1、第 1 页（共 31 页）2019 年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1 （4 分）在实数|3.14| ， 3， ， 中，最小的数是（ ）A B3 C|3.14| D2 （4 分）下列运算正确的是（ ）Aa 6a3a 3 Ba 4a2a 8 C （2a 2） 36a 6 Da 2+a2a 43 （4 分）2018 年 12 月 8 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约 200 公里、远地点约 42
2、万公里的地月转移轨道，将数据 42万公里用科学记数法表示为（ ）A4.210 9 米 B4.210 8 米 C4210 7 米 D4.210 7 米4 （4 分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）A B C D5 （4 分）如图，直线 111 2，130，则2+3（ ）A150 B180 C210 D2406 （4 分）某射击运动员在训练中射击了 10 次，成绩如图所示：第 2 页（共 31 页）下列结论不正确的是（ ）A众数是 8 B中位数是 8C平均数是 8.2 D方差是 1.27 （4 分）不等式组 的解集是（ ）Ax2 Bx2 C2x2 D2x 28 （4 分）如图，一艘船
3、由 A 港沿北偏东 65方向航行 30 km 至 B 港，然后再沿北偏西40方向航行至 C 港，C 港在 A 港北偏东 20方向，则 A，C 两港之间的距离为（ ）kmA30+30 B30+10 C10+30 D309 （4 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，A 119 ，过点 C 的圆的切线交 BO 于点 P，则 P 的度数为（ ）A32 B31 C29 D6110 （4 分）一个盒子中装有标号为 1，2，3，4，5 的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 5 的概率为（ ）A B C D11 （4 分）如图，将O 沿弦 AB 折叠， 恰好经过圆
4、心 O，若O 的半径为 3，则 的长为（ ）第 3 页（共 31 页）A B C2 D312 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接 PB，则 PB 的最小值是（ ）A2 B4 C D二、填空题（本大题共 6 小题，满分 24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）13 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k 1）x+k 2+30 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 14 （4 分） 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易
5、其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同） ，乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同） ，称重两袋相等，两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计） ，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意可列方程组为 15 （4 分）如图，AOB90，B30，以点 O 为圆心， OA 为半径作弧交 AB 于点A、点 C，交 OB 于点 D，若 OA3，则阴影都分的面积为 16 （4 分）若二次函数 yx 2+bx5 的对称轴为直线 x2，则关于 x 的方程x2+bx52x13 的解为 17
6、（4 分）在平面直角坐标系中，直线 l：y x+1 与 y 轴交于点 A1，如图所示，依次作正方形 OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，点第 4 页（共 31 页）A1，A 2，A 3，A 4，在直线 l 上，点 C1，C 2，C 3，C 4， 在 x 轴正半轴上，则前 n个正方形对角线长的和是 18 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB3 ，BC12，E 为 AD 中点，F 为 AB 上一点，将AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处，则折痕 EF 的长是 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分，解
7、答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19 （8 分）先化简，再求值：（a9+ ）（a1 ） ，其中 a 20 （8 分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于 50 分） ，绘制了如下的统计图表（不完整）：组别 分数 人数第 1 组 90x100 8第 2 组 80x90 a第 3 组 70x80 10第 4 组 60x70 b第 5 组 50x60 3请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出 a，b 的值；第 5 页（共 31 页）（2）计算扇形统计图中“第 5 组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有 1800 名学生
