2019年上海市青浦区高考数学二模试卷（含答案解析）

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1、2019 年上海市青浦区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 （4 分）不等式的解集是 2 （4 分）已知复数 z 满足 z（1+i）2+4i（其中 i 为虚数单位），则|z| 3 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，在 x 轴、y 轴正方向上的投影分别是3、4，则的单位向量是 4 （4 分）在（1x） 6 的二项展开式中，含有 x3 项的系数为（结果用数值表示） 5 （4 分）在平面直角坐标系 x

2、Oy 中，若双曲线 y 21 经过抛物线 y22px（p0）的焦点，则 p 6 （4 分）已知 E、F 是互斥事件，P（E）0.2，P（E F）0.8，则 P（F） 7 （5 分）函数 y|sinx+arcsinx |的最大值为 8 （5 分）若实数 x、y 满足条件，则 x2+y2 的最小值为 9 （5 分）已知 a、b、c 都是实数，若函数的反函数的定义域是（，+ ），则 c 的所有取值构成的集合是 10 （5 分）已知某四棱锥的三视图如图所示，

3、则该四棱锥的最长棱的长度为 11 （5 分）已知函数 f（x ）x 2+ax+b（a，b R），在区间（1，1）内有两个零点，则a22b 的取值范围是 12 （5 分）已知 O 为ABC 的外心，，，则 + 的最大值为二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）第 2 页（共 22 页）13 （5 分）已知，By|ylog 2x，则 A B（）A （0，+） B0，+） C2 D （4，2）14 （5 分）已知ABC 是斜三角形，则“AB”是“|tanA| |t

4、anB|”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件15 （5 分）已知曲线（是参数），过点 P（6，2）作直线 l 与曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线 l 有（）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条16 （5 分）等差数列 a1，a 2，a n（n3，n N*）满足|a1|+|a2|+|an| a1+1|+|a2+1|+|an+1| a12|+|a 22|+|a n2| 2019，则（）An 的最大值为 50 Bn 的最小值为 50Cn 的最大值为 51 Dn 的最小值为 51三.解答题（本大题共 5 题

5、，共 14+14+14+16+1876 分）17 （14 分）如图，圆柱是矩形 O1OAA1 绕其边 O1O 所在直线旋转一周所得，AB 是底面圆的直径，点 C 是弧 AB 的中点（1）求三棱锥 A1ABC 体积与圆柱体积的比值；（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点 M 是线段 AO1 的中点，求异面直线 CM 与BO1 所成角的大小18 （14 分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通 A、B 两地，A 处位于东西方向的直线 MN 上的陆地处，B 处位于海上一个灯塔处，在 A 处用测角器测得 tanBAN ，在 A 处正西方向 1km 的点 C 处，用测角器测得 tanBCN1，现有两种

6、铺设方案：沿线段 AB 在水下铺设；在岸 MN 上选一点 P，先沿线段 AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元/km，4 万元/km（1）求 A、B 两点间的距离；第 3 页（共 22 页）（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由19 （14 分）已知 aR，函数（1）求 a 的值，使得 f（x ）为奇函数；（2）若 a0 且对任意 xR 都成立，求 a 的取值范围20 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意一点 P（x，y），总存在一个点Q（x' ， y'）满足关系式：（ 0， 0），则称为平面

7、直角坐标系中的伸缩变换（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆 4x2+9y236变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，AOB（O 为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（0， 0）得到A'O 'B'，记AOB 和A'O 'B'的面积分别为 S 与S'，求证：；（3）若EFG 的三个顶点都在椭圆（ab0），且椭圆中心恰好是EFG的重心，求EFG 的面积21 （18 分）已知函数 f（x ）x 2+ax+b（a，b R），且不等式|f （x）|2019|2 xx 2|对任意的 x0，10都成立，数列

8、 an是以 7+a 为首项，公差为 1 的等差数列（nN *）（1）当 x0， 10时，写出方程 2xx 20 的解，并写出数列 an的通项公式（不必证明）；（2）若无穷数列b n满足对任意的 m，nN *都成立，求证：数列b n是等差数列；第 4 页（共 22 页）（3）若（n N*），数列c n的前 n 项和为 Sn，对任意的 nN*，求的取值范围第 5 页（共 22 页）2019 年上海市青浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 （4 分）不等式的解集是

