1、2019 年河南省洛阳市洛龙区六校联考中考数学二模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）在下列各数中，比 大的数是（ ）A B C0 D2（3 分）3 月 1 日，国家统计局公布了 31 省份 2018 年 GDP 数据，其中，河南省 2018年 GDP 总量约为 4.8 万亿元，位居全国第五，数据 “4.8 万亿”用科学记数法表示为（ ）A4.810 13 B4810 11 C4.810 12 D4.810 113（3 分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A BC D4（3 分）如图，ab，A、B 为直线 a、b 上的两点，且 ABBC，BAC30，则1 与2 的度数之
2、和为（ ）A60 B90 C30 D1205（3 分）下列运算正确的是（ ）A BC（3xy 3） 29x 2y5 D6（3 分）不等式组 的整数解之和为（ ）A3 B1 C1 D37（3 分）一元二次方程（x1）（x+5）3x +2 的根的情况是（ ）A方程没有实数根B方程有两个相等的实数根C方程有两个不相等的实数根D方程的根是 1、5 和8（3 分）2019 年 2 月 9 日国际滑联四大洲花样滑冰锦标赛的花滑短节目比赛中，中国选手的得分为 74.19 分，当天比赛的其他四组选手的得分分别为 61.91 分、66.34 分、61.71分、57.38 分，则这 5 组数据的平均数、中位数分别
3、是（ ）A61.835 分、66.34 分 B61.835 分、61.91 分C64.306 分、66.34 分 D64.306 分、 61.91 分9（3 分）如图，在平面直角坐标系中，OAB 是等腰三角形，OBA120，位于第一象限，点 A 的坐标是（ ， ），将OAB 绕点 O 旋转 30得到OA 1B1，则点A1 的坐标是（ ）A（ ， ） B（ ， ）C（ ， ）或（3，0） D（ ， ）或（ ， ）10（3 分）如图，已知平行四边形 ABCD 中，ABBC，点 M 从点 D 出发，沿 DC A以 1cm/s 的速度匀速运动到点 A，图 2 是点 M 运动时，MAB 的面积 y（cm
4、 2）随时间x（s）变化的关系图象，则边 AB 的长为（ ）cmA B C D二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算： 12（3 分）如图，分别以 AB 的两个端点 A、B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点 P、Q，作直线 PQ 交 AB 于点 C，在 CP 上截取 CDAC，过点 D 作DEAC ，使 DEAC，连接 AD、BE，当 AD1 时，四边形 DCBE 的面积是 13（3 分）在九张质地都相同的卡片上分别写有数字4，3，2，1，0，1，2，3，4，从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于 2 的概率是 14（3 分）如图，O 是圆
5、心，半圆 O 的直径 AB2，点 C 在 上， 3 ，连接BC，则图中阴影部分的面积是 15（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，点 M 是 BC 边上的一个动点（点M 不与点 B、C 重合），BMx ，将ABM 沿着 AM 折叠，使点 B 落在射线 MP 上的点B处，点 E 是 CD 边上一点，CEy，将CME 沿 ME 折叠，使点 C 也落在射线 MP上的点 C处，当 y 取最大值时， CME 的面积为 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值： ，其中 17（9 分）据最新统计显示，中国人口约为 13901 亿，河南省人口约为 955
6、913 万，全国在用姓氏共计 6150 个，户籍人口数据超过千万的姓氏表中排在前 20 的姓氏和户籍人口数据如表：表一：排名 姓氏 人数（亿人） 排名 姓氏 人数（亿人）1 王 1.015 11 徐 0.2022 李 1.009 12 孙 0.1943 张 0.954 13 马 0.1914 刘 0.721 14 朱 0.1815 陈 0.633 15 胡 0.1656 杨 0.462 16 郭 0.1587 黄 0.337 17 何 0.1488 赵 0.286 18 林 0.1429 吴 0.278 19 高 0.14110 周 0.268 20 罗 0.140表二：组别 分组 频数A 0
7、.140x0.315 13B 0.315x0.490 aC 0.490x0.665 1D 0.665x0.840 1E 0.840x1.015 b请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a ，b ；（2）请补全频数分布直方图；（3）请估计河南省户籍人口中，姓氏为王的有多少万人？18（9 分）如图，AB 为 O 的直径，点 D、E 位于 AB 两侧的半圆上，射线 DC 切O于点 D，已知点 E 是半圆弧 AB 上的动点，点 F 是射线 DC 上的动点，连接DE、AE，DE 与 AB 交于点 P，再连接 FP、FB，且AED45（1）求证：CDAB；（2）填空：当 DAE 时，四边形 ADFP 是
