1、 - 1 - 2019 届江西省重点中学高三下学期第一次联考 高三数学试卷（理科） 第 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 是虚数单位， 则 ( ) A. 2 B. C. 4 D. 【答案】 B 2.集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 3.已知向量 ， ， ，则 与 的夹角为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 4.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形 .在此图形内随机取一点，则此点
2、取自等边三角形内的概率是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 5.已知圆 与抛物线 交于 两点，与抛物线的准线交于 两点，若四边形 是矩形，则 等于 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 6.函数 的图象大致为 ( ) A. B. - 2 - C. D. 【答案】 A 7.若 ， ，则下列不等式正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 8.已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分 后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 9.函数 的定义域为 ，且 ，当 时， ；当 时， ，则 ( ) A. 671
3、 B. 673 C. 1343 D. 1345 【答案】 D 10.如图所示，直三棱柱的高为 4，底面边长分别是 5， 12， 13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为 8，则球的体积为 ( ) A. B. C. D. - 3 - 【答案】 A 11.函数 与函数 的图像关于点 对称，且 ，则 的最小值等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 D 12.已知函数 ，若关于 的方程 有且仅有两个不同的整数解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 第 卷（共 90 分） 本卷 包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每
4、个试题考生都必须作答；第 22 题第23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 . 13.若 x， y 满足 ，则 的最小值为 _ 【答案】 2 14.在 的展开式中常数项等于 _ 【答案】 9 15.已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，点 在双曲线上，点 的坐标为 ，且 到直线 ，的距离相等，则 _ 【答案】 4 16.在 中，内角 所对的边分别为 ， 是 的中点，若 且，则 面积的最大值是 _ 【答案】 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.已知数列 满足 ， （ ）求数列 的通项公式； （ ）求数列 的前 项和 【答案】（
5、 ） ；（ ） 。 - 4 - 【解析】 【分析】 （ ）由 可得 ，两式相减得到，最后验证 满足上式，进而得到通项公式；（ ）由（ ）可得 ，于是，故利用裂项相消法可求出 【详解】（ ） ， 两式相减得 ， 又当 时， 满足上式， 数列 的通项公式 （ ）由（ ）得 ， 【点睛】（ 1）求数列 的通项公式时要根据条件选择合适的方法，如本题属于已知数列的和求通项的问题，故在求解时利用仿写、作差的方法求解，容易忽视的地方是忘记对 时的情况的验证 （ 2）裂项相消法求和适用于数列的通项公式为分式形式的数列，裂项相消后得到的结果具有对称性，即相消后前面剩几项，后面就剩几项；前面剩第几项，后面就剩第几
6、项 18.山东省高考改革试点方案规定：从 2017 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科； 2020 年开始，高考总成绩由语数外 3 门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成 .将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分 为 A、 B+、 B、 C+、 C、 D+、 D、 E 共 8 个等级 .参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、 7%、 16%、 24%、 24%、 16%、 7%、 3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，- 5 - 依照等比例转换法则，分别转换到 91,100、 81,90、 71,80、 61,70、 51,60、 41,
7、50、 31,40、21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩 某校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服 从正态分布 N（ 60,169） （ ）求物理原始成绩在区间（ 47,86）的人数； （ ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记 X 表示这 3 人中等级成绩在区间 61,80的人数，求 X 的分布列和数学期望 . （附：若随机变量 ，则 ， ，） 【答案】（ ） 1636 人；（ ）见解析。 【解析】 【分析】 （ ）根据正态曲线的对称性，可将区间 分为 和 两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区
8、间 内的概率，进而可求出相应的人数；（ ）由题意得成绩在区间 61,80的概率为，且 ，由此可得 的分布列 和数学期望 【详解】（ ）因为物理原始成绩 ， 所以 所以物理原始成绩在（ 47， 86）的人数为 （人） （ ）由题意得，随机抽取 1 人，其成绩在区间 61,80内的概率为 所以随机抽取三人，则 的所有可能取值为 0,1,2,3，且 ， 所以 ， ， ， 所以 的分布列为 - 6 - 0 1 2 3 所以数学期望 【点睛】（ 1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性 （ 2）解答第二问的关键是判断出