8、，那么成绩高于 80 分的共有多少人？21 （11 分）已知一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y 的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B（ 5，0） ，若 OBAB ，且 SOAB （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点 P 为 x 轴上一点，ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标22 （11 分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午节来临之际用 3000 元购进 A、B 两种粽子 1100 个，购买 A 种粽子与购买 B 种粽子的费用相同已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单价的 1.2 倍（1）求 A、B 两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过
9、7000 元的资金再次购进 A、B 两种粽子共 2600 个，已知 A、B 两种粽子的进价不变求 A 种粽子最多能购进多少个？23 （13 分）在矩形 ABCD 中，AEBD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点（1）若 BP 平分ABD ，交 AE 于点 G，PFBD 于点 F，如图，证明四边形 AGFP是菱形；（2）若 PEEC ，如图 ，求证： AEABDE AP；（3）在（2）的条件下，若 AB1，BC2，求 AP 的长第 6 页（共 31 页）24 （13 分）若二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A（3，0） 、B（0， 2） ，且过点 C（2，2）
10、 （1）求二次函数表达式；（2）若点 P 为抛物线上第一象限内的点，且 SPBA 4，求点 P 的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点 M，使ABOABM？若存在，求出点 M到 y 轴的距离；若不存在，请说明理由25 （14 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且CEF90，FGAD ，垂足为点 C（1）试判断 AG 与 FG 是否相等？并给出证明；（2）若点 H 为 CF 的中点，GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由第 7 页（共 31 页）2019 年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本
11、大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1 （4 分）在实数|3.14| ， 3， ， 中，最小的数是（ ）A B3 C|3.14| D【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小【解答】解：| | |3|3 （3）C、D 项为正数，A、B 项为负数，正数大于负数，故选：B【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“2 （4 分）下列运算正确的是（ ）Aa 6a3a 3 B
12、a 4a2a 8 C （2a 2） 36a 6 Da 2+a2a 4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案【解答】解：A、a 6a3a 3，故此选项正确；B、a 4a2a 6，故此选项错误；C、 （2a 2） 38a 6，故此选项错误；D、a 2+a22a 2，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键3 （4 分）2018 年 12 月 8 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约 200 公里、远地点约 42 万公里的地月
13、转移轨道，将数据 42第 8 页（共 31 页）万公里用科学记数法表示为（ ）A4.210 9 米 B4.210 8 米 C4210 7 米 D4.210 7 米【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：42 万公里420000000m 用科学记数法表示为：4.210 8 米，故选：B【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，
14、n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4 （4 分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解【解答】解：是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；是轴对称图形且有 4 条对称轴，故本选项错误；不是轴对称图形，故本选项错误故选：A【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合5 （4 分）如图，直线 111 2，130，则2+3（ ）A150 B180 C210 D240第 9 页（共 31 页）【分析】过点 E 作
15、 EF1 1，利用平行线的性质解答即可【解答】解：过点 E 作 EF1 1，1 11 2，EF1 1，EF1 11 2，1AEF30，FEC +3180，2+3AEF +FEC+330+180210，故选：C【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答6 （4 分）某射击运动员在训练中射击了 10 次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（ ）A众数是 8 B中位数是 8C平均数是 8.2 D方差是 1.2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项【解答】解：由图可得，数据 8 出现 3 次，次数最多，所以众数为 8，故 A 选项正确；10 次成绩排序
