1、2020-2021 学年河南省学年河南省洛阳市洛龙区洛阳市洛龙区九年级（上）第二次月考数学试卷九年级（上）第二次月考数学试卷 一选择题一选择题 1下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列说法正确的是（ ） A可能性很大的事情是必然发生的 B可能性很小的事情是不可能发生的 C “掷一次骰子，向上一面的点数是 6”是不可能事件 D “画一个三角形，其内角和一定等于 180”是必然事件 3用配方法解一元二次方程 x2+4x30 时，原方程可变形为（ ） A （x+2）21 B （x+2）27 C （x+2）213 D （x+2）219 4已知点 A（1，y1） 、B（） 、C（2
2、，y3）在函数上，则 y1、y2、y3的大小关 系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y1y2 Dy2y1y3 5若 mn0，则正比例函数 ymx 与反比例函数 y在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A B C D 6如图，点 A、B、C、D 在O 上，CAD30，ACD50，则ADB（ ） A30 B50 C70 D80 7如图，将 RtABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定角度得到 RtADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边 上，若 DE12，B60，则点 E 与点 C 之间的距离为（ ） A12 B6 C6 D6 8秋冬季节为流感得高发期，有一人患了流感，经过两轮
3、传染后共有 81 人患了流感，每轮传染中平均一 个人传染的人数为（ ） A7 人 B8 人 C9 人 D10 人 9如图所示，在O 中，半径 OD弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交O 于点 E，连接 EC，若 AB8， CD2，则 EC 的长度为（ ） A2 B8 C2 D2 10 如图， 在平面直角坐标系中， 将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45后得到正方形OA1B1C1， 依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019的坐标是（ ） A （，） B （1，0） C （，） D （0，1） 二填空题二填空题 11一元
4、二次方程 x（x3）3x 的根是 12在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验 后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有 13 如图所示， 点 A 是反比例函数 y （x0） 的图象上一点， 过点 A 作 ABy 轴于点 B， 点 P 在 x 轴上， 若ABP 的面积是 2，则 k 14如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45后得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1与 CD 交于点 O，则图中阴影部分的面积为 15抛物线 yax2+bx+c 的对称轴直线 x2抛物线与 x 轴的一个交点在点（4
5、，0）和点（3，0） 之间，其部分图象如图所示，下列结论中：4ab0；c3a；关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两 个不相等实数根；b2+2b4ac，正确的有 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 16已知关于 x 的方程 x2+4x+3a0 （1）若此方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当 a 取满足条件的最小整数，求此时方程的解 17 “一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共 1460 人奔赴武汉其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出 一人去急诊科，再派两人到
6、发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题 （1）小丽被派往急诊科的概率是 ； （2）若正好抽出她们一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派 往发热门诊的概率 18如图所示的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列 问题： （1）以 A 点为旋转中心，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得AB1C1，画出AB1C1 （2）作出ABC 关于坐标原点 O 成中心对称的A2B2C2 （3）判断A2B2C2是否可由AB1C1绕某点 M 旋转得到；若是，请画出旋转中心 M，并直接写出旋转 中心 M 的坐标 19如图：已知 A（4，n）