8、菱形；当 DAE 时，四边形 BFDP 是正方形19（9 分）如图，滑翔运动员在空中测量某寺院标志性高塔“云端塔”的高度，空中的点 P 距水平地面 BE 的距离为 200 米，从点 P 观测塔顶 A 的俯角为 33，以相同高度继续向前飞行 120 米到达点 C，在 C 处观测点 A 的俯角是 60，求这座塔 AB 的高度（结果精确到 1 米）（参考数据：sin330.54，cos330.84，tan330.65，1.41）20（10 分）如图，在 Rt ABO 中，OAB90，点 A 在 y 轴正半轴上，AB OA，点 B 的坐标为（x ，3），点 D 是 OB 上的一个动点，反比例函数 的图
9、象经过点 D，交 AB 于点 C，连接 CD（1）当点 D 是 OB 的中点时，求反比例函数的解析式；（2）当点 D 到 y 轴的距离为 1 时，求CDB 的面积21（10 分）某新型高科技商品，每件的售价比进价多 6 元，5 件的进价相当于 4 件的售价，每天可售出 200 件，经市场调查发现，如果每件商品涨价 1 元，每天就会少卖 5件（1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）设每天的销售利润为 w 元，每件商品涨价 x 元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：方案一：每件商品涨价不超过 8 元；方案二：每件
10、商品的利润至少为 24 元，请比较哪种方案的销售利润更高，并说明理由22（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，以点 O 为顶点的EOF 的两边分别与边 AB、AD 交于点 E、F，且EOF 与BAD 互补（1）若四边形 ABCD 是正方形，则线段 OE 与 OF 有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形 ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若 AB：ADm：n，探索线段 OE 与 OF 的数量关系，并证明你的结论23（10 分）如图，已知抛物线 yax 2+4x+c 与 x 轴交于点 M
11、，与 y 轴交于点 N，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P，OM1，ON5（1）求抛物线的表达式；（2）点 A 是 y 轴正半轴上一动点，点 B 是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB、AM、BM ，且 ABAMAO 为何值时， ABM OMN，请说明理由；若 RtABM 中有一边的长等于 MP 时，请直接写出点 A 的坐标2019 年河南省洛阳市洛龙区六校联考中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）在下列各数中，比 大的数是（ ）A B C0 D【分析】根据对 的估计解答即可【解答】解： ， ，故选：B【点评】考查实数的比较；用到的知识点为：0
12、大于一切负数；正数大于 0；注意应熟记常见无理数的约值2（3 分）3 月 1 日，国家统计局公布了 31 省份 2018 年 GDP 数据，其中，河南省 2018年 GDP 总量约为 4.8 万亿元，位居全国第五，数据 “4.8 万亿”用科学记数法表示为（ ）A4.810 13 B4810 11 C4.810 12 D4.810 11【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：4.8 万
13、亿4.810 12，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A BC D【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可【解答】解：从上往下看，可以看到选项 C 所示的图形故选：C【点评】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键4（3 分）如图，ab，A、B 为直线 a、b 上的两点，且 ABBC，BAC30，则1 与2 的度数之和为（ ）A60 B90 C30 D120【分析】如图，
14、作 CE直线 a，首先证明1+2ACB，求出ACB 即可【解答】解：如图，作 CE 直线 a，ab，CEb，1ACE，2ECB，ACB1+2，ABBC，ABC90，BAC30，ACB60，1+260故选：A【点评】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5（3 分）下列运算正确的是（ ）A BC（3xy 3） 29x 2y5 D【分析】利用二次根式的加减法对 A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 B 进行判断；利用积的乘方和幂的乘方对 C 进行判断；根据约分对 D 进行判断【解答】解：A、原式2 ，所以 A 选项错误；B、原式
