1、2019 年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 30 ，Bx|y ，则 AB 等于（ ）A （1，3） B0，3） C （1，0 D （1，22 （5 分）复数 z 满足 z ，那么|z|是（ ）A B2 C2 D3 （5 分）一个体积为 12 正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A6 B8 C8 D124 （5 分）如图的程序框图，如果输入三个实数 a，b，c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应
2、该填入下面四个选项中的（ ）Acx Bxc Ccb Dbc5 （5 分）已知向量 ， 满足| | |1，且其夹角为 ，则“| |1”是“（”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不垂直的是（ ）A BC D7 （5 分）某学需要从 3 名男生和 2 名女生中选出 4 人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派 2 人，且至少有 1 名是女生；乙社区和丙社区各需要选派 1 人则不同的选派方法的种数是（
3、）A18 B24 C36 D428 （5 分）若函数 f（x ）图象上存在两个点 A，B 关于原点对称，则点对（A，B）称为函数 f（x ）的“友好点对 ”且点对（ A，B）与（B，A）可看作同一个“友好点对” 若函数 f（x ） （其中 e 为自然对数的底数，e2.718）恰好有两个“友好点对”则实数 m 的取值范围为（ ）Am（e1 ） 2 Bm（e 1） 2 Cm（e1） 2 Dm （e1） 2二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分)9 （5 分）若 x，y 满足条件 ，则 zx +2y 的最大值为 10 （5 分）双曲线 C：2x 2y 21 的渐近线方程是 1
4、1 （5 分）等比数列a n中，S 321，2a 2a 3 则数列a n的通项公式 an 12 （5 分）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos0（ 0，02） ，若直线 l 与曲线 C 相交于两点 A，B，则|AB | 13 （5 分）已知 x，y R+，求 z（x+2y） （ ）的最值甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z（x+2y） （ ）2+ + +818乙：z（x+2y） （ ） 16你认为甲、乙两人解法正确的是 请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都
5、正确14 （5 分）一半径为 4m 的水轮，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时开始计时，即从图中点 P0 开始计算时间（）当 t5 秒时点 P 离水面的高度 ；（）将点 P 距离水面的高度 h（单位：m ）表示为时间 t（单位：s）的函数，则此函数表达式为 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分)15 （12 分）在ABC 中，且满足已知（2ac）cos Bb cosC（1）求B 的大小；（l）若ABC 的面积为 ，a+c6，求ABC 的周长16 （12 分）在某区“创文明城区” （简称“创城” ）活动中，教委对本区 A
6、，B，C，D 四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：学校 A B C D抽查人数 50 15 10 25“创城”活动中参与的人数40 10 9 15（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的（）若该区共 2000 名高中学生，估计 A 学校参与“创城”活动的人数；（）在随机抽查的 100 名高中学生中，从 A，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取1 名学生，求恰有 1 人参与“创城”活动的概率；（）若将表中的参与率视为概率，从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人，求这 3 人参与“创城”活动人
7、数的分布列及数学期望17 （14 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 6 的菱形，且ABC60，PA 平面 ABCD，PA6，F 是棱 PA 上的一个动点， E 为 PD 的中点（）求证：BDCF（）若 AF2（i）求 PC 与平面 BDF 所成角的正弦值；（ii）侧面 PAD 内是否存在过点 E 的一条直线，使得该直线上任一点 M 与 C 的连线，都满足 CM平而 BDF，若存在，求出此直线被直线 PA、PD 所截线段的长度，若不存在，请明理由18 （14 分）如图，已知椭圆 C： 1（ab0） ，F 1，F 2 分别为其左、右焦点，过 F1 的直线与此椭圆相交于 D，E
8、 两点，且F 2DE 的周长为 8，椭圆 C 的离心率为（）求椭圆 C 的方程；（）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（0，1）与点 Q（0，2） ，过 P 的动直线l（不与 x 轴平行）与椭圆相交于 A，B 两点，点 B1 是点 B 关于 y 轴的对称点（i）Q，A，B 1 三点共线（ii） 19 （14 分）已知 f（x ）axe x 在点（0，0）处的切线与直线 yx2 平行（）求实数 a 的值；（）设 g（x）f（x）b（ +x）（i）若函数 g（x ）0 在0 ，+）上恒成立，求实数 b 的最大值；（ii）当 b0 时，判断函数 g（x）有几个零点，并给出证明20 （14 分）
