1、限时训练（三十六） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且12 iz ，则1 2z z （ ）. （A） 4 3i （B）4 3i （C） 3 4i （D）3 4i（2）若集合 1,0,1,2,3A ， 2 1,B y y x x A ，集合C A B ，则C的真子集个数为（ ）. （A）3 （B）4 （C）7 （D）8（3）已知向量 12 ，a， , 2x b，若 a b与 a b垂直，则实数x的值是（ ）.（A） 1 （B）1 （C） 1 （D） 4（4）九章算术是我国古代
2、内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿大鼠日一尺，小鼠亦日一尺大鼠日自倍，小鼠日自半问几何日相逢？各穿几何？”，翻译成今天的话是：一只大鼠和一只小鼠分别从的墙两侧面对面打洞，已知第一天两鼠都打了一尺长的洞，以后大鼠每天打的洞长是前一天的2倍，小鼠每天打的洞长是前一天的一半，已知墙厚7.875尺，问两鼠几天后相见？相见时各打了几尺长的洞？设两鼠x天后相遇（假设两鼠每天的速度是匀速的），则x （ ）. （A） 2 （B）3 （C）4 （D）5（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）. （A）3 3（B） 3 （C）4 33（D）5 33（6）已知
3、双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆2 24 3 0x y y 相切，正视图 侧视图俯视图3112则此双曲线的离心率等于（ ）. （A）12（B） 2 （C） 3 （D） 2（7）下列说法正确的个数为（ ）. 对于不重合的两条直线，“两条直线斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件命题“ x R，sin 1x ”的否定是“ x R，sin 1x ”“ p且q为真”是“ p或q为真”的充分不必要条件已知直线a，b和平面，若a ， /b ，则a b .（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（8）已知随机变量 21,X N ，且 3 0.15P X ，则 1 1P X （ ）.（A）
4、0.1 （B）0.25 （C）0.35 （D）0.4（9）已知sin 2cos 3 ，求sin2 （ ）.（A）2 23（B）2 33（C）23（D）33（10）已知 ( ) ln(1 )f x x x ，若 0 a b ，( )2a bP f ， ( )Q f ab ，2 22a bR f ，则（ ）. （A）P Q R （B）R Q P （C）P R Q （D）R P Q （11）已知在三棱锥P ABC 中，4 33P ABCV ，4APC ，3BPC ，PA AC ，PB BC ，且平面PAC 平面PBC，那么三棱锥P ABC 外接球的体积为（ ）. （A）43（B）8 23（C）12
5、33（D）323（12）已知定义在R上的函数 y f x 满足 4f x f x ，且函数 2y f x 为偶函数，当 0,2x 时， 1ln2f x x ax a ，当 2,0x 时， f x 的最小值为3，则a （ ）. （A）2e（B）e（C）2 （D）1二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13） 311 2x xx 的展开式的常数项为 . （14）若变量x，y满足约束条件 11y xx yy，且 2z x y 的最大值和最小值分别为M 和m，则M m . （15）已知直线 2y x 与抛物线28y x 交于A，B，抛物线焦点为F，则FA FB . （16）已知数列 na 满足11
6、a ，22a ，22 2 1 cos sin2 2n nn na a ，则该数列的前20项的和为 限时训练（三十六） 答案部分 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B B D C C A D D A 二、填空题 13. 6 14.0 15. 3 16. 2101解析部分（1）解析 因为复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且12 iz ，所以22 iz ，从而22z i ，所以1 2z z =(2 i)( 2 i) 3 4i ， 故选C （2）解析 由题意可得 3, 1,1,3,5B ， 1,1,3C A B ，所以C的真子集有
