1、2019 年山东省临沂市兰山区中考数学二模试卷一、选择题：本大题共 14 个小题，每小题 3 分，共 42 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （3 分）3 相反数是（ ）A B3 C D32 （3 分）下列运算正确的是（ ）A B （m 2） 3m 5Ca 2a3a 5 D （x+y） 2x 2+y23 （3 分）据 2019 年 1 月 24 日临沂日报报道，兰山区 2018 年财政收入突破 86 亿元，将 86 亿用科学记数法表示为（ ）A8.610 B8.610 8 C8.610 9 D8.610 104 （3 分）已知，如图，AD 与 BC 相交于点 O，ABC
2、D，如果B20，D 40，那么BOD 为（ ）A40 B50 C60 D705 （3 分）不等式组 的解集是（ ）Ax1 Bx4 C4x1 Dx 16 （3 分）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）A10 B15 C20 D307 （3 分）甲、乙两班参加植树造林，已知甲班每天比乙班每天多植 5 棵树，甲班植 80 棵树所用的天数与乙班植 70 棵树所用的天数相等，若设甲班每天植 x 棵，根据题意列出的方程是（ ）A B C D8 （3 分）暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概
3、率为（ ）A B C D9 （3 分）立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：成绩（m） 2.3 2.4 2.5 2.4 2.4则下列关于这组数据的说法，正确的是（ ）A众数是 2.3 B平均数是 2.4C中位数是 2.5 D方差是 0.0110 （3 分）如图，O 是平行四边形 ABCD 的对角线交点，E 为 AB 中点，DE 交 AC 于点F，若平行四边形 ABCD 的面积为 16则DOE 面积是（ ）A1 B C2 D11 （3 分）如图 1，一个扇形纸片的圆心角为 90，半径为 4如图 2，将这张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为
4、 CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A B C D12 （3 分）若关于 x 的方程 的解为整数解，则满足条件的所有整数 a 的和是（ ）A6 B0 C1 D913 （3 分）已知点 A，B 分别在反比例函数 y （x 0） ，y （x 0）的图象上且OAOB，则 tanB 为（ ）A B C D14 （3 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点 A，B，C现有下面四个推断：抛物线开口向下；当 x2 时，y 取最大值；当 m4 时，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm 必有两个不相等的实数根；直线 ykx +c（k0）经过点 A，C ，当 kx+c
5、ax 2+bx+c 时，x 的取值范围是4x0；其中推断正确的是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）15 （3 分）分解因式：8a 32a 16 （3 分）计算 的结果是 17 （3 分）如图，直线 l1：yx+n2 与直线 l2：y mx +n 相交于点 P（1，2） 则不等式mx+nx +n2 的解集为 18 （3 分）菱形 OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B（2，0） ，D120，点 P 是对角线 OC 上一个动点，E ，则 EP+BP 的最小值为 19 （3 分）分解因式 x2+3x+2 的过程，可以用十字相乘的形式形象地
6、表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图） 这样，我们可以得到 x2+3x+2（x+1） （x+2） 请利用这种方法，分解因式 2x23x2 三、解答题（本大题共 7 小题，共 63 分）20 （7 分）先化简，再求值： ，其中 a 为 sin30的值21 （7 分）为参加 11 月 23 日举行的丹东市“我爱诗词”中小学生诗词大赛决赛，某校每班选 25 名同学参加预选赛，成绩分别为 A、B、C 、D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为 10 分、9 分、8 分、7 分，学
7、校将八年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图：根据以上提供的信息解答下列问题（1）请补全一班竞赛成绩统计图；（2）请直接写出 a、b、c、d 的值；班级 平均数（分）中位数（分）众数（分）一班 a b 9二班 8.76 c d （3）请从平均数和中位数两个方面对这两个班级的成绩进行分析22 （7 分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为 90m，楼间距为 AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 32.3，女生楼在男生楼墙面上的影高为 CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 55.7，女生楼在男生楼墙面上的影高为 DA，已知 CD42m（1）求楼间距 AB；（2）若男生楼共
8、 30 层，层高均为 3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.30.53 ，cos32.30.85，tan32.30.63，sin55.70.83，cos55.70.56，tan55.71.47）23 （9 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，G 为O 上一点，连接 AG 交 CD于 K，在 CD 的延长线上取一点 E，使 EGEK ，EG 的延长线交 AB 的延长线于 F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）连接 DG，若 ACEF 时求证： KGDKEG；若 cosC ，AK ，求 BF 的长24 （9 分）小强打算找印刷公司设计一款新年贺卡