9、给定数列a n，若满足 a1a（a0 且 a1 ） ，对于任意的 n，mN *，都有an+ma nam，则称数列a n为 “指数型数列” （）已知数列a n，b n的通项公式分别为 an53 n1 ，b n4 n，试判断a n，b n是不是“指数型数列” ；（）若数列a n满足：a 1 ，a n2a nan+1+3an+1（nN*） ，判断数列 +1是否为“指数型数列” ，若是给出证明，若不是说明理由；（）若数列a n是“指数型数列” ，且 a1 （a N*） ，证明：数列a n中任意三项都不能构成等差数列2019 年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共
10、 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 30 ，Bx|y ，则 AB 等于（ ）A （1，3） B0，3） C （1，0 D （1，2【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| x22x 30 x|1x 3，B x|y x| x0，ABx|0 x30，3） 故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）复数 z 满足 z ，那么|z|是（ ）A B2 C2 D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复
11、数模的计算公式求解【解答】解：z ，|z| 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）一个体积为 12 正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A6 B8 C8 D12【分析】此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是 ，由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可【解答】解：设棱柱的高为 h，由左视图知，底面正三角形的高是 ，由正三角形的性质知，其边长是 4，故底面三角形的面积是 4 由于其体积为 ，故有 h ，
12、得 h3由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是 3，其面积为 3故选：A【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能力以及利用体积公式建立方程求参数的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等” 4 （5 分）如图的程序框图，如果输入三个实数 a，b，c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）Acx Bxc Ccb Dbc【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较 x 与 b
13、 的大小，故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量 XC【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小，故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小，条件成立时，保存最大值的变量 XC故选：A【点评】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题5 （5 分）已知向量 ， 满足| | |1，且其夹角为 ，则“| |1”是“（”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据条件，由 即可得出 ，进而得出 cos ，又知 0，从而可得出 ，这便得出“| |1”是“（ ”
14、的充分条件；反过来，由 即可得出 ，进而得出，从而得出“| |1”是“ （ ”必要条件，这样即得出“|1 ”是“ （ ”的充要条件【解答】解： ，且其夹角为 ；由 得：； ；又 0； ；即 ； 是 的充分条件；由 得：；12cos +1 1； ； ； 是 的必要条件；综上得， “| |1”是“（ ”的充分必要条件故选：C【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，余弦函数的图象，充分条件、必要条件及充要条件的概念6 （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不垂直的是（ ）A B
15、C D【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论【解答】解：对于 A，AB 为体对角线，MN，MQ，NQ 分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线，连接另一条面对角线，由三垂线定理可得 AB 垂直于 MN，MQ，NQ，可得 AB 垂直于平面 MNQ；对于 B，AB 为上底面的对角线，显然 AB 垂直于 MN，与 AB 相对的下底面的面对角线平行，且与直线 NQ垂直，可得 AB 垂直于平面 MNQ；对于 C，AB 为前面的面对角线，显然 AB 垂直于 MN，QN 在下底面且与棱平行，此棱垂直于 AB 所在的面，即有 AB 垂直于 QN，可得 AB 垂
