1、2019 年天津市红桥区中考数学一模试卷一、（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）计算 4+（3）的结果等于（ ）A7 B7 C1 D12（3 分）sin30的值等于（ ）A1 B C D3（3 分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A B C D4（3 分）天津西站在 2019 年春运的首日运输旅客达 42000 人次，将 42000 用科学记数法表示应为（ ）A4210 3 B4.210 4 C4.210 3 D0.4210 55（3 分）如图是由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A
2、 B C D6（3 分）估计 的值在（ ）A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间7（3 分）方程组 的解为（ ）A B C D8（3 分）计算 的结果为（ ）A1 B1 C D9（3 分）若点 A（1，y 1），B（1，y 2），C（3，y 3）在反比例函数 的图象上，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 2y 1y 3 Cy 3y 2y 1 Dy 2y 3y 110（3 分）如图，将ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合已知AC5cm ，ADC 的周长为 17cm，则 BC 的长为（ ）A7cm B1
3、0cm C12cm D22cm11（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，P 为 AB 上的一个动点，若AB 2则 PE+PC 的最小值为（ ）A B C D12（3 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），点 B（3，0），点C（4，y 1），点 D（x 2，y 2）是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数yax 2+bx+c 的最小值为4a ； 若1x 24，则4ay 25a；若 x24，则y2y 1； 一元二次方程 cx2+bx+a0 的两个根为 1 和 其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（本大题共 6 小题，每
4、小题 3 分，共 18 分）13（3 分）计算 x7x3 的结果等于 14（3 分）计算 的结果等于 15（3 分）一个不透明的袋子中装有 8 个球，其中 3 个红球，5 个黑球，这些球除颜色外无其他差别现在从袋子中随机提出一个球，则它是黑球的概率是 16（3 分）若一条直线经过点（0，2），则这条直线的解析式可以是 （写出一个即可）17（3 分）如图，已知 Rt ABC 中，ACB90，AC6，BC4，将ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90得到DEC若点 F 是 DE 的中点，连接 AF，则 AF 18（3 分）如图，将ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，点 B，点
5、C均落在格点上，P 为 BC 与网格线的交点，连接 AP（）BC 的长等于 ；（）Q 为边 BC 上一点，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段 AQ，使PAQ45，并简要说明点 Q 的位置是如何找到的（不要求证明） 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程）19（8 分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答（）解不等式，得 ；（）解不等式，得 ；（）把不等式和 的解集在数轴上表示出来；（）原不等式组的解集为 20（8 分）某足球队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据足球运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图和图 请根据相关
6、信息解答下列问题：（）本次接受调查的足球队员人数为 ，图中 m 的值为 ；（）求统计的这组足球运动员年龄数据的平均数、众数和中位数21（10 分）已知 AB 为O 的直径，EF 切 O 于点 D，过点 B 作 BHEF 于点 H，交O 于点 C，连接 BD（）如图，若BDH 65，求ABH 的大小；（）如图，若 C 为弧 BD 的中点，求ABH 的大小22（10 分）如图，两根竹竿 AB 和 AC 斜靠在墙 BD 上，量的ABD37，ACD45，BC50cm，求竹竿 AB 和 AC 的长（结果精确到 0.1cm）参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75， 1.412
7、3（10 分）某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为 2 元，在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过 20 时，每本价格为 2.4 元；一次购买数量超过 20 时，超过部分每本价格为 1.8 元设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为 x（x 为非负整数）（）根据题意，填写下表：一次购买（本） 10 20 30 40 甲文具店付款金额（元）20 60 乙文具店付款金额（元）24 66 （）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为 y1 元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为 y2 元，分别写出 y1，y 2 关于 x 的函数关系式；（）当
