1、2019 年天津市十二重点中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的1 （5 分）已知集合 Ax| x210，集合 B2，1，0，1，则（ RA）B（ ）A 2 B0 C 2，1，1 D 1，0，12 （5 分）设 xR，则“ ”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）阅读下边的程序框图，若输入 N 的值为 26，则输出 N 的值为（ ）A1 B0 C1 D24 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函
2、数 z3x+5y 的最大值为（ ）A5 B17 C3 D95 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且函数 f（x）在（，0）上是减函数，若 ， ，则a，b，c 的大小关系为（ ）Aacb Bcba Cbca Dc ab6 （5 分）已知双曲线 的一个焦点与抛物线 y28x 的焦点 F 重合，抛物线的准线与双曲线交于 A，B 两点，且OAB 的面积为 6（O 为原点） ，则双曲线的方程为（ ）第 2 页（共 22 页）A BC D7 （5 分）将函数 ysinx 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的
3、 （0）倍（纵坐标不变） ，得到函数 yf（x）的图象，若函数 yf（x）在区间（0， ）上有且仅有一个零点，则 的取值范围为（ ）A B C （1，2 D8 （5 分）已知函数 ，若方程 f（x）+| x2| kx 0 有且只有三个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是（ ）A B C D二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9 （5 分）设 aR，若 是实数，则 a 10 （5 分）已知函数 f（x ）（x 2a）lnx，f '（x）是函数 f（x）的导函数，若 f
4、9;（1）2，则 a 的值为 11 （5 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且PA PBPCPD，已知四棱锥的表面积是 12，则它的体积为 12 （5 分）已知圆 C 的圆心在第四象限，直线 y2x 过圆心，且点（2，1）在圆 C 上，直线 x2y 0 与圆 C 交于 A，B 两点，若ABC 为等腰直角三角形，则圆 C 的方程为 13 （5 分）已知 a2b（a，b R） ，函数 f（x ）ax 2+x+2b 的值域为0，+） ，则第 3 页（共 22 页
5、）的最小值为 14 （5 分）在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD2， ，若 ，点 F 为边 BC 上的动点，则 的取值范围为 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为 35，28，21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取 7 名同学（）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？（）设高二，高三年级抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担
6、文件翻译工作（ i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ ii）设 M 为事件“抽取的两名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率16 （13 分）在ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，且（）求角 A 的大小；（）若 b2，c3，求 a 和 sin（2BA）的值17 （13 分）如图，在多面体 ABCDE 中，AEB 为等边三角形，ADBC，BCAB，AB BC2AD2，点 F 为边 EB 的中点（）求证：AF平面 DEC；（）求证：平面 DEC平面 EBC；（）求直线 AB 与平面 DEC 所成角的正弦值18 （13 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn
7、，已知 a1 2，且 4S2，3S 3，2S 5 成等差数列第 4 页（共 22 页）（）求数列a n的通项公式；（）若数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列b n的前 n 项和Tn19 （14 分）已知函数 f（x ）2x 3ax 2+1（aR） （）a6 时，直线 y6x+m 与 f（x ）相切，求 m 的值；（）若函数 f（x ）在（0，+）内有且只有一个零点，求此时函数（x）的单调区间；（）当 a0 时，若函数 f（ x）在 1，1上的最大值和最小值的和为 1，求实数 a 的值20 （14 分）已知椭圆 （ab0）的左顶点为 A（2，0） ，离心率为 ，过点 A 且斜率为
8、k（k0）的直线 l 与椭圆交于点 D，与 y 轴交于点 E（）求椭圆的方程；（）设点 P 为 AD 的中点（ i）若 x 轴上存在点 Q，对于任意的 k（k0） ，都有 OPEQ （O 为原点） ，求出点Q 的坐标；（ ii）射线 PO（O 为原点）与椭圆 C 交于点 M，满足 ，求正数 k 的值第 5 页（共 22 页）2019 年天津市十二重点中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的1 （5 分）已知集合 Ax| x210，集合 B2，1，0，1，则（ RA）B（ ）A