16、直于平面 MNQ；对于 D，AB 为上底面的对角线，MN 平行于前面的一条对角线，此对角线与 AB 所成角为 60，则 AB 不垂直于平面 MNQ故选：D【点评】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题7 （5 分）某学需要从 3 名男生和 2 名女生中选出 4 人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派 2 人，且至少有 1 名是女生；乙社区和丙社区各需要选派 1 人则不同的选派方法的种数是（ ）A18 B24 C36 D42【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派 2 名女生”和“分派 1 名女生”两种情况讨论，由加法
17、原理可得甲地的分派方法数目，第二步在剩余 3 人中，任选 2 人，安排在乙、丙两地，由排列数公式可得其安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，甲地需要选派 2 人且至少有 1 名女生，若甲地分派 2 名女生，有 C221 种情况，若甲地分配 1 名女生，有 C21C316 种情况，则甲地的分派方法有 1+67 种，甲地安排好后，在剩余 3 人中，任选 2 人，安排在乙、丙两地，有 A326 种安排方法，则不同的选派方法的种数是 7642；故选：D【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意先分析受到限制的元素，如本题的甲地8 （5 分）若函数 f（x ）图象上存在两个点 A
18、，B 关于原点对称，则点对（A，B）称为函数 f（x ）的“友好点对 ”且点对（ A，B）与（B，A）可看作同一个“友好点对” 若函数 f（x ） （其中 e 为自然对数的底数，e2.718）恰好有两个“友好点对”则实数 m 的取值范围为（ ）Am（e1 ） 2 Bm（e 1） 2 Cm（e1） 2 Dm （e1） 2【分析】求出当 x0 时 f（x）关于原点对称的函数 h（x） ，条件转化为当 x0 时，h（x）与 f（x）的图象恰好有两个不同的交点，求函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可【解答】解：当 x0 时，y x 2+2ex+m1 关于原点对称的函
19、数为yx 22ex +m1，即 yx 2+2exm+1，x0，设 h（x）x 2+2exm+1，x0，条件等价为当 x0 时，h（x）与 f（x）的图象恰好有两个不同的交点，则 h（x）x 2+2exm+1（xe） 2+e2+1m，x 0，当 xe 时，函数 h（x ）取得最大值 h（e）e 2+1m，当 x0 时，f（ x）x+ ，f （x）1 由 f（x）0 得 xe，此时 f（x）为增函数，由 f（x）0 得 0xe，此时 f（x）为减函数，即当 xe 时，函数 f（x）取得极小值同时也是最小值 f（e）e e+e2e，作出当 x0 时，h（x ）与 f（x）的图象如图：要使两个图象恰好
20、有两个不同的交点，则 h（e）f（ e） ，即 e2+1m 2e，即 e22e+1m，即 m（e1） 2，故选：C【点评】本题主要考查函数与方程的应用，以及分段函数的图象，利用定义作出关于原点对称的函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度考查学生的作图能力二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分)9 （5 分）若 x，y 满足条件 ，则 zx +2y 的最大值为 2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数 zx2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在 y 轴上的截距最小时 z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目
21、标函数可求 z 的最大值【解答】解：由 x，y 满足条件 作出可行域如图，由 zx +2y，得 y x+ z，由图可知，当直线 y x+ z 过可行域内点 A 时直线在 y 轴上的截距最大，z 最大联立 ，解得 A（0，1） 目标函数 zx+2y 的最大值为 0+212故答案为：2【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题10 （5 分）双曲线 C：2x 2y 21 的渐近线方程是 【分析】将双曲线化成标准方程，得到 a、b 的值，再由双曲线 的渐近线方程是 y x，即可得到所求渐近线方程【解答】解：双曲线 2x2y 21 的标准方程为： ，
22、b 21，可得 a ，b1又双曲线 的渐近线方程是 y x双曲线 2x2y 21 的渐近线方程是 y x故答案为：y x【点评】本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题11 （5 分）等比数列a n中，S 321，2a 2a 3 则数列a n的通项公式 an 32 n1 【分析】设等比数列a n的公比为 q，由 S321，2a 2a 3，可得：a 1（1+ q+q2）21，2q，解出即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，S 321，2a 2a 3，a 1（1+q+q 2）21，2q，解得 a13数列a n的通项公式 an32 n1 故答案
