1、2019 年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的1 （5 分）设集合 M1，0，1，2， ，则 MN（ ）A0 ，1 B1，0，1 C 1，1 D0 ，1，22 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z10x+2y 的最大值为（ ）A25 B20 C D3 （5 分）设 xR，则“|x1|2”是“x（x 2）0”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s（
2、 ）A5 B20 C60 D1205 （5 分）已知点（m，9）在幂函数 f（x）（m 2）x n 的图象上，设， 则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aacb Bbca Ccab Dbac6 （5 分）设双曲线 的左焦点为 F，离心率是 ，M 是双曲线第 2 页（共 23 页）渐近线上的点，且 OMMF（O 为原点） ，若 SOMF 16，则双曲线的方程为（ ）A BC D7 （5 分）已知函数 的最小正周期为 ，且 f（x ）的图象过点 ，则方程 所有解的和为（ ）A B C2 D8 （5 分）已知函数 ，g（x）f（x）ax，若函数 g（x）
3、恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C （，1） D （7，+）二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9 （5 分）已知 aR，i 为虚数单位，复数 z112i ，z 2a+2i，若 是纯虚数，则 a 的值为 10 （5 分）已知函数 f（x ）e x（2lnx） ，f'（x）为 f（x ）的导函数，则 f'（1）的值为 11 （5 分）已知圆锥的高为 3，底面半径长为 4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为
4、; 12 （5 分）已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且圆 C 与 y 轴相切，过点 P（2，2）的直线与圆 C相切于点 A， ，则圆 C 的方程为 13 （5 分）若 a，bR，且 a2b 21，则 的最大值为 14 （5 分）在梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC2，CD1，M 是线段 BC 上的动点，若 ，则 的取值范围是 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 3 页（共 23 页）15 （13 分）某社区有居民 500 人，为了迎接第十一个“
5、全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了 50 名居民，统计了他们本月参加户外运动时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为 5 组：10，12） ，12 ，14） ， 14，16） ，16，18） ，18 ，20，得到如图所示的频率分布直方图（）试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于 16 小时的人数；（）已知这 50 名居民中恰有 2 名女性的户外运动时间在18，20 ，现从户外运动时间在18，20 的样本对应的居民中随机抽取 2 人，求至少抽到 1 名女性的概率16 （13 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知asinAsinB+bcos2A2
6、a，（）求 的值；（）若 ，求 的值17 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD， ， ，BD 是线段 AC 的中垂线，BDACO，G 为线段PC 上的点（）证明：平面 BDG平面 PAC；（）若 G 为 PC 的中点，求异面直线 GD 与 PA 所成角的正切值；（）求直线 PA 与平面 BPD 所成角的大小第 4 页（共 23 页）18 （13 分）设a n是等比数列，b n是递增的等差数列，b n的前 n 项和为 Sn（n N*） ，a12，b 11，S 4a 1+a3，a 2b 1+b3（）求a n与b n的通项公式；（）设 ，数列c n的前 n 项和为 Tn（n
7、N*） ，求满足 成立的 n 的最大值19 （14 分）设椭圆 的左焦点为 F，下顶点为 A，上顶点为 B，FAB 是等边三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线 l：x a，过点 A 且斜率为 k（k0）的直线与椭圆交于点 C（C 异于点A） ，线段 AC 的垂直平分线与直线 l 交于点 P，与直线 AC 交于点 Q，若 （）求 k 的值；（）已知点 ，点 N 在椭圆上，若四边形 AMCN 为平行四边形，求椭圆的方程20 （14 分）设函数 f（x ）x 3bx 2+（2a）x（a，bR，b0） ，xR，已知 f（x）有三个互不相等的零点 x1，0，x 2，且 x1x 2（）若 f（b）b 3（