7、、B（2，4）是一次函数 y1kx+b 的图象与反比例函数 y2的图象的两个 交点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB 的面积 （3）求不等式 y1y2的解集（请直接写出答案） 20如图，O 是 RtABC 的直角边 BC 上的点，以 O 为圆心，OC 长为半径的圆的O 过斜边上点 D，交 BC 于点 F，DFAO （1）判断直线 AD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BD4，BC8，求 DF 的长 21某公司销售一种商品，成本为每件 30 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 y（件）与销售单价 x（元）是一次函数关系，
8、其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价 x（元） 40 60 80 日销售量 y（件） 80 60 40 （1）直接写出 y 与 x 的关系式 ； （2）求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了 10 元，若物价部门规定该商品销售单 价不能超过 a 元，在日销售量 y（件）与销售单价 x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品 的日销售最大利润是 1500 元，求 a 的值 22如图，在ABC 中，BAC90，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且 ADAE连接 BE、CD，点 M 是 BE 的中点，连接 AM （1）观
9、察猜想：如图，若 ABAC，线段 AM 与 CD 的数量关系是 ，位置关系是 （2）类比探究：在（1）的条件下，将ADE 绕点 A 逆时针旋转 （0360） ，试判断线段 AM 和 CD 的数量关系和位置关系，仅就图的情形给出证明； （3）解决问题：若 AB2AD8，AC2AE6，点 M 始终为 BE 的中点，ADE 绕点 A 在平面内自由 旋转，当 A、B、E 三点共线时，直接写出的值 23如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为 C（3，6） ，并与 y 轴交于 点 B（0，3） ，点 A 是对称轴与 x 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图所
10、示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 BP，AP，求ABP 的面积的最大 值； （3）如图所示，在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D，求出 D 点的坐标；并探究： 在 y 轴上是否存在点 Q，使CQD60？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题一选择题 1下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】直接利用中心对称图形的性质分析得出答案 【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不合题意； C、不是中心对称图形，不合题意； D、不是中心对称图形，不合题意； 故选：A 2
11、下列说法正确的是（ ） A可能性很大的事情是必然发生的 B可能性很小的事情是不可能发生的 C “掷一次骰子，向上一面的点数是 6”是不可能事件 D “画一个三角形，其内角和一定等于 180”是必然事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 【解答】解：A、可能性很大的事情不一定是必然发生的，本选项说法错误； B、可能性很小的事情是可能发生的，本选项说法错误； C、 “掷一次骰子，向上一面的点数是 6”是随机事件，本选项说法错误； D、 “画一个三角形，其内角和一定等于 180”是必然事件，本选项说法正确； 故选：D 3用配方法解一元二次方程 x2+4x30 时，原方程可变形为（ ） A （
12、x+2）21 B （x+2）27 C （x+2）213 D （x+2）219 【分析】把方程两边加上 7，然后把方程左边写成完全平方式即可 【解答】解：x2+4x3， x2+4x+47， （x+2）27 故选：B 4已知点 A（1，y1） 、B（） 、C（2，y3）在函数上，则 y1、y2、y3的大小关 系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y1y2 Dy2y1y3 【分析】 抛物线开口向上， 对称轴为 x1 根据三点横坐标离对称轴的距离远近来判断纵坐标的大小 【解答】解： 由函数可知， 该函数的抛物线开口向上，且对称轴为 x1 A（1，y1） 、B（） 、C（2，y3）在函数上的
13、三个点， 且三点的横坐标距离对称轴的远近为： A（1，y1） 、C（2，y3） 、B（） ， y1y3y2 故选：B 5若 mn0，则正比例函数 ymx 与反比例函数 y在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据 mn0，可得 m 和 n 异号，然后对 m 的符号进行讨论，根据正比例函数和反比例函数的性 质判断 【解答】解：mn0， 当 m0 时，n0，此时正比例函数 ymx 经过第一、三象限，反比例函数图象在二、四象限，没有 符合条件的图象； 当 m0 时，n0，此时正比例函数 ymx 经过第二、四象限，反比例函数图象经过一、三象限，B 符 合条件 故选：B 6如图，
