1、2019 年河南省重点中学中考数学模拟试卷（3 月份）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在下表中1（3 分）下面的图形中，不是中心对称图形的是（ ）A BC D2（3 分）下列事件为必然事件的是（ ）A小王参加本次数学考试，成绩是 500 分B某射击运动员射靶一次，正中靶心C打开电视机，CCTV 第一套节目正在播放新闻D口袋中装有 2 个红球和 1 个白球，从中摸出 2 个球，其中必有红球3（3 分）若 x1 是方程 ax2+bx+c0 的解，则（ ）Aa+ b+c1 Bab+c0 Ca+b+ c0 Dabc 04（3
2、分）如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ）A B C D5（3 分）如图，在平面直角坐标系中，过点 A 且与 x 轴平行的直线交抛物线y （x +1） 2 于 B，C 两点，若线段 BC 的长为 6，则点 A 的坐标为（ ）A（0，1） B（0，4.5） C（0，3） D（0，6）6（3 分）如图，在平面直角坐标系中，P 过 O（0， 0），A （3，0），B（0，4）三点，点 C 是 上的点（点 O 除外），连接 OC，BC，则 sinOCB 等于（ ）A B C D7（3 分）现有 6 张卡片，卡片的正面分别写有“我”“们”“的”“四”“十”“年”，它们除此之外完全相同，把这 6 张卡片背
3、面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面的汉字刚好组成“我们”的概率是（ ）A B C D8（3 分）如图，斜面 AC 的坡度（ CD 与 AD 的比）为 1：2，AC米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端 B 点与 A 点之间有一条彩带相连若 AB13 米，则旗杆 BC 的高度为（ ）A （ +1）米 B5 米 C9.5 米 D12 米9（3 分）已知直角三角形纸片的两直角边 AC 与 BC 的比为 3：4，首先将ABC 如图 1所示折叠，使点 C 落在 AB 上，折痕为 BD，然后将ABD 如图 2 所示折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 sinDEA 的值为（ ）A B C D
4、10（3 分）如图，在半径为 6 的O 中，正六边形 ABCDEF 与正方形 AGDH 都内接于O，则图中阴影部分的面积为（ ）A279 B18 C5418 D54二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）若点 P（4，5）和点 Q（a，b）关于原点对称，则 a 的值为 12（3 分） 如图，ABC 与A 1B1C1 为位似图形，点 O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知ABC 的面积为 3，那么A 1B1C1 的面积是 13（3 分）如图，正方形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 在劣弧 上不同于点 C 的任意一点，则BPC 的度数是 度14（3 分）如图，6 个形状、
5、大小完全相同的菱形组成网格，已知菱形的一个角O 为60，A，B ， C 都在格点上，则 tanABC 的值为 15（3 分）如图，矩形 ABCD 的边长 AB3cm，AC 3 cm，动点 M 从点 A 出发，沿AB 以 1cm/s 的速度向点 B 匀速运动，同时动点 N 从点 D 出发，沿 DA 以 2cm/s 的速度向点 A 匀速运动若AMN 与ACD 相似，则运动的时间 t 为 s三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）如图，AB 为 O 的直径，C、D 是O 上的两点，且 BDOC，求证： 17（9 分）如图，ABC 由EDC 绕 C 点旋转得到，B、C 、E 三
6、点在同一条直线上，ACDB求证：ABC 是等腰三角形18（9 分）如图，在一居民楼 AB 和塔 CD 之间有一棵树 EF，从楼顶 A 处经过树顶 E 点恰好看到塔的底部 D 点，且俯角 为 38从距离楼底 B 点 2 米的 P 处经过树顶 E 点恰好看到塔的顶部 C 点，且仰角 为 28已知树高 EF8 米，求塔 CD 的高度（参考数据：sin380.6， cos380.8，tan380.8，sin280.5，cos280.9，tan280.5）19（9 分）已知，如图所示直线 ykx+2（k0）与反比例函数 y （m0）分别交于点 P，与 y 轴、x 轴分别交于点 A 和点 B，且 cosA
