2018-2019学年广东省越秀区九年级(下)开学数学试卷(含答案解析)

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1、2018-2019 学年广东省广州大学附中九年级(下)开学数学试卷一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,每题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的).12018 的绝对值是( )A2018 B2018 C D2下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A B C D3下列计算正确的是( )Aa 5+a4a 9 Ba 5a 4a Ca 5a4a 20 Da 5a4a4在一次中学生田径运动会上,参加跳远的 15 名运动员的成绩如下表所示 成绩(米) 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80人数 2 3 2 3 4 1则这些运动员成绩的中位数、众

2、数分别是( )A4.65、4.70 B4.65、4.75 C4.70、4.75 D4.70、4.705关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( )Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk 1 且 k06在同一平面直角坐标系中,反比例函数 y (b0)与二次函数 yax 2+bx(a0)的图象大致是( )A BC D7如图,点 A、B、C、D、O 都在方格纸的格点上,若COD 是由AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为( )A30 B45 C90 D1358如图所示,四边形 ABCD 为O 的内接四边形,BCD 120,则BOD 的大小

3、是( )A80 B120 C100 D909如图,在ABC 中,点 D 是边 AB 上的一点,ADCACB,AD2,BD 6,则边AC 的长为( )A2 B4 C6 D810抛物线 yax 2+bx+c 过点( 1,0)且对称轴为直线 x1,部分图象如图所示,下列判断中: abc0;b+2a0;b 24ac;若点(0.5,y 1) , (2,y 2)均在抛物上,则 y1y 2;13a4b+c0;3a+2c0,其中正确个数有( )A2 B3 C4 D5二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.)11分解因式:x 25x 12分式方程 的解是 13已知 x1、x 2 是方程 x

4、2+8x30 的两个实数根,则 x1+x2x 1x2 14如图,点 D 为矩形 OABC 的 AB 边的中点,反比例函数 y (x0)的图象经过点D,交 BC 边于点 E若BDE 的面积为 1,则 k 15如图,在矩形 ABCD 中,AB5,BC3,将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转得到矩形 GBEF,点 A 落在矩形 ABCD 的边 CD 上,连接 CE,则 CE 的长是 16如图,在直角ABC 中,C90,AC6,BC8,P、Q 分别为边 BC、AB 上的两个动点,若要使APQ 是等腰三角形且BPQ 是直角三角形,则 AQ 三、解答题(共 9 小题,满分 102 分.解答应写出文

5、字说明、证明过程或演算步骤)17 (10 分) (1)计算:2 1 + cos30+|5|(2011) 0(2)解方程:(x2) 2 (2x)18 (8 分)如图,E、F 分别是菱形 ABCD 的边 AB、CB 上的点,且 AECF求证:DEDF19 (10 分)已知:A(ab) 2b(b2a)+b 2(1)化简 A;(2)若点(a,b)在直线 yx+2 上,也在双曲线 y 上,求 A 的值20 (12 分)某校九年级开展征文活动,征文主题只能从“爱国” “敬业” “诚信” “友善”四个主题选择一个,九年级每名学生按要求都上交了一份征文,学校为了解选择各种征文主题的学生人数,随机抽取了部分征文

6、进行了调查,根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图,请你依图回答下列问题:(1)共抽取了 名学生的征文;(2)将条形统计图补充完整;(3)在扇形统计图中,选择“爱国”主题所对应的圆心角是 度;(4)如果该校九年级共有 1200 名学生请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有 名(5)学校决定从选择“诚信”的甲、乙、丙三名学生中,随机选取两名学生参加全市征文比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名学生同时被选中的概率21 (10 分)如图,长沙九龙仓国际金融中心主楼 BC 高达 452m,是目前湖南省第一高楼,和它处于同一水平面上的第二高楼 DE 高 340m,为了测量高楼 BC 上发射塔

