1、2019 年江西省宜春市上高二中高考数学模拟试卷（文科） （5 月份）一、选择题1. 已知集合 A=x|y= ， B=x|-1 x2，则 A B=（ ）x-1A. B. C. D. (1,2) 1,2) (-1,+ ) -1,+ )2. 设复数 z= ，则 z 的共轭复数 =（ ）i1-i -zA. B. C. D. -12+12i 12+12i -12-12i 12-12i3. “a1”是“ a2 a 成立”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 设双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 e 为 ，则该双曲线的两条渐近5线方
2、程为（ ）A. B. C. D. y= 2x y= 12x y= 4x y= x5. 甲乙两人有三个不同的学习小组 A， B， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）A. B. C. D. 13 14 15 166. 函数 f（ x）= e|x-1|-2cos（ x-1）的部分图象可能是（ ）A. B. C. D. 7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 2，则可输入的实数 x 值的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 38. 如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为 的矩8 2形，则该几何体的表面积是（ ）A.
3、 8 B. C. 16 D. 20+8 2 24+8 29. 若函数 f（ x）=sin（ x+），其中 ，两相邻对称轴的 0， | | 2， x R距离为 ， 为最大值，则函数 f（ x）在区间0，上的单调增区间为（ 2 f( 6)）A. B. C. 和 D. 和0, 6 23, 0, 6 3, 0, 623, 10. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著算法统宗对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有九節竹一莖，為因盛米不均平；下頭三節三升九，上梢四節貯三升；唯有中間二節竹
4、，要將米數次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明!大意是：用一根 9 节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的下端 3 节可盛米 3.9 升，上端 4 节可盛米 3 升要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升？由以上条件，计算出中间两节的容积为（ ）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升2.1 2.2 2.3 2.411. 已知三棱锥 P-ABC，在底面 ABC 中， A=60， BC= ， PA面 ABC， PA=2 ，3 3则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 163 4 3 323 1612. 已知双曲线 - =1（ a0， b0）的两顶点为
5、A1， A2，虚轴两端点为 B1， B2，两焦x2a2y2b2点为 F1， F2若以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 1+ 52 3+ 52 1+ 22 3+ 22二、填空题13. 已知平面向量 =（2， x）， =（3， x+1），若 ，则 x=_a b a b14. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 x+y 的值为_15. 若 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x-y 的最小值为_x+y
6、-2 0x-2y+1 02x-y+2 016. 设 Sn为数列 an的前 n 项和， a1=0，若 an+1=1+（-1） nan+（-2） n（ n N*），则S100=_三、解答题17. 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 4sinAsinB-4cos2 =A-B2-22（1）求角 C 的大小；（2）已知 =4， ABC 的面积为 8求边长 c 的值asinBsinA18. 上世纪八十年代初，邓小平同志曾指出“在人才的问题上，要特别强调一下，必须打破常规去发现、选拔和培养杰出的人才”据此，经省教育厅批准，某中学领导审时度势，果断作出于 1985 年开始
7、施行超常实验班教学试验的决定一时间，学生兴奋，教师欣喜，家长欢呼，社会热议该中学实验班一路走来，可谓风光无限，硕果累累，尤其值得一提的是，1990 年，全国共招收 150 名少年大学生，该中学就有 19 名实验班学生被录取，占全国的十分之一，轰动海内外设该中学超常实验班学生第 x 年被录取少年大学生的人数为 y（1）左下表为该中学连续 5 年实验班学生被录取少年大学生人数，求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计第 6 年该中学超常实验班学生被录取少年大学生人数；年份序号 x 1 2 3 4 5录取人数 y 10 11 14 16 19附 1： = ， = - ni=1xiyi-n-x-y n