8、x50 时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由24（10 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（4，0），点 B（0，3），把ABO绕点 A 顺时针旋转，得ABO ，点 B，O 旋转后的对应点为 B，O记旋转角为 （）如图，若 90，求 BB的长；（）如图，若 120，求点 O的坐标；（）记 K 为 AB 的中点，S 为KO B 的面积，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）25（10 分）如图，抛物线 y x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于点A，B ，且 B 点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点
9、P 作 PEAC，交 BC 于 E，连接 CP，求PCE面积的最大值（3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且 OMD 为等腰三角形，求 M点的坐标2019 年天津市红桥区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）计算 4+（3）的结果等于（ ）A7 B7 C1 D1【分析】运用有理数的加减，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可得出【解答】解：4+（3）431故选：D【点评】本题考查有理数的加减，在做题时要注意，异号两数相加
10、先判断符号，确定符号之后再进行运算2（3 分）sin30的值等于（ ）A1 B C D【分析】根据特殊角的三角函数值来解本题【解答】解：sin30 故选：D【点评】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主3（3 分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对
11、称图形的关键是旋转 180后能够重合4（3 分）天津西站在 2019 年春运的首日运输旅客达 42000 人次，将 42000 用科学记数法表示应为（ ）A4210 3 B4.210 4 C4.210 3 D0.4210 5【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：420004.210 4，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|
12、a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5（3 分）如图是由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A B C D【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可【解答】解：从正面看所得到的图形为 B故选：B【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向属于基础题，中考常考题型6（3 分）估计 的值在（ ）A4 和 5 之间 B5 和 6 之间 C6 和 7 之间 D7 和 8 之间【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行比较即可【解答】解： ，6 7， 的值在
13、 6 和 7 之间；故选：C【点评】此题考查了估算无理数，利用夹逼法进行无理数的估算是解题的关键7（3 分）方程组 的解为（ ）A B C D【分析】可用两种方式解决本题：将选项中的 x 与 y 的值分别代入题干中两个方程验证； 直接解方程组选出答案此处选用第二种方法【解答】解：+得：4x 8解得 x2将 x2 代入可解得：y4原方程组的解为：故选：B【点评】本题考察二元一次方程组的解法，因此要对二元一次方程组的解法非常熟悉8（3 分）计算 的结果为（ ）A1 B1 C D【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式1，故选：A【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运
14、算法则，本题属于基础题型9（3 分）若点 A（1，y 1），B（1，y 2），C（3，y 3）在反比例函数 的图象上，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 2y 1y 3 Cy 3y 2y 1 Dy 2y 3y 1【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题【解答】解：k6，双曲线在二、四象限，且每个象限内，y 随 x 的增大而增大，点 A（1，y 1），B（1，y 2），C（3，y 3）在反比例函数 的图象上，A（1，y 1）分布在第二象限，B（1，y 2），C（3，y 3）在第四象限，y 2y 3y 1故选：D【点评】此题
