1、2019 年贵州省黔西南州望谟县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 40 分）1 （4 分） 的倒数是（ ）A4 B C D42 （4 分）如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（ ）A B C D3 （4 分）用科学记数法表示 0.0000210，结果是（ ）A2.1010 4 B2.1010 5 C2.110 4 D2.110 54 （4 分）已知正 n 边形的一个内角为 135，则边数 n 的值是（ ）A6 B7 C8 D105 （4 分）下列事件中，为必然事件的是（ ）A购买一张彩票，中奖B打
2、开电视机，正在播放广告C抛一牧捌币，正面向上D一个袋中装有 5 个黑球，从中摸出一个球是黑球6 （4 分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D7 （4 分）如图，在O 中，弦 AC 和 BD 相交于点 E， ，若BEC 110，则BDC（ ）A35 B45 C55 D708 （4 分）某工程队铺设一条 480 米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高 50%，结果提前 4 天完成任务若设原计划每天铺设 x 米，根据题意可列方程为（ ）A BC D9 （4 分）如图，反比例函数 的图象与一次函数 ykx b 的图象交于点 P，Q，已点P 的坐标为（ 4
3、，1） ，点 Q 的纵坐标为 2，根据图象信息可得关于 x 的方程 kx b的解为（ ）A2，2 B2，4 C2，1 D4，110 （4 分）已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；ba+c ；2a+b0；a+ bm （am+ b） （m1 的实数） 其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）11 （3 分） 的平方根为 12 （3 分）在函数 中，自变量 x 的取值范围是 13 （3 分）已知三角形两边长是方程 x25x+60 的两个根，则三角形的第三边 c 的取值范围是 14 （3 分）甲、乙
4、两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了 6 次，统计两人的成绩得；平均数 x 甲 x 乙 ，方差 S2 甲 S 2 乙 ，则成绩较稳定的是 （填甲或乙） 15 （3 分）若方程 x23x 10 的两根为 x1、x 2，则 的值为 16 （3 分）分解因式：2x 2+4xy+2y2 17 （3 分）已知 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）在二次函数 yx 26x+4 的图象上，若x1x 23，则 y1 y 2（填“” 、 “”或“” ） 18 （3 分）如图，直线 AB 与 O 相切于点 A，AC ，CD 是O 的两条弦，且 CDAB，若O 的半径为 ，CD4，则弦 AC 的长为 19
5、 （3 分）定义运算“”的运算法则为：ab ，则（23）3 20 （3 分）如图，双曲线 y （k0）与 O 在第一象限内交于 P、Q 两点，分别过P、Q 两点向 x 轴和 y 轴作垂线已知点 P 坐标为（1 ，3 ） ，则图中阴影部分的面积为 三、解答题21 （12 分） （1）计算： +4cos60（2）先化简，再求值： ，然后从1、1、2 三个数中选择一个恰当的数代入求值22 （12 分）如图，BC 是O 的直径，A 是 O 上一点，过点 C 作 O 的切线，交 BA 的延长线于点 D，取 CD 的中点 E，AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P（1）求证：AP 是O 的切线；（2）
6、若 OCCP，AB3 ，求 CD 的长23 （14 分）某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门） 对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，m 的值是 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）在被调查的学生中，选修书法的有 2 名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取 2 名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的 2 名同学恰好是1 名男同学和 1 名女同学的概率24 （12 分
7、）某商品的进价为每件 40 元，售价每件不低于 50 元且不高于 80 元售价为每件 60 元时，每个月可卖出 100 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 2件如果每件商品的售价每降价 1 元，则每个月多卖 1 件，设每件商品的售价为 x 元（x 为正整数） ，每个月的销售利润为 y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？25 （14 分）观察下列等式：第 1 个等式：a 1 （1 ） ；第 2 个等式：a 2 （ ） ；第 3 个等式：a 3 （ ） ；第 4 个等式
8、：a 4 （ ） ；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第 5 个等式：a 5 ；（2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：a n （n 为正整数） ；（3）求 a1+a2+a3+a4+a100 的值26 （16 分）如图，以菱形 ABCD 对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为（2 ，0） 、 （0， ） ，直线 DEDC 交 AC 于 E，动点 P 从点 A出发，以每秒 2 个单位的速度沿着 AD C 的路线向终点 C 匀速运动，设PDE 的面积为 S（S0） ，点 P 的运动时间为 t 秒（1）求直线 DE 的解析式；（2）求 S 与 t 之间的函数关系式