9、随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布 19.如图，在四面体 中， 分别是线段 的中点， ， ， ，直线 与平面 所成的角等于 （ ）证明：平面 平面 ； （ ）求二面角 的余弦值 【答案】 () 见证明； () 。 【解析】 【分析】 （ ）先证得 ，再证得 ，于是可得 平面 ，根据面面垂直的判定定理可得平面平面 （ ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所 求 【详解】（ ）在 中， 是斜边 的中点， 所以 . 因为 是 的中点， 所以 ，且 ， 所以 ， - 7 - 所以 . 又因为 ，
10、所以 ， 又 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以平面 平面 （ ）方法一：取 中点 ，连 ，则 ， 因为 ， 所以 . 又因为 ， ， 所以 平面 ， 所以 平面 因此 是直线 与平面 所成的角 故 ， 所以 . 过点 作 于 ，则 平面 ， 且 过点 作 于 ，连接 ， 则 为二面角 的平面角 因为 ， 所以 ， 所以 ， - 8 - 因此二面角 的余弦值为 方 法二： 如图所示，在平面 BCD 中，作 x 轴 BD ，以 B 为坐标原点， BD， BA 所在直线为 y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 因为 (同方法一 ,过程略 ) 则 ， , 所以 , , ， 设平面 的法向量 ，
11、则 ，即 ，取 ,得 设平面 的法向量 则 ，即 ，取 ,得 所以 ， 由图形得二面角 为锐角， 因此二面角 的余弦值为 【点睛】利用几何法求空间角的步骤为 “ 作、证、求 ” ，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出 两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系 20.椭圆 的离心率是 ，过点 做斜率为 的直线 ，椭圆 与直线 交于 两点，当直线 垂直于 轴时 （ ）求椭圆 的方程； （ ）当 变化时，在 轴上是否存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，若存在求出 的取值范围，若不存在说明理由 【答
12、案】 () ； () 见解析。 - 9 - 【解析】 【分析】 （ ）由椭圆的离心率为 得到 ，于是椭圆方程为 有根据题意得到椭圆过点 ，将坐标代入方程后求得 ，进而可得椭圆的方程（ ）假设存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，则点 为线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点由题意得设出直线 的方程，借助二次方程的知识求得线段 的中点 的坐标，进而得到线段 的垂直平分线的方程，在求出点 的坐标后根据基本不等式可求出 的取值范围 【详解】（ ）因为椭圆的离心率为 ， 所以 ，整理得 故椭圆的方程为 由已知得椭圆过点 ， 所以 ，解得 ， 所以椭圆的 方程为 （ ）由题意得直线 的方程为 由 消
13、去 整理得 ， 其中 设 ， 的中点 则 ， 所以 ， 点 C 的坐标为 假设在 轴存 在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形， 则点 为线段 的垂直平分线与 x 轴的交点 当 时，则过点 且与 垂直的直线方程 ， - 10 - 令 ，则得 若 ，则 ， 若 ，则 ， 当 时，则有 综上可得 所以存在点 满足条件 ,且 m 的取值范围是 . 【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解 由于此类问
14、题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解 21.已知函数 （ 为常数） （ ）若 是定义域上的单调函数，求 的取值范围； （ ）若 存在两个极值点 ，且 ，求 的最大值 【答案】 () ； () 。 【解析】 【分析】 （ ）由 是单调函数可得 在定义域上恒成立，然后转化为二次方程根的分布的问题处理即可（ ）由题意得 是方程 的两根，故得 ，不妨令 ，然后将 表示为 的函数，最后根据函数的单调性可求得最大值 【详解】（ ） ， ， 设 ， ， 是定义域上的单调函数，函数 的图象为开口向上的抛物线， - 11 - 在定义域上恒成立，即 在 上恒成
15、立 又二次函数图象的对称轴为 ，且图象过定点 ， ，或 ，解得 . 实数 的取值范围为 （ ）由（ I）知函数 的两个极值点 满足 ， 所以 ， 不妨设 ，则 在 上是减函数， ， 令 ，则 ， 又 ，即 ， 解得 ， 故 ， 设 ， 则 ， 在 上为增函数 ， 即 所以 的最大值为 - 12 - 【点睛】（ 1）解答第一问时注意由函数在 定义域上为单调函数，可得到 或 恒成立，然后结合导函数的特点进行求解，解题时注意二次方程根的分布在解题中的应用 （ 2）解答第二问的关键有两个：一个是把 转化为变量 的函数，二是通过换元构造出变量为的函数，然后再借助单调性求解 请考生在 22， 23 两题中
16、任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 . 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，曲线 （ ）求 的直角坐标方程； （ ）若直线 与曲线 , 分别相交于异于原点的点 ,求 的最大值 . 【答案】 () ； () 。 【解析】 【分析】 （ ）将极坐标方程化为 ，然后再结合转化公式求解即可（ ）由于点 同在直线 上，故可根据 两点的极径差的绝对值来求出 ，然后再求出其最大值 【详解】（ ）极坐标方程 可化为 所以 ， 将 代入上式可得 ， 所以曲线 的直角坐标方程为 . （ ）不妨设 ，点 的极坐标分别为 ， 由
17、 ，得到 由 ，得到 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以当 时， 取得最大值 【点睛】本题考查极坐标和直角坐标间的转化，合理利用转化公式 求解是解题的关键对于极坐标系内的- 13 - 长度问题，根据题意可利用极径差的绝对值求解，此时要求两点应为同一条直线与一条曲线或两条曲线的交点，注意转化的合理性 23.已知 , （ ）若 ,求不等式 的解集； （ ）设关于 的不等式 的解集为 ,若集合 ,求 的取值范围 . 【答案】 () ； () 。 【解析】 【分析】 （ ）利用零点分区间法去掉绝对值，转化为不等式组求解即可（ ）根据题意将问题转化为 “ 对于，不等式 恒成立 ” 求解，通过去掉绝对值得到 对恒成立，求出最值可得结果 【详解】（ ）当 时，不 等式 即为 ， 等价于 或 或 解得 或 ， 所以 所以原不等式的解集为 （ ）由题意可知，对于 ，不等式 恒成立， 故不等式 对于 恒成立， 化简得 所以 ， 即 对于 恒成立， 又当 时， ，且 ， 所以 ， 所以实数 的取值范围为 【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理
