1、2019 年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1 （2 分）2018 年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到 13000 亿美元用科学记数法表示 13000 是（ ）A0.1310 5 B1.310 4 C1310 3 D13010 22 （2 分）计算（a 2b） 3 的结果是（ ）Aa 2b3 Ba 5b3 Ca 6b Da 6b33 （2 分）面积为 4 的正方形的边长是（ ）A4 的平方根 B4 的算术平方根C4 开平方的结
2、果 D4 的立方根4 （2 分）实数 a、b、c 满足 ab 且 acbc ，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）A BC D5 （2 分）下列整数中，与 10 最接近的是（ ）A4 B5 C6 D76 （2 分）如图，ABC 是由ABC 经过平移得到的，ABC 还可以看作是ABC 经过怎样的图形变化得到？下列结论：1 次旋转； 1 次旋转和 1 次轴对称； 2 次旋转；2 次轴对称其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7 （2 分）2 的相反数是 ； 的倒数是 8 （
3、2 分）计算 的结果是 9 （2 分）分解因式（ab） 2+4ab 的结果是 10 （2 分）已知 2+ 是关于 x 的方程 x24x +m0 的一个根，则 m 11 （2 分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式： ，ab12 （2 分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm13 （2 分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区 500 名初中学生进行调查整理样本数据，得到下表：视力 4.7 以下 4.7 4.8 4.9 4.9 以上人数 102 98 80 93 127根据抽样调查结
4、果，估计该区 12000 名初中学生视力不低于 4.8 的人数是 14 （2 分）如图，PA、PB 是 O 的切线，A、B 为切点，点 C、D 在O 上若P102 ，则A+C 15 （2 分）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分ACB若AD2， BD 3，则 AC 的长 16 （2 分）在ABC 中，AB4，C60，AB，则 BC 的长的取值范围是 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （7 分）计算（x+y ） （x 2 xy+y2）18 （7 分）解方程： 1 19
5、（7 分）如图，D 是ABC 的边 AB 的中点，DEBC，CEAB，AC 与 DE 相交于点F求证： ADFCEF20 （8 分）如图是某市连续 5 天的天气情况（1）利用方差判断该市这 5 天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论21 （8 分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 22 （7 分）如图，O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点 P，且 ABCD求证：PAPC 2
6、3 （8 分）已知一次函数 y1kx+2（k 为常数，k0）和 y2x3（1）当 k2 时，若 y1y 2，求 x 的取值范围（2）当 x1 时，y 1y 2结合图象，直接写出 k 的取值范围24 （8 分）如图，山顶有一塔 AB，塔高 33m计划在塔的正下方沿直线 CD 开通穿山隧道 EF从与 E 点相距 80m 的 C 处测得 A、B 的仰角分别为 27、22，从与 F 点相距50m 的 D 处测得 A 的仰角为 45求隧道 EF 的长度（参考数据：tan220.40，tan270.51 ）25 （8 分）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形广
7、场长与宽的比为 3：2扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？26 （9 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC 3，BC 4求作菱形 DEFG，使点 D 在边 AC 上，点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上小明的作法1如图 ，在边 AC 上取一点 D，过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G2以点 D 为圆心，DG 长为半径画弧，交 AB 于点 E3在 EB 上截取 EFED，连接 FG，则四边形 DEFG 为所求作的菱形（1）证明小明所作
8、的四边形 DEFG 是菱形（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的 CD 的长的取值范围27 （11 分） 【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 A（x 1，y 1）和 B（x 2，y 2） ，用以下方式定义两点间距离： d（A，B）|x 1x 2|+|y1y 2|【数学理解】（1） 已知点 A（2，1） ，则 d（O，A） 函数 y2x+4（0x2）的图象如图所示，B 是图象上一点，d（O，
9、B）3，则点 B 的坐标是 （2）函数 y （x 0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点 C，使d（O，C）3（3）函数 yx 25x +7（x0）的图象如图 所示，D 是图象上一点，求 d（O ，D）的最小值及对应的点 D 的坐标【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）2019 年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰
10、有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1 （2 分）2018 年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到 13000 亿美元用科学记数法表示 13000 是（ ）A0.1310 5 B1.310 4 C1310 3 D13010 2【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：130001.310 4故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记
11、数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值2 （2 分）计算（a 2b） 3 的结果是（ ）Aa 2b3 Ba 5b3 Ca 6b Da 6b3【分析】根据积的乘方法则解答即可【解答】解：（a 2b） 3（a 2） 3b3a 6b3故选：D【点评】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握法则是解答本题的关键积的乘方，等于每个因式乘方的积3 （2 分）面积为 4 的正方形的边长是（ ）A4 的平方根 B4 的算术平方根C4 开平方的结果 D4 的立方根【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；【解答】解：面积为 4 的正
12、方形的边长是 ，即为 4 的算术平方根；故选：B【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键4 （2 分）实数 a、b、c 满足 ab 且 acbc ，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）A BC D【分析】根据不等式的性质，先判断 c 的正负再确定符合条件的对应点的大致位置【解答】解：因为 ab 且 acbc，所以 c0选项 A 符合 ab，c 0 条件，故满足条件的对应点位置可以是 A选项 B 不满足 ab，选项 C、D 不满足 c0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D故选：A【点评】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质解决本题的关键是
13、根据不等式的性质判断 c 的正负5 （2 分）下列整数中，与 10 最接近的是（ ）A4 B5 C6 D7【分析】由于 91316，可判断 与 4 最接近，从而可判断与 10 最接近的整数为 6【解答】解：91316，3 4，与 最接近的是 4，与 10 最接近的是 6故选：C【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键6 （2 分）如图，ABC 是由ABC 经过平移得到的，ABC 还可以看作是ABC 经过怎样的图形变化得到？下列结论：1 次旋转； 1 次旋转和 1 次轴对称； 2 次旋转；2 次轴对称其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D【分析】依据旋转变
14、换以及轴对称变换，即可使ABC 与ABC 重合【解答】解：先将ABC 绕着 BC 的中点旋转 180，再将所得的三角形绕着 BC的中点旋转 180，即可得到ABC；先将ABC 沿着 BC 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着 BC的垂直平分线翻折，即可得到ABC ；故选：D【点评】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7 （2 分）2
15、 的相反数是 2 ； 的倒数是 2 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，可得答案【解答】解：2 的相反数是 2； 的倒数是 2，故答案为：2，2【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键8 （2 分）计算 的结果是 0 【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可【解答】解：原式2 2 0故答案为 0【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍9 （2 分）分解因式
16、（ab） 2+4ab 的结果是 （a+b） 2 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案【解答】解：（ab） 2+4aba 22ab+b 2+4aba 2+2ab+9b2（a+b） 2故答案为：（a+b） 2【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键10 （2 分）已知 2+ 是关于 x 的方程 x24x +m0 的一个根，则 m 1 【分析】把 x2+ 代入方程得到关于 m 的方程，然后解关于 m 的方程即可【解答】解：把 x2+ 代入方程得（2+ ） 24（2+ ）+m0，解得 m1故答案为 1【点评】本题考查了一元二次方程的解：
17、能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解11 （2 分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式： 1+3180 ，ab【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行【解答】解：1+3180，ab（同旁内角互补，两直线平） 故答案为：1+3180【点评】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行12 （2 分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出