15、主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内10（3 分）如图，将ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合已知AC5cm ，ADC 的周长为 17cm，则 BC 的长为（ ）A7cm B10cm C12cm D22cm【分析】首先根据折叠可得 ADBD ，再由ADC 的周长为 17cm 可以得到 AD+DC 的长，利用等量代换可得 BC 的长【解答】解：根据折叠可得：ADBD ，ADC 的周长为 17cm，AC5cm，AD+ DC17 512（cm），ADBD ，BD+ CD12 cm故选：C【点评】此题主要考查了翻折
16、变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等11（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，P 为 AB 上的一个动点，若AB 2则 PE+PC 的最小值为（ ）A B C D【分析】作点 C 关于 AB 的对称点 Q，连接 EQ 交 AB 于 P，则，得到 PE+PC 的最小值EQ，过 E 作 EFBC 于 F，根据矩形的性质得到 EF1B2，BFAE AD1，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：作点 C 关于 AB 的对称点 Q，连接 EQ 交 AB 于 P，则此时，PE+PC 的值最小， PE+PC 的最小
17、值EQ，过 E 作 EFBC 于 F，则四边形 ABFE 是矩形，EF1B2， BFAE AD1，QF3，EQ ，故选：D【点评】此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用根据两点之间线段最短得到 AE 就是 AP+PE 的最小值是解题关键12（3 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），点 B（3，0），点C（4，y 1），点 D（x 2，y 2）是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数yax 2+bx+c 的最小值为4a ； 若1x 24，则4ay 25a；若 x24，则y2y 1； 一元二次方程 cx2+bx+a0 的两个根为 1 和 其中
18、正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】 由图象知对称轴 x1；1 x24 时，当 x1 时有最小值，x4 时有最大值；当 x24 时，y 随 x 的增大而增大；cx2+bx+a0 化为3ax 2 2ax+a0 即可；【解答】解：二次函数 yax 2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），点 B（3，0），ya（x+1）（ x3），对称轴是 x1，当 x1 时函数有最小值4a；故正确；当 1x 24 时，结合图象，有最小值4a，当 x4 时有最大值 5a，4ay 25a，故正确；当 x24 时，y 随 x 的增大而增大，y 2y 1，故正确；由函数 yax 22ax 3aa（x +
19、1）（x 3），b2a，c3a，cx 2+bx+a0 化为3ax 22ax+a0，a（3x 2+2x 1）0，x1 或 x ，故不正确故选：C【点评】本题考查二次函数图象的性质，解一元二次方程根据题中信息将二次函数解析式进行变形，并且数形结合解题是关键二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13（3 分）计算 x7x3 的结果等于 x 4 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可【解答】解：x 7x3x 4故答案为：x 4【点评】本题考查了整式的除法，注意同底数幂的除法法则，即底数不变，指数相减是解决此题的关键14（3 分）计算 的结果等于 3 【分析】利用平方差公式求解【
20、解答】解：原式743故答案为 3【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍15（3 分）一个不透明的袋子中装有 8 个球，其中 3 个红球，5 个黑球，这些球除颜色外无其他差别现在从袋子中随机提出一个球，则它是黑球的概率是 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【解答】解：袋子中共有 8 个球，有 5 个黑球，从袋子中随机摸出一个球，它是黑球的概率为 ，故答案为： 【点评】本题考查概率的求
21、法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 16（3 分）若一条直线经过点（0，2），则这条直线的解析式可以是 yx+2 （写出一个即可）【分析】设经过点（0，2）的直线解析式为 ykx+2，只要 k0 即可【解答】解：直线经过点（0，2），设 ykx+2，只要 k0 即可故答案为 yx+2（答案不唯一）【点评】本题考查一次函数解析式能够根据条件设出一次函数解析式是解题的关键17（3 分）如图，已知 Rt ABC 中，ACB90，AC6，BC4，将ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90得到DEC若点 F 是 DE
22、的中点，连接 AF，则 AF 5 【分析】根据旋转的性质，EC BC 4，DCAC6，ACDACB90，由点 F是 DE 的中点，可求出 EG、GF，因为 AEACEC 2，可求出 AG，然后运用勾股定理求出 AF【解答】解：作 FGAC，根据旋转的性质，ECBC4，DCAC6，ACDACB90，点 F 是 DE 的中点，FGCDGF CD AC3EG EC BC2AC6，ECBC4AE2AG4根据勾股定理，AF5【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键18（3 分）如图，将ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点