7、AB 的高度,在楼 DE 底端 D 点测得 A 的仰角为 ,sin ,在顶端 E 点测得 A 的仰角为 45,求发射塔 AB 的高度22 (12 分)如图,ABC 中,ABAC ,以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D,交 AC 于点E,过点 D 作 FGAC 于点 F,交 AB 的延长线于点 G(1)求证:FG 是O 的切线;(2)若 tanC2,求 的值23 (12 分)如图,已知正比例函数 y2x 与反比例函数 y (k0)的图象交于 A、B两点,且点 A 的横坐标为 4,(1)求 k 的值;(2)根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围;(3)过原点 O 的另一

8、条直线 l 交双曲线 y (k0)于 P、Q 两点(P 点在第一象限),若由点 A、P、B 、Q 为顶点组成的四边形面积为 224,求点 P 的坐标24 (14 分)在矩形 ABCD 中,AB12,P 是边 AB 上一点,把PBC 沿直线 PC 折叠,顶点 B 的对应点是点 G,过点 B 作 BECG,垂足为 E 且在 AD 上,BE 交 PC 于点 F(1)如图 1,若点 E 是 AD 的中点,求证:AEBDEC ;(2)如图 2,求证:BP BF;当 AD25,且 AEDE 时,求 cosPCB 的值;当 BP9 时,求 BEEF 的值25 (14 分)如图,已知在平面直角坐标系 xOy

9、中,直线 ykx+ 交 y 轴于点 A,点 A 关于 x 轴的对称点为点 B,过点 B 作直线 1 平行于 x 轴,动点 C(x,y)到直线 1 的距离等于线段 CA 的长度(1)求动点 C(x ,y)满足的 y 关于 x 的函数解析式,并画出这个函数图象;(2)若(1)中的动点 C 的图象与直线 ykx+ 交于 E、F 两点(点 E 在点 F 的左侧) ,分别过 E、F 作直线 1 的垂线,垂足分别是 M、N,求证:EF 是AMN 外接圆的切线; 为定值2018-2019 学年广东省广州大学附中九年级(下)开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共

10、30 分,每题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的).1 【解答】解:2018 的绝对值是 2018故选:A2 【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误故选:C3 【解答】解:A、a 5+a4a 4(a+1) ,原式计算错误,故本选项错误;B、a 5a 4a 4(a1) ,原式计算错误,故本选项错误;C、a 5a4a 5+4a 9,原式计算错误,故本选项错误;D、a 5a4a,原式计算正确,故本选项正确;故选:D4 【解答

11、】解:这些运动员成绩的中位数、众数分别是 4.70,4.75故选:C5 【解答】解:关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根,k0 且0,即(2) 24k(1)0,解得 k1 且 k0故选:C6 【解答】解:A、抛物线 yax 2+bx 开口方向向上,则 a0,对称轴位于 y 轴的右侧,则 a、b 异号,即 b0所以反比例函数 y 的图象位于第二、四象限,故本选项错误;B、抛物线 y ax2+bx 开口方向向上,则 a0,对称轴位于 y 轴的左侧,则 a、b 同号,即 b0所以反比例函数 y 的图象位于第一、三象限,故本选项错误;C、抛物线 y ax2+bx 开口方向向下

12、,则 a0,对称轴位于 y 轴的右侧,则 a、b 异号,即 b0所以反比例函数 y 的图象位于第一、三象限,故本选项错误;D、抛物线 yax 2+bx 开口方向向下,则 a0,对称轴位于 y 轴的右侧,则 a、b 异号,即 b0所以反比例函数 y 的图象位于第一、三象限,故本选项正确;故选:D7 【解答】解:如图,设小方格的边长为 1,得,OC ,AO ,AC 4,OC 2+AO2 + 16,AC24 216,AOC 是直角三角形,AOC90故选:C8 【解答】解:四边形 ABCD 为O 的内接四边形,A180BCD60,由圆周角定理得,BOD2 A120,故选:B9 【解答】解:AA,ADC