9、【分析】通过移项、通分；利用两个数的商大于 0 等价于它们的积大于 0；将分式不等式转化为二次不等式，解二次不等式求出原不等式的解集【解答】解：原不等式等价于等价于 x（2x1）0解得故答案为（）【点评】本题考查将分式不等式等价转化为二次不等式、考查二次不等式的解法2 （4 分）已知复数 z 满足 z（1+i）2+4i（其中 i 为虚数单位），则|z| 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由 z（1+ i）2+4i，得 z ，|z| 故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础

10、题3 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，在 x 轴、y 轴正方向上的投影分别是3、4，则的单位向量是【分析】在 x 轴、y 轴正方向上的投影分别是3、4，可得（3，4），可得的单位向量【解答】解：在 x 轴、y 轴正方向上的投影分别是3、4，（3，4），| | 5第 6 页（共 22 页）则的单位向量故答案为：【点评】本题考查了向量数量积性质、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4 （4 分）在（1x） 6 的二项展开式中，含有 x3 项的系数为 20 （结果用数值表示）【分析】利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项，令 x 的指数为

11、 3 得到 r 的值，代入通项求出含 x3 项的系数，得到结果【解答】解：写出二项式的通项，通项 Tr+1C 6r（x） r（1） rC6rxr，令 r3 得 x3 项的系数是（1） 3C6320故答案为：20【点评】本题考查二项式系数的性质，本题解题的关键是写出展开式的通项公式，这是解决二项展开式的特定项问题的工具5 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 y 21 经过抛物线 y22px（p0）的焦点，则 p 4 【分析】求出双曲线的顶点，得到抛物线的焦点坐标，即可求解 P 即可、【解答】解：双曲线 y 21 经过抛物线 y22px （p 0）的焦点，可得双曲线的顶点坐标（2，0

12、），所以，解得 p4故答案为：4【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查6 （4 分）已知 E、F 是互斥事件，P（E）0.2，P（E F）0.8，则 P（F） 0.6 【分析】由 E、F 是互斥事件，得到 P（F）P（E F）P（E），由此能求出结果【解答】解：E、F 是互斥事件，P（E）0.2，P（E F）0.8，P（F）P（ EF）P（ E）0.80.20.6第 7 页（共 22 页）故答案为：0.6【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7 （5 分）函数 y|sinx+arcsinx |的最大值为 &

13、nbsp; 【分析】由三角函数的单调性、奇偶性得：f（x ）在 1，1为单调递增的奇函数，所以sin1 f（x）sin1+ ，即| f（x）| 0，sin1+ ，得解【解答】解：设 f（x ）sinx+arcsin x，则函数定义域为1，1，则 f（x）在 1，1为单调递增的奇函数，所以sin1 f（x）sin1+ ，即|f（ x）| 0，sin1+ ，故答案为：sin1+ 【点评】本题考查了三角函数的单调性、奇偶性，属中档题8 （5 分）若实数 x、y 满足条件，则 x2+y2 的最小值为【分析】根据条件画出可行域，zx 2+y2，再利用几何意义求最

14、值，只需求出可行域内的点 P 到原点距离的最值，从而得到 z 最值即可【解答】解：根据实数 x、y 满足条件画出可行域，zx 2+y2，表示可行域内点 P 到原点距离的平方，当 z 是点 Q 到直线 x+y1 0 的距离的平方时，z 最小，最小值为 d2 ，故答案为：第 8 页（共 22 页）【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题9 （5 分）已知 a、b、c 都是实数，若函数的反函数的定义域是（，+ ），则 c 的所有取值构成的集合是 0 【分析】由题意可得，函数 f（x ）的值域为（，+），当 a0，显然不合题意，则 a0，此时 yx 2 的值域

15、为a 2，+）；然后结合反比例函数的图象及函数 y 在（a，c）内有意义，可得 c0，则答案可求【解答】解：函数的反函数的定义域是（，+），即函数 f（x）的值域为（，+），若 a0，显然不合题意，则 a0，此时 yx 2 的值域为 a2，+ ）；则需 y 的值域包含（，a 2），结合函数 y 在（a，c）内有意义，则c0c 的所有取值构成的集合是0故答案为：0【点评】本题考查互为反函数的两个函数特性间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题10 （5 分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为第 9 页（共 22 页）【分析