16、后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是 （8+8）8，故 B 选项正确；平均数为 （6+72+8 3+92+102）8.2，故 C 选项正确；方差为 （68.2） 2+（78.2） 2+（78.2） 2+（88.2） 2+（88.2） 2+（88.2）2+（98.2） 2+（98.2） 2+（108.2） 2+（108.2） 21.56，故 D 选项错误；第 10 页（共 31 页）故选：D【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差7 （4 分）不等式组 的解集是（
17、 ）Ax2 Bx2 C2x2 D2x 2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解【解答】解： ，由得， x2，由得， x2，所以不等式组的解集是2x2故选：D【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 8 （4 分）如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65方向航行 30 km 至 B 港，然后再沿北偏西40方向航行至 C 港，C 港在 A 港北偏东 20方向，则 A，C 两港之间的距离为（ ）kmA30+30 B30+10 C10+30 D30【分析】根据题意得，CAB6520，AC
18、B 40+20 60，AB 30 ，过 B 作 BEAC 于 E，解直角三角形即可得到结论【解答】解：根据题意得，CAB6520，ACB40+20 60，AB 30，第 11 页（共 31 页）过 B 作 BEAC 于 E，AEB CEB90，在 Rt ABE 中，ABE45，AB30 ，AEBE AB30km ，在 Rt CBE 中，ACB 60，CE BE10 km，ACAE+CE30+10 ，A，C 两港之间的距离为（ 30+10 ）km，故选：B【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单9 （4 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，A 119
19、 ，过点 C 的圆的切线交 BO 于点 P，则 P 的度数为（ ）A32 B31 C29 D61【分析】连接 OC、CD，由切线的性质得出OCP90，由圆内接四边形的性质得出ODC180A61 ，由等腰三角形的性质得出OCDODC 61，求出DOC58，由直角三角形的性质即可得出结果【解答】解：如图所示：连接 OC、CD，第 12 页（共 31 页）PC 是O 的切线，PCOC，OCP90，A119，ODC180A61 ，OCOD，OCDODC61，DOC18026158，P90DOC32 ；故选：A【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切
20、线的性质是解题的关键10 （4 分）一个盒子中装有标号为 1，2，3，4，5 的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 5 的概率为（ ）A B C D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于 5 的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图如图所示：共有 25 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于 5 的有 15 种结果，两次摸出的小球的标号之和大于 5 的概率为 ；故选：C【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不第 13 页（共 31 页）重复不
21、遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比11 （4 分）如图，将O 沿弦 AB 折叠， 恰好经过圆心 O，若O 的半径为 3，则 的长为（ ）A B C2 D3【分析】连接 OA、OB，作 OCAB 于 C，根据翻转变换的性质得到 OC OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出AOB，根据弧长公式计算即可【解答】解：连接 OA、OB，作 OCAB 于 C，由题意得，OC OA，OAC30，OAOB ，OBAOAC30，AOB120， 的长 2，故选：C【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键12 （4 分）
22、如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接 PB，则 PB 的最小值是（ ）第 14 页（共 31 页）A2 B4 C D【分析】根据中位线定理可得出点点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，再根据垂线段最短可得当 BPP 1P2 时，PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 BP1P 1P2，故 BP 的最小值为 BP1 的长，由勾股定理求解即可【解答】解：如图：当点 F 与点 C 重合时，点 P 在 P1 处，CP 1DP 1，当点 F 与点 E 重合时，点 P 在 P2 处，EP 2DP 2，P 1P2CE 且
