1、2019 年湖南省怀化市中考数学三模试卷一、选择（每小题 4 分，共 40 分）1（4 分）下列各数中是有理数的是（ ）A B0 C D2（4 分）辽宁男篮夺冠后，从 4 月 21 日至 24 日各类媒体关于“辽篮 CBA 夺冠”的相关文章达到 81000 篇，将数据 81000 用科学记数法表示为（ ）A0.8110 4 B0.8110 5 C8.110 4 D8.110 53（4 分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）A BC D4（4 分）在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（4，1），点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则点 A 的坐标是（ ）A（4，1
2、） B（1，4） C（4，1） D（1，4）5（4 分）下列运算错误的是（ ）A（m 2） 3m 6 Ba 10a9a Cx 3x5x 8 Da 4+a3a 76（4 分）如图，ABCD，EFGH，160，则 2 补角的度数是（ ）A60 B100 C110 D1207（4 分）下列事件中，是必然事件的是（ ）A任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数B13 个人中至少有两个人生肖相同C车辆随机到达一个路口，遇到红灯D明天一定会下雨8（4 分）在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b 的图象如图所示，则 k 和 b 的取值范围是（ ）Ak0，b0 Bk0，b0 Ck0，b0 Dk 0，b09（4
3、 分）点 A（3，2）在反比例函数 y （k0）的图象上，则 k 的值是（ ）A6 B C1 D610（4 分）如图，正方形 ABCD 内接于O ，AB2 ，则 的长是（ ）A B C2 D 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11（4 分）不透明袋子中装有 6 个球，其中有 1 个红球、2 个绿球和 3 个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率是 12（4 分）若一次函数 y2x+b（b 为常数）的图象经过第二、三、四象限，则 b 的值可以是 （写出一个即可）13（4 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，N ，P，G 分别在边 AB，BC，C
4、D，DA 上，点 M， F，Q 都在对角线 BD 上，且四边形 MNPQ 和 AEFG 均为正方形，则的值等于 14（4 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，E 为格点，B，F 为小正方形边的中点，C 为 AE，BF 的延长线的交点（）AE 的长等于 ；（）若点 P 在线段 AC 上，点 Q 在线段 BC 上，且满足 APPQQB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 PQ，并简要说明点 P，Q 的位置是如何找到的（不要求证明） 15（4 分）如图，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果 AO45cm，CO5cm ，当 AC绕点 O 顺时针旋转 90时，则雨刷器 AC
5、扫过的面积为 cm 2（结果保留 ）16（4 分）如图，在O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知 CAB50，则ADC 三、解答题（共 86 分）17（8 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 a3 1 +2sin3018（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两直线相交于点 E（1）求证：四边形 OCED 是矩形；（2）若 CE1，DE2，则菱形 ABCD 的面积是 19（8 分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学
6、生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图请你根据图中信息，回答下列问题：（1）本次共调查了 名学生（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 度（3）补全条形统计图（标注频数）（4）根据以上统计分析，估计该校 2000 名学生中最喜爱小品的人数为 人（5）九年一班和九年二班各有 2 名学生擅长舞蹈，学校准备从这 4 名学生中随机抽取2 名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？20（12 分）某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用，修建 1 个足球场和 1 个篮球场共需 8.5
7、万元，修建 2 个足球场和 4 个篮球场共需 27 万元（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共 20 个，投入资金不超过 90 万元，求至少可以修建多少个足球场？21（12 分）两栋居民楼之间的距离 CD30 米，楼 AC 和 BD 均为 10 层，每层楼高 3米（1）上午某时刻，太阳光线 GB 与水平面的夹角为 30，此刻 B 楼的影子落在 A 楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B 楼的影子刚好落在 A 楼的底部？22（12 分）如图，BE 是 O 的直径，点 A 和点 D 是 O 上的两点，过点 A 作O 的切线交 B