8、i=1x2i-n-x2 -y -x（2）如表是从该校已经毕业的 100 名高中生录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育得到 22 列联表，完成上表，并回答：是否有 95%以上的把握认为“录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育有关系”附 2：接受超常实验班教育 未接受超常实验班教育 合计录取少年大学生 60 _ 80未录取少年大学生 _ 10 _ 合计 _ 30 100P（ k2 k0） 0.50 0.40 0.10 0.05k0 0.455 0.708 2.706 3.841K2= ， n=a+b+c+dn(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 如图，四棱锥 P
9、-ABCD 中， PA菱形 ABCD 所在的平面， ABC=60， E 是 BC 中点，M 是 PD 的中点（1）求证：平面 AEM平面 PAD；（2）若 F 是 PC 上的中点，且 AB=AP=2，求三棱锥 P-AMF 的体积20. 已知椭圆 C： =1（ a b0）的短轴长为 2 ，离心率为 x2a2+y2b2 2 22（）求椭圆 C 的标准方程；（）设 M， N 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过点 Q（1，0）且不与 x 轴重合的直线 l1与椭圆 C 相交于 A， B 两点，是否存在实数 t（ t2），使得直线 l2： x=t 与直线 BN 的交点 P 满足 P， A， M 三点共线？若
10、存在，求出 l2的方程；若不存在，请说明理由21. 已知函数 f（ x）= x2-（2 a+1） x+alnx（ a R）（）若 f（ x）在区间1，2上是单调函数，求实数 a 的取值范围；（）函数 g（ x）=（1- a） x，若 x01， e使得 f（ x0） g（ x0）成立，求实数 a 的取值范围22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： x2+y2=1，以平面直角坐标系 xOy 的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：（2cos-sin）=6（1）将曲线 C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、2 倍后得到3曲线 C2
11、，试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程；（2）在曲线 C2上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最大，并求出此最大值23. 已知函数 f（ x）=| x-1|-2|x+1|的最大值为 t（1）求实数 t 的值；（2）若 g（ x）= f（ x）+2| x+1|，设 m0， n0，且满足 =t，求证：1m+12ng（ m+2）+ g（2 n）2答案和解析1.【答案】 C【解析】解：A=x|x1，B=x|-1x2； AB=（-1，+） 故选：C可求出集合 A，然后进行并集的运算即可考查描述法、区间的定义，以及并集的运算2.【答案】 C【解析】解：复数 = =- + i，故它的共
12、轭复数为- - i，故选：C利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数 为- + i，由此求得它的共轭复数本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题3.【答案】 A【解析】解：由 a2a 得 a1 或 a0， 即“a1”是“a 2a 成立”充分不必要条件， 故选：A根据不等式关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础4.【答案】 A【解析】解：由题意， = ，c= a，b= =2a，双曲线的渐近线方程为 y= x=2x故选：A由题意 = ，可得 b= =2a，从而可求双曲线的渐近线方程本题主要考查
13、了双曲线的简单性质属基础题5.【答案】 A【解析】解：总的可能性为 33=9 种，两位同学参加同一个小组的情况为 3 种，所求概率 P= = ，故选：A由题意可得总的可能性为 9 种，符合题意的有 3 种，由概率公式可得本题考查古典概型及其概率公式，属基础题6.【答案】 A【解析】解：f（0）=e-2cos10，排除 B，D， 当 x1 时，f（x）=e x-1-2cos（x-1）， f（x）=e x-1+2sin（x-1）， 则当 x2 时，f（x）0，即此时 f（x）为增函数，排除 C， 故选：A利用 f（0）的值进行判断，求函数的导数，研究当 x2 时的单调性，利用排除法进行求解即可本题