9、2 B0 C 2，1，1 D 1，0，1【分析】根据题意，求出 A 的补集，进而由交集的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，Ax|x 210x|1x1，则 RAx| x1 或 x1，又由 B 2， 1，0，1，则（ RA）B2，1，1；故选：C【点评】本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题2 （5 分）设 xR，则“ ”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由 2 3 ，得 x3，由 得 x0 或 x2，则“ ”是“ ”
10、的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件是解决本题的关键3 （5 分）阅读下边的程序框图，若输入 N 的值为 26，则输出 N 的值为（ ）第 6 页（共 22 页）A1 B0 C1 D2【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：若输入 N 的值为 26，则 N 是偶数，N13，N 2 不成立，N13 不是偶数，N 6，N2 不成立，N6 是偶数，N3，N 2 不成立N3 不是偶数，N 1，N2 成立，输出 N1，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键4 （5 分）设变量 x，y 满
11、足约束条件 ，则目标函数 z3x+5y 的最大值为（ ）A5 B17 C3 D9【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形求出最优解，代入计算目标函数 z 的最大值【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示；第 7 页（共 22 页）根据图形知，由 ，解得 A（ ， ） 当目标函数 z3x+5y 经过 A 时，直线的截距最大，z 取得最大值将坐标代入求得 z 的最大值为 3 +5 17故选：B【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，基本步骤是由约束条件画出可行域，求出可行域， 找出最优解， 求出目标函数的最值5 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）
12、f（x） ，且函数 f（x）在（，0）上是减函数，若 ， ，则a，b，c 的大小关系为（ ）Aacb Bcba Cbca Dc ab【分析】根据题意，由偶函数的定义可得函数 f（x ）为偶函数，结合偶函数的性质可得af（2cos ）f（2cos ）f （1） ，bf（ ）f （log 24.1） ，进而分析可得 f（x）在（ 0，+）上为增函数，又由 12 0.82log 24.1，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）满足 f（x）f （x） ，则函数 f（x）为偶函数，af（2cos ）f（2cos ）f （1） ，bf（ ）f （log 24.1）cf（2
13、0.8） ，又由函数 f（x）在（ ，0）上是减函数，则 f（x）在（0，+）上为增函数，且 12 0.82log 24.1，则 acb；第 8 页（共 22 页）故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性有单调性的综合应用，涉及对数大小的比较，属于基础题6 （5 分）已知双曲线 的一个焦点与抛物线 y28x 的焦点 F 重合，抛物线的准线与双曲线交于 A，B 两点，且OAB 的面积为 6（O 为原点） ，则双曲线的方程为（ ）A BC D【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得双曲线的 c，由三角形的面积公式可得 A的坐标，由双曲线的定义可得 a，进而得到 b，可得双曲线的方程【解答】
14、解：抛物线 y28x 的焦点 F 为（2，0） ，可得双曲线的焦点分别为）2，0） ， （2，0） ，抛物线的准线为 x2，由OAB 的面积为 6，可得 2|AB|6，即|AB| 6，可设 A（2，3） ，可得 A 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为| 3| 2，即 2a2，可得 a1，由 b ，可得双曲线的方程为 x2 1故选：D【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题7 （5 分）将函数 ysinx 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变第 9 页（共 22 页）为原来的 （0）倍（纵坐标不变） ，得到函数 yf（x）的图象，若函数
15、yf（x）在区间（0， ）上有且仅有一个零点，则 的取值范围为（ ）A B C （1，2 D【分析】利用函数 yA sin（ x+）的图象变换规律求得 f（x）的解析式，再利用正弦函数的零点，求得 的取值范围【解答】解：将函数 ysinx 的图象向左平移 个单位长度，可得 ysin（x+ ）的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的 （0）倍（纵坐标不变） ，可得 f（x）sin（x+ ）的图象在区间（0， ）上，x+ （ ， + ） ，若函数 yf（x）在区间（0， ）上有且仅有一个零点，则 + （ ，2，（ ， ，故选：B【点评】本题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象变