23、为：32 n1 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos0（ 0，02） ，若直线 l 与曲线 C 相交于两点 A，B，则|AB | 8 【分析】利用直线参数方程中参数 t 的几何意义可得【解答】解：由 消去 t 可得 yx1，其参数方程的标准形式为：（t 为参数） ，由 sin24cos0 得 2sin24cos 0，得 y24x，联立 得 t24 t80，设 A，B 对应的参数为 t1，t 2
24、，则 t1+t24 ，t 1t28，所以|AB| t1 t2| 8【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题13 （5 分）已知 x，y R+，求 z（x+2y） （ ）的最值甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z（x+2y） （ ）2+ + +818乙：z（x+2y） （ ） 16你认为甲、乙两人解法正确的是 甲 请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确【分析】乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误【解答】解：甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；已知 x，y R+，求 z（a+ b） （ + ）的最小值甲：z（a+b） （ + ）1+ +
25、+14，乙：z（a+b） （ + ）2 2 4故填甲【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属中档题14 （5 分）一半径为 4m 的水轮，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时开始计时，即从图中点 P0 开始计算时间（）当 t5 秒时点 P 离水面的高度 2 ；（）将点 P 距离水面的高度 h（单位：m ）表示为时间 t（单位：s）的函数，则此函数表达式为 h（t）4sin（ ）+2 【分析】 （）根据题意，利用直角三角形的边角关系，即可求出 5 秒后点 P 离开水面的距离；（）由题意求出 的值，然后结合 t0 时 z0 求出 的值
26、，求得函数的解析式【解答】解：（）t5 秒时，水轮转过角度为 5 ，在 Rt MOP0 中，MP 01，MOP 0 ；在，Rt AON 中，AON ，AN 4sin 2 ，此时点 A（P ）离开水面的高度为 2 +2；（）由题意可知， ，设角 （ 0）是以 Ox 为始边，OP 0 为终边的角，由条件得 h（t）4sin（ t+）+2 ，其中（ 0） ；将 t0，h（0）0 代入，得 4sin+20， ；所求函数的解析式为 h（t） 4sin（ t ）+2故答案为：（）2 +2， （）h（t）4sin （ t ）+2【点评】本题考查了函数 yAsin （ x+）的图象与应用问题，理解函数解析式中
27、参数的物理意义，是解题的关键三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分)15 （12 分）在ABC 中，且满足已知（2ac）cos Bb cosC（1）求B 的大小；（l）若ABC 的面积为 ，a+c6，求ABC 的周长【分析】 （1）根据题意利用正弦定理，再进行三角恒等变换求得 cosB 的值，从而求出B 的值；（2）由ABC 的面积公式，利用余弦定理求得 b 的值，再求ABC 的周长【解答】解：（1）ABC 中， （2ac）cos Bbcos C，由正弦定理可得（2sinAsinC）cosBsinBcosC，整理可得 2sinAcosBsinBcosC +cosBsinCsin（B+C
28、）sin A，又 A 为三角形内角，sinA0，所以 cosB ，由 B 为三角形内角，可得 B60；（2）由ABC 的面积为 ，即 acsinB ，所以 ac 4，又 a+c6，由余弦定理得 b2a 2+c22accosB（a+c） 22ac 2ac cos60363ac363424，所以 b2 ，ABC 的周长为 a+b+c6+2 【点评】本题考查了三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，也考查了三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，是中档题16 （12 分）在某区“创文明城区” （简称“创城” ）活动中，教委对本区 A，B，C，D 四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后
29、制成如表：学校 A B C D抽查人数 50 15 10 25“创城”活动中参与的人数40 10 9 15（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的（）若该区共 2000 名高中学生，估计 A 学校参与“创城”活动的人数；（）在随机抽查的 100 名高中学生中，从 A，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取1 名学生，求恰有 1 人参与“创城”活动的概率；（）若将表中的参与率视为概率，从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人，求这 3 人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望【分析】 （）由分层抽样性质估计 A 学校参与“
