1、2019 年天津市十二重点中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分1 （5 分）集合 My |yln（x 2+1） ，Nx|2 x4，则 MN 等于（ ）A0，2 B （0，2） C0 ，2） D （0，22 （5 分）设变量满足约束条件 ，则目标函数 zx2y 的最大值为（ ）A B C2 D23 （5 分）下列三个命题：命题 p： xR，x 2+x0，则p： xR，x 2+x0；命题 p：|2x1|1，命题 q： ，则 p 是 q 成立的充分不必要条件；在等比数列b n中，若 b52，b 98，则 b74；其中真命题
2、的个数为（ ）A0 B1 C2 D34 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 k 的值为（ ）A2 B3 C4 D55 （5 分）将函数 的图象向左平移 （0）的单位后，得到函数的图象，则 等于（ ）A B C D第 2 页（共 25 页）6 （5 分）已知 ， ， ，则实数 a，b，c 的大小关系为（ ）Acab Bbac Cacb Dc ba7 （5 分）已知双曲线 ，过原点的直线与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点 C，若ABC 的面积为 2a2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D8
3、（5 分）已知函数 ， ，则方程 f（g（x） ）a 的实根个数最多为（ ）A6 B7 C8 D9二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9 （5 分）若 z1+2 i，且 ，则 ab 10 （5 分）已知 ，则 的二项展开式中，x 2 的系数为 11 （5 分）已知圆柱的高和底面半径均为 2，则该圆柱的外接球的表面积为 12 （5 分）直线 l： （t 为参数） ，圆 C： （极轴与 x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同） ，若圆 C 上恰有三
4、个点到直线 l 的距离为 ，则实数 a 13 （5 分）已知 x0，y 0， 是 2x 与 4y 的等比中项，则 的最小值 14 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，下底 AB 长为 4，底角 A 为 45，高为 m，Q 为折线段BC D 上的动点， 设 的最小值为 f（m） ，若关于 m 的方程f（m）km 3 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围为 三、解答题：本大题 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的
5、边分别为 a，b，c，已知 2b（2bc）cosAa 2+b2c 2第 3 页（共 25 页）（）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 ，且 a5，求 b+c16 （13 分） “绿水青山就是金山银山” ，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习甲组一共有 4 人，其中男生 3 人，女生 1 人，乙组一共有 5 人，其中男生 2 人，女生 3 人，现要从这 9 人的两个兴趣小组中抽出 4 人参加学校的环保知识竞赛（）设事件 A 为“选出的这 4 个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组” ，求事件 A 发生的概率；（）用 X 表示抽取的 4
6、 人中 B 组女生的人数，求随机变量 X 的分布列和期望17 （13 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM 平面 ABCD， ，AD 2，AM 1，E 为 AB 的中点（）求证：AN平面 MEC；（）求 ME 与平面 MBC 所成角的正弦值；（）在线段 AM 上是否存在点 P，使二面角 PECD 的大小为 ？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由18 （13 分）设数列a n满足 a12，且点 在直线 yx+2 上，数列b n满足： b13，b n+13 bn（）数列a n、b n的通项公式；（）设数列 的前 n 项和为 Tn，求 Tn19
7、（14 分）已知椭圆 W： 的离心率为 ，点 ，F1，F 2 分别是椭圆 W 的左、右焦点， PF 1F2 为等腰三角形（）求椭圆 W 的方程；第 4 页（共 25 页）（）过左焦点 F1 作直线 l1 交椭圆于 A，B 两点，其中 A（0，1） ，另一条过 F1 的直线l2 交椭圆于 C，D 两点（不与 A，B 重合） ，且 D 点不与点（0，1）重合过 F1 作 x轴的垂线分别交直线 AD，BC 于 E，G 求 B 点坐标；求证： |EF1|F 1G|20 （14 分）函数 ，其中 nN*，x（0，+） （）当 n2 时，f（x ）在1 ，e 上单调递减，求实数 m 的取值范围；（）当 m