8、）讨论 f（x ）的单调区间；（）对任意的 xx1，x 2，都有 f（x）b 成立，求 b 的取值范围；（）若 b3 且 1x 1x 2，设函数 f（x）在 x0，x x1 处的切线分别为直线l1，l 2，P（x 0， y0）是直线 l1，l 2 的交点，求 x0 的取值范围第 5 页（共 23 页）2019 年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的1 （5 分）设集合 M1，0，1，2， ，则 MN（ ）A0 ，1 B1，0，1 C 1，1 D0 ，1，2【分
9、析】可求出集合 N，然后进行交集的运算即可【解答】解： ；MN 1 ，0，1故选：B【点评】考查描述法、列举法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z10x+2y 的最大值为（ ）A25 B20 C D【分析】 画可行域 z 为目标函数纵截距画直线 z 10x+2y，平移该直线过点 A 时得 z 最大值【解答】解：作出变量 x，y 满足约束条件 的可行域如图，由 得 B（ ，0）画直线 l：z10x +2y，平移 l 直线 z10x +2y 经过点 B（ ，0）时，z10x+2y 取得最大值 25故选：A第 6 页（共 23
10、 页）【点评】本小题是考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，解答的关键是正确画出可行域，找出最优解属于基础题3 （5 分）设 xR，则“|x1|2”是“x（x 2）0”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由绝对值不等式、二次不等式的解法及充分必要条件得：解|x1| 2 得：1x3，解 x（x 2）0 得：0x2，即“|x 1|2”是“x（x2）0”的必要不充分条件，得解【解答】解：解绝对值不等式|x 1|2 得：1x3，解二次不等式 x（x 2）0 得：0x 2，又“1x3”是“0x 2”的必要不充分条件，即“|x1| 2”是
11、“x（x 2 ）0”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了绝对值不等式、二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题4 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s（ ）第 7 页（共 23 页）A5 B20 C60 D120【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的规律，然后根据运行的情况判断循环的次数，从而得出所求【解答】解：第一次循环，s1，a53，s5，a4；第二次循环，a43，s20，a3；第三次循环，a33，s60，a2，第四次循环，a23，输出 s60，故选：C【点评】本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，考查分析问题解决问题的
12、能力，属于基础题新课改地区高考常考题型5 （5 分）已知点（m，9）在幂函数 f（x）（m 2）x n 的图象上，设， 则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aacb Bbca Ccab Dbac【分析】根据幂函数的定义求出 m 的值，再把点的坐标代入求出 n 的值，由此写出f（x）的解析式，根据 f（x ）的图象与性质判断 ac b【解答】解：函数 f（x ）（m2）x n 是幂函数，m21 解得 m3，又点（3，9）在 f（x ）的图象上，即 3n9，解得 n2；f（x）x 2，f（x）是偶函数，且在 0，+）上是单调增函数； ，ln ln3， ，且 0 ln3 ，第 8 页（共
13、23 页）acb故选：A【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是中档题6 （5 分）设双曲线 的左焦点为 F，离心率是 ，M 是双曲线渐近线上的点，且 OMMF （O 为原点） ，若 SOMF 16，则双曲线的方程为（ ）A BC D【分析】求得双曲线的一条渐近线方程为 y x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和离心率公式、三角形的面积公式，化简整理解方程可得 a，b，即可得到所求双曲线方程【解答】解：设 F（c ，0） ，双曲线 C 一条渐近线方程为 y x，可得|FM| b，即有|OM| a，由 SOMF 16，可得 ab16，即 ab32，又 a2+b2c 2，
14、且 ，解得 a8，b4，c4 ，则双曲线的方程为 1，故选：D第 9 页（共 23 页）【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题7 （5 分）已知函数 的最小正周期为 ，且 f（x ）的图象过点 ，则方程 所有解的和为（ ）A B C2 D【分析】由题意利用三角函数的周期性求得 ，把点 代入取得 ，可得f（x）的解析式，再利用同角三角函数的基本关系，方程即 sin（2x+ ）0，2x+k，kZ，由此求得方程的根，可得结论【解答】解：函数 的最小正周期为 ，2，且 f（x）的图象过点 ，故 tan（2 +）0， ，
15、f（x）tan（2x+） 则方程 ，即 tan（2x+ ）sin（2x+ ） ，x0，sin（2x+ ）0，2x + k ，k Z，x ，x ， ，所有解的和为 + ，故选：A【点评】本题主要考查三角函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于基础题第 10 页（共 23 页）8 （5 分）已知函数 ，g（x）f（x）ax，若函数 g（x）恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C （，1） D （7，+）【分析】根据函数与方程之间的关系转化两个函数图象交点个数问题，利用分段函数的表达式，建立直线斜率 a 的关系，利用数形结合进行求解即可【解答】由 g（x）f（x）