7、BO ，过 P 点作 x 轴的垂线交于点 C，连接 AC，（1）求一次函数的解析式（2）若 AC 是PCB 的中线，求反比例函数的关系式20（9 分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40 只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空已知做 x 只蛋糕的成本为 R 元，售价为每只 P 元，且 R、P 与 x 的关系式为 R500+30 x，P 1702x ，设她家每日获得的利润为 y 元（1）销售 x 只蛋糕的总售价为 元（用含 x 的代数式表示），并求 y 与 x 的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每
8、日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？21（10 分）如图，在ABC 中，AB8，CBA 30，以 AB 为直径作半圆 O，半圆O 恰好经过点 C，点 D 在线段 AB 上运动，点 E 与点 D 关于 AC 对称，DF DE 于点D，并交 EC 的延长线于点 F（1）求证：CECF（2）填空：若 DF 与半圆 O 相交于点 P，则当点 D 与点 O 重合时， 的长为 在点 D 的运动过程中，当 EF 与半圆 O 相切时，EF 的长为 22（10 分）已知抛物线 yax 2+bx+c（a0）上的一点 A（m b，n）（mb），且nm 2mb+c （1）若 ab，c0，求抛物线 yax 2+bx
9、+c 与 x 轴的交点坐标（2）若抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，求 b 与 c 的数量关系（3）在（2）的条件下，若抛物线 yax 2+bx+c 经过点（1，0），则当 m 为何值时，n 有最小值？23（11 分）若ABC 绕点 A 逆时针旋转 后，与ADE 构成位似图形，则我们称ABC 与 ADE 互为“旋转位似图形”（1）知识理解：如图 1，ABC 与ADE 互为“旋转位似图形”若 25，D100，C28，则BAE ；若 AD6， DE7，AB4，则 BC （2）知识运用：如图 2，在四边形 ABCD 中，ADC90，AEBD 于点 E，DACDBC，求证：ACD
10、与ABE 互为“旋转位似图形”（3）拓展提高：如图 3，ABG 为等边三角形，点 C 为 AG 的中点，点 F 是 AB 边上的一点，点 D 为CF 延长线上的一点，点 E 在线段 CF 上，且ABD 与 ACE 互为“旋转位似图形”若 AB6，AD4，求 的值2019 年河南省重点中学中考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在下表中1（3 分）下面的图形中，不是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点解答即可求解【解答】解：A、是中心对称图形，
11、故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形，注意把握：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合2（3 分）下列事件为必然事件的是（ ）A小王参加本次数学考试，成绩是 500 分B某射击运动员射靶一次，正中靶心C打开电视机，CCTV 第一套节目正在播放新闻D口袋中装有 2 个红球和 1 个白球，从中摸出 2 个球，其中必有红球【分析】根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、是不可能事件，故本选项错误；B、是随机事件，故本选项错误；C、是随机事件，故
12、本选项错误；D、是必然事件，故本选项正确；故选：D【点评】本题考查的是事件的分类，即事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，熟知以上知识是解答此题的关键3（3 分）若 x1 是方程 ax2+bx+c0 的解，则（ ）Aa+ b+c1 Bab+c0 Ca+b+ c0 Dabc 0【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将 x1 代入原方程可以求得a、b、c 的关系【解答】解：把 x1 代入 ax2+bx+c0，可得：a+b+c0；故选：C【点评】本题考查的是一元二次方程的根即
13、方程的解的定义4（3 分）如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ）A B C D【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示【解答】解：如图所示：俯视图应该是 故选：B【点评】本题考查了作图三视图，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等5（3 分）如图，在平面直角坐标系中，过点 A 且与 x 轴平行的直线交抛物线y （x+1） 2 于 B，C 两点，若线段 BC 的长为 6，则点 A 的坐标为（ ）A（0，1） B（0，4.5） C（0，3） D（0，6）【分析】设 A（0，b），B