8、1 时，n 为定值，求 f（x ）的最大值；若 n 2，lna1，求证：对任意 k0，直线 ykx+a 与曲线 yf（x）有唯一公共点第 5 页（共 25 页）2019 年天津市十二重点中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分1 （5 分）集合 My |yln（x 2+1） ，Nx|2 x4，则 MN 等于（ ）A0，2 B （0，2） C0 ，2） D （0，2【分析】可求出集合 M，N，然后进行交集的运算即可【解答】解：My |y0，N x|x2；MN0 ， 2） 故选：C【点评】考查描述法、区间的定义，对数函
9、数和指数函数的单调性，以及交集的运算2 （5 分）设变量满足约束条件 ，则目标函数 zx2y 的最大值为（ ）A B C2 D2【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，结合目标函数的几何意义，即可求出目标函数 zx2y 的最大值【解答】解：变量满足约束条件 的可行域如下图所示：由图可知，由 得 A（ ， ） ，由 解得 B（ ， ）目标函数 zx2y 化为 y x ，平移直线经过的 B 时，目标函数取得最大值：zx2 y 取最大值： 故选：B第 6 页（共 25 页）【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法
10、”解题是解答本题的关键3 （5 分）下列三个命题：命题 p： xR，x 2+x0，则p： xR，x 2+x0；命题 p：|2x1|1，命题 q： ，则 p 是 q 成立的充分不必要条件；在等比数列b n中，若 b52，b 98，则 b74；其中真命题的个数为（ ）A0 B1 C2 D3【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断根据等比数列的通项公式以及符合关系进行判断【解答】解：x R，x 2+x0，则p： xR，x 2+x0，故错误，由|2x1|1，得12x11 得 0x1，由 ，得 1x0 得 x1，则 p 是 q
11、成立的既不充分也不必要条件，故错误，在等比数列b n中，若 b52，b 98，则 b7b 5q2；即 b7 与 b7 同号，则 b74，故错误，故真命题的个数为 0 个，故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断，以及等比数列的性质，综合性较强，但难度不大第 7 页（共 25 页）4 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 k 的值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论【解答】解：模拟程序的运行，可得S1，k1S2，不满足条件 S10，k2，S6不满足条件 S1
12、0，k3，S15满足条件 S10，退出循环，输出 k 的值为 3故选：B【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题5 （5 分）将函数 的图象向左平移 （0）的单位后，得到函数的图象，则 等于（ ）A B C D【分析】由题意利用函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数 的图象向左平移 （0）的单位后，可得ycos（ 2x+2 ）的图象，根据已知得到函数 的图象，第 8 页（共 25 页）2 ， ，故选：D【点评】本题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，属于基础题6 （5 分）已
13、知 ， ， ，则实数 a，b，c 的大小关系为（ ）Acab Bbac Cacb Dc ba【分析】可以得出 ，容易得出，从而得出 a，b，c 的大小关系【解答】解： ， ，； ； ；acb故选：C【点评】考查对数的运算性质，对数函数的单调性，减函数的定义7 （5 分）已知双曲线 ，过原点的直线与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点 C，若ABC 的面积为 2a2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【分析】设双曲线的左焦点为 F，连接 AF，BF，可得四边形 AFBC 为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理
