2020-2021学年河南省洛阳市洛龙区九年级上第二次月考数学试卷(含答案解析)

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1、2020-2021 学年河南省学年河南省洛阳市洛龙区洛阳市洛龙区九年级(上)第二次月考数学试卷九年级(上)第二次月考数学试卷 一选择题一选择题 1下列图形中,是中心对称图形的是( ) A B C D 2下列说法正确的是( ) A可能性很大的事情是必然发生的 B可能性很小的事情是不可能发生的 C “掷一次骰子,向上一面的点数是 6”是不可能事件 D “画一个三角形,其内角和一定等于 180”是必然事件 3用配方法解一元二次方程 x2+4x30 时,原方程可变形为( ) A (x+2)21 B (x+2)27 C (x+2)213 D (x+2)219 4已知点 A(1,y1) 、B() 、C(2

2、,y3)在函数上,则 y1、y2、y3的大小关 系是( ) Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y1y2 Dy2y1y3 5若 mn0,则正比例函数 ymx 与反比例函数 y在同一坐标系中的大致图象可能是( ) A B C D 6如图,点 A、B、C、D 在O 上,CAD30,ACD50,则ADB( ) A30 B50 C70 D80 7如图,将 RtABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定角度得到 RtADE,点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边 上,若 DE12,B60,则点 E 与点 C 之间的距离为( ) A12 B6 C6 D6 8秋冬季节为流感得高发期,有一人患了流感,经过两轮

3、传染后共有 81 人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染的人数为( ) A7 人 B8 人 C9 人 D10 人 9如图所示,在O 中,半径 OD弦 AB 于点 C,连接 AO 并延长交O 于点 E,连接 EC,若 AB8, CD2,则 EC 的长度为( ) A2 B8 C2 D2 10 如图, 在平面直角坐标系中, 将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45后得到正方形OA1B1C1, 依此方式,绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019,那么点 A2019的坐标是( ) A (,) B (1,0) C (,) D (0,1) 二填空题二填空题 11一元

4、二次方程 x(x3)3x 的根是 12在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验 后发现,摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右,则布袋中白球可能有 13 如图所示, 点 A 是反比例函数 y (x0) 的图象上一点, 过点 A 作 ABy 轴于点 B, 点 P 在 x 轴上, 若ABP 的面积是 2,则 k 14如图,边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45后得到正方形 AB1C1D1,边 B1C1与 CD 交于点 O,则图中阴影部分的面积为 15抛物线 yax2+bx+c 的对称轴直线 x2抛物线与 x 轴的一个交点在点(4

5、,0)和点(3,0) 之间,其部分图象如图所示,下列结论中:4ab0;c3a;关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两 个不相等实数根;b2+2b4ac,正确的有 三解答题(共三解答题(共 8 小题)小题) 16已知关于 x 的方程 x2+4x+3a0 (1)若此方程有两个不相等的实数根,求 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,当 a 取满足条件的最小整数,求此时方程的解 17 “一方有难,八方支援”是中华民族的传统美德在抗击新冠病毒战役中,我省支援湖北医疗队共 1460 人奔赴武汉其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院,根据该医院人事安排需要先抽出 一人去急诊科,再派两人到

6、发热门诊,请你利用所学知识完成下列问题 (1)小丽被派往急诊科的概率是 ; (2)若正好抽出她们一位同事去往急诊科,请你利用画树状图或列表的方法,求出小丽和小王同时被派 往发热门诊的概率 18如图所示的正方形网格中,ABC 的顶点均在格点上,请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列 问题: (1)以 A 点为旋转中心,将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得AB1C1,画出AB1C1 (2)作出ABC 关于坐标原点 O 成中心对称的A2B2C2 (3)判断A2B2C2是否可由AB1C1绕某点 M 旋转得到;若是,请画出旋转中心 M,并直接写出旋转 中心 M 的坐标 19如图:已知 A(4,n)