23、P1P2 CE当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时，有 DPFP由中位线定理可知：P 1PCE 且 P1P CF点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，当 BPP 1P2 时，PB 取得最小值矩形 ABCD 中，AB 4，AD2，E 为 AB 的中点，CBE、ADE、BCP 1 为等腰直角三角形，CP 12ADECDECP 1B45，DEC90DP 2P190 DP 1P245 P 2P1B90 ，即 BP1P 1P2，BP 的最小值为 BP1 的长在等腰直角 BCP1 中，CP 1BC 2BP 12PB 的最小值是 2故选：D【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会
24、利用特殊位置解决问题，有难度第 15 页（共 31 页）二、填空题（本大题共 6 小题，满分 24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）13 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k 1）x+k 2+30 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 k 【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得（2k1） 24（k 2+3）0，求出 k的取值范围；【解答】解：原方程有两个不相等的实数根，（2k1） 24（k 2+3）4k +1120，解得 k ；故答案为：k 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不
25、相等的两个实数根； 当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根14 （4 分） 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同） ，乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同） ，称重两袋相等，两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计） ，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意可列方程组为 【分析】根据题意可得等量关系：9 枚黄金的重量11 枚白银的重量；（10 枚白银的重
26、量+1 枚黄金的重量）（1 枚白银的重量+8 枚黄金的重量）13 两，根据等量关系列出方程组即可【解答】解：设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，由题意得：，故答案为： 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系15 （4 分）如图，AOB90，B30，以点 O 为圆心， OA 为半径作弧交 AB 于点第 16 页（共 31 页）A、点 C，交 OB 于点 D，若 OA3，则阴影都分的面积为 【分析】连接 OC，作 CHOB 于 H，根据直角三角形的性质求出 AB，根据勾股定理求出 BD，证明AOC 为等边三角形，得到 AOC60，COB
27、30，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可【解答】解：连接 OC，作 CHOB 于 H，AOB90，B 30，OAB60，AB 2OA6，由勾股定理得，OB 3 ，OAOC，OAB60，AOC 为等边三角形，AOC60，COB30，COCB，CH OC ，阴影都分的面积 33 + 3 ，故答案为： 【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键16 （4 分）若二次函数 yx 2+bx5 的对称轴为直线 x2，则关于 x 的方程x2+bx52x13 的解为 x 12，x 24 【分析】根据对称轴方程求得 b，再解一元二次方程得解【解
28、答】解：二次函数 yx 2+bx5 的对称轴为直线 x2，第 17 页（共 31 页） ，得 b4，则 x2+bx52 x13 可化为： x24x52x13，解得，x 12，x 24故意答案为：x 12，x 24【点评】本题主要考查的是抛物线与 x 轴的交点，利用抛物线的对称性求得 b 的值是解题的关键17 （4 分）在平面直角坐标系中，直线 l：y x+1 与 y 轴交于点 A1，如图所示，依次作正方形 OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，点A1，A 2，A 3，A 4，在直线 l 上，点 C1，C 2，C 3，C 4， 在 x 轴正
29、半轴上，则前 n个正方形对角线长的和是 （2 n1） 【分析】根据题意和函数图象可以求得点 A1，A 2，A 3，A 4 的坐标，从而可以得到前 n个正方形对角线长的和，本题得以解决【解答】解：由题意可得，点 A1 的坐标为（0，1） ，点 A2 的坐标为（1，2） ，点 A3 的坐标为（3，4） ，点 A4 的坐标为（7，8） ，OA 11，C 1A22，C 2A34，C 3A48，前 n 个正方形对角线长的和是： （OA 1+C1A2+C2A3+C3A4+Cn1 An） （1+2+4+8+2 n1 ） ，设 S1+2+4+8+2 n1 ，则 2S2+4+8+2 n1 +2n，则 2SS2