9、并印刷如图 1 是甲印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明（包含设计费与印刷费） ，乙公司的收费与印刷卡片数量的关系如图 2 所示（1）分别写出甲乙两公司的收费 y（元）与印刷数量 x 之间的关系式；（2）如果你是小强，你会选择哪家公司？并说明理由25 （11 分）如图 1，RtABC 中，A90，ABAC，点 D 是 BC 边的中点连接 AD，则易证 ADBDCD，即 AD BC；如图 2，若将题中 ABAC 这个条件删去，此时AD 仍然等于 理由如下：延长 AD 到 H，使得 AH2AD ，连接 CH，先证得ABDCHD，此时若能证得ABCCHA，即可证得 AHBC，此时 AD BC，由此可
10、见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法（1）请你先证明ABCCHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图 1 中ABC 折叠（如图 3） ，点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，此时不难看出BDE 和CDF 都是等腰直角三角形BEDE，CF DF由勾股定理可知DE2+DF2EF 2，因此 BE2+CF2EF 2，若图 2 中ABC 也进行这样的折叠（如图 4） ，此时线段 BE、CF、EF 还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例（3）在（2）的条件下，将图 3 中的DEF 绕着点 D 旋转（如图 5） ，射线 DE、DF 分别交 AB、AC 于点 E、F，此时（2）中结论
11、还成立吗？请说明理由图 4 中的DEF 也这样旋转（如图 6） ，直接写出上面的关系式是否成立26 （13 分）如图，直线 y x+2 交坐标轴于 A、B 两点，直线 ACAB 交 x 轴于点C，抛物线恰好过点 A、B、C （1）求抛物线的表达式；（2）当点 M 在线段 AB 上方的曲线上移动时，求四边形 AOBM 的面积的最大值；（3）点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，是否存在点 F 使得以 A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在求出点 F 坐标；若不存在，说明理由2019 年山东省临沂市兰山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 14 个小题，每小
12、题 3 分，共 42 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （3 分）3 相反数是（ ）A B3 C D3【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答【解答】解：3 相反数是 3故选：D【点评】本题主要考查了互为相反数的定义，熟记定义是解题的关键2 （3 分）下列运算正确的是（ ）A B （m 2） 3m 5Ca 2a3a 5 D （x+y） 2x 2+y2【分析】A、利用平方根定义化简得到结果，即可做出判断；B、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断【解答】解：
13、A、 3，本选项错误；B、 （m 2） 3m 6，本选项错误；C、a 2a3a 5，本选项正确；D、 （x+y） 2x 2+y2+2xy，本选项错误，故选：C【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键3 （3 分）据 2019 年 1 月 24 日临沂日报报道，兰山区 2018 年财政收入突破 86 亿元，将 86 亿用科学记数法表示为（ ）A8.610 B8.610 8 C8.610 9 D8.610 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，
14、小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 1 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：86 亿8.610 9故选：C【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键4 （3 分）已知，如图，AD 与 BC 相交于点 O，ABCD，如果B20，D 40，那么BOD 为（ ）A40 B50 C60 D70【分析】由 ABCD，B20，根据两直线平行，内错角相等，即可求得C 的度数，又由三角形外角的性质，即可求得BOD 的度数【解答】解：ABCD，B20，CB20，D40，BOD C+D60故选：C【点评】此题考查了
15、平行线的性质、三角形外角的性质此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用5 （3 分）不等式组 的解集是（ ）Ax1 Bx4 C4x1 Dx 1【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组 的解集【解答】解： ，由得 x1，即 x1；由得 x4；可得4x1故选：C【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 6 （3 分）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）A10 B15 C20 D30【分析】根据三视
16、图可以判定此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可以知圆锥的底面半径为 3，圆锥的母线长为 5，代入公式求得即可【解答】解：由三视图可知此几何体为圆锥，圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，圆锥的底面周长圆锥的侧面展开扇形的弧长2r 236，圆锥的侧面积 6515 ，故选：B【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积7 （3 分）甲、乙两班参加植树造林，已知甲班每天比乙班每天多植 5 棵树，甲班植 80 棵树所用的天数与乙班植 70 棵树所用的天数相等，若设甲班每天植 x 棵，根据题意列出的方程是（