16、换规律，正弦函数的零点，属于基础题8 （5 分）已知函数 ，若方程 f（x）+| x2| kx 0 有且只有三个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是（ ）A B C D【分析】由分段函数图象的作法，先作函数 h（x）f （x）+|2x| 的图象，再结合方程的根的个数与函数图象交点个数的相互转化，观察 yh（x）的图象与 ykx 的图象交点情况即可【解答】解：设 h（x）f（x）+|x2| ，方程 f（x）+| x2|kx0 有且只有三个不相等的实数解等价于 yh（x）的图象与ykx 的图象有三个交点，第 10 页（共 22 页）又 yh（x）的图象与 ykx 的图象如图所示，求
17、得 k1 ，k 2 ，即实数 k 的取值范围是 ，故选：A【点评】本题考查了分段函数图象的作法及方程的根的个数与函数图象交点个数的相互转化，属中档题二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9 （5 分）设 aR，若 是实数，则 a 2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再虚部为 0 求解 a 值【解答】解： 是实数，2a0，即 a2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分）已知函数 f（x ）（x 2a）lnx，f '（x）是函数 f（x）的导函数，若 f'（1）2
18、，则 a 的值为 3 【分析】先求导，再代值计算即可【解答】解：函数 f（x ）（x 2a）lnx，f'（x）2xlnx+ ，f'（1）2ln1+ 1a 2，a3，第 11 页（共 22 页）故答案为：3【点评】本题考查了导数的运算和和函数值的求法，属于基础题11 （5 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且PA PBPCPD，已知四棱锥的表面积是 12，则它的体积为 【分析】由已知求得正四棱锥的斜高，进一步求得高，代入棱锥体积公式求解【解答】解：设正四棱锥的斜高为 h，则 ，解得 h2，则正四棱锥的高 PO
19、正四棱锥的体积 V 故答案为： 【点评】本题考查多面体表面积与体积的求法，是基础的计算题12 （5 分）已知圆 C 的圆心在第四象限，直线 y2x 过圆心，且点（2，1）在圆 C 上，直线 x2y 0 与圆 C 交于 A，B 两点，若ABC 为等腰直角三角形，则圆 C 的方程为 （x1） 2+（y+2 ） 210 【分析】根据题意，设圆心的坐标为（a，2a） ，分析可得点（2，1）在圆 C 上且在直线 x2y0 上，又由直线 y 2x 与直线 x2y0 垂直，则 A、B 关于原点对称，则A、B 的坐标为（2，1）或（2，1） ，若ABC 为等腰直角三角形，据此分析可得C 的坐标，求出圆的半径，
20、分析可得答案【解答】解：根据题意，圆 C 的圆心在直线 y2x 上，设圆心的坐标为（a，2a） ，（a0） ；第 12 页（共 22 页）又由直线 x2y 0 与圆 C 交于 A，B 两点，且点（2，1）在圆 C 上且在直线 x2y0上，则点 A 或点 B 的坐标为（2，1） ，又由直线 y2x 与直线 x 2y0 垂直，则 A、B 关于原点对称，则 A、B 的坐标为（2，1）或（2，1） ，又由ABC 为等腰直角三角形，则|CO|AO| ，即 a2+（2a） 25，解可得：a1，即圆心 C 的坐标为（1，2） ，半径 r| AC| ，则圆 C 的方程为（x 1） 2+（ y+2） 210，故
21、答案为：（x1） 2+（y +2） 210【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，注意结合直线与圆的位置关系进行分析，属于基础题13 （5 分）已知 a2b（a，b R） ，函数 f（x ）ax 2+x+2b 的值域为0，+） ，则的最小值为 【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得 a0 且 14a（2b）8ab，即8ab1，又由 （a2b）+ ，结合基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）ax 2+x+2b 的值域为0，+） ，则有 a0 且 14a（2b）8ab，即 8ab1， （a2b）+ ，又由 a2b0，则（a2b）+ 2 ，即
22、的最小值为 ；故答案为： 【点评】本题考查二次函数的性质以及基本不等式的性质，关键是求出 a、b 的关系，属于基础题14 （5 分）在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD2， ，若 ，点 F 为边 BC 上的动点，则 的取值范围为 ，1 第 13 页（共 22 页）【分析】作 DMAB ，根据 2 可得 M 为 AB 中点，求出 DM 的长，建立坐标系，设 F（1，m） ，得出 关于 m 的式子，从而得出答案【解答】解 ，E 为 CD 的中点，过 D 作 DMAB，垂足为 M，则 ABBD cosABD2BD cosABD2，BDcosABD1，即 BM1，M 为 AB 的中点
23、又 BMCD ，BMCD1，DMAB，四边形 MBCD 是矩形BAD ，AM AB 1，DM ，以 D 为原点，以 DC，DM 为坐标轴建立平面直角坐标系，则 E（ ，0） ，A（1， ） ，设 F（1，m ） ，则 0m ， （ ，m） ， （ 2， m ） ， m 2 m+1（m ） 2+ ，当 m 时， 取得最小值 ，当 m0 或 m 时， 取得最大值 1故答案为： ，1【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为 35，28，21，现采用