14、点 A、B、C、D 在O 上，CAD30，ACD50，则ADB（ ） A30 B50 C70 D80 【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出ACBADB180CABABC， 进而得出答案 【解答】解：，CAD30， CADCAB30， DBCDAC30， ACD50， ABD50， ACBADB180CABABC18050303070 故选：C 7如图，将 RtABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定角度得到 RtADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边 上，若 DE12，B60，则点 E 与点 C 之间的距离为（ ） A12 B6 C6 D6 【分析】由旋转的性质可得
15、DEBC12，ADAB，ACAE，DABEAC，由直角三角形的性质 可得 ABBC6，ACAB6，通过证明ACE 是等边三角形，可得 ACAEEC6 【解答】解：如图，连接 EC， 将 RtABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定角度得到 RtADE， DEBC12，ADAB，ACAE，DABEAC， B60， ACB30， ABBC6，ACAB6， ADAB，B60， ABD 是等边三角形， DAB60EAC， ACE 是等边三角形， ACAEEC6， 故选：D 8秋冬季节为流感得高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感，每轮传染中平均一 个人传染的人数为（ ） A7 人
16、B8 人 C9 人 D10 人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x 人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感” ，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x 人， 依题意，得： （1+x）281， 解得：x18，x210（不合题意，舍去） 故选：B 9如图所示，在O 中，半径 OD弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交O 于点 E，连接 EC，若 AB8， CD2，则 EC 的长度为（ ） A2 B8 C2 D2 【分析】首先连接 BE，由O 的半径 OD弦 AB 于点 C，AB8，CD1，
17、根据垂径定理可求得 AC BC4，然后设 OAx，利用勾股定理可得方程：42+（x2）2x2，则可求得半径的长，继而利用三角 形中位线的性质，求得 BE 的长，又由 AE 是直径，可得B90，继而求得答案 【解答】解：连接 BE， O 的半径 OD弦 AB 于点 C，AB8， ACBC4， 设 OAx， CD2， OCx2， 在 RtAOC 中，AC2+OC2OA2， 42+（x2）2x2， 解得：x5， OAOE5，OC3， BE2OC6， AE 是直径， B90， CE2， 故选：D 10 如图， 在平面直角坐标系中， 将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45后得到正方形OA1B1C
18、1， 依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019的坐标是（ ） A （，） B （1，0） C （，） D （0，1） 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可 【解答】解：四边形 OABC 是正方形，且 OA1， A（0，1） ， 将正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1， A1（，） ，A2（1，0） ，A3（，） ， 发现是 8 次一循环，所以 20198252余 3， 点 A2019的坐标为（，） 故选：A 二填空题二填空题 11一元二次方程 x（x3）3x 的根是 x13，x21 【分析】
19、先移项得到 x（x3）+x30，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：x（x3）+x30， （x3） （x+1）0， x30 或 x+10 所以 x13，x21 故答案为 x13，x21 12在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验 后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有 35 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为 0.3，则摸到白球的概率为 0.7，然后根据概率公式计 算即可 【解答】解：小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右， 估计摸到黄球的概率为 0.3， 摸到白球的概率为 10