8、E 延长线于点 C（1）若ADE25，求C 的度数；（2）若 ABAC ，CE2，求 O 半径的长23（12 分）在ABC 中，ABBC ，点 O 是 AC 的中点，点 P 是 AC 上的一个动点（点P 不与点 A，O ，C 重合）过点 A，点 C 作直线 BP 的垂线，垂足分别为点 E 和点 F，连接 OE，OF （1）如图 1，请直接写出线段 OE 与 OF 的数量关系；（2）如图 2，当ABC90时，请判断线段 OE 与 OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CFAE|2，EF2 ，当POF 为等腰三角形时，请直接写出线段 OP 的长24（14 分）如图，已知 A（2，0）
9、，B（4，0），抛物线 yax 2+bx1 过 A、B 两点，并与过 A 点的直线 y x1 交于点 C（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使四边形 ACPO 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点 M 为 y 轴右侧抛物线上一点，过点 M 作直线 AC 的垂线，垂足为 N问：是否存在这样的点 N，使以点 M、N、C 为顶点的三角形与 AOC 相似，若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由2019 年湖南省怀化市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择（每小题 4 分，共 40 分）1（4 分）下列各数中是有理数的是
10、（ ）A B0 C D【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案【解答】解：A、 是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0 是有理数，故本选项正确；C、 是无理数，故本选项错误；D、 无理数，故本选项错误；故选：B【点评】本题考查了有理数，有限小数或无限循环小数是有理数2（4 分）辽宁男篮夺冠后，从 4 月 21 日至 24 日各类媒体关于“辽篮 CBA 夺冠”的相关文章达到 81000 篇，将数据 81000 用科学记数法表示为（ ）A0.8110 4 B0.8110 5 C8.110 4 D8.110 5【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 1
11、0，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 81000 用科学记数法表示为：8.110 4故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（4 分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）A BC D【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可【解答】解：从左边看，从左往
12、右小正方形的个数依次为：2，1左视图如下：故选：D【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上4（4 分）在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（4，1），点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则点 A 的坐标是（ ）A（4，1） B（1，4） C（4，1） D（1，4）【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案【解答】解：点 B 的坐标是（4，1），点 A 与点 B 关于 x 轴对称，点 A 的坐标是：（4，1）故选：A【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性
13、质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键5（4 分）下列运算错误的是（ ）A（m 2） 3m 6 Ba 10a9a Cx 3x5x 8 Da 4+a3a 7【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则化简求出即可【解答】解：A、（m 2） 3m 6，正确；B、a 10a9a，正确；C、x 3x5x 8，正确；D、a 4+a3a 4+a3，错误；故选：D【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键6（4 分）如图，ABCD，EFGH，160，则 2 补角的度数是（ ）A60 B100
14、C110 D120【分析】根据平行线的性质比较多定义求解即可；【解答】解：ABCD，1EFH，EFGH，2EFH，2160，2 的补角为 120，故选：D【点评】本题考查平行线的性质、补角和余角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型7（4 分）下列事件中，是必然事件的是（ ）A任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数B13 个人中至少有两个人生肖相同C车辆随机到达一个路口，遇到红灯D明天一定会下雨【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断【解答】解：A、“任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数”是随机事件，故此选项错误；B、“13 个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件
15、，故此选项正确；C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误；故选：B【点评】考查了随机事件解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件8（4 分）在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b 的图象如图所示，则 k 和 b 的取值范围是（ ）Ak0，b0 Bk0，b0 Ck0，b0 Dk 0，b0【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可【解答】解：一次函数 ykx+b