7、32 1 7 个.故选C （3）解析 因为向量 1,2a ， , 2x b ，所以 1 ,0x a b ， 1 ,4x a b ，因为 a b与 a b垂直，所以 1 1 0 0x x a b a b ，解得 1x 故选A （4）解析 设需要n天才可以相逢，则2 11 1 1 631 2 2 22 4 2 8nn ，可得1 632 2 8 32 8nn nn .故选B （5）解析 由三视图可得，几何体为底面为正视图，高为 3的四棱锥， 体积为1 (1 2) 2 3 33 2 .故选B（6）解析 取双曲线 2 22 21 0, 0x ya ba b 的一条渐近线by xa ，即 0bx ay 由
8、圆2 24 3 0x y y 化为 222 1x y 圆心 0,2 ，半径 1r 因为渐近线与圆2 24 3 0x y y 相切，所以2 2|2 |ab a=1化为2 23a b 所以该双曲线的离心率 1 3 2cea 故选D（7）解析 对于不重合的两条直线，“两直线的斜率相等”可以推出“两条直线平行”，但是“两条直线平行”不能推出“两条直线斜率相等”，因为有斜率不存在的情况，故为充分不必要条件.错误； 全程命题的否定为特称命题，显然正确；由“ p且q为真”可知p,q均为真命题，可以推出“p或q为真”，但是反过来不行.正确；由a 可知a垂直于平面内任意一条直线，由 /b 可知b一定与平面内的某
9、条直线平行，故a b ，正确.故选C.（8）解析 因为随机变量2 (1, )X N ，且( 3) 0.15P x ，所以1 2 ( 3) 1 2 0.15( 1 1) 0.352 2P xP x .故选C. （9）解析 构造 1, 2a ， sin ,cos b .因为sin 2cos 3 a b， 3 1 3 a b ， 所以 a b a b，cos 1 a ba b，所以 /a b，所以1 2 2tansin cos 2 .222 2 2222sin cos 2tan 3 22sinsin cos 1 tan 3212a . 故选A. （10）解析 111 1xf xx x ，故当 0x
10、时， 0f x ，即 ( )f x 在 0, 单调递减.因为2 22a ba b ab ，所以 2 22 2a b a bf f f ab ，即R P Q . 故选D. （11）解析 由题意，设 2PC x ，则因为PA AC ，4APC ，所以 APC 为等腰直角三角形，所以PC边上的高为x， 因为平面PAC平面PBC，所以A到平面PBC的距离为x， 因为3BPC ，PA AC ，PB BC ，所以PB x ，BC= 3 x，所以PBCS=132x x =232x ， 所以P ABCV=A ABCV=21 33 2x x =4 33，所以 2x ， 因为PA AC ，PB BC ，所以PC的
11、中点为球心，球的半径为2， 所以三棱锥P ABC 外接球的体积为34 32 2 3 3 故选D （12）解析 因为 ( 4) ( )f x f x ，所以 ( 8) ( 4) ( )f x f x f x ，故 ( )f x 为周期为8的函数，由函数 ( 2)y f x 是偶函数，得 ( )f x 关于 2x 对称，即 ( 4) ( )f x f x ， 所以 ( ) ( )f x f x ， ( )f x 为奇函数，所以 ( )f x 在(0,2上最大值为 3 ， 当(0,2x时， 1f x ax ，令 10f x xa ，因为12a ，所以10 2a .所以 2max1 1 1ln 3 e
12、f x f a aa a a .故选A. （13）解析31( 1) 2x xx 3 31 12 2x x xx x ，2 13C 2 6 . （14）解析 作出不等式组 11y xx yy所表示的可行域如图所示，x+y=1y=-1y=xOyxBA直线 1y 交直线 1x y 于点 (2, 1)A ，交直线y x 于 ( 1, 1)B 作直线: 2l z x y ,则z为直线l在y 轴上的截距，当直线l经过可行域上A点时，直线l在y轴上的截距最大，此时Z取最大值M，即 2 2 ( 1) 3M ，当直线l经过可行域上B点时，直线l在y轴上的截距最小，此时Z取最小值m，即 2 ( 1) ( 1) 3m ，因此 0M m . （15）解析 FA FB FA FB 4 41 cos45 1 cos45 21632sin 45 （16）解析 由题中条件知，11a ，22a ，3 11 2a a ，4 22 0 4a a ，5 31 3a a ，6 42 8a a 即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2， 公比为2的等比数列， 所以该数列的前20项的和为 102101 1 2 3 10 2 4 8 2 2101 .故答案为2101
