2（x 1+x2） + 0 与 共线，则 Q，A， B1 三点共线（ii）由（i）可知 Q，A，B 1 三点共线， 【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系
34、等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题20 （14 分）已知 f（x ）axe x 在点（0，0）处的切线与直线 yx2 平行（）求实数 a 的值；（）设 g（x）f（x）b（ +x） （bR） （i）若函数 g（x ）0 在0 ，+）上恒成立，求 b 的最大值；（ii）当 b0 时，判断函数 g（x）有几个零点，并给出证明【分析】 （）求出 f（x ）的导数，利用 f（0）1 列方程求出 a 的值；（） （i）求函数 g（x ）的导数，利用导数判断 g（x）在 x0，+）内的单调性，求出 g（x）
35、0 时 b 的最大值；（ii）化简 g（x）知 0 是 g（x）的一个零点，再构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，判断函数是否存在零点，从而让得出 g（x）有几个零点【解答】解：（）由题意求 f（x ）的导数，得 f（x）ae x（x+1） ，当 x0 时，得 f（x）在点（0，0）处的切线斜率为 f（0）a1，即实数 a 的值为 1；（） （i）g（x ）f（x ） b（ +x）xe xb（ +x） ，g（x）（x+1） （e xb） ，当 x0，+ ）时，若 b1，则 exb0，所以 g（x）0，g（x）是单调增函数，所以 g（x）g（0）0；当 x0，+ ）时，若 b1，令 g（x
36、）0，解得 x1 1（舍去） ，x 2lnb0，g（x）在（0，lnb）内单调递减，则 g（lnb ）g（0） 0，所以 g（x）0 不恒成立；所以函数 g（x）0 在0 ，+）上恒成立时，b 的最大值为 1；（ii）g（x）xe xb（ +x）xe xb（ +1），显然 g（x）有一个零点为 0；设 h（x）e xb（ +1） ，则 h（x）e x b，当 b0 时，h（x）e x 无零点，所以 g（x）只有一个零点 0；当 b0 时，h（x）e x b0，所以 h（x）在 R 上单调递增，且 h（0）1b0，h（ 2） 10，由零点存在性定理知，h（x）在（，0）上有唯一零点 x0，所以 g（x）有 2 个零点；综上所述，b0 时，g（x）只有 1 个零点；b0 时，g（x）有 2 个零点【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数零点应用问题，是中档题