13、ACB,ADCACB, ,AC 2ADAB 2816,AC0,AC4,故选:B10 【解答】解:由图象可知:a0,c0,由对称轴可知: 0,b0,abc0,故正确;由对称轴可知: 1,b2a0,故错误;由图象可知:抛物线与 x 轴有两个交点,b 24ac0,故 正确;( 0.5, y1)关于直线 x1 的对称点为( ,y 1) ,x1 时,y 随着 x 的增大而减少,y 1y 2,故正确;抛物线经过(1,0) ,0a+b+c,c3a,由于 b2a,13a4b+c13a8a3a2a0,故正确;3a+2c3a6a3a0,故正确;故选:D二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.

14、)11 【解答】解:x 25x x ( x5) 故答案为:x(x 5) 12 【解答】解:去分母得:x3(x2) ,去括号得:x3x 6,解得:x3,经检验 x3 是分式方程的解13 【解答】解:x 1,x 2 是方程 x2+8x30 的两个实数根,x 1+x28, x1x23,x 1+x2x 1x28+3 5故答案为:514 【解答】解:设 D(a, ) ,点 D 为矩形 OABC 的 AB 边的中点,B(2a, ) ,E(2a, ) ,BDE 的面积为 1, a( )1,解得 k4故答案为 415 【解答】解:连接 AG,由旋转变换的性质可知,ABGCBE,BABG5, BCBE,由勾股定

15、理得,CG 4,DGDCCG1,则 AG , ,ABGCBE,ABGCBE, ,解得,CE ,故答案为: 16 【解答】解:如图 1 中,当 AQPQ,QPB90时,设 AQPQx,PQAC,BPQBCA, , ,x ,AQ 当 AQPQ,PQB90时,设 AQPQ y BQPBCA, , ,y 综上所述,满足条件的 AQ 的值为 或 三、解答题(共 9 小题,满分 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 【解答】解:(1)2 1 + cos30+|5|(2011) 0 + +516;(2)解方程:(x2) 2 (2x) ,解:(x2) (x 2+ )0,x20 或 x2+

16、0,x 12,x 22 18 【解答】证明:四边形 ABCD 是菱形,DADC,AC,在DAE 和DCF 中, ,DAEDCF(SAS ) ,DEDF 19 【解答】解:(1)A(ab) 2b(b2a)+b 2a 22ab+b 2b 2+2ab+b2a 2+b2;(2)点(a,b)在直线 yx+2 上,也在双曲线 y 上,ba+2,b ,a+b2,ab1,Aa 2+b2(a+ b) 22ab2 22(1)620 【解答】解:(1)根据题意得: 50(名) ,答:共抽取了 50 名学生的征文;故答案为:50;(2)选择友善征文的人数有:5030%15(人) ,补图如下:(3)在扇形统计图中,选择

17、“爱国”主题所对应的圆心角是:360 144(度) ;故答案为:144;(4)根据题意得:120030%360(名) ,答:选择以“友善”为主题的九年级学生有 360 名;故答案为:360;(5)画树状图如下:共有 6 种等情况数,其中甲、乙两名学生同时被选中的有 2 种,则甲、乙两名学生同时被选中的概率是 21 【解答】解:作 EHAC 于 H,则四边形 EDCH 为矩形,EHCD,设 AC24x,在 Rt ADC 中, sin ,AD25x,由勾股定理得,CD 7x,EH7x,在 Rt AEH 中,AEH45,AHEH 7x ,由题意得,24x7x +340,解得,x20,则 AC24x4

18、80 ,ABACBC48045228,答:发射塔 AB 的高度为 28m22 【解答】 (1)证明:连接 AD、ODAB 是直径,ADB90,即 ADBC,ACAB,CDBD,OAOB ,ODAC,DFAC,ODDF ,FG 是 O 的切线(2)解:tanC 2,BD CD,BD:AD 1:2,GDB +ODB90,ADO+ODB 90,OAOD ,OAD ODA,GDB GAD,GG,GDB GAD,设 BGa ,DG2a,AG4a,BG:GA 1:423 【解答】解:(1)点 A 在正比例函数 y2x 上,把 x4 代入正比例函数 y2x ,解得 y8,点 A(4,8) ,把点 A(4,8