9、，并写出自变量 t 的取值范围；（3）当 t 为何值时，EPD+DCB90？并求出此时直线 BP 与直线 AC 所夹锐角的正切值2019 年贵州省黔西南州望谟县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，共 40 分）1 （4 分） 的倒数是（ ）A4 B C D4【分析】a 的倒数是 （a0） 【解答】解： 的倒数是4，故选：D【点评】此题考查的知识点是倒数，关键掌握求一个数的倒数的方法注意：负数的倒数还是负数2 （4 分）如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（ ）A B C D【分析】从正
10、面看可看到每列正方体的最多个数分别为 2，2，1，表示为平面图形即可，【解答】解：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有 3 列，从左到右的列数分别是 2，2，1故选：C【点评】本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了对图形的想象力3 （4 分）用科学记数法表示 0.0000210，结果是（ ）A2.1010 4 B2.1010 5 C2.110 4 D2.110 5【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的
11、 0 的个数所决定【解答】解：0.00002102.1010 5 ，故选：B【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定4 （4 分）已知正 n 边形的一个内角为 135，则边数 n 的值是（ ）A6 B7 C8 D10【分析】根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解【解答】解：正 n 边形的一个内角为 135，正 n 边形的一个外角为 18013545，n360458故选：C【点评】本题考查了多边形的外角，利
12、用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键5 （4 分）下列事件中，为必然事件的是（ ）A购买一张彩票，中奖B打开电视机，正在播放广告C抛一牧捌币，正面向上D一个袋中装有 5 个黑球，从中摸出一个球是黑球【分析】必然事件就是一定会发生的事件，即发生概率是 1 的事件，依据定义即可作出判断【解答】解：A、可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不一定会中奖，不符合题意；B、可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；C、可能发生，也可能不发生，属于随机发生，不符合题意D、是必然事件，符合题意；故选：D【点评】本题主要考查必然事件、不可能
13、事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件6 （4 分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误故选：B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图
14、形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合7 （4 分）如图，在O 中，弦 AC 和 BD 相交于点 E， ，若BEC 110，则BDC（ ）A35 B45 C55 D70【分析】由 ，根据圆周角定理，可得BDCACBDBC，又由BEC110，即可求得答案【解答】解： ，BDCACBDBC，BEC110，ACBDBC35BDC35故选：A【点评】此题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用8 （4 分）某工程队铺设一条 480 米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高 50%，结果提前 4 天完成任务若设原计划每天铺设 x 米，根据题
15、意可列方程为（ ）A BC D【分析】关键描述语是：“提前了 4 天完成任务” ；等量关系为：原计划用时实际用时4，根据等量关系列式【解答】解：原计划用时 ，而实际工作效率提高后，所用时间为 方程应该表示为： 故选：C【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程的知识点，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键本题用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率9 （4 分）如图，反比例函数 的图象与一次函数 ykx b 的图象交于点 P，Q，已点P 的坐标为（ 4，1） ，点 Q 的纵坐标为 2，根据图象信息可得关于 x 的方程 kx b的解为（ ）A2，
16、2 B2，4 C2，1 D4，1【分析】把 P（4，1）代入 y 求出 m，得出反比例函数的解析式 y ，把 y2代入求出 Q 的横坐标，根据 P（和 Q 的横坐标，即可求出答案【解答】解：把 P（4，1）代入 y 得：m 4，y ，把 y2 代入上式得：2 ，x2，Q（2，2） ，即两函数的交点坐标为 P（4，1） ，Q （2，2） ，根据图象信息可得关于 x 的方程 kxb 的解为 4 或 2故选：B【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中10 （4 分）已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所