16、 的图象经过一、二、四象限，k0，b0故选：C【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 ykx +b（k 0）中，当 k0，b0 时图象在一、二、四象限9（4 分）点 A（3，2）在反比例函数 y （k0）的图象上，则 k 的值是（ ）A6 B C1 D6【分析】根据点 A 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 k 值，此题得解【解答】解：A（3，2）在反比例函数 y （k0）的图象上，k（3）26故选：A【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解析式10（4 分）如图，正方形 ABCD 内接于O ，AB2 ，则 的长
17、是（ ）A B C2 D 【分析】连接 OA、OB，求出AOB90，根据勾股定理求出 AO，根据弧长公式求出即可【解答】解：连接 OA、OB，正方形 ABCD 内接于O，ABBCDCAD， ，AOB 36090，在 Rt AOB 中，由勾股定理得：2AO 2（2 ） 2，解得：AO2， 的长为 ，故选：A【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出AOB 的度数和 OA 的长是解此题的关键二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11（4 分）不透明袋子中装有 6 个球，其中有 1 个红球、2 个绿球和 3 个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率是
18、【分析】由题意可得，共有 6 种等可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是绿球的有 2 种情况，利用概率公式即可求得答案【解答】解：在一个不透明的口袋中有 6 个除颜色外其余都相同的小球，其中 1 个红球、2 个绿球和 3 个黑球，从口袋中任意摸出一个球是绿球的概率是 ，故答案为： 【点评】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比12（4 分）若一次函数 y2x+b（b 为常数）的图象经过第二、三、四象限，则 b 的值可以是 1 （写出一个即可）【分析】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出 k0，b0，随便写出一个小于 0 的
19、 b 值即可【解答】解：一次函数 y2x+b（b 为常数）的图象经过第二、三、四象限，k0，b0故答案为：1【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象所过的象限找出它的系数的正负本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练的运用一次函数图象与系数的关系是关键13（4 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，N ，P，G 分别在边 AB，BC，CD，DA 上，点 M， F，Q 都在对角线 BD 上，且四边形 MNPQ 和 AEFG 均为正方形，则的值等于 【分析】根据辅助线的性质得到ABDCBD45，四边形 MNPQ 和 AEFG 均为正方形，推出BEF 与B
20、MN 是等腰直角三角形，于是得到FEBEAE AB，BMMNQM ，同理 DQMQ，即可得到结论【解答】解：在正方形 ABCD 中，ABDCBD45，四边形 MNPQ 和 AEFG 均为正方形，BEF AEF90，BMNQMN90，BEF 与BMN 是等腰直角三角形，FEBEAE AB，BMMNQM ，同理 DQMQ，MN BD AB， ，故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键14（4 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，E 为格点，B，F 为小正方形边的中点，C 为 AE，BF 的延长线的
21、交点（）AE 的长等于 ；（）若点 P 在线段 AC 上，点 Q 在线段 BC 上，且满足 APPQQB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 PQ，并简要说明点 P，Q 的位置是如何找到的（不要求证明） AC 与网格线相交，得到 P，取格点 M，连接 AM，并延长与 BC 交于Q，连接 PQ，则线段 PQ 即为所求 【分析】（）根据勾股定理即可得到结论；（）取格点 M，连接 AM，并延长与 BC 交于 Q，连接 PQ，则线段 PQ 即为所求【解答】解：（）AE ；故答案为： ；（）如图，AC 与网格线相交，得到 P，取格点 M，连接 AM，并延长与 BC 交于 Q，连接 PQ，则线
22、段 PQ 即为所求故答案为：AC 与网格线相交，得到 P，取格点 M，连接 AM，并延长与 BC 交于 Q，连接 PQ，则线段 PQ 即为所求证明：以 A 为原点建立平面直角坐标系，则 A（0，0），B（6，1.5），E（1，2），F（5， ），直线 AE 的解析式 yAE2x，直线 BF 的解析式为 yBF2x+ ，设 p（m，2m），Q（n，2n+ ）（0m n6），AP 2m+ 2（2m） 25m 2，PQ 2（m n） 2+（2m +2n ） 2BQ2（n60 2+（2n+12） 25（n6） 2，APPQ BQ，5m 25（n6） 25n 254 m54n，由 5m25（n6） 2
23、得 m6n，mn6（舍去），把 m6n 代入得 n 4.5，n （舍去），P（1.5，3），Q（4.5，4.5 ）【点评】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键15（4 分）如图，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果 AO45cm，CO5cm ，当 AC绕点 O 顺时针旋转 90时，则雨刷器 AC 扫过的面积为 500 cm 2（结果保留 ）【分析】易证三角形 AOC 与三角形 AOC全等，故刮雨刷 AC 扫过的面积等于扇形AOA的面积减去扇形 COC的面积【解答】解：OAOA，OCOC，AC ACAOCAOC刮雨刷 AC 扫过的面积扇形 AOA的面积扇形 COC的