14、可得 a，b 的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程【解答】解：设双曲线的左焦点为 F，连接 AF，BF，由题意可得 ACBC，第 9 页（共 25 页）可得四边形 FABC 为矩形，即有|AF| BC|，设|AC | m，|BC|n，可得 nm2a，n 2+m24c 2， mn2a 2，即有 4c28a 24a 2，即有 c a，b a，可得双曲线的渐近线方程为 y x故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题8 （5 分）已知函数 ， ，则方程 f（g（x） ）a 的实根个数最多为（ ）A6 B7 C8 D9【分析
15、】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程 f（g（x） ）a 的实根个数为函数 tg（x ）的图象与直线 tt 1，tt 2，tt 3，tt 4 的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解第 10 页（共 25 页）【解答】解：设 tg（x ） ，则 f（t） a，则方程 f（g（x ） ）a 的实根个数为函数 tg（x）的图象与直线tt 1，tt 2，tt 3，tt 4 的交点个数之和，要方程 f（g（x ） ）a 的实根个数最多，则需 f（t）a 的解如图所示，由图（2）可知，函数 tg（ x）的图象与直线 tt 1，tt 2，tt 3，tt 4 的交点个数之和为 8，故选：C
16、【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9 （5 分）若 z1+2 i，且 ，则 ab 6 【分析】把 z1+2 i 代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复第 11 页（共 25 页）数相等的条件列式求解【解答】解：由 z1+2 i，且 ，得（a+bi） （1 2i）（a+2 b）+ （b2a）i 8i， ，解得 a2，b3ab6故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题10 （5 分）已知 ，则 的二项展开
17、式中，x 2 的系数为 80 【分析】求定积分得到 a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得 x2 的系数【解答】解：已知 cosx 2，则 的二项展开式中，通项公式为 Tr+1 25r ，令 5 2，求得 r2，可得展开式中 x2 的系数为 2380，故答案为：80【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11 （5 分）已知圆柱的高和底面半径均为 2，则该圆柱的外接球的表面积为 20 【分析】求出圆柱的外接球的半径，然后求解圆柱的外接球的表面积【解答】解：圆柱的底面半径为 2，则底面直径为 4，又圆柱的高为 2，则圆柱的
18、轴截面是边长分别为 4 和 2 的矩形，如图：第 12 页（共 25 页）则圆柱的外接球的半径为 r 该圆柱的外接球的表面积为 故答案为：20【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查计算能力，是基础题12 （5 分）直线 l： （t 为参数） ，圆 C： （极轴与 x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同） ，若圆 C 上恰有三个点到直线 l 的距离为 ，则实数 a 【分析】直线 l 化为普通方程，得： ，圆 C 化为普通方程，得：（ x+2）2+（y2） 28，圆心 C（ 2，2） ，半径 r2 ，由圆 C 上恰有三个点到直线 l 的距离为 ，得到圆心 C（2
19、， 2）到直线 的距离 d ，由此能求出实数 a【解答】解：直线 l： （t 为参数）化为普通方程，得： ，圆 C： 化为普通方程，得：（x+2） 2+（y2） 28，圆心 C（2，2） ，半径 r2 ，圆 C 上恰有三个点到直线 l 的距离为 ，圆心 C（2，2）到直线 的距离：d ，解得实数 a4 故答案为：4 【点评】本题考查实数值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题13 （5 分）已知 x0，y 0， 是 2x 与 4y 的等比中项，则 的最小值 【分析】由等比数列可得 x+2y1，则 + 1+ + ，由基
20、本不等式可第 13 页（共 25 页）得【解答】解：x0，y 0， 是 2x 与 4y 的等比中项，则 2x4y2，x+2y1， + 1+ + 1+2 1+2 ，当且仅当 时，即 x1，y 取等号，故答案为：2 +1【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题14 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，下底 AB 长为 4，底角 A 为 45，高为 m，Q 为折线段BC D 上的动点， 设 的最小值为 f（m） ，若关于 m 的方程f（m）km 3 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围为 （2 ） 【分析】以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以 AB 方向