17、示，下列结论：abc0；ba+c ；2a+b0；a+ bm （am+ b） （m1 的实数） 其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】 由抛物线开口向下 a0，抛物线和 y 轴的正半轴相交，c0， 10，b0，令 x1，时 y0，即 ab+c0， 1，即2a+b0，把 xm 代入函数解析式中表示出对应的函数值，把 x1 代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知 x1 时函数值最大，所以 x1 对应的函数值大于 xm对应的函数值，化简得到不等式成立，故正确【解答】解：根据图象，a0，b0，c0，故错误；令 x1，时 y0，即 ab+c0，故错误； 1 ，2a+b0，故
18、正确；xm 对应的函数值为 y am2+bm+c，x1 对应的函数值为 ya+b+c，又 x1 时函数取得最大值，a+b+cam 2+bm+c，即 a+bam 2+bmm（am+b） ，故正确故选：B【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）11 （3 分） 的平方根为 3 【分析】根据平方根的定义即可得出答案【解答】解：8l 的平方根为 3故答案为：3【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，掌握定义是关键12 （3 分）在函数 中，自变量 x 的取值
19、范围是 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可以求解【解答】解：根据题意得： ，解得：x1 且 x 故答案为：x1 且 x 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，其中知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数13 （3 分）已知三角形两边长是方程 x25x+60 的两个根，则三角形的第三边 c 的取值范围是 1c 5 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围【解答】解：三角形两边长是方程 x25x+60 的两个根，x 1+x25，x 1x26（x 1x 2） 2（x
20、 1+x2） 24x 1x225241x 1x 21，又x 1x 2c x1+x2，1c5故答案为：1c5【点评】主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和14 （3 分）甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了 6 次，统计两人的成绩得；平均数 x 甲 x 乙 ，方差 S2 甲 S 2 乙 ，则成绩较稳定的是 甲 （填甲或乙） 【分析】本题需先根据方差表示的意义和甲、乙两位同学的方差大小即可得出成绩较稳定的同学是谁【解答】解：因为 ，方差 S 甲 2S 乙 2，所以成绩较稳定的同学是甲，故答案为：甲【点评】本题主要考查了方差的有关概念和计
21、算方法，解题时要能结合实际问题得出结论是本题的关键15 （3 分）若方程 x23x 10 的两根为 x1、x 2，则 的值为 3 【分析】由方程 x23x 10 的两根为 x1、x 2，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得 x1+x2 3，x 1x21，又由 ，代入求解即可求得答案【解答】解：方程 x23x 10 的两根为 x1、x 2，x 1+x23，x 1x21， 3故答案为：3【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及分式的加减运算此题难度不大，解题的关键是掌握：若二次项系数为 1，常用以下关系：x 1，x 2 是方程 x2+px+q0 的两根时，x 1+x2 p，x 1x2q
22、 性质的应用16 （3 分）分解因式：2x 2+4xy+2y2 2（x+y） 2 【分析】先提取公因式 2，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案完全平方公式：a 22ab+b2（ab） 2【解答】解：2x 2+4xy+2y22（x 2+2xy+y2）2（x+y） 2故答案为：2（x+y ） 2【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底17 （3 分）已知 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）在二次函数 yx 26x+4 的图象上，若x1x 23，则 y1 y 2（填“” 、 “”或“” ） 【分析】先求出二次函数的对称轴
23、为直线 x3，再根据二次函数的增减性解答【解答】解：二次函数的对称轴为直线 x 3，a10，当 x3 时，y 随 x 的增大而减小，x 1x 23，y 1y 2故答案为：【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并求出二次函数的对称轴是解题的关键18 （3 分）如图，直线 AB 与 O 相切于点 A，AC ，CD 是O 的两条弦，且 CDAB，若O 的半径为 ，CD4，则弦 AC 的长为 2 【分析】首先连接 AO 并延长，交 CD 于点 E，连接 OC，由直线 AB 与 O 相切于点A，根据切线的性质，可得 AEAB，又由 CDAB ，可得 AECD，
24、然后由垂径定理与勾股定理，求得 OE 的长，继而求得 AC 的长【解答】解：连接 AO 并延长，交 CD 于点 E，连接 OC，直线 AB 与O 相切于点 A，EAAB，CDAB ，CEA90，AECD，CE CD 42，在 RtOCE 中，OE ，AEOA +OE4，在 RtACE 中，AC 2 故答案为：2 【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及平行线的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用19 （3 分）定义运算“”的运算法则为：ab ，则（23）3 2 【分析】先根据题中定义计算 23 2，则（23）323，于是易得到答案【解答】解：23 2，（2