14、主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法以及求导，判断函数的单调性是解决本题的关键7.【答案】 D【解析】解：根据题意，该框图的含义是：当 x2 时，得到函数 y=x2-1；当 x2 时，得到函数 y=log2x即 y=因此，若输出结果为 2 时，若 x2，得 x2-1=2，解之得 x= ，当 x2 时，得 y=log2x=2，得 x=4因此，可输入的实数 x 值可能是 ，- 或 4，共 3 个数故选：D根据题中程序框图的含义，得到分段函数，由此解关于 x 的方程 f（x）=2，即可得到可输入的实数 x 值的个数本题给出程序框图，求输出值为 3 时可能输入 x 的值，着重考查了分段函数和程序
15、框图的理解等知识，属于基础题8.【答案】 B【解析】解：此几何体是一个三棱柱，且其高为 =4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为 2，所以其面积为 22=2，又此三棱柱的高为 4，故其侧面积为，（2+2+2 ）4=16+8 ，表面积为：22+16+8 =20+8 故选：B由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视
16、高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视9.【答案】 D【解析】解：函数 f（x）=sin（x+）相邻对称轴的距离为 ， = ，解得 T=，=2；又 为最大值，令 2 += +2k，kZ，解得 = +k，kZ，取 = ，函数 f（x）=sin（2x+ ）；令- +2k2x+ +2k，kZ，解得- +kx +k，kZ，当 k=0 时，x- ， ，当 k=1 时，x ， ，f（x）在区间0，上的单调增区间为0， 和 ，故选：D根据题意，求出函数 f（x）的函数解析式，再求函数 f（x）在区间0，上的单调增区间即可本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，
17、也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目10.【答案】 A【解析】解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为 d 升，下端第一节盛米 a1升，由题意得 ，解得 a1=1.4，d=-0.1，中间两节可盛米的容积为：a4+a5=（a 1+3d）+（a 1+4d）=2a 1+7d=2.8-0.7=2.1（升）故选：A要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为 d 升，下端第一节盛米 a1升，由等差数列通项公式及前 n 项和公式列出方程组求出 a1，d，由此能求出中间两节可盛米的容积本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的
18、性质的合理运用11.【答案】 D【解析】解：根据题意得出图形如下；O 为球心，N 为底面ABC 截面圆的圆心，ON面 ABC，在底面ABC 中，A=60，BC= ，根据正弦定理得出： =2r，即 r=1，PA面 ABC，PAON，PA=2 ，AN=1，ON=d，OA=OP=R，根据等腰三角形得出：PAO 中 PA=2d=2 ，d=R 2=12+（ ）=4，三棱锥的外接球的表面积为 4R 2=16故选：D根据正弦定理得出截面圆的半径为 1，利用球的几何性质把空间转化为平面为梯形PANO，利用平图形的几何性质求解本题综合考查了空间几何的性质，球的几何意义，学生的空间想象能力，解决三角形的问题，属于
19、综合性较强的题目12.【答案】 A【解析】解：由题意可得 A1（-a，0），A 2（a，0），B 1（0，b），B 2（0，-b），F1（-c，0），F 2（c，0），且 a2+b2=c2，菱形 F1B1F2B2的边长为 ，由以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，运用面积相等，可得2b2c= a4 ，即为 b2c2=a2（b 2+c2），即有 c4+a4-3a2c2=0，由 e= ，可得 e4-3e2+1=0，解得 e2= ，可得 e= ，（ 舍去）故选：A由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得2b2c= a4 ，再由 a，b，c 的关系和离心率公
20、式，计算即可得到所求值本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题13.【答案】2【解析】解： ；2（x+1）-3x=0；解得 x=2故答案为：2根据 即可得出 2（x+1）-3x=0，解出 x 即可考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系14.【答案】8【解析】解：由茎叶图可得甲班 7 名学生的成绩为：79，78，80，80+x，85，92，96；乙班 7 名学生的成绩为：76，81，81，80+y，91，91，96；由 ，得：x=5，因为乙班共有 7 名学生，所以中位数应是 80+y=83，所以 y=3，所以 x+y=8，故答案为 8根据茎叶图分