24、分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取 7 名同学（）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？（）设高二，高三年级抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中第 14 页（共 22 页）随机抽取 2 名同学承担文件翻译工作（ i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ ii）设 M 为事件“抽取的两名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率【分析】由分层抽样比例得出高一人数；有古典概型和概率公式得到结果【解答】解：（ I）设高一参加会议的同学 x 名，由已知得： ，解得 x5高一参加会议的同学 5 名，（II） （ i）由已知，高
25、二抽取 人，高三抽取 人，设高二的 4 人分别表示为 A，B，C ，D，高三的 3 人分别表示为 E，F，G则从 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为：A，B ，A，C，A，D ，A，E，A ，F，A ，GB，C，B，D， B，E，B，F ，B，GC ，D ，C，E ， C，F， C，GD ，E，D ，F， D，G E，F ，E，GF，G共 21种（ ii）抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为A，B ，A，C，A，D ，B，C， B， D，C，DE，F， E，G ，F，G 共 9 种所以事件 M 发生的概率为 ，【点评】本题考查分层抽样和古典概型属于简单题16 （13 分
26、）在ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边，且（）求角 A 的大小；（）若 b2，c3，求 a 和 sin（2BA）的值【分析】 （）由已知利用余弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 ，结合范围 A（0，） ，可求 A 的值（）由已知利用余弦定理可求 a 的值，根据正弦定理可求 sinB 的值，结合 ba，利用三角函数恒等变换的应用可求 cosB，sin2B，进而可求 sin（2BA）的值【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）由已知，得： ，由余弦定理，得： ，（1 分）第 15 页（共 22 页），（2 分）即 ，又 A（0，） ，所以 （4 分）（）a 2b 2+c2
27、2bc cosA， ， ，（6 分）又 ， ， ，（7 分）ba， ， ，（9 分） ， ，（11 分）sin（2BA）sin2BcosA cos2 BsinA （13分）【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17 （13 分）如图，在多面体 ABCDE 中，AEB 为等边三角形，ADBC，BCAB，AB BC2AD2，点 F 为边 EB 的中点（）求证：AF平面 DEC；（）求证：平面 DEC平面 EBC；（）求直线 AB 与平面 DEC 所成角的正弦值第 16 页（共 22 页）【分析】 （I）取 EC
28、中点 M，连结 FM，证明 AFDM，得到 AF平面 DEC（II）证明 CBBE ，推出 CB平面 ABE，证明 AFCB，AFBE，证明 AF平面EBC，然后证明平面 DEC平面 EBC（ III）解：取 BC 中点 N，连结 DN，说明直线 AB 与平面 DEC 所成角即为直线 DN 与平面 DEC 所成角，过 N 作 NHEC ，垂足为 H，连接 DH然后转化求解即可【解答】 （本小题满分 13 分） （I）证明：取 EC 中点 M，连结 FM， ；（2 分）AF 平面 DEC，DM平面 DEC，AF平面 DEC（4 分）（II）证明：EB 2+CB2EC 2CBBE （5 分）又CB
29、AB， ABBEB，CB平面 ABE，AF 平面 ABE，AF CB （6 分）又ABE 为等边三角形，F 为边 EB 的中点，AFBE，CBBEB，AF平面 EBC，由（ I）可知，AF DM， AF平面 DEC（7 分）AF 平面 DEC，平面 DEC平面 EBC（8 分）（ III）解：取 BC 的中点 H，直线 AB 与平面 DEC 所成角即为直线 DH 与平面 DEC所成角，过 N 作 NHEC，垂足为 H，连接 DH平面 DEC平面 EBCEC，NH平面 EBC，NHEC，第 17 页（共 22 页）NH平面 DECDN 为 DH 在平面 CDE 的射影，HDN 为直线 DN 与平
30、面 DEC 所成角（11 分）在 Rt DNH 中， ， ，直线 AB 与平面 DEC 所成角的正弦值为 （13 分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力18 （13 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1 2，且 4S2，3S 3，2S 5 成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）若数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列b n的前 n 项和Tn【分析】 （）直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分类讨论思想求出数列的通项公式（）利用（）的通项公式，进一步利用乘公