20、.30.7， 白球的个数为 500.735， 即布袋中白球可能有 35 个 故答案为 35 13 如图所示， 点 A 是反比例函数 y （x0） 的图象上一点， 过点 A 作 ABy 轴于点 B， 点 P 在 x 轴上， 若ABP 的面积是 2，则 k 4 【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以AOB 的面积ABP 的面积2，然后根据反比 例函数 y中 k 的几何意义，知AOB 的面积|k|，从而确定 k 的值，求出反比例函数的解析式 【解答】解：设反比例函数的解析式为 y AOB 的面积ABP 的面积2，AOB 的面积|k|， |k|2， k4； 又反比例函数的图象的一支位于第二象限
21、， k0 k4 故答案为：4 14如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45后得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1与 CD 交于点 O，则图中阴影部分的面积为 2+ 【分析】先根据正方形的边长，求得 CB1OB1ACAB11，进而得到 SOB1C （1） 2， 再根据 SAB1C1，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积 【解答】解：连结 DC1， CAC1DCACOB1DOC145， AC1B145， ADC90， A，D，C1在一条直线上， 四边形 ABCD 是正方形， AC，OCB145， CB1OB1 AB11， CB1OB1ACAB11， SOB1CO
22、B1CB1（1）2， SAB1C1AB1B1C111， 图中阴影部分的面积（1）22+ 故答案为2+ 15抛物线 yax2+bx+c 的对称轴直线 x2抛物线与 x 轴的一个交点在点（4，0）和点（3，0） 之间，其部分图象如图所示，下列结论中：4ab0；c3a；关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两 个不相等实数根；b2+2b4ac，正确的有 【分析】根据抛物线的对称轴可判断；由抛物线与 x 轴的交点及抛物线的对称性以及由 x1 时 y 0 可判断，由抛物线与 x 轴有两个交点，且顶点为（2，3） ，即可判断；利用抛物线的顶点的纵坐 标为 3 得到3，即可判断 【解答】解：抛物线的对称轴
23、为直线 x2， 4ab0，所以正确； 与 x 轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间， 由抛物线的对称性知，另一个交点在（1，0）和（0，0）之间， x1 时，y0，且 b4a， 即 ab+ca4a+c3a+c0， c3a，所以错误； 抛物线与 x 轴有两个交点，且顶点为（2，3） ， 抛物线与直线 y2 有两个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个不相等实数根，所以正确； 抛物线的顶点坐标为（2，3） ， 3， b2+12a4ac， 4ab0， b4a， b2+3b4ac， a0， b4a0， b2+2b4ac，所以正确； 故答案为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题）
24、 16已知关于 x 的方程 x2+4x+3a0 （1）若此方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当 a 取满足条件的最小整数，求此时方程的解 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出 a 的取值范围； （2）根据（1）的结论可得出 a0，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程，此题得解 【解答】解： （1）方程 x2+4x+3a0 有两个不相等的实数根， 4241（3a）4+4a0， 解得：a1 （2）根据题意得：a0， 此时原方程为 x2+4x+30，即（x+1） （x+3）0， 解得：x11，x23
25、17 “一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共 1460 人奔赴武汉其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出 一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请你利用所学知识完成下列问题 （1）小丽被派往急诊科的概率是 ； （2）若正好抽出她们一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派 往发热门诊的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出小丽和小王同时被派往发热门诊的情况数，然后根据 概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）小丽被派往发热门
26、诊的概率； 故答案为：； （2）小丽、小王和两个同事分别用 A，B，C1，C2表示，根据题意画图如下： 由上可知；一共出现了 12 种等可能的结果，小丽和小王同时出现的有 2 种情况， 则小丽和小王同时被派往发热门诊的概率是 18如图所示的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列 问题： （1）以 A 点为旋转中心，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得AB1C1，画出AB1C1 （2）作出ABC 关于坐标原点 O 成中心对称的A2B2C2 （3）判断A2B2C2是否可由AB1C1绕某点 M 旋转得到；若是，请画出旋转中心 M，并直接写出旋转 中心 M