7、、B(2,4)是一次函数 y1kx+b 的图象与反比例函数 y2的图象的两个 交点 (1)求反比例函数和一次函数的解析式 (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB 的面积 (3)求不等式 y1y2的解集(请直接写出答案) 20如图,O 是 RtABC 的直角边 BC 上的点,以 O 为圆心,OC 长为半径的圆的O 过斜边上点 D,交 BC 于点 F,DFAO (1)判断直线 AD 与O 的位置关系,并说明理由; (2)若 BD4,BC8,求 DF 的长 21某公司销售一种商品,成本为每件 30 元,经过市场调查发现,该商品的日销售量 y(件)与销售单价 x(元)是一次函数关系,

8、其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表: 销售单价 x(元) 40 60 80 日销售量 y(件) 80 60 40 (1)直接写出 y 与 x 的关系式 ; (2)求公司销售该商品获得的最大日利润; (3)销售一段时间以后,由于某种原因,该商品每件成本增加了 10 元,若物价部门规定该商品销售单 价不能超过 a 元,在日销售量 y(件)与销售单价 x(元)保持(1)中函数关系不变的情况下,该商品 的日销售最大利润是 1500 元,求 a 的值 22如图,在ABC 中,BAC90,点 D、E 分别在 AB、AC 上,且 ADAE连接 BE、CD,点 M 是 BE 的中点,连接 AM (1)观

9、察猜想:如图,若 ABAC,线段 AM 与 CD 的数量关系是 ,位置关系是 (2)类比探究:在(1)的条件下,将ADE 绕点 A 逆时针旋转 (0360) ,试判断线段 AM 和 CD 的数量关系和位置关系,仅就图的情形给出证明; (3)解决问题:若 AB2AD8,AC2AE6,点 M 始终为 BE 的中点,ADE 绕点 A 在平面内自由 旋转,当 A、B、E 三点共线时,直接写出的值 23如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx+c(a0)的顶点坐标为 C(3,6) ,并与 y 轴交于 点 B(0,3) ,点 A 是对称轴与 x 轴的交点 (1)求抛物线的解析式; (2)如图所

10、示,P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限,连接 BP,AP,求ABP 的面积的最大 值; (3)如图所示,在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D,求出 D 点的坐标;并探究: 在 y 轴上是否存在点 Q,使CQD60?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题一选择题 1下列图形中,是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】直接利用中心对称图形的性质分析得出答案 【解答】解:A、是中心对称图形,符合题意; B、不是中心对称图形,不合题意; C、不是中心对称图形,不合题意; D、不是中心对称图形,不合题意; 故选:A 2

11、下列说法正确的是( ) A可能性很大的事情是必然发生的 B可能性很小的事情是不可能发生的 C “掷一次骰子,向上一面的点数是 6”是不可能事件 D “画一个三角形,其内角和一定等于 180”是必然事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 【解答】解:A、可能性很大的事情不一定是必然发生的,本选项说法错误; B、可能性很小的事情是可能发生的,本选项说法错误; C、 “掷一次骰子,向上一面的点数是 6”是随机事件,本选项说法错误; D、 “画一个三角形,其内角和一定等于 180”是必然事件,本选项说法正确; 故选:D 3用配方法解一元二次方程 x2+4x30 时,原方程可变形为( ) A (

12、x+2)21 B (x+2)27 C (x+2)213 D (x+2)219 【分析】把方程两边加上 7,然后把方程左边写成完全平方式即可 【解答】解:x2+4x3, x2+4x+47, (x+2)27 故选:B 4已知点 A(1,y1) 、B() 、C(2,y3)在函数上,则 y1、y2、y3的大小关 系是( ) Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y1y2 Dy2y1y3 【分析】 抛物线开口向上, 对称轴为 x1 根据三点横坐标离对称轴的距离远近来判断纵坐标的大小 【解答】解: 由函数可知, 该函数的抛物线开口向上,且对称轴为 x1 A(1,y1) 、B() 、C(2,y3)在函数上的