31、比错位相减法求出数列的和【解答】解：（）设公比为 q 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a12，且第 18 页（共 22 页）4S2，3S 3，2S 5 成等差数列则：6S 34S 2+2S5，整理得：4（S 3S 22（S 5S 3） ，即：2a 3a 4+a5，整理得：2q+q 2，解得：q1 或2，当 q 1 时， ana 12当 q 2 时， （）由于数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，故： ，整理得： ，当 an2 时， ，故： 当 时， ，所以： ，则： ，得： ，解得： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在求和中的应用，主
32、要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19 （14 分）已知函数 f（x ）2x 3ax 2+1（aR） （）a6 时，直线 y6x+m 与 f（x ）相切，求 m 的值；（）若函数 f（x ）在（0，+）内有且只有一个零点，求此时函数（x）的单调区间；第 19 页（共 22 页）（）当 a0 时，若函数 f（ x）在 1，1上的最大值和最小值的和为 1，求实数 a 的值【分析】 （）利用导数的几何意义求出切点的坐标，然后代入切线方程可得 m 的值；（）求导后，讨论 a 可得函数的单调性，再利用图象可得 f（ ）0，解得 a，再根据导函数可得单调区间；（）通过讨论 与 1 的大小可得函数
33、的最大最小值，再列等式可得 a 的值【解答】解：（）f（x ）6x 212x，（1 分）则 6x212x6，所以，x 1，当 x1，y3，所以361+m ，解得 m3 （3 分）（）f（x） 2x3ax 2+1（aR，x（0，+） ）由 f（x） 6x22ax2x（3x a）0，得到 x10，x 2 ，（4 分）当 a0 时，f（x ）2x（3xa）0 在区间（0，+）上恒成立，即函数 f（x）在区间（ 0，+）上单调递增，又因为函数 f（x ）的图象过点（0，1） ，即 f（0）10 ，（5 分）所以函数 f（x）在（ 0，+）内没有零点，不合题意，（6 分）当 a0 时，由 f（x ）0
34、得 x ，即函数 f（x ）在区间（ ，+）上单调递增，由 f（x）0 得 0x ，即函数 f（x ）在区间在（0， ）上单调递减，（7 分）且过点（0，1） ，要使函数 f（ x）在（0，+）内有且只有一个零点，则须 f（ ）0，即 +10，解得 a3，（8 分）综上可得函数 f（x ）在（0，+）内有且只有一个零点时 a3，此时函数 f（x）的单调递增区间为（，0） ， （1，+） ，单调递减区间为（0，1）（9 分）（）当 a0 时，函数 f（x）在（，0） ， （ ，+）上单调递增，在（0， ）上单调递减，第 20 页（共 22 页）此时函数 f（x）有两个极值点，极大值为 f（0）1
35、，极小值为 f（ ）1 ，且 f（1）a1，f（1）3a（9 分）当 即 a3 时，f（x）在（1，0）上单调递增，在（ 0，1）上单调递减，f（x） maxf（0）1，又 f（1）1a，f（1）3a，即 f（1）f（1） ，f（x） min1 a所以 1+（1a）1，解得 a1（舍） （11 分）当 即 0a3 时，f（x）在（1，0）上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增 f（ 1）1a0，即 ，所以 f（x ）min1a（12 分）若 f（0）f（1）a20，即 2a3 时，f（x ） maxf（0）1，所以1+（1a）1，解得 a1（舍） （13 分）若 f（0）f（1）a20，即
36、 0a2 时，f（x ） maxf（1）3a，所以（3a）+（1a）1，解得 综上， （14 分）【点评】本题考查了分类讨论法，利用导数研究函数的单调性以及最值，属难题20 （14 分）已知椭圆 （ab0）的左顶点为 A（2，0） ，离心率为 ，过点 A 且斜率为 k（k0）的直线 l 与椭圆交于点 D，与 y 轴交于点 E（）求椭圆的方程；（）设点 P 为 AD 的中点（ i）若 x 轴上存在点 Q，对于任意的 k（k0） ，都有 OPEQ （O 为原点） ，求出点Q 的坐标；（ ii）射线 PO（O 为原点）与椭圆 C 交于点 M，满足 ，求正数 k 的值【分析】 （）由由已知得 a2，根
37、据离心率求出 c 解得 b21，由此能求出椭圆方程第 21 页（共 22 页）（） （i）直线的方程为 yk（x+2） ，与椭圆联立，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点 Q 的坐标（ii）设 PO 所在直线方程为 ，求出点 M 的坐标，再结合题意可得，即可求出 k 的值【解答】解：（）由已知得 a2，又 ，cb 2a 2c 21椭圆方程为：（）：（ i）假设 x 轴上存在着点 Q（m，0）使得 OPEQ，设 AD 所在的直线方程为：yk（x+2） ，点 D（x 1， y1）由 ，消 y 得（4k 2+1）x 2+16k2x+16k240，160， ， ， ，E（0，2k） ， ， ，OPEQ ，k EQkop1，解得 ，x 轴上存在着点 使得 OPEQ 成立（ ii）设 PO 所在直线方程为 ，第 22 页（共 22 页）则 ， ，M 到直线 l 的距离： ， ， ， ， ，解得 ，k0，k【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用，是难题