30、n1，第 18 页（共 31 页）S2 n1，1+2+4+8+2 n1 2 n1 ，前 n 个正方形对角线长的和是： （2 n1） ，故答案为： （2 n1） ，【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答18 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB3 ，BC12，E 为 AD 中点，F 为 AB 上一点，将AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处，则折痕 EF 的长是 2 【分析】连接 EC，利用矩形的性质，求出 EG，DE 的长度，证明 EC 平分DCF，再证FEC90，最后证FECEDC，利用相似
31、的性质即可求出 EF 的长度【解答】解：如图，连接 EC，四边形 ABCD 为矩形，AD90，BCAD12，DCAB3 ，E 为 AD 中点，AEDE AD6由翻折知，AEFGEF，AEGE 6，AEF GEF，EGFEAF90D ，GEDE ，EC 平分DCG，DCEGCE，GEC90GCE，DEC90DCE，GECDEC，FECFEG+ GEC 18090，FECD90，又DCEGCE，第 19 页（共 31 页）FECEDC， ，EC 3 ， ，FE2 ，故答案为：2 【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接 CE，构造相
32、似三角形，最终利用相似的性质求出结果三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19 （8 分）先化简，再求值：（a9+ ）（a1 ） ，其中 a 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得【解答】解：原式（ + ）（ ） ，当 a 时，原式 12 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力第 20 页（共 31 页）20 （8 分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于 50 分） ，绘制
33、了如下的统计图表（不完整）：组别 分数 人数第 1 组 90x100 8第 2 组 80x90 a第 3 组 70x80 10第 4 组 60x70 b第 5 组 50x60 3请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出 a，b 的值；（2）计算扇形统计图中“第 5 组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有 1800 名学生，那么成绩高于 80 分的共有多少人？【分析】 （1）抽取学生人数 1025%40（人） ，第 2 组人数 4050%812（人） ，第 4 组人数 4050%10 37（人） ，所以 a12，b7；（2） 27，所以“第 5 组”所在扇形圆心角的度数为 27；（3）成绩高
34、于 80 分：180050%900（人） ，所以成绩高于 80 分的共有 900 人【解答】解：（1）抽取学生人数 1025%40（人） ，第 2 组人数 4050%812 （人） ，第 4 组人数 4050%10 37（人） ，a12，b7；（2） 27，“第 5 组”所在扇形圆心角的度数为 27；（3）成绩高于 80 分：180050%900（人） ，第 21 页（共 31 页）成绩高于 80 分的共有 900 人【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键21 （11 分）已知一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y 的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B（
35、5，0） ，若 OBAB ，且 SOAB （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点 P 为 x 轴上一点，ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标【分析】 （1）先求出 OB，进而求出 AD，得出点 A 坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，当 ABPB 时，得出 PB5，即可得出结论；当 ABAP 时，利用点 P 与点 B 关于 AD 对称，得出 DPBD4，即可得出结论；当 PBAP 时，先表示出 AP2（9a） 2+9，BP 2（5a） 2，进而建立方程求解即可得出结论【解答】解：（1）如图 1，过点 A 作 ADx 轴于 D，B（5，0） ，OB5，S OAB ，
36、 5AD ，AD3，OBAB，AB5，在 Rt ADB 中，BD 4，ODOB +BD9，A（9，3） ，第 22 页（共 31 页）将点 A 坐标代入反比例函数 y 中得，m 9327，反比例函数的解析式为 y ，将点 A（9，3） ，B（5，0）代入直线 ykx+b 中， ， ，直线 AB 的解析式为 y x ；（2）由（1）知，AB5，ABP 是等腰三角形，当 ABPB 时，PB5，P（0，0）或（10，0） ，当 ABAP 时，如图 2，由（1）知，BD4，易知，点 P 与点 B 关于 AD 对称，DPBD 4，OP5+4+4 13，P（13，0） ，当 PBAP 时，设 P（a，0）
37、 ，A（9，3） ，B（5，0） ，AP 2（9a） 2+9，BP 2（5a） 2，（9a） 2+9（5a） 2a ，P（ ，0） ，即：满足条件的点 P 的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（ ，0） 第 23 页（共 31 页）【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键22 （11 分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午节来临之际用 3000 元购进 A、B 两种粽子 1100 个，购买 A 种粽子与购买 B 种粽子的费用相同已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单价