24、面积 500（cm 2），故答案为：500【点评】本题主要考查了根据扇形面积公式计算扇形面积的能力，解题时注意利用面积相等将图形转化为熟悉的面积16（4 分）如图，在O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知 CAB50，则ADC 40 【分析】根据直径所对的圆周角为直角求出ACB90，得到B 的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到答案【解答】解：AB 为O 的直径，ACB90，又CAB50，ABC40，ADCABC40，故答案为：40【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角和同弧所对的圆周角相等是解题的关键三、解答题（共 86 分）17（8 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 a
25、3 1 +2sin30【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案【解答】解：当 a3 1 +2sin30时，a +1原式 （ ） 7【点评】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型18（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两直线相交于点 E（1）求证：四边形 OCED 是矩形；（2）若 CE1，DE2，则菱形 ABCD 的面积是 4 【分析】（1）欲证明四边形 OCED 是矩形，只需推知四边形 OCED 是平行四边形，且有一内角为 90 度即可；（2）由菱形
26、的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ACBD，COD90CEOD，DEOC，四边形 OCED 是平行四边形，又COD90，平行四边形 OCED 是矩形；（2）由（1）知，平行四边形 OCED 是矩形，则 CEOD 1，DEOC2四边形 ABCD 是菱形，AC2OC4，BD2OD2，菱形 ABCD 的面积为： ACBD 424故答案是：4【点评】考查了矩形的判定与性质，菱形的性质此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角19（8 分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相
27、声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图请你根据图中信息，回答下列问题：（1）本次共调查了 50 名学生（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于 72 度（3）补全条形统计图（标注频数）（4）根据以上统计分析，估计该校 2000 名学生中最喜爱小品的人数为 640 人（5）九年一班和九年二班各有 2 名学生擅长舞蹈，学校准备从这 4 名学生中随机抽取2 名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；（2）用 360乘
28、以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；（4）用 2000 乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可；（5）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）1428%50，所以本次共调查了 50 名学生；（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数360 72；（3）最喜欢舞蹈类的人数为 5010141610（人），补全条形统计图为：（4）2000 640，估计该校 2000 名学生中最喜爱小品的人数为 640 人；故答
29、案为 50；72；640；（5）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的结果数为 4，所以抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图20（12 分）某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用，修建 1 个足球场和 1 个篮球场共需 8.5 万元，修建 2 个足球场和 4 个篮球场共需 27 万元（1）求修建一个足球场和一
30、个篮球场各需多少万元？（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共 20 个，投入资金不超过 90 万元，求至少可以修建多少个足球场？【分析】（1）设修建一个足球场 x 万元，一个篮球场 y 万元，根据修建 1 个足球场和1 个篮球场共需 8.5 万元，修建 2 个足球场和 4 个篮球场共需 27 万元，可得出方程组，解出即可；（2）设足球场 y 个，则篮球场（20y）个，由投入资金不超过 90 万元，可得出不等式，解出即可【解答】解：（1）设修建一个足球场 x 万元，一个篮球场 y 万元，根据题意可得：，解得： ，答：修建一个足球场和一个篮球场各需 3.5 万元，5 万元；（2）设足球场 y
31、个，则篮球场（20y）个，根据题意可得：3.5y+5（20y ）90，解得：y ，答：至少可以修建 7 个足球场【点评】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为方程思想求解21（12 分）两栋居民楼之间的距离 CD30 米，楼 AC 和 BD 均为 10 层，每层楼高 3米（1）上午某时刻，太阳光线 GB 与水平面的夹角为 30，此刻 B 楼的影子落在 A 楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B 楼的影子刚好落在 A 楼的底部？【分析】（1）延长 BG，交 AC 于点 F，过 F 作 FHBD 于 H，利用直角三角形的性质和三