21、为 x 轴正方向建立平面直角坐标系，结合 Q 为折线段 BCD 上的动点，可得当 Q 落在 D 点时， 取最小值，求出对应 f（m）的解析式，再求方程 f（m）km3 有两个不相等的实根时，实数 k 的取值范围【解答】解：以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以 AB 方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系，由已知可得：A（2，0） ，B（2，0） ，D （m 2，m） ，C（2m，m） ， ，E 为 DC 的中点，E（0，m） ，由 Q 为折线段 BCD 上的动点，故当 Q 落在 D 点时， 取最小值 f（m ） ， （2，m） ， （m，m）即 f（m）（2，m）（m，m）m 2+2m， （0
22、m 2） ；关于 m 的方程 f（m）km 3 有两个不相等的实根，即 m2+（ 2k）m+30 在（0，2）上有两个不等式相等的实根，第 14 页（共 25 页）解得：k（2+2 ， ）实数 k 的取值范围是（2+2 ， ） 故答案为：（2+2 ， ）【点评】本题考查了平面向量及应用，方程根的存在性及个数判断问题，是难题三、解答题：本大题 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2b（2bc）cosAa 2+b2c 2（）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 ，且 a5，求 b+c
23、【分析】 （）由余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosAsinB，结合 sinB0，可求 ，结合范围 0A ，可求 A 的值（）利用三角形的面积公式可得 bc25，利用余弦定理即可解得 b+c 的值【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）2b（2bc）cosAa 2+b2c 2， ，（1 分）（2bc）cosAacosC，（2 分）由正弦定理得：（2sinB sinC）cosAsinAcosC，（3 分）第 15 页（共 25 页）即：2sinBcosAsinCcosA+sinAcosC，2sinBcosA sinB，（4 分）0B，sinB0，（5 分）
24、 ，（6 分）0A， （7 分）（） ，（8 分）bc25，（9 分） ，（10 分）b 2+c250，（11 分）（b+c） 2b 2+c2+2bc100，（12 分）即：b+c10（13 分）【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题16 （13 分） “绿水青山就是金山银山” ，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习甲组一共有 4 人，其中男生 3 人，女生 1 人，乙组一共有 5 人，其中男生 2 人，女生 3 人，现要从这 9 人的两个兴趣小组中抽出
25、 4 人参加学校的环保知识竞赛（）设事件 A 为“选出的这 4 个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组” ，求事件 A 发生的概率；（）用 X 表示抽取的 4 人中 B 组女生的人数，求随机变量 X 的分布列和期望【分析】 （）基本事件总数 n ，事件 A 包含的基本事件个数 m ，由此能求出事件 A 发生的概率（）X 可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习第 16 页（共 25 页）甲组一共有 4 人，其中男生 3 人，女生 1 人，乙组
26、一共有 5 人，其中男生 2 人，女生 3人，要从这 9 人的两个兴趣小组中抽出 4 人参加学校的环保知识竞赛，基本事件总数 n ，事件 A 为“选出的这 4 个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组” ，则事件 A 包含的基本事件个数 m ，事件 A 发生的概率 （3 分） （列式（2 分） ，结果1 分）（）X 可能取值为 0，1，2，3（4 分）（5 分） （列式（1 分） ，结果 1 分）（7 分） （列式（1 分） ，结果 1 分）（9 分） （列式（1 分） ，结果 1 分）（11 分） （列式（1 分） ，结果 1 分）X 的分布列为X 0 1 2 3P（13