18、答案【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为： 15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20155（cm） 故答案为：5【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键13 （2 分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区 500 名初中学生进行调查整理样本数据，得到下表：视力 4.7 以下 4.7 4.8 4.9 4.9 以上人数 102 98 80 93 127根据抽样调查结果，估计该区 12000 名初中学生视力不低于 4.8 的人数是 7200 【分析】用总人数乘以样本中视力不低于 4.8 的人数占被调查人数的比例即可得【解答】解：估计该区 1200
19、0 名初中学生视力不低于 4.8 的人数是12000 7200（人） ，故答案为：7200【点评】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ） 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确14 （2 分）如图，PA、PB 是 O 的切线，A、B 为切点，点 C、D 在O 上若P102 ，则A+C 219 【分析】连接 AB，根据切线的性质得到 PAPB ，根据等腰三角形的性质得到PAB PBA （180102）39，由圆内接四边形的性质得到DAB+C180，于是得到结论【解答】解：连接
20、AB，PA、PB 是 O 的切线，PAPB，P102，PAB PBA （180102）39，DAB+C180，PAD+CPAB+ DAB+C 180+39 219，故答案为：219【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键15 （2 分）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分ACB若AD2， BD 3，则 AC 的长 【分析】作 AMBC 于 E，由角平分线的性质得出 ，设 AC2x，则BC3x，由线段垂直平分线得出 MNBC ，BN CN x，得出 MNAE，得出 ，NEx ，BE BN+EN x，C
21、ECN EN x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果【解答】解：作 AMBC 于 E，如图所示：CD 平分ACB， ，设 AC2x，则 BC3x ，MN 是 BC 的垂直平分线，MNBC，BNCN x，MNAE， ，NEx，BEBN+EN x，CECNEN x，由勾股定理得：AE 2AB 2BE 2AC 2CE 2，即 52（ x） 2（2x ） 2（ x） 2，解得：x ，AC2x ；故答案为： 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键16 （2 分）在A
22、BC 中，AB4，C60，AB，则 BC 的长的取值范围是 4BC 【分析】作ABC 的外接圆，求出当BAC 90时，BC 是直径最长 ；当BACABC 时，ABC 是等边三角形，BCACAB4，而BACABC，即可得出答案【解答】解：作ABC 的外接圆，如图所示：BACABC，AB 4，当BAC90时，BC 是直径最长，C60，ABC30，BC2AC，AB AC4 ，AC ，BC ；当BACABC 时，ABC 是等边三角形，BCACAB4，BACABC，BC 长的取值范围是 4BC ；故答案为：4BC 【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出ABC 的外接
23、圆进行推理计算是解题的关键三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （7 分）计算（x+y ） （x 2 xy+y2）【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b） （m+n）am+an+bm+bn，计算即可【解答】解：（x+y ） （x 2xy+y 2） ，x 3x 2y+xy2+x2yxy 2+y3，x 3+y3故答案为：x 3+y3【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项18 （7 分）解方程： 1 【分析】方程两边都乘以最简公分母（x+1） （x1）化为整
24、式方程，然后解方程即可，最后进行检验【解答】解：方程两边都乘以（x+1） （x1）去分母得，x（x+1）（x 21）3，即 x2+xx 2+1 3，解得 x2检验：当 x2 时， （x +1） （x1）（2+1 ） （21）30，x2 是原方程的解，故原分式方程的解是 x2【点评】本题考查了分式方程的求解， （1）解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根19 （7 分）如图，D 是ABC 的边 AB 的中点，DEBC，CEAB，AC 与 DE 相交于点F求证： ADFCEF【分析】依据四边形 DBCE 是平行四边形，即可得出 BDCE，依
25、据 CEAD，即可得出AECF，ADFE，即可判定ADFCEF【解答】证明：DEBC，CEAB，四边形 DBCE 是平行四边形，BDCE，D 是 AB 的中点，ADBD ，ADEC，CEAD，AECF，ADFE，ADFCEF（ASA） 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等20 （8 分）如图是某市连续 5 天的天气情况（1）利用方差判断该市这 5 天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论【分析】 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的