17、 ）A B C D【分析】关键描述语是：“甲班植 80 棵树所用的天数比与乙班植 70 棵树所用的天数相等” ；等量关系为：甲班植 80 棵树所用的天数乙班植 70 棵树所用的天数【解答】解：若设甲班每天植 x 棵，那么甲班植 80 棵树所用的天数应该表示为： ，乙班植 70 棵树所用的天数应该表示为： 所列方程为： 故选：D【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系本题应该抓住“甲班植 80 棵树所用的天数比与乙班植 70 棵树所用的天数相等”的关键语8 （3 分）暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动
18、的概率为（ ）A B C D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小亮选到同一社区参加实践活动的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 9 种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有 3 种情况，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为： 故选：B【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比9 （3 分）立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳
19、远成绩如表：成绩（m） 2.3 2.4 2.5 2.4 2.4则下列关于这组数据的说法，正确的是（ ）A众数是 2.3 B平均数是 2.4C中位数是 2.5 D方差是 0.01【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数它是反映数据集中趋势的一项指标；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差【解答】解：这组数据中出现次数最多的是 2.4，众
20、数是 2.4，选项 A 不符合题意；（2.3+2.4+2.5+2.4+2.4）51252.4这组数据的平均数是 2.4，选项 B 符合题意2.5、2.4、2.4、2.4、2.3 的中位数是 2.4，选项 C 不符合题意（2.32.4） 2+（2.42.4） 2+（2.52.4） 2+（2.42.4） 2+（2.42.4） 2 （0.01+0+0.01+0+0） 0.020.004这组数据的方差是 0.004，选项 D 不符合题意故选：B【点评】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和求法，要熟练掌握10 （3 分）如图，O 是平行四边形 ABCD 的对角线交点，E 为 AB 中点，
21、DE 交 AC 于点F，若平行四边形 ABCD 的面积为 16则DOE 面积是（ ）A1 B C2 D【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解分别作OED 和AOD 的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解【解答】解：如图，过 A、E 两点分别作 ANBD 、EM BD，垂足分别为 M、N，则 EMAN，EM：ANBE：AB，EM AN，平行四边形 ABCD 的面积为 16，2 ANBD16，S OED ODEM BD AN S 四边形 ABCD2故选：C【点评】本题考查平行四边形的性质，综合了平行线的性质以及面积公式已知
22、一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：面积比是边长比的平方比；分别找到底和高的比11 （3 分）如图 1，一个扇形纸片的圆心角为 90，半径为 4如图 2，将这张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为 CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A B C D【分析】连接 OD，根据勾股定理求出 CD，根据直角三角形的性质求出AOD ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案【解答】解：连接 OD，在 Rt OCD 中，OC OD2，ODC30，CD 2 ，COD60，阴影部分的面积 22 2 ，故选：C【点评】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形
23、面积公式是解题的关键12 （3 分）若关于 x 的方程 的解为整数解，则满足条件的所有整数 a 的和是（ ）A6 B0 C1 D9【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式的解，由分式方程的解为整数解确定出所求即可【解答】解：分式方程去分母得：ax1x3，解得：x ，由分式方程为整数解，得到 a11，a12，a14，解得：a2，0，3，1，5，3（舍去） ，则满足条件的所有整数 a 的和是 9，故选：D【点评】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键13 （3 分）已知点 A，B 分别在反比例函数 y （x 0） ，y （x 0）的图象上且OAOB，则 tanB 为（ ）A
24、 B C D【分析】首先设出点 A 和点 B 的坐标分别为：（x 1， ） 、 （x 2， ） ，设线段 OA所在的直线的解析式为：yk 1x，线段 OB 所在的直线的解析式为：yk 2x，然后根据OAOB，得到 k1k2 （ ）1，然后利用正切的定义进行化简求值即可【解答】解：法一：设点 A 的坐标为（x 1， ） ，点 B 的坐标为（x 2， ） ，设线段 OA 所在的直线的解析式为： yk 1x，线段 OB 所在的直线的解析式为：yk 2x，则 k1 ，k 2 ，OAOB ，k 1k2 （ ）1整理得：（x 1x2） 216，tanB 法二：过点 A 作 AMy 轴于点 M，过点 B 作