14、（x 1，b），C （x 2，b），把 yb 代入 y （x+1） 2 得，x2+2x+13b0，然后根据根与系数的关系，得出（2） 24（13b）36，解得即可【解答】解：设 A（0，b），B（x 1，b），C （x 2，b），把 yb 代入 y （x +1） 2 得， x2+2x+13b0，x 1+x22， x1x213b，BC6，x 2x 16，（x 1+x2） 2 4x1x236，（2） 24（13b）36，解得 b3，A（0，3）故选：C【点评】本题考查了以及二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于 x 轴上的两点之间的距离，比较简单6（3 分）如图，在平面直角坐标系
15、中，P 过 O（0， 0），A （3，0），B（0，4）三点，点 C 是 上的点（点 O 除外），连接 OC，BC，则 sinOCB 等于（ ）A B C D【分析】连接 AB，由圆周角定理得出OCBOAB，求出 OA3，OB4，由勾股定理得出 AB5，则 sinOAB ，即可得出结果【解答】解：连接 AB，则OCBOAB，如图所示：O（0，0），A（3，0）， B（0，4），OA3，OB4，在 Rt AOB 中，AB 5，sinOAB ，sinOCB ；故选：A【点评】本题考查了圆周角定理、坐标与图形性质、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握圆周角定理与勾股定理是关键7（3 分）现有 6 张卡
16、片，卡片的正面分别写有“我”“们”“的”“四”“十”“年”，它们除此之外完全相同，把这 6 张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面的汉字刚好组成“我们”的概率是（ ）A B C D【分析】画树状图所有 30 种等可能的结果数，找出这两张卡片正面的汉字刚好组成“我们”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 30 种等可能的结果数，其中这两张卡片正面的汉字刚好组成“我们”的结果数为2，所以这两张卡片正面的汉字刚好组成“我们”的概率 故选：A【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目
17、m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率8（3 分）如图，斜面 AC 的坡度（ CD 与 AD 的比）为 1：2，AC 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端 B 点与 A 点之间有一条彩带相连若 AB13 米，则旗杆 BC 的高度为（ ）A （ +1）米 B5 米 C9.5 米 D12 米【分析】设 CDx 米，根据坡度的定义用 x 表示出 AD，根据勾股定理列式求出 x，求出 AD、CD 的长，根据勾股定理求出 BD，计算即可【解答】解：设 CDx 米，斜面 AC 的坡度为 1：2，AD2x，由勾股定理得，x 2+（2x ） 2（ ） 2，解得，x ，CDx ，AD2x5，在 Rt ABD
18、 中，BD 12，BCBDCD9.5（米），故选：C【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的定义、勾股定理是解题的关键9（3 分）已知直角三角形纸片的两直角边 AC 与 BC 的比为 3：4，首先将ABC 如图 1所示折叠，使点 C 落在 AB 上，折痕为 BD，然后将ABD 如图 2 所示折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 sinDEA 的值为（ ）A B C D【分析】设 AC3x ，BC4x，由勾股定理可求 AB5x，由折叠的性质可得AED2ABDABC，即可求 sinDEA 的值【解答】解：AC 与 BC 的比为 3：4，设 AC3x， BC4x ，
19、AB 5x将ABC 如图 1 所示折叠，使点 C 落在 AB 上，DBCDBA ABC，将ABD 如图 2 所示折叠，使点 B 与点 D 重合，ABDBDEAED2ABD ABCsinDEA sinABC故选：A【点评】本题考查了翻折变换，解直角三角形，证明AED2ABDABC 是本题的关键10（3 分）如图，在半径为 6 的O 中，正六边形 ABCDEF 与正方形 AGDH 都内接于O，则图中阴影部分的面积为（ ）A279 B18 C5418 D54【分析】设 EF 交 AH 于 M、交 HD 于 N，连接 OF、OE 、MN，根据题意得：EFO 是等边三角形，HMN 是等腰直角三角形， d