16、ax0 得 f（x）ax，若函数 g（x）恰有三个不同的零点，则等价为 f（x）与 yax 有三个不同的交点，f（x）x 2+3x+4（x+ ） 2+ ，当 a0，两个函数只有一个交点，不满足条件a0，要使 f（x）与 yax 有三个不同的交点，则等价为当 xa 时，y ax 与 y x1，有一个交点，此时 a ，当 xa 时，yax 与 f（x ）x 2+3x+4 有两个交点，则当 yax 与 f（x）x 2+3x+4 相切时，f （x）x 2+3x+4ax即 x2+（3a）x +40，则判别式（3a） 2160 得 a34 或 a34，则 a7（舍）或 a1，当 xa 时，f（ a）a 2
17、+3a+4，即 A（a，a 2+3a+4） ，当 yax 过点 A 时，直线 yax 与 f（x）有两个交点，此时 a2+3a+4aaa 2，得 3a+40 得 a ，要使当 xa 时，y ax 与 f（x）x 2+3x+4 有两个交点，则满足 a1，又 a ， a ，即实数 a 的取值范围是 ， ） ，故选：B第 11 页（共 23 页）【点评】本题主要考查函数方程的应用，结合分段函数的表达式转化为两个函数交点个数问题，结合直线和抛物线的相切条件利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9
18、 （5 分）已知 aR，i 为虚数单位，复数 z112i ，z 2a+2i，若 是纯虚数，则 a 的值为 4 【分析】把 z112i，z 2a +2i 代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解【解答】解：z 112i，z 2a+2i ， ，由 是纯虚数，得 ，即 a4故答案为：4【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分）已知函数 f（x ）e x（2lnx） ，f'（x）为 f（x ）的导函数，则 f'（1）的值为 e 【分析】根据题意，由导数的计算公式求出 f（x ）的导数，将 x1 代入计算可
19、得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）e x（2lnx）2e xe xlnx，第 12 页（共 23 页）其导数 f（x） 2exe xlnx ，则 f（1）2e 1e 1ln1 e ，故答案为：e【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题11 （5 分）已知圆锥的高为 3，底面半径长为 4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为 【分析】由已知中圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得球的半径，利用球的体积公式即可计算得解【解答】解：圆锥的底面半径 r4，高
20、 h3，圆锥的母线 l5，圆锥侧面积 Srl20 ，设球的半径为 r，则 4r220 ，r ，该球的体积为 V （ ） 3 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键，属于中档题12 （5 分）已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且圆 C 与 y 轴相切，过点 P（2，2）的直线与圆 C相切于点 A， ，则圆 C 的方程为 （x +1） 2+y21 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆心和半径，即可写出圆的方程【解答】解：如图所示，第 13 页（共 23 页）设圆 C 的圆心为（a，0） ，则半径为 r| a|，由 ，得 PC2r 2 |PA|2，
21、即（2a） 2+22a 2 ，解得 a1，所以圆 C 的方程为（x +1） 2+y21故答案为：（x+1） 2+y21【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题13 （5 分）若 a，bR，且 a2b 21，则 的最大值为 【分析】a 2b 21b 2a 2+1，设 bsec ，atan，为了求最大值，令 0， ） ，然后利用三角函数的性质可解得【解答】解：a 2b 21，b 2a 2+1，设 bsec， atan ，为了求最大值，令 0， ） ，则 cos（tan+1）sin +cos sin（+ ） ，0， ） ， + ， ） ，s
22、in（+ ） ，1， sin（+ ）1， 故答案为： 【点评】本题考查了换元法，三角函数的性质，属中档题14 （5 分）在梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC2，CD1，M 是线段 BC 上的动点，若 ，则 的取值范围是 1，10 【分析】由平面向量数量积的性质及其运算得：由已知有：| | |， ， ， （01） ，则 （ ） ）（ ） （ ）3，所以 ，又因为01，即 1，10，得解【解答】解：由已知有：| | |， ， ， （01） ，则 （ ） ）（ ） （ ）3，第 14 页（共 23 页）所以 ，又因为 01，即 1，10，故答案为：1，10【点评】本题考查了平面向量数