25、 BNy 轴于点 N，AMOBNO90，AOM+PAM90，OAOB ，AOM+BON90，AOMBON，AOMOBN，点 A，B 分别在反比例函数 y （x 0） ，y （x 0）的图象上，S AOM ：S BON 1：4，AO：BO 1：2，tanB 故选：B【点评】本题考查的是反比例函数综合题，解题的关键是设出 A、B 两点的坐标，然后利用互相垂直的两条直线的比例系数互为负倒数求解14 （3 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点 A，B，C现有下面四个推断：抛物线开口向下；当 x2 时，y 取最大值；当 m4 时，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm 必有
26、两个不相等的实数根；直线 ykx +c（k0）经过点 A，C ，当 kx+cax 2+bx+c 时，x 的取值范围是4x0；其中推断正确的是（ ）A B C D【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，所以正确；若当 x2 时，y 取最大值，则由于点 A 和点 B 到 x 2 的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点 A 和点 B 的纵坐标显然不相等，所以错误，从而排除掉A 和 D；剩下的选项中都有，所以 是正确的；易知直线 ykx+c（k 0）经过点 A，C，当 kx+cax 2+b
27、x+c 时，x 的取值范围是x4 或 x0，从而错误故选：B【点评】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）15 （3 分）分解因式：8a 32a 2a（2a+1） （2a1） 【分析】直接提取公因式 2a，再利用平方差公式分解因式即可【解答】解：8a 32a2a（4a 21）2a（2a+1） （2a1） 故答案为：2a（2a+1） （2a1） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键16 （3 分）计算 的结果是
28、 0 【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可【解答】解：原式3 2 20故答案为 0【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍17 （3 分）如图，直线 l1：yx+n2 与直线 l2：y mx +n 相交于点 P（1，2） 则不等式mx+nx +n2 的解集为 x 1 【分析】利用函数图象，写出直线 l1 在直线 l2 上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：如图所述：不等式 mx+nx+n2 的解集为 x1故答案是
29、：x1【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线ykx +b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合18 （3 分）菱形 OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B（2，0） ，D120，点 P 是对角线 OC 上一个动点，E ，则 EP+BP 的最小值为 【分析】点 B 的对称点是点 D，连接 ED，交 OC 于点 P，再得出 ED 即为 EP+BP 最短，解答即可【解答】解：连接 ED，如图，点 B 的对称点是点 D，DPBP，ED 即为 EP+BP 最短，四边形 ABCD 是菱形，顶点 B（2，0） ，DOB60 ，点 D 的坐
30、标为（1， ） ，点 E 的坐标为（0， ） ，直线 ED ，故答案为： 【点评】此题考查菱形的性质，轴对称，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型19 （3 分）分解因式 x2+3x+2 的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图） 这样，我们可以得到 x2+3x+2（x+1） （x+2） 请利用这种方法，分解因式 2x23x2 （2x+1 ） （x2） 【分析】根据题中的方法将原式分解即可【解答】解
31、：原式（2x+1） （x2） ，故答案为：（2x+1） （x 2）【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键三、解答题（本大题共 7 小题，共 63 分）20 （7 分）先化简，再求值： ，其中 a 为 sin30的值【分析】直接利用分式的混合运算法则分别化简得出答案【解答】解析 原式 sin 30 ，当 a 时，原式 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键21 （7 分）为参加 11 月 23 日举行的丹东市“我爱诗词”中小学生诗词大赛决赛，某校每班选 25 名同学参加预选赛，成绩分别为 A、B、C 、D 四个等级，其中相应
32、等级的得分依次记为 10 分、9 分、8 分、7 分，学校将八年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图：根据以上提供的信息解答下列问题（1）请补全一班竞赛成绩统计图；（2）请直接写出 a、b、c、d 的值；班级 平均数（分）中位数（分）众数（分）一班 a 8.76 b 9 9二班 8.76 c 8 d 10 （3）请从平均数和中位数两个方面对这两个班级的成绩进行分析【分析】 （1）用总人数减去其他等级的人数求出 C 等级的人数，再补全统计图即可；（2）根据平均数、中位数、众数的概念分别计算即可；（3）先比较一班和二班的平均分，再比较一班和二班的中位数，即可得出答案【解答】解：（1）一班 C
33、 等级的人数为 2561252（人） ，统计图为：（2）a8.76； b9； c8； d10，故答案为：8.76，9，8，10（3）一班的平均分和二班的平均分都为 8.76 分，两班平均成绩都一样；一班的中位数9 分大于二班的中位数 8 分，一班成绩比二班好综上，一班成绩比二班好【点评】此题考查了中位数、平均数、众数，关键是掌握中位数、平均数、众数的概念和有关公式，会用来解决实际问题22 （7 分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为 90m，楼间距为 AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 32.3，女生楼在男生楼墙面上的影高为 CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 55.