13、三个点, 且三点的横坐标距离对称轴的远近为: A(1,y1) 、C(2,y3) 、B() , y1y3y2 故选:B 5若 mn0,则正比例函数 ymx 与反比例函数 y在同一坐标系中的大致图象可能是( ) A B C D 【分析】根据 mn0,可得 m 和 n 异号,然后对 m 的符号进行讨论,根据正比例函数和反比例函数的性 质判断 【解答】解:mn0, 当 m0 时,n0,此时正比例函数 ymx 经过第一、三象限,反比例函数图象在二、四象限,没有 符合条件的图象; 当 m0 时,n0,此时正比例函数 ymx 经过第二、四象限,反比例函数图象经过一、三象限,B 符 合条件 故选:B 6如图,

14、点 A、B、C、D 在O 上,CAD30,ACD50,则ADB( ) A30 B50 C70 D80 【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出ACBADB180CABABC, 进而得出答案 【解答】解:,CAD30, CADCAB30, DBCDAC30, ACD50, ABD50, ACBADB180CABABC18050303070 故选:C 7如图,将 RtABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定角度得到 RtADE,点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边 上,若 DE12,B60,则点 E 与点 C 之间的距离为( ) A12 B6 C6 D6 【分析】由旋转的性质可得

15、DEBC12,ADAB,ACAE,DABEAC,由直角三角形的性质 可得 ABBC6,ACAB6,通过证明ACE 是等边三角形,可得 ACAEEC6 【解答】解:如图,连接 EC, 将 RtABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定角度得到 RtADE, DEBC12,ADAB,ACAE,DABEAC, B60, ACB30, ABBC6,ACAB6, ADAB,B60, ABD 是等边三角形, DAB60EAC, ACE 是等边三角形, ACAEEC6, 故选:D 8秋冬季节为流感得高发期,有一人患了流感,经过两轮传染后共有 81 人患了流感,每轮传染中平均一 个人传染的人数为( ) A7 人

16、B8 人 C9 人 D10 人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x 人,根据“有一人患了流感,经过两轮传染后共有 81 人患了流感” ,即可得出关于 x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论 【解答】解:设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x 人, 依题意,得: (1+x)281, 解得:x18,x210(不合题意,舍去) 故选:B 9如图所示,在O 中,半径 OD弦 AB 于点 C,连接 AO 并延长交O 于点 E,连接 EC,若 AB8, CD2,则 EC 的长度为( ) A2 B8 C2 D2 【分析】首先连接 BE,由O 的半径 OD弦 AB 于点 C,AB8,CD1,

17、根据垂径定理可求得 AC BC4,然后设 OAx,利用勾股定理可得方程:42+(x2)2x2,则可求得半径的长,继而利用三角 形中位线的性质,求得 BE 的长,又由 AE 是直径,可得B90,继而求得答案 【解答】解:连接 BE, O 的半径 OD弦 AB 于点 C,AB8, ACBC4, 设 OAx, CD2, OCx2, 在 RtAOC 中,AC2+OC2OA2, 42+(x2)2x2, 解得:x5, OAOE5,OC3, BE2OC6, AE 是直径, B90, CE2, 故选:D 10 如图, 在平面直角坐标系中, 将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45后得到正方形OA1B1C

18、1, 依此方式,绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019,那么点 A2019的坐标是( ) A (,) B (1,0) C (,) D (0,1) 【分析】探究规律,利用规律解决问题即可 【解答】解:四边形 OABC 是正方形,且 OA1, A(0,1) , 将正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1, A1(,) ,A2(1,0) ,A3(,) , 发现是 8 次一循环,所以 20198252余 3, 点 A2019的坐标为(,) 故选:A 二填空题二填空题 11一元二次方程 x(x3)3x 的根是 x13,x21 【分析】