23、量积的性质及其运算，属中档题三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）某社区有居民 500 人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了 50 名居民，统计了他们本月参加户外运动时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为 5 组：10，12） ，12 ，14） ， 14，16） ，16，18） ，18 ，20，得到如图所示的频率分布直方图（）试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于 16 小时的人数；（）已知这 50 名居民中恰有 2 名女性的户外运动时间在18，20 ，现从户外运动时间在18，20 的样本
24、对应的居民中随机抽取 2 人，求至少抽到 1 名女性的概率【分析】 （ I）由频率分布直方图可知户外运动不小于 16 小时人数的频率，由此能求出本月户外运动时间不小于 16 小时的人数（ II）18，20的样本内共有居民 6 人，2 名女性，4 名男性，设四名男性分别表示为A，B，C ，D，两名女性分别表示为 E，F，利用列举法能求出事件 M 发生的概率【解答】 （本小题满分 13 分）解：（ I）由频率分布直方图可知户外运动不小于 16 小时人数的频率为：（0.1+0.06）20.32，0.32500160 人，本月户外运动时间不小于 16 小时的人数为 160 人（3 分）（ II）18
25、，20的样本内共有居民 500.0626 人，2 名女性，4 名男性，设四名男性分别表示为 A，B，C ，D，两名女性分别表示为 E，F（4 分）第 15 页（共 23 页）则从 6 名居民中随机抽取 2 名的所有可能结果为：A，B，A ，C，A，D， A，E，A，FB，C，B，D， B，E，B，F C，D，C，E，C，FD ，E ，D，F E，F共 15 种（9分）（ ii）设事件 M 为“抽取的 2 名居民至少有一名女性” ，则 M 中所含的结果为：A，E，A ，F，B ，E， B，F ，C，E， C，F ， D，E，D ，F，E，F 共9 种（12 分）事件 M 发生的概率为 （13 分
26、）【点评】本题考查考查频率数和概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16 （13 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知asinAsinB+bcos2A2a，（）求 的值；（）若 ，求 的值【分析】 （I）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 sinB2sinA，进而得解 （II）由已知利用余弦定理可求 cosC，根据同角三角函数基本关系式可求 sinC，利用倍角公式可求 sin2C，cos2C 的值，根据两角差的正弦函数公式即可计算得解【解答】 （本小题满分 13 分）解：（I）由正弦定理得：sinAsinA si
27、nB+sinBcos2A2sinA，（1 分）得：sinB（sin 2A+cos2A）2sinA ，（2 分）sinB2sinA，b2a，即 （4 分）第 16 页（共 23 页）（II） ， ，（5 分）C（0， ） ， ，（7 分） ，（9 分），（11 分） （13 分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，倍角公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题17 （13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD， ， ，BD 是线段 AC 的中垂线，BDACO，G 为线段PC 上的点（）证明：平面 BDG平面
28、 PAC；（）若 G 为 PC 的中点，求异面直线 GD 与 PA 所成角的正切值；（）求直线 PA 与平面 BPD 所成角的大小【分析】 （I）说明 BDPA ，证明 BD面 PAC，然后证明面 BDG面 PAC（ II） 连结 GO，说明OGD 为异面直线 GD 与 PA 所成角或其补角，通过三角形求解即可（III）连结 PO，作 AHPO 交 PO 于点 H，说明 PH 为斜线 PA 在面 PBD 内的射影，APH 为线 PA 与面 PBD 所成角，在 RtPAO 中，转化求解即可【解答】 （本小题满分 13 分）第 17 页（共 23 页）解：（I）证明：PA 面 ABCD，BD 面
29、ABCD，BDPA，又BDAC，PAAC A，BD面 PAC，又BD 面 BDG，面 BDG面 PAC（4 分）（ II） 连结 GO，O，G 分别为边 AC，PC 的中点，GOPA，OGD 为异面直线 GD 与 PA 所成角或其补角（6 分）在 Rt GOD 中， ， （8 分）所以异面直线 GD 与 PA 所成角的正切值为 （9 分）（III）连结 PO，作 AHPO 交 PO 于点 H，由（ I）可知 BD面 PAC，BD 面 PBD，面 PBD面 PACPO，AH面 PBD，PH 为斜线 PA 在面 PBD 内的射影，APH 为线 PA 与面 PBD 所成角，（11 分）在 Rt PA