16、】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，POAD，AO 1，OD2， PAB 是以PAB 为直角的直角三角形，PDC 是以PDC 为直角的直角三角形，求解三角形得答案【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，POAD，AO 1，OD2，PAB 是以PAB 为直角的直角三角形，PDC 是以PDC 为直角的直角三角形则最长棱为 PC 故答案为：【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题11 （5 分）已知函数 f（

17、x ）x 2+ax+b（a，b R），在区间（1，1）内有两个零点，则a22b 的取值范围是（0，2）【分析】列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案【解答】解：由题意，要使函数 f（x ）x 2+ax+b 在区间（1，1）上有两个零点，只要，其对应的平面区域如下图所示：第 10 页（共 22 页）则当 a0，b0 时，a 22b 取最小值 0，当 a2，b1 时，a 22b 取最大值 2，所以 a22b 的取值范围为（0，2）；故答案为：（0，2）【点评】本题考查了函数零点的分布，线性规划，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组12 （5 分）已知 O 为ABC

18、的外心，，，则 + 的最大值为【分析】由平面向量的坐标运算、向量相等得：因为ABC ，所以，设 A（1，0），C（，），B （x，y），则（1x，y），（ x，y），（x ，y ），因为，所以，解得：，由重要不等式得：因为点 B 在圆 x2+y21 上，所以，所以（+ ） 2 （+ ） 0，解得：+2 或，又点 B 只能在优弧 AC 上，所以，得解【解答】解：设ABC 的外接圆半径为 1，以点 O 为原点建立坐标系，第 11 页（共 22 页）因为ABC ，所以，设 A（1，0），C（，），B （x，y），则（1x，y ），（ x ，

19、 y），（x ，y），因为，所以，解得：，因为点 B 在圆 x2+y21 上，所以，所以（+ ） 2 （+） 0，解得：+ 2 或，又点 B 只能在优弧 AC 上，所以，即 + 的最大值为，故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标运算、向量相等及重要不等式，属难度较大的题第 12 页（共 22 页）型二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知，By|ylog 2x，则 A B（）A （0，+） B0，+） C2 D （4，2）【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解： y|y0，B y|ylog

22、知曲线（是参数），过点 P（6，2）作直线 l 与曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线 l 有（）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条【分析】将曲线的参数方程化成普通方程为双曲线方程，结合图象可知，当过 P 的直线与双曲线的渐近线平行时，满足题【解答】解：由消去参数可得 y 21，如图所示：经过 P（6，2）且与双曲线的另一条条渐近线平行的直线满足题意经过 P（6，2）且与双曲线的右支相切得直线满足题意故选：B【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题16 （5 分）等差数列 a1，a 2，a n（n3，n N*）满足|a1|+|a2|+|an| a1+1|+

23、|a2+1|+|an+1| a12|+|a 22|+|a n2| 2019，则（）An 的最大值为 50 Bn 的最小值为 50Cn 的最大值为 51 Dn 的最小值为 51【分析】首先数列a n中的项一定满足既有正项又有负项，不妨设满足，从而判断数列中的项为偶数项，利用凑配法和关系式的变换求出 n 的最大值【解答】解：a n为等差数列，则使等式|a 1|+|a2|+|an|第 14 页（共 22 页）|a 1+1|+|a2+1|+|an+1|，|a 1 2|+|a22|+|a n2|，则：数列a n中的项一定有正有负，不妨设 a10，d0 ，因为|a 1|+|a2|+|an|

24、 a1+1|+|a2+1|+|an+1| a12|+|a 22|+ +|an2| 2019 为定值，故设，且得 d3若 ai0，且 ai+10，则| ai|a i+1|1，同理若 ai0，则|a i+1|a i|1，所以 k，所以数列a n的项数为 2k所以：|a 1|+|a2|+|an|a 1a 2a 3a k+ak+1+ak+2+a2k，2（a 1+a2+a3+ak）+ （ a1+a2+a3+ak+ak+1+a2k）2（ka 1+ d）+（2ka 1+ ），k 2d2019，由于：d3，所以：k 2d20193k 2，解得：k 2673，故：k25，n50故选：A【点评】本题考查的知