38、的 1.2 倍（1）求 A、B 两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进 A、B 两种粽子共 2600 个，已知 A、B 两种粽子的进价不变求 A 种粽子最多能购进多少个？【分析】 （1）设 B 种粽子单价为 x 元/ 个，则 A 种粽子单价为 1.2x 元/个，根据数量总价单价结合用 3000 元购进 A、B 两种粽子 1100 个，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进 A 种粽子 m 个，则购进 B 种粽子（2600m）个，根据总价单价数量结合总价不超过 7000 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可
39、得出结论【解答】解：（1）设 B 种粽子单价为 x 元/ 个，则 A 种粽子单价为 1.2x 元/个，根据题意，得： + 1100，解得：x2.5，经检验，x2.5 是原方程的解，且符合题意，1.2x3第 24 页（共 31 页）答：A 种粽子单价为 3 元/个，B 种粽子单价为 2.5 元/个（2）设购进 A 种粽子 m 个，则购进 B 种粽子（2600m）个，依题意，得：3m+2.5 （2600m ）7000，解得：m1000答：A 种粽子最多能购进 1000 个【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之
40、间的关系，正确列出一元一次不等式23 （13 分）在矩形 ABCD 中，AEBD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点（1）若 BP 平分ABD ，交 AE 于点 G，PFBD 于点 F，如图，证明四边形 AGFP是菱形；（2）若 PEEC ，如图 ，求证： AEABDE AP；（3）在（2）的条件下，若 AB1，BC2，求 AP 的长【分析】 （1）想办法证明 AGPF，AG PF ，推出四边形 AGFP 是平行四边形，再证明 PAPF 即可解决问题（2）证明AEPDEC，可得 ，由此即可解决问题（3）利用（2）中结论求出 DE，AE 即可【解答】 （1）证明：如图中，四边形 ABCD 是矩
41、形，BAD90，第 25 页（共 31 页）AEBD ，AED90，BAE +EAD90，EAD+ADE90，BAE ADE，AGPBAG+ABG ， APDADE+PBD， ABGPBD，AGPAPG，APAG ，PAAB，PFBD，BP 平分 ABD ，PAPF，PFAG ，AEBD ，PFBD，PFAG ，四边形 AGFP 是平行四边形，PAPF，四边形 AGFP 是菱形（2）证明：如图中，AEBD ，PEEC，AEDPEC90，AEP DEC，EAD+ADE 90，ADE +CDE90，EAP EDC，AEP DEC， ，ABCD，第 26 页（共 31 页）AEABDEAP；（3）解
42、：四边形 ABCD 是矩形，BCAD2，BAD 90，BD ，AEBD ，S ABD BDAE ABAD，AE ，DE ，AEABDEAP；AP 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型24 （13 分）若二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A（3，0） 、B（0， 2） ，且过点 C（2，2） （1）求二次函数表达式；（2）若点 P 为抛物线上第一象限内的点，且 SPBA 4，求点 P 的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点 M，使ABOABM
43、？若存在，求出点 M到 y 轴的距离；若不存在，请说明理由【分析】 （1）用 A、B、C 三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式第 27 页（共 31 页）（2）设点 P 横坐标为 t，用 t 代入二次函数表达式得其纵坐标把 t 当常数求直线 BP解析式，进而求直线 BP 与 x 轴交点 C 坐标（用 t 表示） ，即能用 t 表示 AC 的长把PBA 以 x 轴为界分成ABC 与ACP ，即得到 SPBA AC（OB +PD）4，用含 t 的式子代入即得到关于 t 的方程，解之即求得点 P 坐标（3）作点 O 关于直线 AB 的对称点 E，根据轴对称性质即有 AB 垂直平分 OE，连接
44、BE交抛物线于点 M，即有 BEOB ，根据等腰三角形三线合一得 ABOABM，即在抛物线上（AB 下方）存在点 M 使ABOABM设 AB 与 OE 交于点 G，则 G 为 OE中点且 OGAB，利用OAB 面积即求得 OG 进而得 OE 的长易求得OABBOG，求OAB 的正弦和余弦值，应用到 RtOEF 即求得 OF、EF 的长，即得到点 E 坐标求直线 BE 解析式，把 BE 解析式与抛物线解析式联立，求得 x 的解一个为点 B 横坐标，另一个即为点 M 横坐标，即求出点 M 到 y 轴的距离【解答】解：（1）二次函数的图象经过点 A（3，0） 、B（0，2） 、C（2，2） 解得：二次函数表达式为 y x2 x2（2）如图 1，设直线 BP 交 x 轴于点 C，过点 P 作 PD x 轴于点 D设 P（t， t2 t2） （t3）ODt，PD t2 t2设直线 BP 解析式为 ykx 2把点 P 代入得：kt 2 t2 t2k t直线 BP：y（ t ）x2当 y0 时， （ t ）x20，解得：xC（ ，0）第 28 页（共 31 页）t3t21 ，即点 C 一定在点 A 左侧AC3S PBA S ABC +SACP ACOB+ ACPD AC（ OB+PD）4 4解得：t 14，t 21（舍去） t