27、的坐标 【分析】 （1）分别作出点 B、C 绕点 A 顺时针旋转 90得到的对应点，再与点 A 首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）作线段 B1B2的中垂线，与线段 AA2中垂线（y 轴）的交点即为旋转中心，从而得出答案 【解答】解： （1）如图所示，AB1C1即为所求 （2）如图所示，A2B2C2即为所求 （3）如图所示，A2B2C2可由AB1C1绕点 M，顺时针旋转 90得到，其中点 M 坐标为（0，1） 19如图：已知 A（4，n） 、B（2，4）是一次函数 y1kx+b 的图象与反比例函数 y2的图象的两个 交点 （1）求反比例函数和
28、一次函数的解析式 （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB 的面积 （3）求不等式 y1y2的解集（请直接写出答案） 【分析】 （1）把 A（4，n） ，B（2，4）分别代入一次函数 ykx+b 和反比例函数 y，运用待定系 数法分别求其解析式； （2）把三角形 AOB 的面积看成是三角形 AOC 和三角形 OCB 的面积之和进行计算； （3）看在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数小于反比例函数的函数值 【解答】解： （1）将 B（2，4）代入 y2，可得4， 解得 m8， y2， 当 x4 时，y， A（4，2） ， 又将 A（4，2） 、B（2，4）代入 y1kx+b
29、可得： ， 解得， y1x2； （2）令 y10 可得：x20， x2， C（2，0） ， SAOBSAOC+SBOC22+242+46， （3）当4x0 或 x2 时，y1y2 20如图，O 是 RtABC 的直角边 BC 上的点，以 O 为圆心，OC 长为半径的圆的O 过斜边上点 D，交 BC 于点 F，DFAO （1）判断直线 AD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BD4，BC8，求 DF 的长 【分析】 （1）连接 OD，根据全等三角形的判定推出ACOADO，求出ADOACO90，根 据切线的判定得出即可； （2）过 D 作 DMOB 于 M，根据勾股定理求出O 的半径，根据
30、三角形面积求出 DM，根据勾股定理 求出 OM，求出 MF，根据勾股定理求出即可 【解答】解： （1）直线 AD 与O 的位置关系是相切， 理由是：连接 OD， ODOF， ODFOFD， DFAO， ODFAOD，OFDAOC， AODAOC， 在ACO 和ADO 中 ACOADO， ADOACO， ACO90， ADO90， OD 为半径， 直线 AD 与O 的位置关系是相切； （2）设O 的半径是 R， BC8， BO8R， 在 RtODB 中，由勾股定理得：OD2+BD2OB2， 即 R2+42（8R）2， 解得：R3， 即 OD3，BO835， 过 D 作 DMOB 于 M， 则 S
31、ODBODBD， 345DM， 解得：DM2.4， 在 RtDMO 中，由勾股定理得：OM1.8， MF31.81.2， 在 RtDMF 中，由勾股定理得：DF1.2 21某公司销售一种商品，成本为每件 30 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 y（件）与销售单价 x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价 x（元） 40 60 80 日销售量 y（件） 80 60 40 （1）直接写出 y 与 x 的关系式 yx+120 ； （2）求公司销售该商品获得的最大日利润； （3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了 10 元，若物价部门规定该商
32、品销售单 价不能超过 a 元，在日销售量 y（件）与销售单价 x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品 的日销售最大利润是 1500 元，求 a 的值 【分析】 （1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出 关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值； （3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果 【解答】解： （1）设解析式为 ykx+b， 将（40，80）和（60，60）代入，可得，解得：， 所以 y 与 x 的关系式为 yx+120， 故答案为：yx+120； （2）设公司销售该商品获得的日利润为
33、w 元， w（x30）y（x30） （x+120）x2+150 x3600（x75）2+2025， x300，x+1200， 30 x120， a10， 抛物线开口向下，函数有最大值， 当 x75 时，w最大2025， 答：当销售单价是 75 元时，最大日利润是 2025 元 （3）w（x3010） （x+120）x2+160 x4800（x80）2+1600， 当 w最大1500 时，（x80）2+16001500， 解得 x170，x290， 40 xa， 有两种情况， a80 时，在对称轴左侧，w 随 x 的增大而增大， 当 xa70 时，w最大1500， a80 时，在 40 xa 范