26、方差；（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用 s2 来表示，计算公式是：s2 （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2（可简单记忆为“方差等于差方的平均数” ） 【解答】解：（1）这 5 天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是 24， 18，方差分别是 0.8， 8.8， ，该市这 5 天的日最低气温波动大；（2）25 日、26 日、27 日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空气质量改善了【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差
27、越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好21 （8 分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 【分析】 （1）由树状图得出共有 12 个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有 6个，由概率公式即可得出结果；（2）乙同学随机选择连续的两天，共有 3 个等可能的结果，即（星期一，星期二） ，（星期二，星期三） ， （星期三，星期四） ；其中有一天是星期二的结果有 2 个，由概率公式即可得
28、出结果【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有 12 个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有 6 个，甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为 ；（2）乙同学随机选择连续的两天，共有 3 个等可能的结果，即（星期一，星期二） ，（星期二，星期三） ， （星期三，星期四） ；其中有一天是星期二的结果有 2 个，即（星期一，星期二） ， （星期二，星期三） ，乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ；故答案为： 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A
29、或 B的概率22 （7 分）如图，O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点 P，且 ABCD求证：PAPC 【分析】连接 AC，由圆心角、弧、弦的关系得出 ，进而得出 ，根据等弧所对的圆周角相等得出CA，根据等角对等边证得结论【解答】证明：连接 AC，ABCD， ， + + ，即 ，CA，PAPC【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键23 （8 分）已知一次函数 y1kx+2（k 为常数，k0）和 y2x3（1）当 k2 时，若 y1y 2，求 x 的取值范围（2）当 x1 时，y 1y 2结合图象，直接写出 k 的取值范围【分析】
30、（1）解不等式2x+2x3 即可；（2）先计算出 x1 对应的 y2 的函数值，然后根据 x1 时，一次函数 y1kx +2（k 为常数，k0）的图象在直线 y2x 3 的上方确定 k 的范围【解答】解：（1）k2 时，y 12x +2，根据题意得2x+2x 3，解得 x ；（2）当 x1 时，y x 3 2，把（1，2）代入 y1kx +2 得 k+22，解得k4，当4k0 时，y 1y 2；当 0k1 时，y 1y 2【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 ykx+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线
31、ykx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合24 （8 分）如图，山顶有一塔 AB，塔高 33m计划在塔的正下方沿直线 CD 开通穿山隧道 EF从与 E 点相距 80m 的 C 处测得 A、B 的仰角分别为 27、22，从与 F 点相距50m 的 D 处测得 A 的仰角为 45求隧道 EF 的长度（参考数据：tan220.40，tan270.51 ）【分析】延长 AB 交 CD 于 H，利用正切的定义用 CH 表示出 AH、BH，根据题意列式求出 CH，计算即可【解答】解：延长 AB 交 CD 于 H，则 AHCD，在 Rt AHD 中，D45 ，AHDH ，在 Rt A
32、HC 中， tanACH ，AHCHtanACH0.51 CH，在 Rt BHC 中， tanBCH ，BHCHtanBCH0.4CH ，由题意得，0.51CH0.4CH33，解得，CH300，EHCHCE220，BH 120，AHAB+BH153，DHAH 153 ，HFDH DF 103，EFEH +FH323，答：隧道 EF 的长度为 323m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键25 （8 分）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 3：2扩充区域的扩建费用每
33、平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【分析】设扩充后广场的长为 3xm，宽为 2xm，根据矩形的面积公式和总价单价数量列出方程并解答【解答】解：设扩充后广场的长为 3xm，宽为 2xm，依题意得：3x2x 100+30（3x 2x5040）642000解得 x130，x 230（舍去） 所以 3x90，2x 60，答：扩充后广场的长为 90m，宽为 60m【点评】题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价单价数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键26 （9 分）如图，在