34、7，女生楼在男生楼墙面上的影高为 DA，已知 CD42m（1）求楼间距 AB；（2）若男生楼共 30 层，层高均为 3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.30.53 ，cos32.30.85，tan32.30.63，sin55.70.83，cos55.70.56，tan55.71.47）【分析】 （1）如图，作 CMPB 于 M，DNPB 于 N则 ABCMDN，设ABCMDNxm想办法构建方程即可解决问题（2）求出 AC，AD，分两种情形解决问题即可【解答】解：（1）如图，作 CMPB 于 M，DNPB 于 N则 ABCMDN，设ABCMDNxm在 Rt P
35、CM 中，PM xtan32.30.63x（m ） ，在 Rt PDN 中， PNxtan55.71.47x （m） ，CDMN42m，1.47x0.63x42，x50，AB 的长为 50m（2）由（1）可知：PM31.5m ，AD904231.516.5（ m） ，AC 9031.558.5，16.535.5，58.5319.5，冬至日 20 层（包括 20 层）以下会受到挡光的影响，春分日 6 层（包括 6 层）以下会受到挡光的影响【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型23 （9 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDA
36、B 于 H，G 为O 上一点，连接 AG 交 CD于 K，在 CD 的延长线上取一点 E，使 EGEK ，EG 的延长线交 AB 的延长线于 F（1）求证：EF 是O 的切线；（2）连接 DG，若 ACEF 时求证： KGDKEG；若 cosC ，AK ，求 BF 的长【分析】 （1）连接 OG，由 EGEK 知KGEGKE AKH，结合 OAOG 知OGA OAG，根据 CDAB 得AKH+OAG90，从而得出KGE+OGA90，据此即可得证；（2） 由 ACEF 知E C AGD ，结合DKG CKE 即可证得KGDKGE；连接 OG，由 设 CH4k，AC5k ，可得AH3k ，CKAC
37、5k，HKCKCHk利用 AH2+HK2AK 2 得 k1，即可知CH4，AC5，AH3，再设O 半径为 R，由 OH2+CH2OC 2 可求得 ，根据知 ，从而得出答案【解答】解：（1）如图，连接 OGEGEK，KGEGKEAKH，又 OAOG ，OGA OAG，CDAB ，AKH+OAG90，KGE+OGA90，EF 是O 的切线（2） ACEF ，EC，又CAGD，EAGD ，又DKGGKE，KGDKEG；连接 OG， ，AK ，设 ，CH4k，AC 5k，则 AH3kKEGE，ACEF ，CKAC5 k，HKCKCHk 在 Rt AHK 中，根据勾股定理得 AH2+HK2AK 2，即
38、，解得 k1，CH4，AC5，则 AH3，设 O 半径为 R，在 RtOCH 中，OCR，OHR3k，CH4k，由勾股定理得：OH 2+CH2OC 2，即（R 3） 2+42R 2， ，在 Rt OGF 中， ， ， 【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点24 （9 分）小强打算找印刷公司设计一款新年贺卡并印刷如图 1 是甲印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明（包含设计费与印刷费） ，乙公司的收费与印刷卡片数量的关系如图 2 所示（1）分别写出甲乙两公司的收费 y（元）与印刷数量 x 之间的关系式；（2
39、）如果你是小强，你会选择哪家公司？并说明理由【分析】 （1）先对甲印刷公司的收费分段表示出与印刷数量 x 之间的关系式，对于乙公司的收费与印刷卡片数量的关系则设出解析式利用待定系数法代入解答即可；（2）先求出两家印刷公司的收费相同时的份数，再分情况讨论列出不等式解答即可【解答】解：（1）由题意得，当 x200 时，y 甲 5x +1000；当 x200 时，y 甲 2005+（x 200）3+1000 3x +1400；甲公司的收费 y 甲 （元）与印刷数量 x 之间的关系式为：y 甲 ，设乙公司的收费 y 乙 （元）与印刷数量 x 之间的关系式 y 乙 kx ，图象经过点（200，1600）