20、c1EFOF6，由三角函数求出EFO 的高为3，得出 MN2（63 ）126 ，求出 FM3 3，由三角形面积公式即可得出阴影部分的面积【解答】解：设 EF 交 AH 于 M、交 HD 于 N，连接 OF、OE 、MN，如图所示：根据题意得：EFO 是等边三角形，HMN 是等腰直角三角形，EFOF 6，EFO 的高为：OF sin606 3 ，MN2（63 ）126 ，FM （612+6 ）3 3，阴影部分的面积4S AFM 4 （3 3）3 5418 ；故选：C【点评】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解题的关键是知道阴影部分的面积等于 4 个三角形的面积二、填空题（每小题 3 分，共
21、15 分）11（3 分）若点 P（4，5）和点 Q（a，b）关于原点对称，则 a 的值为 4 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案【解答】解：点 P（4，5）和点 Q（a，b）关于原点对称，点 Q 的坐标为（4，5），即 a4故答案为：4【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律12（3 分） 如图，ABC 与A 1B1C1 为位似图形，点 O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知ABC 的面积为 3，那么A 1B1C1 的面积是 12 【分析】由ABC 与A 1B1C1 为位似图形，位似比是 1：2，即可得
22、ABC 与A 1B1C1为相似三角形，且相似比为 1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案【解答】解：ABC 与A 1B1C1 为位似图形，ABCA 1B1C1，位似比是 1：2，相似比是 1：2，ABC 与A 1B1C1 的面积比为：1：4，ABC 的面积为 3，A 1B1C1 的面积是：3412故答案为：12【点评】此题考查了位似图形的性质注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用13（3 分）如图，正方形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 在劣弧 上不同于点 C 的任意一点，则BPC 的度数是 45 度【分析】连接 OB，O
23、C，由正方形的性质知， BOC 是等腰直角三角形，有BOC90，由圆周角定理可以求出【解答】解：连接 OB，OC，如图所示：四边形 ABCD 为正方形，BOC90，P BOC45故答案为：45【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质及圆周角定理求解14（3 分）如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，已知菱形的一个角O 为60，A，B ， C 都在格点上，则 tanABC 的值为 【分析】先证明AEC90，再根据 tanABC ，求出 AE、EB 即可解决问题【解答】解：设菱形的边长为 a，由题意得AEF30，BEF60，AE a，EB2a，AEC90，在 Rt AEB 中，
24、tan ABC 故答案为： 【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型15（3 分）如图，矩形 ABCD 的边长 AB3cm，AC 3 cm，动点 M 从点 A 出发，沿AB 以 1cm/s 的速度向点 B 匀速运动，同时动点 N 从点 D 出发，沿 DA 以 2cm/s 的速度向点 A 匀速运动若AMN 与ACD 相似，则运动的时间 t 为 2.4 或 1.5 s【分析】先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的 t 值即可说明存在，反之则不存在【解答】解：由题意得 DN2t，AN 62t，
25、AM t，若NMAACD，则有 ，即 ，解得 t1.5，若MNAACD则有 ，即 ，解得 t2.4，答：当 t1.5 秒或 2.4 秒时， AMN 与ACD 相似故答案为：1.5 或 2.4【点评】此题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16（8 分）如图，AB 为 O 的直径，C、D 是O 上的两点，且 BDOC，求证： 【分析】根据平行线的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可【解答】证明：OBOD，DB，BDOC，DCOD，AOCB，AOCCOD， 【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性