23、A，点 B，点 C均落在格点上，P 为 BC 与网格线的交点，连接 AP（）BC 的长等于 ；（）Q 为边 BC 上一点，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段 AQ，使PAQ45，并简要说明点 Q 的位置是如何找到的（不要求证明） 点 Q 的位置：AO 与 BC 的交点找到的方法：根据题目的要求，每个小正方形的边长为 1，可以构建出 2 个直角三角形 AEP 和直角三角形 PFH，连接 FC，通过求出三角形的各边长，从而证明出AEPPFH从而知道：EAP+ EPA EPA+FPH90，APH90所以 PH 与 FC 交于点 O，然后连接 AO，AO 与 BC 的交点是点 Q 【分析】（
24、）每个小正方形的边长为 1，根据勾股定理可以求出 BC 的长；（）使PAQ45，根据勾股定理，需要构造一个等腰直角三角形；【解答】解：（）在网格中，每个小正方形的边长为 1，可以构建出直角三角形 BDCDB4，DC6，BDC 90BC故答案为：（）点 Q 的位置：AO 与 BC 的交点找到的方法：根据题目的要求，每个小正方形的边长为 1，可以构建出 2 个直角三角形 AEP 和直角三角形 PFH，连接 FC，通过求出三角形的各边长，从而证明出AEPPFH从而知道：EAP+ EPA EPA+FPH90，APH90所以 PH 与 FC 交于点 O，然后连接 AO，AO 与 BC 的交点是点 Q【点
25、评】这题主要考查勾股定理的应用，构建直角三角形的能力，分析如何构建直角三角形的能力；该题比较难是第 2 问，第 1 问主要是在网格中构建直角三角形就可以求出 BC； 而第 2问，还是利用构建直角三角形来，利用三角形相似的性质，推出APH90，再利用等腰直角三角形的性质就可以画出PAQ 是 45三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程）19（8 分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答（）解不等式，得 x1 ；（）解不等式，得 x3 ；（）把不等式和 的解集在数轴上表示出来；（）原不等式组的解集为 1x3 【分析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴
26、上分别表示出每个不等式的解集，即可确定不等式组的解集【解答】解：（）解不等式，得 x1；（）解不等式，得：x3；（）把不等式和 的解集在数轴上表示出来：（）原不等式组的解集为：1x3，故答案为：x1，x 3，1x 3【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键20（8 分）某足球队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据足球运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图和图 请根据相关信息解答下列问题：（）本次接受调查的足球队员人数为 50 ，图中 m 的值为 24 ；（）求统计的这组足球运动员年龄数据的平均数、众数和中位数【分析】（1）根据频数所占百分
27、比样本容量，求出本次接受调查的足球队员人数；用 100%减去其它岁数所占的百分比，即可求出 m 的值；（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可【解答】解：（1）本次接受调查的足球队员人数为：918%50（人），m%100%18%10%20%28% 24%，则 m24；故答案为：50，24（2）这组足球运动员年龄数据的平均数年龄是：（139+1412+1514+1610+175）4014.8（岁），15 岁出现了 14 次，次数最多，所以众数为 15 岁；按大小顺序排列，中间两个数都为 15 岁，则中位数为 15 岁【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解
28、题的关键21（10 分）已知 AB 为O 的直径，EF 切 O 于点 D，过点 B 作 BHEF 于点 H，交O 于点 C，连接 BD（）如图，若BDH 65，求ABH 的大小；（）如图，若 C 为弧 BD 的中点，求ABH 的大小【分析】（）如图，连接 OD构建平行线 ODBH；然后根据平行线的性质以及等腰三角形的性质，求得ABH2DBH，便可得解；（）连接 OD，OC，CD，得COD2DBH，再由切线的性质得HDC COD，从而得HDCDBH，再由直角三角形两锐角互余性质求得DBH ，便可得解【解答】解：（）如图 1，连接 ODO 为圆心，EF 切O 于点 D，ODEF又 BHEF，ODB
29、H ，ODB DBH，OBOD ，ODB OBD，DBH OBD，DBH 90 BDH90 6525，ABH2DBH 50；（）连接 OD，OC，CD，如图 2，则DBH COD，O 为圆心，EF 切O 于点 D，ODEF，OCOD，ODCOCD90 COD，ODC90DBH，ODC90HDC，HDCDBH，C 为 的中点，DBH BDC ，DBH BDC HDC，DBH +BDC+HDC 90，DBH 30 ，由（1）知，ABH2DBH60【点评】本题考查了切线的性质本题运用切线的性质来进行计算，通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造平行线来解决有关问题22（10 分）如图，两根竹竿 AB