25、识要点：数列的通项公式的应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+1876 分）17 （14 分）如图，圆柱是矩形 O1OAA1 绕其边 O1O 所在直线旋转一周所得，AB 是底面圆的直径，点 C 是弧 AB 的中点（1）求三棱锥 A1ABC 体积与圆柱体积的比值；（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点 M 是线段 AO1 的中点，求异面直线 CM 与BO1 所成角的大小第 15 页（共 22 页）【分析】（1）设矩形 O1OAA1 的边长分别为 OAa，A 1Ab，由体积公式分别求出三棱锥 A1ABC

26、体积与圆柱体积，作比得答案；（2）连接 OM，则 OMO 1B，连接 MC，则OMC 为异面直线 CM 与 BO1 所成角，设OAAA 12，然后求解三角形得答案【解答】解：（1）设矩形 O1OAA1 的边长分别为 OAa，A 1Ab，则，；（2）连接 OM，则 OMO 1B，连接 MC，则OMC 为异面直线 CM 与 BO1 所成角，设 OAAA 12，则，OM ，OC2，点 C 是弧 AB 的中点，OC平面 ABO1，则 OCOM，在 Rt MOC 中，有 MC ，cosOMC ，则异面直线 CM 与 BO1 所成角的大小为【点评】本题考查棱锥与圆柱体积的求法，考查异面直线所成角的

27、求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题18 （14 分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通 A、B 两地，A 处位于东西方向的直第 16 页（共 22 页）线 MN 上的陆地处，B 处位于海上一个灯塔处，在 A 处用测角器测得 tanBAN ，在 A 处正西方向 1km 的点 C 处，用测角器测得 tanBCN1，现有两种铺设方案：沿线段 AB 在水下铺设；在岸 MN 上选一点 P，先沿线段 AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元/km，4 万元/km（1）求 A、B 两点间的距离；（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由【分析】

28、（1）由 tanBAN ，BCN ，得到|AD|，|DB|、| AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案：总铺设费用为 5420（万元）方案：设 BPD ，则（ 0，），其中 0BAN，在 RtBDP 中，DP ，BP ，则总铺设费用为 2AP+4BP8 +8+6 设 f（），则 f（），求出函数的极小值，即函数的最小值得答案【解答】（本题满分为 14 分）解：（1）过 B 作 MN 的垂线，垂足为 D，如图示：在 Rt ABD 中，tan BADtanBAN ，所以 AD BD，在 Rt BCD 中， tanBCDtanBCN 1，所以 CDBD则 AC

29、ADCD BDBD BD1，即 BD3，第 17 页（共 22 页）所以 CD3，AD4，由勾股定理得，AB 5（km）所以 A，B 两镇间的距离为 5km（4 分）（2）方案：沿线段 AB 在水下铺设时，总铺设费用为 5420（万元）（6 分）方案：设 BPD ，则（ 0，），其中 0BAN，在 Rt BDP 中，DP ，BP ，所以 AP4DP4 则总铺设费用为 2AP+4BP8 + 8+6 （8 分）设 f（），则 f （），令 f'（）0，得，列表如下：（ 0，）（，）f'（） 0 +f（）极小值所以 f（）的最小值为 f（）所以方案

30、的总铺设费用最小为 8+6 （万元），此时 AP4 （12 分）而 8+6 20，所以应选择方案进行铺设，点 P 选在 A 的正西方向（4 ）km 处，总铺设费用最低（14 分）【点评】本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题第 18 页（共 22 页）19 （14 分）已知 aR，函数（1）求 a 的值，使得 f（x ）为奇函数；（2）若 a0 且对任意 xR 都成立，求 a 的取值范围【分析】（1）根据奇函数的定义与性质，利用 f（0）0 求得 a 的值，再验证求得 a 的值时，f（x）是奇函数；（2）根据题意把不等式化为 a2+a（5a）2 x，要

31、使不等式对任意 xR 都成立，得出 5a0 即可【解答】解：（1）函数为奇函数，即 f（0） 0，解得 a1，f（x），定义域为 R，且满足 f（x） f（x），f（x）是定义域 R 上的奇函数；即 a1 时，f（x ）为定义域 R 上的奇函数；（2）不等式 f（x ）化为，a0 时，2 x+a0，所以不等式化为 3（2 xa）（a2）（2 x+a），即 a2+a（5a）2 x；要使该不等式对任意 xR 都成立，由 a0 且 2x0，所以 5a0，即 a5 即可；所以 a 的取值范围是 a5【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了等价转化问题，是中档题20 （16 分）