19、先移项得到 x(x3)+x30,然后利用因式分解法解方程 【解答】解:x(x3)+x30, (x3) (x+1)0, x30 或 x+10 所以 x13,x21 故答案为 x13,x21 12在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验 后发现,摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右,则布袋中白球可能有 35 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为 0.3,则摸到白球的概率为 0.7,然后根据概率公式计 算即可 【解答】解:小红通过多次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右, 估计摸到黄球的概率为 0.3, 摸到白球的概率为 10

20、.30.7, 白球的个数为 500.735, 即布袋中白球可能有 35 个 故答案为 35 13 如图所示, 点 A 是反比例函数 y (x0) 的图象上一点, 过点 A 作 ABy 轴于点 B, 点 P 在 x 轴上, 若ABP 的面积是 2,则 k 4 【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等,所以AOB 的面积ABP 的面积2,然后根据反比 例函数 y中 k 的几何意义,知AOB 的面积|k|,从而确定 k 的值,求出反比例函数的解析式 【解答】解:设反比例函数的解析式为 y AOB 的面积ABP 的面积2,AOB 的面积|k|, |k|2, k4; 又反比例函数的图象的一支位于第二象限

21、, k0 k4 故答案为:4 14如图,边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45后得到正方形 AB1C1D1,边 B1C1与 CD 交于点 O,则图中阴影部分的面积为 2+ 【分析】先根据正方形的边长,求得 CB1OB1ACAB11,进而得到 SOB1C (1) 2, 再根据 SAB1C1,以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积 【解答】解:连结 DC1, CAC1DCACOB1DOC145, AC1B145, ADC90, A,D,C1在一条直线上, 四边形 ABCD 是正方形, AC,OCB145, CB1OB1 AB11, CB1OB1ACAB11, SOB1CO

22、B1CB1(1)2, SAB1C1AB1B1C111, 图中阴影部分的面积(1)22+ 故答案为2+ 15抛物线 yax2+bx+c 的对称轴直线 x2抛物线与 x 轴的一个交点在点(4,0)和点(3,0) 之间,其部分图象如图所示,下列结论中:4ab0;c3a;关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两 个不相等实数根;b2+2b4ac,正确的有 【分析】根据抛物线的对称轴可判断;由抛物线与 x 轴的交点及抛物线的对称性以及由 x1 时 y 0 可判断,由抛物线与 x 轴有两个交点,且顶点为(2,3) ,即可判断;利用抛物线的顶点的纵坐 标为 3 得到3,即可判断 【解答】解:抛物线的对称轴

23、为直线 x2, 4ab0,所以正确; 与 x 轴的一个交点在(3,0)和(4,0)之间, 由抛物线的对称性知,另一个交点在(1,0)和(0,0)之间, x1 时,y0,且 b4a, 即 ab+ca4a+c3a+c0, c3a,所以错误; 抛物线与 x 轴有两个交点,且顶点为(2,3) , 抛物线与直线 y2 有两个交点, 关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个不相等实数根,所以正确; 抛物线的顶点坐标为(2,3) , 3, b2+12a4ac, 4ab0, b4a, b2+3b4ac, a0, b4a0, b2+2b4ac,所以正确; 故答案为 三解答题(共三解答题(共 8 小题)小题)

24、 16已知关于 x 的方程 x2+4x+3a0 (1)若此方程有两个不相等的实数根,求 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,当 a 取满足条件的最小整数,求此时方程的解 【分析】 (1)根据方程的系数结合根的判别式0,即可得出关于 a 的一元一次不等式,解之即可得出 a 的取值范围; (2)根据(1)的结论可得出 a0,将其代入原方程,再利用因式分解法解方程,此题得解 【解答】解: (1)方程 x2+4x+3a0 有两个不相等的实数根, 4241(3a)4+4a0, 解得:a1 (2)根据题意得:a0, 此时原方程为 x2+4x+30,即(x+1) (x+3)0, 解得:x11,x23