27、分） （列式（1 分） ，结果 1 分）（本题得数不约分不扣分）【点评】本题考查概率的作法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17 （13 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面第 17 页（共 25 页）ADNM平面 ABCD， ，AD 2，AM 1，E 为 AB 的中点（）求证：AN平面 MEC；（）求 ME 与平面 MBC 所成角的正弦值；（）在线段 AM 上是否存在点 P，使二面角 PECD 的大小为 ？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由【分析】 （）CM 与 BN 交于
28、 F，连接 EF，推导出 F 是 BN 的中点从而 ANEF ，由此能证明 AN平面 MEC（）推导出 DEAB ，DN平面 ABCD，建立空间直角坐标系 Dxyz，利用向量法能求出 ME 与平面 MBC 所成角的正弦值（）求出平面 PEC 的法向量和平面 ADE 的法向量，利用向量法求出在线段 AM 上不存在点 P，使二面角 PECD 的大小为 （13【解答】 （本小题满分 13 分）证明：（）CM 与 BN 交于 F，连接 EF由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形，所以 F 是 BN 的中点因为 E 是 AB 的中点，所以 ANEF（1 分）又 EF平面 MEC，（2 分）AN 平面
29、MEC，（3 分）所以 AN平面 MEC（4 分）解：（）由于四边形 ABCD 是菱形， ，E 是 AB 的中点，可得 DEAB 又 ADNM 是矩形，平面 ADNM平面 ABCD，平面 ADNM平面 ABCDAD，DN平面 ABCD（5 分）如图建立空间直角坐标系 D xyz，则 D（0，0，0） ， ，C（0，2，0） ， ，N（0，0，1）第 18 页（共 25 页）设平面 MBC 的法向量为 ， ， ， （6 分）（7 分）（8 分）ME 与平面 MBC 所成角的正弦值 （9 分）（）设 ， ，设平面 PEC 的法向量为则， 令 ， （10 分）又平面 ADE 的法向量 ，（11 分）
30、解得， （12 分） ， ，在线段 AM 上不存在点 P，使二面角 PECD 的大小为 （13 分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足二面角的点第 19 页（共 25 页）是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18 （13 分）设数列a n满足 a12，且点 在直线 yx+2 上，数列b n满足： b13，b n+13 bn（）数列a n、b n的通项公式；（）设数列 的前 n 项和为 Tn，求 Tn【分析】本题第（）题可根据等差数列和等比数列的定义来判断数列a n和数列b n分别是等差数列和等比数列，
31、然后即可求出各自的通项公式；第（）题要先算出数列 的一般项，得出一般项为2n3n（1） n2n，然后可以分别求出 2n3n 和（1） n2n 的前 n 项和，对于求出2n3n 的前 n 项和可采用错位相减法求和，而对于（1） n2n 的前 n 项和根据（1）n 的特点要考虑 n 的奇偶分别求和，最后即可求出数列 的前 n 项和 Tn【解答】解：（）由题意，可知：对于数列a n：点 在直线 yx+2 上，a n+1a n+2a n+1a n2（nN*） a n是以 a12 为首项，2 为公差的等差数列a na 1+（n1）22n对于数列b n：b 13，b n+13b n，b n是以 b13 为
32、首项，3 为公比的等比数列 （）由题意及（1）知：对于一般项： 由题意，可设2n3 n的前 n 项和为第 20 页（共 25 页）得 ， ， 同理，可设（1） n2n的前 n 项和为 Tn''，当 n 为偶数时， ，当 n 为奇数时，n+1 为偶数，则：T n+12+46+8 2n+2（n+1） T n''T n+1'' 2（n+1）n+12n2n1T nT nT n 【点评】本题第（）题主要考查等差数列和等比数列的定义法判定以及求通项公式；第（）题主要考查分别求和的方法，以及错位相减法求和、对于有（1） n 形式的一般项特点要考虑
33、n 的奇偶分别求和等问题，本题属中档题19 （14 分）已知椭圆 W： 的离心率为 ，点 ，F1，F 2 分别是椭圆 W 的左、右焦点， PF 1F2 为等腰三角形（）求椭圆 W 的方程；（）过左焦点 F1 作直线 l1 交椭圆于 A，B 两点，其中 A（0，1） ，另一条过 F1 的直线l2 交椭圆于 C，D 两点（不与 A，B 重合） ，且 D 点不与点（0，1）重合过 F1 作 x轴的垂线分别交直线 AD，BC 于 E，G 求 B 点坐标；求证： |EF1|F 1G|【分析】 （）由题意根据离心率和，PF 1F2 为等腰三角形，即可求出第 21 页（共 25 页）（） 由题意可得直线 l