30、创城”活动的人数（）设事件 A 表示“抽取 A 校高中学生，且这名学生参与创城活动” ，事件 C 表示“抽取 C 校高中学生，且这名学生参与 创城活动” ，则从 A，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生，恰有 1 人参与“创城”活动的概率：PP（A + ）P（A）P（ ）+ P（ ）P （C ） ，由此能求出结果（）将表中的参与率视为概率，从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人，这 3 人参与“创城”活动人数 XB（3， ） ，由此能求出这 3 人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望【解答】解：（）该区共 2000 名高中学生，由分层抽样性质估计 A 学校参与“创城”活动的人数为
31、：2000 800（）设事件 A 表示“抽取 A 校高中学生，且这名学生参与创城活动” ，事件 C 表示“抽取 C 校高中学生，且这名学生参与创城 活动” ，则从 A，C 两学校抽出的高中学生中各随机抽取 1 名学生，恰有 1 人参与“创城”活动的概率：PP（A + ）P（A ）P （ ）+P（ ）P（C ） （）将表中的参与率视为概率，从 A 学校高中学生中随机抽取 3 人，这 3 人参与“创城”活动人数 XB（3， ） ，P（X0） ，P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ，X 的分布列为：X 0 1 2 3P XB（3， ） ，E （X）3 【点评】本题考查频数、概率、离散型随机变量的
32、分布列、数学期望的求法，考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17 （14 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 6 的菱形，且ABC60，PA 平面 ABCD，PA6，F 是棱 PA 上的一个动点， E 为 PD 的中点（）求证：BDCF（）若 AF2（i）求 PC 与平面 BDF 所成角的正弦值；（ii）侧面 PAD 内是否存在过点 E 的一条直线，使得该直线上任一点 M 与 C 的连线，都满足 CM平而 BDF，若存在，求出此直线被直线 PA、PD 所截线段的长度，若不存在，请明理由【分析】 （I）证明 BD平面 P
33、AC 即可得出 BDCF ；（II） （i）建立空间坐标系，求出平面 BDF 的法向量 ，计算 和 的夹角的余弦值即可；（ii）取 PF 的中点 G，证明平面 CEGBDF，即可得出结论【解答】 （I）证明：PA 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，PABD ，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，又 PAACA，PA平面 PAC，AC 平面 PAC，BD平面 PAC，又 CF平面 PAC，BDCF（II）解：（i）设 AC，BD 交于点 O，以 O 为坐标原点，以 OB，OC，平面 ABCD 过点 O 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，则 B（3 ，0，0） ，D（3 ，0，0） ，F（0，
34、3，2） ，C（0，3，0） ，P（0，3，6） ， （0，6，6） ， （6 ，0，0） ， （3 ，3，2） ，设平面 BDF 的法向量为 （x，y ，z） ，则 ，即 ，令 y2 可得 z3，即 （0，2，3） ，cos ， PC 与平面 BDF 所成角的正弦值为|cos ， | （ii）取 PF 的中点 G，连接 FG，CG，E，G 分别是 PD，PF 的中点，EGDF ，又 EG平面 BDF，DF 平面 BDF，EG平面 BDF，F，O 分别是 AG，AC 的中点，OFCG，又 OF平面 BDF，CG 平面 BDF，CG平面 BDF，又 EG平面 CEG，CG平面 CEG，EG CG
35、G ，平面 CEG平面 BDF，侧面 PAD 内存在过点 E 的一条直线 EG，使得该直线上任一点 M 与 C 的连线，都满足 CM平而 BDF，此直线被直线 PA、PD 所截线段为 EG DF 【点评】本题考查了线面垂直的判定，面面平行的判定与性质，属于中档题18 （14 分）如图，已知椭圆 C： 1（ab0） ，F 1，F 2 分别为其左、右焦点，过 F1 的直线与此椭圆相交于 D，E 两点，且F 2DE 的周长为 8，椭圆 C 的离心率为（）求椭圆 C 的方程；（）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（0，1）与点 Q（0，2） ，过 P 的动直线l（不与 x 轴平行）与椭圆相交于
36、A，B 两点，点 B1 是点 B 关于 y 轴的对称点（i）Q，A，B 1 三点共线（ii） 【分析】 （）由三角形的周长可得 a2，根据离心率可得 c ，即可求出 b22，则椭圆方程可求；（） （i）当直线 l 的斜率不存在时，A、B 分别为椭圆短轴两端点，满足 Q，A，B三点共线当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ykx+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，然后利用向量证明（ii）由（i）可知 Q，A，B 1 三点共线，即 ，问题得以证明【解答】解：（）F 2DE 的周长为 8，4a8，即 a2，e ，c ，b 2a 2c 22，故椭圆 C 的方程为 + 1（）