15、3 ，所以 B 选项错误；A、原式9x 2y6，所以 C 选项错误；A、原式 ，所以 D 选项正确故选：D【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可也考查了整式的运算6（3 分）不等式组 的整数解之和为（ ）A3 B1 C1 D3【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可【解答】解：解不等式 x12（x2），得：x 3，解不等式 x +2，得：x1，则不等式组的解集为 1x3，不等式组的整数解为 1、2，不等式组整数解之和为 1+23，故选：D【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组
16、的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键7（3 分）一元二次方程（x1）（x+5）3x +2 的根的情况是（ ）A方程没有实数根B方程有两个相等的实数根C方程有两个不相等的实数根D方程的根是 1、5 和【分析】把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式的符号，即可判断根的情况【解答】解：原方程可化为 x2+x70，a1，b1，c7，b 24ac1 241（7）290，方程有两个不相等的实数根故选：C【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数
17、根上面的结论反过来也成立8（3 分）2019 年 2 月 9 日国际滑联四大洲花样滑冰锦标赛的花滑短节目比赛中，中国选手的得分为 74.19 分，当天比赛的其他四组选手的得分分别为 61.91 分、66.34 分、61.71分、57.38 分，则这 5 组数据的平均数、中位数分别是（ ）A61.835 分、66.34 分 B61.835 分、61.91 分C64.306 分、66.34 分 D64.306 分、 61.91 分【分析】根据平均数和中位数的定义分别进行解答，即可得出答案【解答】解：这 5 组数据的平均数是：（74.19+61.91+66.34+61.71+57.38）564.30
18、6（分）；把这些数从小到大排列为：57.38 分、61.71 分、61.91 分、66.34 分、74.19 分，最中间的数是 61.91 分，则这 5 组数据的中位数是 61.91 分；故选：D【点评】本题考查的是平均数和中位数的定义要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位9（3 分）如图，在平面直角坐标系中，OAB 是等腰三角形，OBA120，位于第一象限，点 A 的坐标是（ ， ），将OAB 绕点 O 旋转 30得到OA 1B1，则点A1 的坐标是（ ）A（ ， ） B（ ， ）C（ ， ）或（3，0） D（ ， ）或（ ， ）【分析】两个勾股定理
19、求出 OA 的长，分两种情形分别求解即可解决问题【解答】解：如图，A（ ， ），OA 3，BABO ，ABO120，AOB30，OAB 绕点 O 旋转 30得到OA 1B1，则点 A1 的坐标是（ ， ）或（3，0），故选：C【点评】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10（3 分）如图，已知平行四边形 ABCD 中，ABBC，点 M 从点 D 出发，沿 DC A以 1cm/s 的速度匀速运动到点 A，图 2 是点 M 运动时，MAB 的面积 y（cm 2）随时间x（s）变化的关系图象，则边 AB 的长为（ ）cmA B C D【分
20、析】先由图 2 分析计算出 DC，AB，BC，AC 的长，及三角形 MAB 的面积；易判定平行四边形 ABCD 为菱形，从而其对角线垂直，从而连接对角线，得直角三角形，利用勾股定理建立方程，从而求得 a 值，进而得 AB 的长【解答】解：由图 2 可知，点 M 从点 D 到点 C 时，MAB 的面积一直为 a，DCa，ABBCa，S MAB a，当点 M 从点 C 运动到点 A 时，S MAB 逐渐减小，直到为 0，ACa+ a ，连接 BD，交 AC 于点 O，ABBC，平行四边形 ABCD 为菱形，ACBD，AOCO ，BO ，S MAB a， a，即 a，解得 a 或 （舍）边 AB 的
21、长为 cm故选：A【点评】本题是动点函数图象问题，需要数形结合，分析出相关线段的长，以及MAB的面积，然后以勾股定理建立方程得解，本题综合性较强，难度中等偏上二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算： 【分析】根据实数的运算法则即可求出答案【解答】解：原式 1+11 ，故答案为：【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型12（3 分）如图，分别以 AB 的两个端点 A、B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点 P、Q，作直线 PQ 交 AB 于点 C，在 CP 上截取 CDAC，过点 D 作DEAC ，使 DEAC，连接