25、3）3232故答案为 2【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算也考查了阅读理解能力20 （3 分）如图，双曲线 y （k0）与 O 在第一象限内交于 P、Q 两点，分别过P、Q 两点向 x 轴和 y 轴作垂线已知点 P 坐标为（1 ，3 ） ，则图中阴影部分的面积为 4 【分析】由于O 和 y （k0）都关于 yx 对称，于是易求 Q 点坐标是（3，1） ，那么阴影面积等于两个面积相等矩形的面积减去 2 个边长是 1 的正方形的面积【解答】解：O 在第一象限关于 yx 对称，y （k0）也关于 yx 对称，P 点坐标是（1，3） ，Q 点的坐标是（
26、3，1） ，S 阴影 13+132114故答案是 4【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是知道反比例函数在 k0 时关于yx 对称三、解答题21 （12 分） （1）计算： +4cos60（2）先化简，再求值： ，然后从1、1、2 三个数中选择一个恰当的数代入求值【分析】 （1）根据幂的乘方、负整数指数幂、灵指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题；（2）根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后从1、1、2 三个数中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（1） +4cos60（1）+2 +2+1+4（1）+2 +2+1+22 +4；（2）x（1x）
27、 ，当 x2 时，原式2（12）2【点评】本题考查分式的化简求值、幂的乘方、负整数指数幂、灵指数幂和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法22 （12 分）如图，BC 是O 的直径，A 是 O 上一点，过点 C 作 O 的切线，交 BA 的延长线于点 D，取 CD 的中点 E，AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P（1）求证：AP 是O 的切线；（2）若 OCCP，AB3 ，求 CD 的长【分析】 （1）先由圆周角定理得出BAC90，再由斜边上的中线性质得出AE CDCEDE，由 CD 是切线得出 CDOC，即可得出 OAAP，周长结论；（2）先证明AOC 是等边三角形
28、，得出ACO60，再在 RtBAC 和 RtACD 中，运用锐角三角函数即可得出结果【解答】 （1）证明：连结 AO，AC；如图所示：BC 是O 的直径，BAC90，CAD90，E 是 CD 的中点，AE CDCEDE，ECAEAC，OAOC，OACOCA，CD 是O 的切线，CDOC ，ECA+ OCA90，EAC+ OAC90，OAAP，A 是O 上一点，AP 是O 的切线；（2）解：由（1）知 OAAP在 Rt OAP 中，OAP90，OCCP OA，即 OP2OA ，sinP ；P30，AOP60，OCOA，AOC 是等边三角形，ACO60，在 Rt BAC 中，BAC 90，AB3
29、，ACO60，AC 3，又在 RtACD 中，CAD 90，ACD90 ACO30，CD 2 【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算是解决问题的关键23 （14 分）某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门） 对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有 50 人，在扇形统计图中，m 的值
30、是 30% ；（2）将条形统计图补充完整；（3）在被调查的学生中，选修书法的有 2 名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取 2 名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的 2 名同学恰好是1 名男同学和 1 名女同学的概率【分析】 （1）首先用选舞蹈课的人数除以它占本次调查的学生总人数的百分率，求出本次调查的学生共有多少人；然后用选乐器课的人数除以本次调查的学生总人数，求出在扇形统计图中，m 的值是多少即可；（2）首先用本次调查的学生总人数乘参加绘画课、书法课的人数占总人数的百分率，求出参加绘画课、书法课的人数各是多少；然后根据参加绘画课、书法课的人数，将条形统计图补充完整即
31、可；（3）首先判断出在被调查的学生中，选修书法的有 3 名男同学，2 名女同学，然后应用列表法，写出所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的概率是多少即可【解答】解：（1）2040%50（人）155030%答：本次调查的学生共有 50 人，在扇形统计图中，m 的值是 30%（2）5020%10（人）5010%5（人）（3）523（名） ，选修书法的 5 名同学中，有 3 名男同学，2 名女同学，男 男 男 女 女男 / （男，男） （男，男） （男，女） （男，女）男 （男，男） / （男，男） （男，女） （男，女）男 （男，男） （男，男） / （男，女） （男，女）女
32、（女，男） （女，男） （女，男） / （女，女）女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） /所有等可能的情况有 20 种，所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的情况有 12 种，则 P（一男一女） 答：所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的概率是 故答案为：50、30%【点评】此题主要考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，要熟练掌握，解答此题的关键是从两种统计图中获取信息并利用获取的信息解题，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小24 （12 分）某商品的进价为每件 40 元，售价每件不低于 50