25、17 “一方有难,八方支援”是中华民族的传统美德在抗击新冠病毒战役中,我省支援湖北医疗队共 1460 人奔赴武汉其中小丽、小王和三个同事共五人直接派往一线某医院,根据该医院人事安排需要先抽出 一人去急诊科,再派两人到发热门诊,请你利用所学知识完成下列问题 (1)小丽被派往急诊科的概率是 ; (2)若正好抽出她们一位同事去往急诊科,请你利用画树状图或列表的方法,求出小丽和小王同时被派 往发热门诊的概率 【分析】 (1)直接根据概率公式求解即可; (2)根据题意画出树状图得出所有等情况数,找出小丽和小王同时被派往发热门诊的情况数,然后根据 概率公式即可得出答案 【解答】解: (1)小丽被派往发热门

26、诊的概率; 故答案为:; (2)小丽、小王和两个同事分别用 A,B,C1,C2表示,根据题意画图如下: 由上可知;一共出现了 12 种等可能的结果,小丽和小王同时出现的有 2 种情况, 则小丽和小王同时被派往发热门诊的概率是 18如图所示的正方形网格中,ABC 的顶点均在格点上,请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列 问题: (1)以 A 点为旋转中心,将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得AB1C1,画出AB1C1 (2)作出ABC 关于坐标原点 O 成中心对称的A2B2C2 (3)判断A2B2C2是否可由AB1C1绕某点 M 旋转得到;若是,请画出旋转中心 M,并直接写出旋转 中心 M

27、的坐标 【分析】 (1)分别作出点 B、C 绕点 A 顺时针旋转 90得到的对应点,再与点 A 首尾顺次连接即可; (2)分别作出三个顶点关于原点的对称点,再首尾顺次连接即可; (3)作线段 B1B2的中垂线,与线段 AA2中垂线(y 轴)的交点即为旋转中心,从而得出答案 【解答】解: (1)如图所示,AB1C1即为所求 (2)如图所示,A2B2C2即为所求 (3)如图所示,A2B2C2可由AB1C1绕点 M,顺时针旋转 90得到,其中点 M 坐标为(0,1) 19如图:已知 A(4,n) 、B(2,4)是一次函数 y1kx+b 的图象与反比例函数 y2的图象的两个 交点 (1)求反比例函数和

28、一次函数的解析式 (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB 的面积 (3)求不等式 y1y2的解集(请直接写出答案) 【分析】 (1)把 A(4,n) ,B(2,4)分别代入一次函数 ykx+b 和反比例函数 y,运用待定系 数法分别求其解析式; (2)把三角形 AOB 的面积看成是三角形 AOC 和三角形 OCB 的面积之和进行计算; (3)看在交点的哪侧,对于相同的自变量,一次函数小于反比例函数的函数值 【解答】解: (1)将 B(2,4)代入 y2,可得4, 解得 m8, y2, 当 x4 时,y, A(4,2) , 又将 A(4,2) 、B(2,4)代入 y1kx+b

29、可得: , 解得, y1x2; (2)令 y10 可得:x20, x2, C(2,0) , SAOBSAOC+SBOC22+242+46, (3)当4x0 或 x2 时,y1y2 20如图,O 是 RtABC 的直角边 BC 上的点,以 O 为圆心,OC 长为半径的圆的O 过斜边上点 D,交 BC 于点 F,DFAO (1)判断直线 AD 与O 的位置关系,并说明理由; (2)若 BD4,BC8,求 DF 的长 【分析】 (1)连接 OD,根据全等三角形的判定推出ACOADO,求出ADOACO90,根 据切线的判定得出即可; (2)过 D 作 DMOB 于 M,根据勾股定理求出O 的半径,根据