21、别写出两组数据，由平均数公式求出 x，83 是乙班 7 名学生成绩的中位数，所以 83 应是 7 个成绩从小到大排列后的中间位置上的数，据此可求出 y本题考查了茎叶图，求中位数和平均数的关键是根据定义仔细分析另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意，此题是基础题15.【答案】-3【解析】解：由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z=3x-y 为 y=3x-z，由图可知，当直线 y=3x-z 过点 A（-1，0）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为-3故答案为：-3由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案本题考查
22、简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16.【答案】2-21013【解析】解：由 an+1=1+（-1） nan+（-2） n（nN*），当 n 为奇数时，有 ；当 n 为偶数时，有 数列a n的所有偶数项构成以-2 为首项，以 4 为公比的等比数列，S 100=（a 1+a3+a5+a99）+（a 2+a4+a6+a100）=2（a 2+a4+a6+a98）+（2 2+24+26+298）+（a 2+a4+a6+a100）=3（a 2+a4+a6+a100）-2a 100+（2 2+24+298）= 故答案为： 由已知数列递推式可得数列a n的所有偶数项构成以-2 为首项，以
23、 4 为公比的等比数列，把奇数项转化为偶数项，然后借助于等比数列的前 n 项和求解本题考查数列的求和，体现了分类讨论的数学思想方法与数列的分组求和，是中档题17.【答案】解：（1）由条件得 4sinAsinB=2（2cos 2 -1）+ ，A-B2 2即 4sinAsinB=2cos（ A-B）+ =2（cos AcosB+sinAsinB）+ ，（2 分）2 2化简得 cos（ A+B）=- ，（4 分）220 A+B， A+B= ，34又 A+B+C=， C= ，（6 分） 4（2）由已知及正弦定理得 b=4，（8 分）又 S ABC=8， C= ， absinC=8，得 a=4 ，（10
24、 分） 4 12 2由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC 得 c=4（12 分）【解析】（1）由已知等式化简可得 cos（A+B）=- ，结合角的范围即可求得 C 的大小（2）由已知及正弦定理求得 b，又 S ABC =8，C= 从而解得 a，由余弦定理即可解得c 的值本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查18.【答案】20 10 20 70【解析】解：（1）由已知中数据可得： ， y=2.3x+7.1当 x=6 时 y=20.9，即第 6 年该校实验班学生录取少年大学生人数约为 21 人；（6 分）（2）该
25、校已经毕业的 100 名高中生录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育得到 22 列联表：接受超常实验班教育未接受超常实验班教育 合计录取少年大学生 60 20 80未录取少年大学生 10 10 20合计 70 30 100根据列联表中的数据，得到 k2的观测值为故我们有 95%的把握认为“录取少年大学生人数与是否接受超常实验班教育有关系”（12 分）（1）求出回归系数，即可求出回归方程；（2）根据所给数据，可得 22 列联表，计算 K2，即可得出结论本题考查回归方程，考查独立性检验知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19.【答案】证明：（1）连结 AC，底面 ABCD 为菱形
26、， ABC=60， ABC 是正三角形， E 是 BC 中点， AE BC，又AD BC， AE AD， PA平面 ABCD， AE平面 ABCD， PA AE， PA AD=A， AE平面 PAD，又 AE平面 AEM，平面 AEM平面 PAD解：（2） F 是 PC 上的中点，且 AB=AP=2， AD=2， AE= ，3三棱锥 P-AMF 的体积：VP-AMF=VM-APF=12VF-PAD=1212VC-PAD=14VP-ACD=1413S ACDPA=11212ADAEPA= = 1242 32 36【解析】（1）连结 AC，推导出 AEBC，AEAD，PAAE，从而 AE平面 PA
27、D，由此能证明平面 AEM平面 PAD（2）三棱锥 P-AMF 的体积：V P-AMF=VM-APF= ，由此能求出结果本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.【答案】解：（1）由题意可知， 解之得 ，2b=2 2，ca= 22，a2=b2+c2， a=2， b= 2故椭圆 C 的标准方程 x24+y22=1（）假设存在满足题意的直线 l2，先设出 AB 的方程 x=my+1，设 A（ x1， y1）、B（ x2， y2），联立方程组 消去 x 可得（ m2+2） y2+2my-3=0，