34、1 的方程为 yx +1与椭圆方程联立，由 ，解得即可，可求当 l2 与 x 轴垂直时， C，D 两点与 E，G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|F 1G|当 l2 不与 x 轴垂直时，设 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，l 2 的方程为yk（x+1） （k1） ，利用韦达定理，结合直线 AD 的方程，令 x1，求出 EG 的坐标，然后转化求解即可【解答】解：（）由已知 ，a 2b 2+c2，得 bc， ，PF 1F2 为等腰三角形，|F 1F2| F2P|，则 解得 c1，a 22，b 21，椭圆 W 方程为（） 由题意可得直线 l1 的方程为 yx +1与椭圆方程联立，
35、由 可求 当 l2 与 x 轴垂直时，C，D 两点与 E，G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 1|F 1G|当 l2 不与 x 轴垂直时，设 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，l 2 的方程为 yk（x+1） （k 1） 由 消去 y，整理得（2k 2+1）x 2+4k2x+2k220则 ， 由已知，x 20，则直线 AD 的方程为 ，第 22 页（共 25 页）令 x1，得点 E 的纵坐标 把 y2k（x 2+1）代入得 由已知， ，则直线 BC 的方程为 ，令 x1，得点 G 的纵坐标 把 y1k（x 1+1）代入得 把 ， 代入到 2x1x2+3（x 1+x2）+4 中，
36、2x1x2+3（x 1+x2）+4 即 yE+yG0，即| EF1|F 1G|【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查设而不求转化思想的应用，分类讨论思想的应用20 （14 分）函数 ，其中 nN*，x（0，+） （）当 n2 时，f（x ）在1 ，e 上单调递减，求实数 m 的取值范围；（）当 m1 时，n 为定值，求 f（x ）的最大值；若 n 2，lna1，求证：对任意 k0，直线 ykx+a 与曲线 yf（x）有唯一公共点【分析】 （）当 n2 时，通过求导，分离参数求导，利用导数研究其单调性即可得出第 23 页（共 25 页）（） 当 m1 时， ，x0，令 f（x ）0，x
37、1可得 f（x ） maxf（1） 要证明当 a e，k0 时，关于 x 的方程 有唯一解，令 ，即证明 g（t）kt 2+2t2tlnta 有唯一零点我们先证三个引理引理（1lnx）1（由第 1 问取 n1 即可） 引理 2 （由【引理 1】变形得到） 引理 3lnxx1（可直接证明也可由【引理 2 推出】下面我们先证明函数 g（t）存在零点，再证明数 g（t ）最多只能有一个零点【解答】解：（）当 n2 时， ， 在1，e 恒成立即 2mlnx2m 0 在1，e 恒成立，x1， e，0lnx 1， m ，令 u（x） ，u（x） 0u（x） 在1 ，e单调递减，（x ） max （1）1，
38、m1（） 当 m1 时， ，x0，令 f（x）0，x1x （0，1） 1 （1，+）f（x） + 0 f（x） 极大值 f（x） maxf（1）n要证明当 a e，k0 时，关于 x 的方程 有唯一解，令 ，即第 24 页（共 25 页）证明 g（t）kt 2+2t2tlnta 有唯一零点我们先证三个引理【引理 1】x（1lnx ）1（由第 1 问取 n1 即可）【引理 2】 （由【引理 1】变形得到）【引理 3】lnxx 1（可直接证明也可由【引理 2 推出】证明： 证毕！下面我们先证明函数 g（t）存在零点，先由 【引理 2】得到：令 ，可知 g（t）0 再由【引理 3】得到 lnxx，于
39、是令 ，且 ，可知 g（t）0由连续性可知该函数一定存在零点下面我们开始证明函数 g（t）最多只能有一个零点我们有令 ，则 ，则 h（t）在（0，e）递增，在（e，+）递减，即 当 时，有 g'（t）0 恒成立， g（t ）在（0，+）上递增，所以最多一个零点当 时，令 g'（t 1） g'（t 2）0，t 1et 2，即 lnt1kt 1，于是 g（t 1）t 1lnt1+2t12t 1lnt1at 1（2lnt 1）a再令 t1eT（0T1） ，由【引理 1】可以得到 g（t 1）eT（1lnT）ae1a0因此函数 g（t）在（0，t 1）递增， （t 1，t 2）递减， （t 2，+ ）递增，t t 1 时，g（t）有极大值但其极大值 g（t 1） 0，所以最多只有一个零点综上，当 k0，ae 时，函数 yf（x）与 ykx+ a 的图象有唯一交点【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