30、O 中， ，直线 PA 与面 PBD 所成角为 30（13 分）【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，异面直线所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用18 （13 分）设a n是等比数列，b n是递增的等差数列，b n的前 n 项和为 Sn（n N*） ，第 18 页（共 23 页）a12，b 11，S 4a 1+a3，a 2b 1+b3（）求a n与b n的通项公式；（）设 ，数列c n的前 n 项和为 Tn（n N*） ，求满足 成立的 n 的最大值【分析】 （）通过已知条件，列出方程组，求出公差以及公比，然后求a n与b n的通项公式；（）化简 ，裂项相消法求解数列c
31、n的前 n 项和为 Tn（n N*） ，通过成立求解 n 的最大值【解答】 （本小题满分 13 分）解：（I）由已知得 （2 分）解得 （舍） （4 分） （6 分）（ II） （9 分）（11 分）解得 n15，nN *n14（12 分）即满足条件的最大值为 14（13 分）【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力19 （14 分）设椭圆 的左焦点为 F，下顶点为 A，上顶点为 B，FAB 是等边三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线 l：x a，过点 A 且斜率为 k（k0）的直线与椭圆交于点 C（C 异于点第 19 页（共 23 页）A） ，线段 AC
32、 的垂直平分线与直线 l 交于点 P，与直线 AC 交于点 Q，若 （）求 k 的值；（）已知点 ，点 N 在椭圆上，若四边形 AMCN 为平行四边形，求椭圆的方程【分析】 （）根据等边三角形的性质和离心率公式，即可求出，（） （i）设椭圆方程为 ，联立方程组，求出点 A，C ，即可求出点 Q 的坐标，根据弦长公式，结合 即可求出 k 的值，（ii）根据四边形 AMCN 为平行四边形，可得 ，即可求出椭圆方程【解答】解：（I）由题意可知， ，a 2b 2+c2， （II） （）a 2b 2+c2b 2+3b24b 2，设椭圆方程为 ，联立 得（4k 2+1）x 28bkx0 解得： ，则，Q
33、为 AC 中点， ，法 1：过点 Q 作 QQ1 垂直于 l，过点 A 与点 C 分别作 x 轴， y 轴的平行线，其交点为Q2，由CQ 2A 相似于PQ 1Q 可得： ，第 20 页（共 23 页）b03k 22k 10，k1 或 （舍） ，直线 AC 的斜率为 1法 2： ，则 PQ 所在的直线方程为 ，令 x2b，解得 ， ， ，3k 22k10 解得 k1 或 （舍） 直线 AC 的斜率为 1（ ii） ，设 N（x 0，y 0） ，四边形 AMCN 为平行四边形， ，（ ，b+ ）（x 0 ，y 0 ） ，即 ，又点 N（x 0， y0）在椭圆上， ，解得 b24，b2，该椭圆方程为
34、： 【点评】本题考查椭圆离心率的求法，考查直线的斜率，考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，考查化简整理的运算能力，属于中档题20 （14 分）设函数 f（x ）x 3bx 2+（2a）x（a，bR，b0） ，xR，已知 f（x）有三第 21 页（共 23 页）个互不相等的零点 x1，0，x 2，且 x1x 2（）若 f（b）b 3（）讨论 f（x ）的单调区间；（）对任意的 xx1，x 2，都有 f（x）b 成立，求 b 的取值范围；（）若 b3 且 1x 1x 2，设函数 f（x）在 x0，x x1 处的切线分别为直线l1，l 2，P（x 0， y0）是直线 l1，l 2 的交点，求 x0
35、 的取值范围【分析】 （I） （）f（b）b 3b 3+（2a）bb 3，由 b0，可得，f（x）x 3bx 2b 2x，利用导数研究单调性即可得出（）由（）知当 b0 时，f（x ）在 ， （b，x 2）单调递增，在单调递减b0 时，f（x ）在（x 1，b） ， 单调递增，在单调递减，利用研究其单调性极值即可得出（II）令 f（x）x 33x 2+（2a）x0 则 x0 或 x23x+（2a）0令 g（x）x 23x+（2 a）则 g（x ）有两个零点为 x1，x 2 且 1x 1x 2又g（x）对称轴为，可得 ，且 f'（ x）3x 26x+（2a） ，设l1，l 2 的斜率分别
36、为 k1，k 2可得其方程，得出交点横坐标，再利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：（I） （）f（b）b 3b 3+（2a）bb 3，b0，（2a）b 2（1 分）f（x）x 3bx 2b 2x，f'（x）3x 22bx b 2（xb ） （3x +b） ，（2分）当 b0 时，f（x ）在 ， （b，+）单调递增，在 单调递减（3 分）当 b0 时，f（x ）在（，b） ， 单调递增，在 单调递减（4 分）（）由（）知当 b0 时，f（x ）在 ， （b，x 2）单调递增，在单调递减第 22 页（共 23 页） b 2 ， （6 分）b0 时，f（x）在（ x1，b） ， 单调递
37、增，在 单调递减不成立（7 分）综上 （8 分）（II）令 f（x）x 33x 2+（2a）x0 则 x0 或 x23x+（2a）0，令 g（x）x 23x +（2a）则 g（x）有两个零点为 x1，x 2 且 1x 1x 2又g（x）对称轴为 ， ，且 （9分）f'（x）3x 26x+（2a） ，设 l1，l 2 的斜率分别为 k1，k 2 （10 分）， （11 分）l1 与 l2 的直线方程联立求得： （12 分）令 ，h'（x ）0 在 恒成立，h（x）在 上单调递减，（13 分）而 ， ， （14 分）【点评】本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题