26、质和圆心角、弧、弦的关系解答17（9 分）如图，ABC 由EDC 绕 C 点旋转得到，B、C 、E 三点在同一条直线上，ACDB求证：ABC 是等腰三角形【分析】由旋转的性质可知D B，再根据已知条件证明 ACDE，进而证明ACBA ，所以 ABC 是等腰三角形【解答】证明：由旋转知D B，ACDB，ACDD，ACDE，ACBE，又AE，ACBA，ABC 是等腰三角形【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的判定，对于旋转的性质用到最多的是：旋转前、后的图形全等18（9 分）如图，在一居民楼 AB 和塔 CD 之间有一棵树 EF，从楼顶 A 处经过树顶 E 点恰好看到塔的底部 D 点，且俯角
27、 为 38从距离楼底 B 点 2 米的 P 处经过树顶 E 点恰好看到塔的顶部 C 点，且仰角 为 28已知树高 EF8 米，求塔 CD 的高度（参考数据：sin380.6， cos380.8，tan380.8，sin280.5，cos280.9，tan280.5）【分析】根据题意求出EDF38，通过解直角EFD 求得 FD，在 RtPEH 中，利用特殊角的三角函数值分别求出 BF，即可求得 PG，在 RtPCG 中，继而可求出 CG的长度【解答】解：由题意知，EDF 38，FD 10（米）EH826（米）在 Rt PEH 中，tan 0.5BF12（米）PGBDBF+ FD12+10 22（
28、米）在直角PCG 中，tan CGPGtan 220.5 11（米）CD11+2 13（米）【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度19（9 分）已知，如图所示直线 ykx+2（k0）与反比例函数 y （m0）分别交于点 P，与 y 轴、x 轴分别交于点 A 和点 B，且 cosABO ，过 P 点作 x 轴的垂线交于点 C，连接 AC，（1）求一次函数的解析式（2）若 AC 是PCB 的中线，求反比例函数的关系式【分析】（1）由 cosABO ，可得到 tanABO2，从而可得到 k2；（2）先求得 A、B 的坐标
29、，然后依据中点坐标公式可求得点 P 的坐标，将点 P 的坐标代入反比例函数的解析式可求得 m 的值【解答】解：（1）cosABO ，tanABO2k2一次函数的解析式为 y2x+2（2）当 x0 时，y 2，A（0，2）当 y0 时，2x+20，解得：x 1B（1，0）AC 是PCB 的中线，P（1，4）mxy144，反例函数的解析式为 y 【点评】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点、锐角三角函数的定义、中点坐标公式的应用，确定一次函数系数 ktanABO 是解题的关键20（9 分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40 只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售
30、一空已知做 x 只蛋糕的成本为 R 元，售价为每只 P 元，且 R、P 与 x 的关系式为 R500+30 x，P 1702x ，设她家每日获得的利润为 y 元（1）销售 x 只蛋糕的总售价为 （2x 2+170x） 元（用含 x 的代数式表示），并求 y与 x 的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？【分析】（1）利用总售价销售单价销售数量可得，再根据每日利润总售价做x 只蛋糕的成本可得 y 关于 x 的解析式；（2）求出 y1500 时 x 的值即可得；（3）将所得函数解析式配方成顶点式
31、，再利用二次函数的性质求解可得【解答】解：（1）销售 x 只蛋糕的总售价为（1702x）x2x 2+170x（元），根据题意，得：y（2x 2+170x）（500+30 x）2x 2+140x500，故答案为：（2x 2+170x）；（2）当 y1500 时，得：2x 2+140x5001500，解得：x 120、x 250，x40，x20，即当每日做 20 只蛋糕时，每日获得的利润为 1500 元；（3）y2x 2+140x500 2（x35） 2+1950，a20，当 x35 时，y 取得最大值，最大值为 1950，答：当每日做 35 只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是 1950
32、 元【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入售价数量的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键21（10 分）如图，在ABC 中，AB8，CBA 30，以 AB 为直径作半圆 O，半圆O 恰好经过点 C，点 D 在线段 AB 上运动，点 E 与点 D 关于 AC 对称，DF DE 于点D，并交 EC 的延长线于点 F（1）求证：CECF（2）填空：若 DF 与半圆 O 相交于点 P，则当点 D 与点 O 重合时， 的长为 在点 D 的运动过程中，当 EF 与半圆 O 相切时，EF 的长为 4 【分析】（1）由点 E 与点 D 关于 AC 对称