22、AD、BE，当 AD1 时，四边形 DCBE 的面积是 【分析】首先证明四边形 DCBE 是矩形，求出 DC，BC 即可【解答】解：由作图可知：DCAB，ACCD，ACD90， AD1，ACDCBC ，DEACBC，DEBC，四边形 DCBE 是平行四边形，DCB90，四边形 DCBE 是矩形，四边形 DCBE 的面积CDCB ，故答案为 【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型13（3 分）在九张质地都相同的卡片上分别写有数字4，3，2，1，0，1，2，3，4，从中任意抽取一张卡片，则所抽
23、卡片上数字的绝对值不大于 2 的概率是 【分析】让绝对值不大于 2 的数的个数除以数的总数即为所抽卡片上数字的绝对值小于2 的概率【解答】解：数的总个数有 9 个，绝对值不大于 2 的数有2，1，0，1，2 共 5 个，任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于 2 的概率是 故答案为 【点评】本题考查概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比得到绝对值不大于 2 的数的个数是解决本题的易错点14（3 分）如图，O 是圆心，半圆 O 的直径 AB2，点 C 在 上， 3 ，连接BC，则图中阴影部分的面积是 【分析】连接 OC，作 CDAB 于 D，根据题意求出BOC 和AOC
24、，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可【解答】解：连接 OC，作 CDAB 于 D， 3 ，BOC135，AOC45，则 CDOC sinAOC ，阴影部分的面积 1 ，故答案为： 【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S 是解题的关键15（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，点 M 是 BC 边上的一个动点（点M 不与点 B、C 重合），BMx ，将ABM 沿着 AM 折叠，使点 B 落在射线 MP 上的点B处，点 E 是 CD 边上一点，CEy，将CME 沿 ME 折叠，使点 C 也落在射线 MP上的点 C处，当 y 取最大值时， CME 的面积为 【分析
25、】由折叠的性质得：AMBAMB ，EMCEMC，得出AME90，AMB +EMC 90，得出BAM EMC，证出ABMMCE，得出 ，即 ，求出 y x2+ x （x ） 2+ ，当 x 时，y 取最大值 ，即CE ，由三角形面积公式即可得出C ME 的面积【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，BC90，AMB +BAM90，由折叠的性质得：AMB AMB ，EMCEMC，AMB +AMB+ EMC +EMC180，AME 90 ，AMB +EMC 90，BAM EMC，ABM MCE， ，即 ，y x2+ x （x ） 2+ ，当 x ，即 BM ，CMBCBM 时，y 取最大值 ，即 CE
26、 ，此时C ME 的面积CME 的面积 ；故答案为： 【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解决问题的关键三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）先化简，再求值： ，其中 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式 ，当 a 时，原式2 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型17（9 分）据最新统计显示，中国人口约为 13901 亿，河南省人口约为 955913 万，全国在用姓氏共计 6150 个，户籍人口数据超过千万的姓氏表中排在前 20
27、 的姓氏和户籍人口数据如表：表一：排名 姓氏 人数（亿人） 排名 姓氏 人数（亿人）1 王 1.015 11 徐 0.2022 李 1.009 12 孙 0.1943 张 0.954 13 马 0.1914 刘 0.721 14 朱 0.1815 陈 0.633 15 胡 0.1656 杨 0.462 16 郭 0.1587 黄 0.337 17 何 0.1488 赵 0.286 18 林 0.1429 吴 0.278 19 高 0.14110 周 0.268 20 罗 0.140表二：组别 分组 频数A 0.140x0.315 13B 0.315x0.490 aC 0.490x0.665 1
28、D 0.665x0.840 1E 0.840x1.015 b请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a 2 ，b 3 ；（2）请补全频数分布直方图；（3）请估计河南省户籍人口中，姓氏为王的有多少万人？【分析】（1）根据表中信息即可得到结论；（2）根据题意补全频数分布直方图即可；（3）根据题意列式计算即可【解答】解：（1）根据表中信息得，a2，b3，故答案为 2，3；（2）补全频数分布直方图如图所示；（3）955913 69.797（万人），答：估计河南省户籍人口中，姓氏为王的有 69.797 万人【点评】本题考查了频数分布直方图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分