34、 RtABC 中，C90，AC 3，BC 4求作菱形 DEFG，使点 D 在边 AC 上，点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上小明的作法1如图 ，在边 AC 上取一点 D，过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G2以点 D 为圆心，DG 长为半径画弧，交 AB 于点 E3在 EB 上截取 EFED，连接 FG，则四边形 DEFG 为所求作的菱形（1）证明小明所作的四边形 DEFG 是菱形（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的 CD 的长的取值范围【分析】 （1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可（2）求出
35、几种特殊位置的 CD 的值判断即可【解答】 （1）证明：DE DG，EFDE ，DGEF，DGEF，四边形 DEFG 是平行四边形，DGDE ，四边形 DEFG 是菱形（2）如图 1 中，当四边形 DEFG 是正方形时，设正方形的边长为 x在 Rt ABC 中，C90，AC3，BC 4，AB 5，则 CD x，AD x，AD+ CDAC， + x3，x ，CD x ，观察图象可知：0CD 时，菱形的个数为 0如图 2 中，当四边形 DAEG 是菱形时，设菱形的边长为 mDGAB， ， ，解得 m ，CD3 ，如图 3 中，当四边形 DEBG 是菱形时，设菱形的边长为 nDGAB， ， ，n ，
36、CG4 ，CD ，观察图象可知：当 0CD 或 CD 时，菱形的个数为 0，当 CD 或CD 时，菱形的个数为 1，当 CD 时，菱形的个数为 2【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度27 （11 分） 【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 A（x 1，y 1）和 B（x 2，y 2） ，用以下方式定义两点间距离： d（A，B）|x 1x 2|+|y1y
37、2|【数学理解】（1） 已知点 A（2，1） ，则 d（O，A） 3 函数 y2x+4（0x2）的图象如图所示，B 是图象上一点，d（O，B）3，则点 B 的坐标是 （1，2） （2）函数 y （x 0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点 C，使d（O，C）3（3）函数 yx 25x +7（x0）的图象如图 所示，D 是图象上一点，求 d（O ，D）的最小值及对应的点 D 的坐标【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明
38、理由）【分析】 （1）根据定义可求出 d（O，A）|0+2|+|01| 2+13；由两点间距离：d（A，B ）|x 1x 2|+|y1y 2|及点 B 是函数 y2x+4 的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点 B 的坐标；（2）由条件知 x0，根据题意得 ，整理得 x23x+40，由0 可证得该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）3（3）根据条件可得|x |+|x25x +7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；（4）以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 yx 的图象沿 y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交
39、点为 E，过点E 作 EHMN，垂足为 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建到 E 处，可由 d（O，P） d（O ，E）证明结论即可【解答】解：（1）由题意得：d（O，A）|0+2|+|01| 2+13；设 B（x，y） ，由定义两点间的距离可得：|0 x|+|0y|3，0x2，x+y3， ，解得： ，B（1，2） ，故答案为：3， （1，2） ；（2）假设函数 的图象上存在点 C（x ，y）使 d（O，C）3，根据题意，得 ，x0， ， ， ，x 2+43x，x 23x+40 ，b 24ac70，方程 x23x+40 没有实数根，该函数的图象上不存在点 C，
40、使 d（O，C）3（3）设 D（x，y） ，根据题意得，d（O，D）|x0|+|x 25x +70| |x|+| x2 5x+7|， ，又 x0，d（O，D）|x |+|x25x +7|x+x 25x+7x 24x+7（x2） 2+3，当 x2 时，d（O ，D）有最小值 3，此时点 D 的坐标是（2，1） （4）如图，以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数yx 的图象沿 y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为 E，过点 E 作 EHMN，垂足为 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建到 E 处理由：设过点 E 的直线 l1 与 x 轴相交于点 F在景观湖边界所在曲线上任取一点 P，过点 P 作直线 l2l 1，l 2 与 x 轴相交于点 GEFH45，EHHF ，d（O，E ）OH+EH OF，同理 d（O，P）OG，OGOF ，d（O，P）d（O，E） ，上述方案修建的道路最短【点评】考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程（组） ，二次函数的性质等