30、三角形面积求出 DM,根据勾股定理 求出 OM,求出 MF,根据勾股定理求出即可 【解答】解: (1)直线 AD 与O 的位置关系是相切, 理由是:连接 OD, ODOF, ODFOFD, DFAO, ODFAOD,OFDAOC, AODAOC, 在ACO 和ADO 中 ACOADO, ADOACO, ACO90, ADO90, OD 为半径, 直线 AD 与O 的位置关系是相切; (2)设O 的半径是 R, BC8, BO8R, 在 RtODB 中,由勾股定理得:OD2+BD2OB2, 即 R2+42(8R)2, 解得:R3, 即 OD3,BO835, 过 D 作 DMOB 于 M, 则 S

31、ODBODBD, 345DM, 解得:DM2.4, 在 RtDMO 中,由勾股定理得:OM1.8, MF31.81.2, 在 RtDMF 中,由勾股定理得:DF1.2 21某公司销售一种商品,成本为每件 30 元,经过市场调查发现,该商品的日销售量 y(件)与销售单价 x(元)是一次函数关系,其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表: 销售单价 x(元) 40 60 80 日销售量 y(件) 80 60 40 (1)直接写出 y 与 x 的关系式 yx+120 ; (2)求公司销售该商品获得的最大日利润; (3)销售一段时间以后,由于某种原因,该商品每件成本增加了 10 元,若物价部门规定该商

32、品销售单 价不能超过 a 元,在日销售量 y(件)与销售单价 x(元)保持(1)中函数关系不变的情况下,该商品 的日销售最大利润是 1500 元,求 a 的值 【分析】 (1)根据题中所给的表格中的数据,利用待定系数法可得其关系式,也可以根据关系直接写出 关系式; (2)根据利润等于每件的利润乘以件数,再利用配方法求得其最值; (3)根据题意,列出关系式,再分类讨论求最值,比较得到结果 【解答】解: (1)设解析式为 ykx+b, 将(40,80)和(60,60)代入,可得,解得:, 所以 y 与 x 的关系式为 yx+120, 故答案为:yx+120; (2)设公司销售该商品获得的日利润为

33、w 元, w(x30)y(x30) (x+120)x2+150 x3600(x75)2+2025, x300,x+1200, 30 x120, a10, 抛物线开口向下,函数有最大值, 当 x75 时,w最大2025, 答:当销售单价是 75 元时,最大日利润是 2025 元 (3)w(x3010) (x+120)x2+160 x4800(x80)2+1600, 当 w最大1500 时,(x80)2+16001500, 解得 x170,x290, 40 xa, 有两种情况, a80 时,在对称轴左侧,w 随 x 的增大而增大, 当 xa70 时,w最大1500, a80 时,在 40 xa 范

34、围内 w最大16001500, 这种情况不成立, a70 22如图,在ABC 中,BAC90,点 D、E 分别在 AB、AC 上,且 ADAE连接 BE、CD,点 M 是 BE 的中点,连接 AM (1)观察猜想:如图,若 ABAC,线段 AM 与 CD 的数量关系是 AMCD ,位置关系是 AM CD (2)类比探究:在(1)的条件下,将ADE 绕点 A 逆时针旋转 (0360) ,试判断线段 AM 和 CD 的数量关系和位置关系,仅就图的情形给出证明; (3)解决问题:若 AB2AD8,AC2AE6,点 M 始终为 BE 的中点,ADE 绕点 A 在平面内自由 旋转,当 A、B、E 三点共

35、线时,直接写出的值 【分析】 (1)如图中,首先证明 BECD,再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可 (2)如图中,结论:AMCD,AMCD延长 AM 到 H,使得 MHAM,连接 BH,EH,延长 CD 交 AH 于 J,交 AB 于 T证明DACHBA(ASA) ,推出 CDAH,ACDBAH,可得结论 (3)分两种情形:如图1 中,当点 E 在 BA 的延长线上时, 如图2 中, 当点 E 在线段 BA 上时, 分别求出 AM,CD,即可解决问题 【解答】解: (1)如图中, ADAE,DACEAB90,ACAB, DACEAB(SAS) , CDBE,ACDABE, BAE90,