29、析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题18（9 分）如图，AB 为 O 的直径，点 D、E 位于 AB 两侧的半圆上，射线 DC 切O于点 D，已知点 E 是半圆弧 AB 上的动点，点 F 是射线 DC 上的动点，连接DE、AE，DE 与 AB 交于点 P，再连接 FP、FB，且AED45（1）求证：CDAB；（2）填空：当 DAE 67.5 时，四边形 ADFP 是菱形；当 DAE 90 时，四边形 BFDP 是正方形【分析】（1）要证明 CDAB，只要证明ODFAOD 即可，根据题目中的条件可以证明ODF AOD ，从而可以解答本题；（2） 根据四边形 ADFP 是菱形和菱形的性质，
30、可以求得DAE 的度数；根据四边形 BFDP 是正方形，可以求得DAE 的度数【解答】（1）证明：连接 OD，如右图所示，射线 DC 切 O 于点 D，ODCD，即ODF 90 ，AED45，AOD 2 AED90，ODF AOD，CDAB ；（2） 连接 AF 与 DP 交于点 G，如右上图所示，四边形 ADFP 是菱形，AED45，OA OD，AFDP ，AOD90， DAGPAG，AGE90，DAO 45，EAG45，DAG PEG22.5，EADDAG+ EAG22.5+4567.5，故答案为：67.5；四边形 BFDP 是正方形，BFFD DPPB，DPBPBFBFD FDP 90，
31、此时点 P 与点 O 重合，此时 DE 是直径，EAD90，故答案为：90【点评】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答19（9 分）如图，滑翔运动员在空中测量某寺院标志性高塔“云端塔”的高度，空中的点 P 距水平地面 BE 的距离为 200 米，从点 P 观测塔顶 A 的俯角为 33，以相同高度继续向前飞行 120 米到达点 C，在 C 处观测点 A 的俯角是 60，求这座塔 AB 的高度（结果精确到 1 米）（参考数据：sin330.54，cos330.84，tan330.65，1.41）【分析
32、】根据ACD60，求得 CDADcot60 AD0.58AD，从而求得PDPC+ CD120+0.58 AD，根据APD33，可得 ADPDtan33，利用正切函数可求出 AD 的长，进而求得 AB 的长【解答】解：ACD60，CDADcot60 AD0.58AD，PC120PDPC+ CD120+0.58 AD，APD33，ADPD tan33，AD（120+0.58 AD）0.65，AD126（米），AB20012674 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形注意方程思想与数形结合思想的应用20（10 分）如图，在 Rt ABO
33、中，OAB90，点 A 在 y 轴正半轴上，AB OA，点 B 的坐标为（ x，3），点 D 是 OB 上的一个动点，反比例函数 的图象经过点 D，交 AB 于点 C，连接 CD（1）当点 D 是 OB 的中点时，求反比例函数的解析式；（2）当点 D 到 y 轴的距离为 1 时，求CDB 的面积【分析】（1）易求得 B 的坐标，进而求得 D 的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）求得 D 点的坐标，然后求得解析式，进而求得 C 点的坐标，即可求得 BC，然后利根据三角形面积公式即可求得【解答】解：在 RtABO 中，OAB90，点 B 的坐标为（x，3），OA3，ABx，AB OA4，B（
34、4，3），点 D 是 OB 的中点，D 点坐标为（2， ），反比例函数 的图象经过点 D，k2 3，反比例函数的解析式为：y ；（2）设直线 OB 的解析式为 yax，B（4，3），34a，解得，a ，直线 OB 的解析式为 y x，点 D 到 y 轴的距离为 1，D 点的横坐标为 1，代入 y x 得，y ，D（1， ），反比例函数 的图象经过点 D，k1 ，反比例函数的解析式为：y ，把 y3 代入得，3 ，解得 x ，C（ ，3），BC3 ，S CDB （3 ） 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质；求得 D 点的坐标是解题的关键21（10 分）某新型高科技商
35、品，每件的售价比进价多 6 元，5 件的进价相当于 4 件的售价，每天可售出 200 件，经市场调查发现，如果每件商品涨价 1 元，每天就会少卖 5件（1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）设每天的销售利润为 w 元，每件商品涨价 x 元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：方案一：每件商品涨价不超过 8 元；方案二：每件商品的利润至少为 24 元，请比较哪种方案的销售利润更高，并说明理由【分析】（1）根据题目，设出未知数，列出二元一次方程组即可解答；（2）根据题目：利润每件利润销售数量，列出二次函数，根据二次