32、角函数解答即可；（2）连接 BC，利用利用直角三角形的性质和三角函数解答即可【解答】解：（1）延长 BG，交 AC 于点 F，过 F 作 FHBD 于 H，由图可知，FHCD30m，BFH30，在 Rt BFH 中，BH ，FC3017.3212.68，再用 12.6834.23，所以在四层的上面，即第五层，答：此刻 B 楼的影子落在 A 楼的第 5 层；（2）连接 BC，BD31030CD，BCD45，答：当太阳光线与水平面的夹角为 45 度时，B 楼的影子刚好落在 A 楼的底部【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是利用利用直角三角形的性质和三角函数解答22（12
33、分）如图，BE 是 O 的直径，点 A 和点 D 是 O 上的两点，过点 A 作O 的切线交 BE 延长线于点 C（1）若ADE25，求C 的度数；（2）若 ABAC ，CE2，求 O 半径的长【分析】（1）连接 OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可【解答】解：（1）连接 OA，AC 是O 的切线， OA 是O 的半径，OAAC，OAC90， ，ADE25，AOE2ADE 50，C90AOE 905040；（2）ABAC ，BC， ，AOC2B，AOC2C，OAC90，AOC+C90，3C90，C30，OA OC，设 O 的半径为 r，CE2，r ，解
34、得：r2， O 的半径为 2【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答23（12 分）在ABC 中，ABBC ，点 O 是 AC 的中点，点 P 是 AC 上的一个动点（点P 不与点 A，O ，C 重合）过点 A，点 C 作直线 BP 的垂线，垂足分别为点 E 和点 F，连接 OE，OF （1）如图 1，请直接写出线段 OE 与 OF 的数量关系；（2）如图 2，当ABC90时，请判断线段 OE 与 OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CFAE|2，EF2 ，当POF 为等腰三角形时，请直接写出线段 OP 的长【分析】（1）如图 1 中，延长 EO 交 CF 于
35、K首先证明AOECOK，推出OEOK 即可解决问题；（2）如图 2 中，延长 EO 交 CF 于 K由ABEBCF，推出 BECF ，AEBF，由AOECOK，推出 AECK，OEOK，推出 FKEF，可得EFK 是等腰直角三角形，延长即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）如图 1 中，延长 EO 交 CF 于 KAEBE，CFBE，AECK，EAOKCO，OAOC，AOECOK，AOECOK，OEOK，EFK 是直角三角形，OF EKOE（2）如图 2 中，延长 EO 交 CF 于 KABCAEBCFB90，ABE +BAE90， ABE+CBF90，BAE
36、CBF，ABBC，ABE BCF，BECF，AEBF，AOECOK，AECK，OEOK，FKEF，EFK 是等腰直角三角形，OFEK，OFOE （3）如图 3 中，延长 EO 交 CF 于 K作 PHOF 于 H|CF AE|2 ，EF2 ， AECK，FK2，在 Rt EFK 中，tanFEK ，FEK30，EKF60，EK2FK4，OF EK2，OPF 是等腰三角形，观察图形可知，只有 OFFP2，在 Rt PHF 中，PH PF1，HF ，OH2 ，OP 如图 4 中，当点 P 在线段 OC 上时，作 PGOF 于 G同法可得：HE2，OHOF，EF2 ，tanHFE ，HFE30，FH
37、2HE 4，OHOF ，OHOF OE 2，OPF 的等腰三角形，POPF，PGOF ，OGGF 1 ，OP 综上所述，OP 的长为 或 【点评】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题24（14 分）如图，已知 A（2，0），B（4，0），抛物线 yax 2+bx1 过 A、B 两点，并与过 A 点的直线 y x1 交于点 C（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使四边形 ACPO 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请
38、说明理由；（3）点 M 为 y 轴右侧抛物线上一点，过点 M 作直线 AC 的垂线，垂足为 N问：是否存在这样的点 N，使以点 M、N、C 为顶点的三角形与 AOC 相似，若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为 PC+PO 最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形设出点 N 坐标，表示点 M 坐标代入抛物线解析式即可【解答】解：（1）把 A（2，0），B（4，0）代入抛物线 yax 2+bx1，得解得抛物线解析式为：y抛物线对称轴为直线 x（2）存在使四边形 ACPO 的周长最小，只需 PC+PO 最小
39、取点 C（0，1）关于直线 x1 的对称点 C（2， 1），连 CO 与直线 x1 的交点即为 P 点设过点 C、O 直线解析式为：ykxky则 P 点坐标为（1， ）（3）当AOCMNC 时，如图，延长 MN 交 y 轴于点 D，过点 N 作 NEy 轴于点 EACONCD，AOCCND90CDNCAO由相似，CAOCMNCDNCMNMNACM、D 关于 AN 对称，则 N 为 DM 中点设点 N 坐标为（a， a1）由EDNOACED2a点 D 坐标为（0， ）N 为 DM 中点点 M 坐标为（2a， ）把 M 代入 y ，解得a0（舍去）或 a4a4则 N 点坐标为（4，3）当AOCCNM 时，CAO NCMCMAB 则点 C 关于直线 x1 的对称点 C即为点 M由（2）M 为（2，1）由相似 CN ，MN由面积法求 N 到 MC 距离为则 N 点坐标为（ ， ）N 点坐标为（4，3）或（ ， ）【点评】本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想