34、围内 w最大16001500， 这种情况不成立， a70 22如图，在ABC 中，BAC90，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且 ADAE连接 BE、CD，点 M 是 BE 的中点，连接 AM （1）观察猜想：如图，若 ABAC，线段 AM 与 CD 的数量关系是 AMCD ，位置关系是 AM CD （2）类比探究：在（1）的条件下，将ADE 绕点 A 逆时针旋转 （0360） ，试判断线段 AM 和 CD 的数量关系和位置关系，仅就图的情形给出证明； （3）解决问题：若 AB2AD8，AC2AE6，点 M 始终为 BE 的中点，ADE 绕点 A 在平面内自由 旋转，当 A、B、E 三点共
35、线时，直接写出的值 【分析】 （1）如图中，首先证明 BECD，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可 （2）如图中，结论：AMCD，AMCD延长 AM 到 H，使得 MHAM，连接 BH，EH，延长 CD 交 AH 于 J，交 AB 于 T证明DACHBA（ASA） ，推出 CDAH，ACDBAH，可得结论 （3）分两种情形：如图1 中，当点 E 在 BA 的延长线上时， 如图2 中， 当点 E 在线段 BA 上时， 分别求出 AM，CD，即可解决问题 【解答】解： （1）如图中， ADAE，DACEAB90，ACAB， DACEAB（SAS） ， CDBE，ACDABE， BAE90，
36、BMME， AMBE， AMBMMECD， ABMMABACD， MAB+CAM90， ACD+CAM90， AMCD 故答案为：AMCD，AMCD （2）如图中，结论：AMCD，AMCD 理由：延长 AM 到 H，使得 MHAM，连接 BH，EH，延长 CD 交 AH 于 J，交 AB 于 T AMMH，BMBE， 四边形 ABHE 是平行四边形， BHAE，BHAE， ABH+BAE180， BACDAE90， DAC+BAEBAC+DAE180， DACHBA， ACBA，BHAEAD， DACHBA（ASA） ， CDAH，ACDBAH， AMCD， BAH+CAH90， ACD+CA
37、H90， AJC90， AMCD （3）如图1 中，当点 E 在 BA 的延长线上时，由题意：AB8AE3，AD4BMME， AMABBM85.52.5，CDACAD642， 如图2 中，当点 E 在线段 BA 上时，AM2.5+35.5，CD6410， 综上所述，满足条件的的值为或 23如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为 C（3，6） ，并与 y 轴交于 点 B（0，3） ，点 A 是对称轴与 x 轴的交点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 BP，AP，求ABP 的面积的最大 值； （3）如图所
38、示，在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D，求出 D 点的坐标；并探究： 在 y 轴上是否存在点 Q，使CQD60？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意可设抛物线解析式为 ya（x3）2+6，将 B（0，3）代入可得 a，则可求解 析式； （2）连接 PO，设 P（n，n2+2n+3） ，分别求出 SBPOn，SAPOn2+3n+，SABO，所 以 SABPSBOP+SAOPSABOn2+n （n） 2+ ， 当 x时， SABP的最大值为； （3）设 D 点的坐标为（t，t2+2t+3） ，过 D 作对称轴的垂线，垂足为 G，则 DGt3，CG6
39、（ t2+2t+3） t22t+3， 在 RtCGD 中， CGDG， 所以（t3） t22t+3， 求出 D （3+3， 3） ，所以 AG3，GD3，连接 AD，在 RtADG 中，ADAC6，CAD120，在以 A 为圆 心，AC 为半径的圆与 y 轴的交点为 Q 点，此时，CQDCAD60，设 Q（0，m） ，AQ 为圆 A 的半径，AQ2OA2+QO29+m236，求出 m3或 m3，即可求 Q 【解答】解： （1）抛物线顶点坐标为 C（3，6） ， 可设抛物线解析式为 ya（x3）2+6， 将 B（0，3）代入可得 a， yx2+2x+3； （2）连接 PO， BO3，AO3， 设
40、 P（n，n2+2n+3） ， SABPSBOP+SAOPSABO， SBPOn， SAPOn2+3n+， SABO， SABPSBOP+SAOPSABOn2+n（n）2+， 当 x时，SABP的最大值为； （3）存在，设 D 点的坐标为（t，t2+2t+3） ， 过 D 作对称轴的垂线，垂足为 G， 则 DGt3，CG6（t2+2t+3）t22t+3， ACD30， 2DGDC， 在 RtCGD 中， CGDG， （t3）t22t+3， t3+3或 t3（舍） D（3+3，3） ， AG3，GD3， 连接 AD，在 RtADG 中， AD6， ADAC6，CAD120， 在以 A 为圆心，AC 为半径的圆与 y 轴的交点为 Q 点， 此时，CQDCAD60， 设 Q（0，m） ，AQ 为圆 A 的半径， AQ2OA2+QO29+m2， AQ2AC2， 9+m236， m3或 m3， 综上所述：Q 点坐标为（0，3）或（0，3）