40、 ，200k1600，解得：k8，y 乙 8x，乙公司的收费 y 乙 （元）与印刷数量 x 之间的关系式为：y 乙 8x（2）当 0x280 时，选择乙公司；当 x280 时，都可以；当 x280 时，选择甲公司【点评】本题考查的是一次函数的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数式，再求解25 （11 分）如图 1，RtABC 中，A90，ABAC，点 D 是 BC 边的中点连接 AD，则易证 ADBDCD，即 AD BC；如图 2，若将题中 ABAC 这个条件删去，此时AD 仍然等于 理由如下：延长 AD 到 H，使得 AH2AD ，连接 CH
41、，先证得ABDCHD，此时若能证得ABCCHA，即可证得 AHBC，此时 AD BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法（1）请你先证明ABCCHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图 1 中ABC 折叠（如图 3） ，点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，此时不难看出BDE 和CDF 都是等腰直角三角形BEDE，CF DF由勾股定理可知DE2+DF2EF 2，因此 BE2+CF2EF 2，若图 2 中ABC 也进行这样的折叠（如图 4） ，此时线段 BE、CF、EF 还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例（3）在（2）的条件下，将图 3 中的DEF 绕着点
42、D 旋转（如图 5） ，射线 DE、DF 分别交 AB、AC 于点 E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由图 4 中的DEF 也这样旋转（如图 6） ，直接写出上面的关系式是否成立【分析】 （1）想办法证明 ABCH，推出BACACH，再利用 SAS 证明ABCCHA 即可（2）有这样分关系式如图 4 中，延长 ED 到 H 山顶 DHDE证明EDBHDC（SAS） ，推出BHCD，BECH，FCH90 ，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题（3）图 5，图 6 中，上面的关系式仍然成立【解答】 （1）证明：如图 2 中，BDDC，ADBHDC，ADHD，ADBHDC（SAS
43、 ） ，BHCD，ABCH，ABCH，BAC+ ACH180，BAC90，ACHBAC90，ACCA，BACHCA（SAS） ，AHBC，ADDH BD DC，AD BC结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）解：有这样分关系式理由：如图 4 中，延长 ED 到 H 山顶 DHDEEDDH ， EDBHDC，DBDC，EDBHDC（SAS ） ，BHCD，BECH，B+ACB90，ACB+ HCD90，FCH90，FH 2CF 2+CH2，DFEH ，EDDH，EFFH ，EF 2BE 2+CF2（3）图 5，图 6 中，上面的关系式仍然成立结论：EF 2BE 2+CF2证明方法类似（
44、2） 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题26 （13 分）如图，直线 y x+2 交坐标轴于 A、B 两点，直线 ACAB 交 x 轴于点C，抛物线恰好过点 A、B、C （1）求抛物线的表达式；（2）当点 M 在线段 AB 上方的曲线上移动时，求四边形 AOBM 的面积的最大值；（3）点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，是否存在点 F 使得以 A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在求出点 F 坐标；若不存在，说明理由【分析】 （1）由直线
45、y x+2 易确定 A、B 两点坐标，又由 ACAB 则易证明ACOBOC，利用相似比可确定 C 点坐标，再利用待定系数法直接求解即可（2）用待定系数法设出 M 点坐标和 D 点坐标，已表示出 MD 的长度为 a2+4a，再利用割补法表示AMB 的面积，将得到的表达式转化为二次函数顶点式求解即可（3）利用平行四边形的性质分别作 ACEF ，AECF 两种情况的图形使 E 在抛物线对称轴上，F 在抛物线上，利用待定系数法及图形的性质求解即可【解答】解：（1）直线 y x+2 交 x 轴于 A、B 两点A（0，2） 、B（4，0）由 ACAB 得， AOCBOA OC1又C 在 x 轴负半轴上C（1，0） 设抛物线解析式 yax 2+bx+c把 A（0，2） ，B（4，0） ，C（1，0）代入上式得，解得，抛物线解析式为，y x2+