36、BMME, AMBE, AMBMMECD, ABMMABACD, MAB+CAM90, ACD+CAM90, AMCD 故答案为:AMCD,AMCD (2)如图中,结论:AMCD,AMCD 理由:延长 AM 到 H,使得 MHAM,连接 BH,EH,延长 CD 交 AH 于 J,交 AB 于 T AMMH,BMBE, 四边形 ABHE 是平行四边形, BHAE,BHAE, ABH+BAE180, BACDAE90, DAC+BAEBAC+DAE180, DACHBA, ACBA,BHAEAD, DACHBA(ASA) , CDAH,ACDBAH, AMCD, BAH+CAH90, ACD+CA

37、H90, AJC90, AMCD (3)如图1 中,当点 E 在 BA 的延长线上时,由题意:AB8AE3,AD4BMME, AMABBM85.52.5,CDACAD642, 如图2 中,当点 E 在线段 BA 上时,AM2.5+35.5,CD6410, 综上所述,满足条件的的值为或 23如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx+c(a0)的顶点坐标为 C(3,6) ,并与 y 轴交于 点 B(0,3) ,点 A 是对称轴与 x 轴的交点 (1)求抛物线的解析式; (2)如图所示,P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限,连接 BP,AP,求ABP 的面积的最大 值; (3)如图所

38、示,在对称轴 AC 的右侧作ACD30交抛物线于点 D,求出 D 点的坐标;并探究: 在 y 轴上是否存在点 Q,使CQD60?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)由题意可设抛物线解析式为 ya(x3)2+6,将 B(0,3)代入可得 a,则可求解 析式; (2)连接 PO,设 P(n,n2+2n+3) ,分别求出 SBPOn,SAPOn2+3n+,SABO,所 以 SABPSBOP+SAOPSABOn2+n (n) 2+ , 当 x时, SABP的最大值为; (3)设 D 点的坐标为(t,t2+2t+3) ,过 D 作对称轴的垂线,垂足为 G,则 DGt3,CG6

39、( t2+2t+3) t22t+3, 在 RtCGD 中, CGDG, 所以(t3) t22t+3, 求出 D (3+3, 3) ,所以 AG3,GD3,连接 AD,在 RtADG 中,ADAC6,CAD120,在以 A 为圆 心,AC 为半径的圆与 y 轴的交点为 Q 点,此时,CQDCAD60,设 Q(0,m) ,AQ 为圆 A 的半径,AQ2OA2+QO29+m236,求出 m3或 m3,即可求 Q 【解答】解: (1)抛物线顶点坐标为 C(3,6) , 可设抛物线解析式为 ya(x3)2+6, 将 B(0,3)代入可得 a, yx2+2x+3; (2)连接 PO, BO3,AO3, 设

40、 P(n,n2+2n+3) , SABPSBOP+SAOPSABO, SBPOn, SAPOn2+3n+, SABO, SABPSBOP+SAOPSABOn2+n(n)2+, 当 x时,SABP的最大值为; (3)存在,设 D 点的坐标为(t,t2+2t+3) , 过 D 作对称轴的垂线,垂足为 G, 则 DGt3,CG6(t2+2t+3)t22t+3, ACD30, 2DGDC, 在 RtCGD 中, CGDG, (t3)t22t+3, t3+3或 t3(舍) D(3+3,3) , AG3,GD3, 连接 AD,在 RtADG 中, AD6, ADAC6,CAD120, 在以 A 为圆心,AC 为半径的圆与 y 轴的交点为 Q 点, 此时,CQDCAD60, 设 Q(0,m) ,AQ 为圆 A 的半径, AQ2OA2+QO29+m2, AQ2AC2, 9+m236, m3或 m3, 综上所述:Q 点坐标为(0,3)或(0,3)

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