19、)代入反比例函数 y ,得 k32;(2)点 A 与 B 关于原点对称,B 点坐标为(4,8) ,由交点坐标,根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围,x4 或 0x4;(3)反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形,OPOQ ,OA OB ,四边形 APBQ 是平行四边形,S POA S 平行四边形 APBQ 22456,设点 P 的横坐标为 m(m0 且 m4) ,得 P(m, ) ,过点 P、A 分别做 x 轴的垂线,垂足为 E、F,点 P、A 在双曲线上,S POE S AOF OEPE m 16,若 0m4,如图,S POE +S 梯形 PEFAS POA

20、+SAOF ,S 梯形 PEFAS POA 56 (8+ )(4m)56m 17+ ,m 27 (舍去) ,P(7+ ,14+2 ) ;若 m4,如图,S AOF +S 梯形 AFEPS AOP +SPOE ,S 梯形 PEFAS POA 56 (8+ )(m4)56,解得 m17+ ,m 27 (舍去) ,P(7+ , 14+2 ) 点 P 的坐标是 P(7+ ,14+2 ) ;或 P(7+ ,14+2 ) 24 【解答】解:(1)在矩形 ABCD 中,AD 90,ABDC,E 是 AD 中点,AEDE ,在ABE 和DCE 中, ,ABE DCE(SAS) ;(2) 在矩形 ABCD,AB

21、C90,BPC 沿 PC 折叠得到GPC,PGCPBC90,BPC GPC,BECG,BEPG ,GPFPFB,BPF BFP,BPBF;当 AD25 时,BEC90,AEB +CED 90,AEB +ABE90,CEDABE,AD90,ABE DEC, ,设 AEx,DE25x, ,x9 或 x16,AEDE ,AE9,DE 16,CE20,BE15,由折叠得,BPPG ,BPBFPG,BEPG ,ECFGCP, ,设 BPBFPGy, ,y ,BP ,在 Rt PBC 中,PC ,cos PCB ;如图,连接 FG,GEFPGC90,GEF+PGC180,BFPGBFPG ,BPGF 是菱

22、形,BPGF ,GFEABE,GEFEAB, ,BEEFABGF12910825 【解答】 (1)解:过点 B 作直线 l 平行于 x 轴,直线 l 的解析式为 y ,C(x ,y ) ,A(0, ) ,AC 2x 2+(y ) 2,点 C 到直线 l 的距离为:(y+ ) ,动点 C(x, y)满足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度,x 2+(y ) 2(y + ) 2,动点 C 轨迹的函数表达式 y x2,图象如图 1 所示:(2)证明:如图:设点 E(m,a)点 F(n,b) ,动点 C 的轨迹与直线 ykx + 交于 E、F 两点, ,x 22kx10,m+ n 2k,mn1,过

23、 E、F 作直线 l 的垂线,垂足分别是 M、N ,M(m, ) ,N(n, ) ,A(0, ) ,AM 2+AN2m 2+1+n2+1m 2+n2+2(m+ n) 22mn+24k 2+4,MN2(mn) 2(m+n) 24mn 4k 2+4,AM 2+AN2MN 2,AMN 是直角三角形,MN 为斜边,取 MN 的中点 Q,点 Q 是AMN 的外接圆的圆心,Q(k, ) ,A(0, ) ,直线 AQ 的解析式为 y x+ ,直线 EF 的解析式为 ykx+ ,AQEF,EF 是AMN 外接圆的切线;点 E(m, a)点 F(n,b)在直线 ykx+ 上,amk+ ,bnk+ ,ME,NF,EF 是AMN 的外接圆的切线,AEMEa+ mk+1,AFNFb+ nk +1, + 2,即: 为定值,定值为 2

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