36、函数的最值问题，即可求出最大利润；（3）分别根据两种方案，算出他们的最大利润，然后进行比较【解答】解：（1）该商品的售价 x 元，进价为 y 元，由题意得：，解得 ，故商品的售价 30 元，进价为 24 元（2）由题意得：w（30+x 24）（2005x ）5（x17） 2+2645，当每件商品涨价 17 元，即售价 30+1747 元时，商品的销售利润最大，最大为 2645元（3）方案一：每件商品涨价不超过 8 元，a50，故当 x8 时，利润最大，最大利润为 w5（817） 2+26452240 元；方案二：每件商品的利润至少为 24 元，即每件的售价应涨价：30+x2424，解得x18，
37、a50，故当 a18 时，利润最大，最大利润为 w5（1817） 2+26452640 元26402240，方案二的销售利润最高【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握实际问题模型是解答此题的关键22（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，以点 O 为顶点的EOF 的两边分别与边 AB、AD 交于点 E、F，且EOF 与BAD 互补（1）若四边形 ABCD 是正方形，则线段 OE 与 OF 有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形 ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若 AB：A
38、Dm：n，探索线段 OE 与 OF 的数量关系，并证明你的结论【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出MON EOF，再判断出 OMON，进而得出OMEONF（AAS），即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）先用同角的余角相等判断出GOHEOF，进而得出 EOGFOH，即，再用 SAOB S AOD ，得出 ABOGADOH，即可得出结论【解答】解：（1）如图 1，过点 O 作 OMAB 于 M，ONAD 于 N，OMEONF90，BAD+MON180，BAD+EOF 180，MONEOF，EOMFOM ，O 是正方形 ABCD 的对角线的交点，BAODAO，OM AB，ON
39、AD，OM ON，OEOF ；（2）（1）的结论成立；理由：如图 2，过点 O 作 OMAB 于 M，ONAD 于 N，OMEONF90，BAD+MON180，BAD+EOF 180，MONEOF，EOMFOM ，O 是菱形 ABCD 的对角线的交点，BAODAO，OM AB，ON AD，OM ON，OEOF ；（3）如图 3，过点 O 作 OGAB 于 G，OHAD 于 H，OGE OHF90，BAD+GOH180，BAD+EOF 180，GOHEOF ，EOG FOH， ，O 是ABCD 的对角线的交点，S AOB S AOD ，S AOB ABOG，S AOD ADOH，ABOGADOH
40、， ， 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出全等三角形和相似三角形是解本题的关键23（10 分）如图，已知抛物线 yax 2+4x+c 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P，OM1，ON5（1）求抛物线的表达式；（2）点 A 是 y 轴正半轴上一动点，点 B 是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB、AM、BM ，且 ABAMAO 为何值时， ABM OMN，请说明理由；若 RtABM 中有一边的长等于 MP 时，请直接写出点 A 的坐标【分析】（1）将 M、N
41、的坐标代入列方程组求出 a，c 的值即可；（2） 设 A（ 0，m ），用 m 的代数式分别表示 AB、AM，然后ABMOMN 列出等式求出 m 的值；分 3 种情况讨论 当 ABMP3 时，当 AMMP3 时，当BMMP3 时，分别求出 m 的值【解答】解：（1）OM1 ，ON5，M（1，0），N（0，5），将 M（1，0），N（0，5）代入 yax 2+4x+c，a1，c5，抛物线的表达式为 yx 2+4x+5；（2） AO 为 10 时，ABMOMN 理由如下：设 A（0，m），则 OAm，AM ，k AMm，ABAM，k AB ，直线 AB 表达式：y ，抛物线 yx 2+4x+5 对
42、称轴：直线 x2，B（2， ），ABABM OMN， ， ，化简，得 m499m 21000，（m 2100）（m 2+1）0，m 2+10，m 21000，m10 或10（舍去）AO10，即 AO 为 10 时，ABM OMNA 的坐标为（ 0， ）或（ 0， ）或（0， ）M（1，0），P（2，0），MP2（1）3当 ABMP3 时，AB 3，解得 m 或 （舍去）当 AMMP3 时，AM 3，解得 m 或 （舍去）当 BMMP3 时，BM 3m 或 （舍去），故求得符合条件的 A 的坐标为（0， ）或（0， ）或（0， ）【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质及相似三角形的性质是解题的关键