37、（i）证明：当直线 l 的斜率不存在时，A、B 分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B 1 三点共线当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ykx+1 ，联立 ，得（1+2k 2）x 2+4kx20设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 B1（x 2，y 2） ，x1+x2 ，x 1x2 ，（x 1，y 12） ， （x 1，y 22） ，x 1（y 22）+x 2（y 12）x 1（kx 21）+x 2（kx 11） 2kx1x2（x 1+x2） + 0 与 共线，则 Q，A， B1 三点共线（ii）由（i）可知 Q，A，B 1 三点共线， 【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何
38、性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题19 （14 分）已知 f（x ）axe x 在点（0，0）处的切线与直线 yx2 平行（）求实数 a 的值；（）设 g（x）f（x）b（ +x）（i）若函数 g（x ）0 在0 ，+）上恒成立，求实数 b 的最大值；（ii）当 b0 时，判断函数 g（x）有几个零点，并给出证明【分析】 （）求函数 f（x ）的导数 f（x） ，计算 x0 时的导数即可求出 a 的值；（） （i）求 g（x ）的导数 g（x） ，讨论 b1
39、时 g（x）单调递增，b1 时 g（x）在（0，+）内不单调递增，由此求得 b 的最大值；（ii）化简 g（x）知 0 是 g（x）的一个零点，利用构造函数法讨论 b0 和 b0 时，函数 g（x）是否有零点，从而确定函数 g（x）的零点情况【解答】解：（）函数 f（ x）axe x，则 f（x）ae x（x+1） ，由题意知 x0 时，f（0）a1，即 a 的值为 1；（） （i）g（x ）f（x ） b（ +x）xe xb（ +x） ，所以 g（x）（x +1） （e xb） ，当 x0，+ ）时，若 b1，则 exb0，g（x）0，g（x）单调递增，所以g（x）g（0）0；当 x0，+
40、）时，若 b1，令 g（x）0，解得 x1 1（舍去） ，x 2lnb0，所以 g（x）在（0，lnb）内单调递减，g（lnb ）g（0） ，所以 g（x）0 不恒成立，所以 b 的最大值为 1；（ii）g（x）xe xb（ +x）xe xb（ +1），显然 g（x）有一个零点为 0，设 h（x）e xb（ +1） ，则 h（x）e x ；当 b0 时，h（x）无零点，所以 g（x）只有一个零点 0；当 b0 时，h（x）0，所以 h（x）在 R 上单调递增，又 h（0）1b0，h（ 2） 10，由零点存在性定理可知，h（x）在（，0）上有唯一一个零点 x0，所以 g（x）有 2 个零点；综上
41、所述，b0 时，g（x）只有一个零点，b0 时，g（x）有 2 个零点【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用导数研究函数在某一点处的切线问题，以及判断函数零点的应用问题，是中档题20 （14 分）给定数列a n，若满足 a1a（a0 且 a1 ） ，对于任意的 n，mN *，都有an+ma nam，则称数列a n为 “指数型数列” （）已知数列a n，b n的通项公式分别为 an53 n1 ，b n4 n，试判断a n，b n是不是“指数型数列” ；（）若数列a n满足：a 1 ，a n2a nan+1+3an+1（nN*） ，判断数列 +1是否为“指数型数列” ，若是给
42、出证明，若不是说明理由；（）若数列a n是“指数型数列” ，且 a1 （a N*） ，证明：数列a n中任意三项都不能构成等差数列【分析】 （）利用指数数列的定义，判断即可；（）利用 a1 ，a n2a nan+1+3an+1（nN *） ，说明数列 +1是等比数列，然后证明数列 +1为“指数型数列” ；（）利用反证法，结合 n 为偶数以及奇数进行证明即可【解答】 （）解：对于数列a n，a n+ma nam （53 n+m1 ）a n，所以a n不是指数型数列对于数列b n，对任意 n，m N*，因为 bn+m4 n+m4 n4mb nbm，所以b n是指数型数列（）证明：由题意， +1，是
43、“指数型数列” ，an2a nan+1+3an+1， ，所以数列 +1是等比数列， 3 n，3 m+n（ +1） ，数列 +1是“指数型数列” （）证明：因为数列a n是指数数列，故对于任意的 n，mN *，有 an+ma nam， an+1a na1ana 1n ，假设数列a n中存在三项 au，a v，a w 构成等差数列，不妨设 uvw，则由 2ava u+aw，得 2（ ）v （ ）u+ （ ）w ，所以 2（a+2） wv （a+1 ） vu （a+2） wu +（a+1） wu ，当 t 为偶数时，2（a+2） wv （a+1） vu 是偶数，而（a+2） wu 是偶数， （a+1） wu 是奇数，故 2（a+2） w v（a+1 ） vu （a+2） wu +（a+1） wu 不能成立；当 t 为奇数时，2（a+2） wv （a+1） vu 是偶数，而（a+2） wu 是奇数， （a+1） wu 是偶数，故 2（a+2） w v（a+1 ） vu （a+2） wu +（a+1） wu 也不能成立所以，对任意 aN*，2（a+2） wv （a+1） vu （a+2） wu +（a+1） wu 不能成立，即数列a n的任意三项都不成构成等差数列【点评】本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键