32、在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意一点 P（x，y），总存在一个点Q（x' ， y'）满足关系式：（ 0， 0），则称为平面直角坐标系中的伸缩变换（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆 4x2+9y236变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，AOB（O 为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换第 19 页（共 22 页）（0， 0）得到A'O 'B'，记AOB 和A'O 'B'的面积分别为 S 与S'，求证：；（3）若EFG 的三个顶点都在椭圆（ab0），且椭圆中心恰好是

33、EFG的重心，求EFG 的面积【分析】（1）把伸缩变换代入 x 2+y 21，得到 362x2+362y236，与 4x2+9 y236比较求得，，则答案可求；（2）以 OA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，设 A（a，0），B （b，c），求出经平面直角坐标系中的伸缩变换后得到的 A（a，0），B（ b，c），再分别求出 S 与 S'，作比得答案；（3）设 E（x 1，y 1），F（x 2，y 2），G（x 3，y 3），由EFG 重心是原点，得x3（x 1+x2），y 3（y 1+y2），然后分类求解得答案【解答】（1）解：伸缩变换为（0，0）

34、，代入 x 2+y 21，得到（x） 2+（ y） 21，即 362x2+362y236，将式与 4x2+9 y236 比较，得，，故所求的伸缩变换为；（2）证明：以 OA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，设 A（a，0），B（b，c ），则，经平面直角坐标系中的伸缩变换（0，0），得到 A（a，0），B（b， c），；（3）解：设 E（x 1，y 1），F（ x2，y 2），G（x 3，y 3），第 20 页（共 22 页）EFG 重心是原点，，，x 3（x 1+x2），y 3（y 1+y2），当直线 EF 的斜率不存在时，E（，），F（

35、，），G（a，0），或 E（，），F（，），G （a，0），此时 SEFG ；当直线 EF 的斜率存在时，设直线 EF 的方程为 ykx+ m，由，得（b 2+a2k2）x 2+2a2kmx+a2m2a 2b20，，y1+y2k（x 1+x2）+2 m ，x 3 ，，G（x 3，y 3）在椭圆上，，4m 2b 2+a2k2，|EF| 点 G（x 3，y 3）到直线 AB 的距离 d ，S EFG |EF|d 综上所述，ABC 的面积是定值【点评】本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换，考查直线与椭圆位置关系的应用，考第 21 页（共 22 页）查计算能力，属难题21

36、（18 分）已知函数 f（x ）x 2+ax+b（a，b R），且不等式|f （x）|2019|2 xx 2|对任意的 x0，10都成立，数列 an是以 7+a 为首项，公差为 1 的等差数列（nN *）（1）当 x0， 10时，写出方程 2xx 20 的解，并写出数列 an的通项公式（不必证明）；（2）若无穷数列b n满足对任意的 m，nN *都成立，求证：数列b n是等差数列；（3）若（n N*），数列c n的前 n 项和为 Sn，对任意的 nN*，求的取值范围【分析】（1）令 f（2）0， f（4）0 计算 a，b 的值，从而得出出数列 an的通项公式；（2）由条件可知

37、bn+mb m bn0，令 m1 可得结论；（3）利用放缩法得出最小值，根据递减数列得出最大值【解答】解：（1）当 x0，10时，方程 2xx 20 的解为： x2，x4不等式|f（x）|2019|2 xx 2|对任意的 x0，10都成立，|f（ 2） |0，|f（4）|0，化为：4+2a+b0，16+4 a+b0，解得 a6，b8a n1+n1n（2） 0，对任意的 m，nN *都成立，|b n+mb mb n|0，又| bn+mb mb n|0，b n+mb mb n0，即 bn+mb m+bn，令 m1 可得 bn+1b n+b1，b n+1b nb 1数列b n是等差数列（3）由（1）可得：（n N*），第 22 页（共 22 页）（ + + ），显然是递减数列，故 S 1 n，S n1+2+3+n ， + 的取值范围是【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

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