33、可得 CECD，再根据 DFDE 即可证到CECF；（2） 根据已知条件得到 DEAC，推出 DFBC，得到FDB60，根据弧长的公式即可得到结论；连接 OC，CD，推出AOC 是等边三角形，根据切线的性质得到ACEB30，得到OCD30，根据三角函数的定义得到 CDsin60AC2 ，于是得到结论【解答】解：（1）连接 CD，如图 1 所示，点 E 与点 D 关于 AC 对称，CECD，ECDE，DFDE ，EDF90，E+F90，CDE+CDF90，FCDF，CDCF，CECDCF；（2） 点 E 与点 D 关于 AC 对称，DEAC，ACBEDF90，DFBC，FDB60，当点 D 与点
34、 O 重合时， 的长 ，故答案为： ；连接 OC，CD，CBA30，AOC60，OCOA，AOC 是等边三角形，EF 与半圆 O 相切，ACEB30，ACD30，ADC90，OCD30，CDsin60 AC2 ，CECDCF，EF2CD4 故答案为：4 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，画出的计算，轴对称的性质正确的作出辅助线是解题的关键22（10 分）已知抛物线 yax 2+bx+c（a0）上的一点 A（m b，n）（mb），且nm 2mb+c （1）若 ab，c0，求抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴的交点坐标（2）若抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，求
35、b 与 c 的数量关系（3）在（2）的条件下，若抛物线 yax 2+bx+c 经过点（1，0），则当 m 为何值时，n 有最小值？【分析】（1）ab，c0 代入表达式得到 ax2+ax0，即可求点；（2）A（mb，m 2mb+c ）代入表达式得 a1，b 24c0 求关系式；（3）将点（1，0）代入解析式，c1，b2 得到 nm 2mb +c（m1） 2 即可求解；【解答】解：（1）ab，c0，yax 2+ax，ax2+ax0，x0 或 x1，抛物线与 x 轴交点坐标（0，0），（1，0）；（2）nm 2mb+c，A（mb，m 2mb+c ），将点 A 代入抛物线 yax 2+bx+c，a（m
36、b） 2+b（mb）+ cm 2mb+c，整理，得（mb） 2（a1） 0，mb，a1，yx 2+bx+c，b 24c0；b 24c；（3）yx 2+bx+c，将点（1，0）代入解析式，b1+c，（1+c） 24c ，c1，b2，nm 2mb+c（m1） 2，当 m1 时，n 有最小值 0；【点评】本题考查二次函数的性质；掌握函数点与解析式之间的关系，函数图象与 x 轴交点的存在条件，二次函数最值的求法是解题的关键23（11 分）若ABC 绕点 A 逆时针旋转 后，与ADE 构成位似图形，则我们称ABC 与 ADE 互为“旋转位似图形”（1）知识理解：如图 1，ABC 与ADE 互为“旋转位似
37、图形”若 25，D100，C28，则BAE 27 ；若 AD6， DE7，AB4，则 BC （2）知识运用：如图 2，在四边形 ABCD 中，ADC90，AEBD 于点 E，DACDBC，求证：ACD 与ABE 互为“旋转位似图形”（3）拓展提高：如图 3，ABG 为等边三角形，点 C 为 AG 的中点，点 F 是 AB 边上的一点，点 D 为CF 延长线上的一点，点 E 在线段 CF 上，且ABD 与 ACE 互为“旋转位似图形”若 AB6，AD4，求 的值【分析】（1）依据ABC 和ADE 互为“旋转位似图形 ”，可得ABCADE，依据相似三角形的对应角相等，即可得到BAE18010028
38、2527；依据 ABC ADE ，可得 ，根据 AD6，DE7，AB4，即可得出 BC；（2）依据AODBOC，即可得到 ，进而得到AOBDOC，再根据78，ADCAEB，即可得到ABEACD，进而得出ACD 和ABE 互为“旋转位似图形”；（3）利用三角函数和勾股定理解答即可【解答】解：（1）ABC 和ADE 互为“旋转位似图形 ”，ABCADE，DB100，又25，E28，BAE 180100252827； ABCADE ， ，AD6，DE7，AB 4， ，BC ，故答案为：27； ；（2）DOACOB， DACDBC，DOA COB ， ，即 ，又DOCAOB ，AOBDOC，DCAEBA，又ADC90，AEBD，ADCAEB90，ABE ACD，DACEAB，AEB 绕点 A 逆时针旋转DAE 的度数后与ADC 构成位似图形，ACD 和ABE 互为“旋转位似图形”；（3）AC AG AB3，由题意得： ，AD4，AE2，DAEFAC60，cosDAEcos60 ，DEA90，由勾股定理可得 CE ，DEAEtanDAE2 ， 【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的综合运用在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键