33、元且不高于 80 元售价为每件 60 元时，每个月可卖出 100 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 2件如果每件商品的售价每降价 1 元，则每个月多卖 1 件，设每件商品的售价为 x 元（x 为正整数） ，每个月的销售利润为 y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？【分析】 （1）由于售价为 60 时，每个月卖 100 件，售价上涨或下调影响销量，因此分为 50x60 和 60x 80 两部分求解；（2）由（1）中求得的函数解析式来根据自变量 x 的范围求利润的最大
34、值【解答】解：（1）当 50x60 时，y（x 40） （100+60x）x 2+200x6400；当 60x80 时，y （x 40 ） （1002x+120）2x 2+300x8800；yx 2+200x6400（50 x60 且 x 为整数）y2x 2+300x8800（60 x80 且 x 为整数） ；（2）当 50x60 时，y （x 100） 2+3600；a10，且 x 的取值在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，当 x60 时，y 有最大值 2000；当 60x80 时，y 2（x75） 2+2450；a20，当 x75 时，y 有最大值 2450综上所述，每件商品的售价定
35、为 75 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450 元【点评】本题考查的是函数方程和实际结合的问题，同学们需掌握最值的求法25 （14 分）观察下列等式：第 1 个等式：a 1 （1 ） ；第 2 个等式：a 2 （ ） ；第 3 个等式：a 3 （ ） ；第 4 个等式：a 4 （ ） ；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第 5 个等式：a 5 ；（2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：a n （n 为正整数） ；（3）求 a1+a2+a3+a4+a100 的值【分析】 （1） （2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为 1；分母是两个连续奇数的乘积，它们
36、与式子序号之间的关系为 序号的 2 倍减 1 和序号的 2倍加 1（3）运用变化规律计算【解答】解：根据观察知答案分别为：（1） ； ；（2） ； ；（3）a 1+a2+a3+a4+a100 （1 ）+ （ ）+ （ ）+ （ ）+ （1 + + + + ） （1 ） 【点评】此题考查寻找数字的规律及运用规律计算寻找规律大致可分为 2 个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系26 （16 分）如图，以菱形 ABCD 对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为（2 ，0） 、 （0， ） ，直线 DEDC 交 AC 于 E，动点 P 从点 A出发，以每秒 2 个单位
37、的速度沿着 AD C 的路线向终点 C 匀速运动，设PDE 的面积为 S（S0） ，点 P 的运动时间为 t 秒（1）求直线 DE 的解析式；（2）求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（3）当 t 为何值时，EPD+DCB90？并求出此时直线 BP 与直线 AC 所夹锐角的正切值【分析】 （1）先有菱形的对称性得出点 C，D 坐标，然后用DCO 的正切值，以及等角的三角函数值相等列出方程，最后用待定系数法求出直线 DE 解析式（2）先求出菱形的边长，再求出 EF，分点 P 在 AD 和 DC 边上，用面积公式求解；（3）先求出EPDADE，分两种情况用由菱形的边长建
38、立方程求出时间 t，用相似三角形的比例式建立方程求出 OQ，解直角三角形即可【解答】解：由菱形的对称性可得，C（2 ，0） ，D（0， ） ，OD ，OC2 ，tanDCO ，DEDC，EDO +CDO90，DCO+CDO90，EDO DCO，tanEDO tanDCO ， ，OE ，E（ ，0） ，D（0， ） ，直线 DE 解析式为 y2x+ ，（2）由（1）得 E（ ，0） ，AEAO OE2 ，根据勾股定理得，DE ，菱形的边长为 5，如图 1，过点 E 作 EF AD，sinDAO ，EF ，当点 P 在 AD 边上运动，即 0t ，S PDEF （52t） t+ ，如图 2，点 P
39、 在 DC 边上运动时，即 t5 时，S PDDE （2t5 ） t ；S ，（3）设 BP 与 AC 相交于点 Q，在菱形 ABCD 中，DAB DCB，DEDC，DEAB，DAB+ADE 90，DCB+ADE90，要使EPD+DCB90，EPDADE，当点 P 在 AD 上运动时，如图 3，EPDADE，EF 垂直平分线 PD，APAD 2DFAD2 ，2t52 ，t ，此时 AP1，APBC，APQCBQ， ， ， ，AQ ，OQOA AQ ，在 Rt OBQ 中，tanOQB ，当点 P 在 DC 上运动时，如图 4，EPDADE，EDP EFD90EDPEFD， ，DP ，2tAD+ DP5+ ，t ，此时 CPDCDP5 ，PCAB，CPQABQ， ， ， ，CQ ，OQOCCQ2 ，在 Rt OBD 中，tanOQB 1，即：当 t 时，EPD +DCB90此时直线 BP 与直线 AC 所夹锐角的正切值为当 t 时，EPD +DCB90此时直线 BP 与直线 AC 所夹锐角的正切值为 1【点评】此题是一次函数综合题，主要考查菱形的性质，待定系数法求直线解析式，相似三角形的判定和性质，找出相似三角形是解本题的关键，分情况讨论是解本题的难点