28、x24+y22=1，x=my+1=4 m2+12（ m2+2）=16 m2+240，y1+y2=-2mm2+2， y1y2= -3m2+2由于 N（2，0）， B（ x2， y2），所以直线 BN 的方程为 ，y=y2x2-2(x-2)则直线 l2： x=t 与直线 BN 的交点 P 坐标为 ，且(t，y2(t-2)x2-2)，MP=(t+2， y2(t-2)x2-2)， MA=(x1+2， y1)因为 P， A， M 三点共线，所以 共线，MA， MA y1（ t+2）（ x2-2）= y2（ t-2）（ x1+2），整理得， ，t-2t+2=y1(x2-2)y2(x1+2)=， my1y2
29、-y1my1y2+3y2由于 ，所以 y1+y2y1y2 =2m3 my1y2=32(y1+y2)所以 ，解得 t=4t-2t+2=y1+3y23y1+9y2=13所以存在直线 l2： x=4 满足条件【解析】（）利用椭圆的几何性质建立方程组求解即可； （）假设存在满足题意的直线 l2，先设出 AB 的方程 x=my+1，设出 A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2），联立方程组得出根与系数关系，然后求出 P 点坐标，利用三点共线建立方程，将根与系数关系代入整理、化简、求解即可本题是一道综合性较强的题目，设计椭圆的几何性质与方程，直线与椭圆的位置关系、向量共线等要点知识，属于较难题目21.【
30、答案】解：（1）函数的导数 f（ x）=2 x-（2 a+1）+ = =ax2x2-(2a+1)x+ax（2 分）(2x-1)(x-a)x当导函数 f（ x）的零点 x=a 落在区间（1，2）内时，函数 f（ x）在区间1，2上就不是单调函数，所以实数 a 的取值范围是： a2 或 a1； （6 分）（也可以转化为恒成立问题酌情给分）（2）由题意知，不等式 f（ x） g（ x）在区间1， e上有解，即 x2-2x+a（ln x-x）0 在区间1， e上有解 （7 分），当 x1， e时，ln x1 x（不同时取等号），ln x-x0， a 在区间1， e上有解 （8 分）x2-2xx-lnx
31、令 ，则 h（ x）= （9 分）h(x)=x2-2xx-lnx (x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2 x1， e， x+222ln x， h（ x）0，则 h（ x）单调递增， x1， e时， h（ x）的最大值为 h（ e）= ，（11 分）e(e-2)e-1 a e(e-2)e-1则实数 a 的取值范围是（-， （12 分）e(e-2)e-1（也可以构造函数 F（ x）= x2-2x+a（ln x-x），分类讨论酌情给分）【解析】（1）求函数的导数，利用函数 f（x）在区间1，2上是单调函数，进行求解判断即可， （2）若 x01 ，e使得 f（x 0）g（x 0）成立，转化为
32、f（x）g（x）在区间1，e上有解，利用参数分离法进行求解即可本题主要考查函数单调性和导数之间的应用，根据函数单调性和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键22.【答案】解：（1）由题意可知：直线 l 的直角坐标方程为：2 x-y-6=0，因为曲线 C2的直角坐标方程为： (x3)2+(y2)2=1曲线 C2的参数方程为： （ 为参数）x= 3cosy=2sin（2）设 P 的坐标（ ），则点 P 到直线 l 的距离为：3cos， 2sin= ，d=|23cos-2sin-6|5 |4sin(60- )-6|5当 sin（60-）=-1 时，点 P（ ），-32， 1此时 dmax=|4+6
33、|5 =2 5【解析】（1）直接写出直线 l 的直角坐标方程，将曲线 C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、2 倍后得到曲线 C2的方程，然后写出曲线 C2的参数方程；（2）设出曲线 C2上一点 P 的坐标，利用点 P 到直线 l 的距离公式，求出距离表达式，利用三角变换求出最大值本题是中档题，考查直线的参数方程，直线与圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离的应用，考查计算能力，转化思想23.【答案】解：（1）由 f（ x）=| x-1|-2|x+1|= ，-x-3， x 1-3x-1， -1 x 1x+3， x- 1 f（ x） max=f（-1）=2，即 t=2，证明：（2） g（
34、 x）=| x-1|，由 + =2，1m12n知 g（ m+2）+ g（2 n）=| m+1|+|2n-1| m+1+2n-1|=|m+2n|=| （ m+2n）（ + ）12 1m12n|= | + +2| |2+2|=2，122nm m2n 12当且仅当 = ，即 m2=4n2时取等号，2nm m2n g（ m+2）+ g（2 n）2【解析】（1）通过讨论 x 的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的性质，即可求出 t 的值， （2）根据三角不等式和基本不等式的性质求出 g（m+2）+g（2n）2本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，是一道常规题