30、 和 AC 斜靠在墙 BD 上，量的ABD37，ACD45，BC50cm，求竹竿 AB 和 AC 的长（结果精确到 0.1cm）参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75， 1.41【分析】直接利用锐角三角函数关系分别得出 AD，AB，AC 的长即可得出答案【解答】解：由题意可得：ADDCx，故 tan37 0.75，解得：x150，故 ADCD150，则 AC150 212.1（cm），则 BD200cm ，故 sin37 0.60，解得：AB250.0，答：竹竿 AB 的长为 250.0cm，AC 的长为 212.1cm【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正
31、确掌握锐角三角函数关系是解题关键23（10 分）某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为 2 元，在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过 20 时，每本价格为 2.4 元；一次购买数量超过 20 时，超过部分每本价格为 1.8 元设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为 x（x 为非负整数）（）根据题意，填写下表：一次购买（本） 10 20 30 40 甲文具店付款 20 40 60 80 金额（元）乙文具店付款金额（元）24 48 66 84 （）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为 y1 元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为 y2
32、元，分别写出 y1，y 2 关于 x 的函数关系式；（）当 x50 时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由【分析】（）根据题意可以将表格中的数据补充完整；（）根据题意可以直接写出 y1，y 2 关于 x 的函数关系式；（）根据题意和 y1，y 2 关于 x 的函数关系式，可以解答本题【解答】解：（）由题意可得，当购买 20 本时，甲文具店需要付款：22040（元），乙文具店需要付款：2.42048（元），当购买 40 本时，甲文具店需要付款：24080（元），乙文具店需要付款：2.420+1.8（4020）84（元），故答案为：40，80；48，84；（）由题意可得，y12x；y1
33、 ；（）令 2x2.420+1.8（x20），解得，x60，当 50x60 时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少，当 x60 时，两家文具店花费一样多，当 x60 时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答24（10 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（4，0），点 B（0，3），把ABO绕点 A 顺时针旋转，得ABO ，点 B，O 旋转后的对应点为 B，O记旋转角为 （）如图，若 90，求 BB的长；（）如图，若 120，求点 O的坐标；（）记 K 为 AB 的中点，S 为KO B 的面积，求 S 的取值范围（
34、直接写出结果即可）【分析】（I）根据勾股定理得 AB5，由旋转性质可得BAB90，ABAB5继而得出 BB5 ；（II）作 ODx 轴，由旋转的性质可得：O AO 120，OAOA4，在 RtOAD 中，由OAD60得 AD、O D 的长，继而得出答案；（III）如图中，当点 O在 AB 上时，KBO的面积最小，当点 O在 BA 的延长线上时，KBO的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题【解答】解：（I）如图 ，点 A（4，0），点 B（0，3），OA4，OB3在 Rt ABO 中，由勾股定理得 AB5根据题意ABO 绕点 A 顺时针旋转，得AB O ，由旋转的性质可得：BAB 9
35、0，ABAB5，BB5 （II）如图，过 O作 ODx 轴于 D，则O DA90由旋转的性质可得：OAO120，OAOA 4，在 Rt OAD 中，由OAD60，AO D 30AD OA2由勾股定理 OD 2 ，ODOA +OD4+2 6点 O的坐标为（6，2 ）；（III）如图所示，当点 O在 AB 上时，KBO的面积最小，最小面积 S 3（42.5） ，当点 O在 BA 的延长线上时， KBO 的面积最大，最大面积S KO BO ，综上所述， S 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考
36、压轴题25（10 分）如图，抛物线 y x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于点A，B，且 B 点的坐标为（ 2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PEAC，交 BC 于 E，连接 CP，求PCE面积的最大值（3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且 OMD 为等腰三角形，求 M点的坐标【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论【解答】解：（1）把点 C（ 0，4），B
37、（2，0）分别代入 y x2+bx+c 中，得 ，解得该抛物线的解析式为 y x2+x4（2）令 y0，即 x2+x4 0，解得 x14，x 22，A（4，0），S ABC ABOC12设 P 点坐标为（x ，0），则 PB2xPEAC，BPE BAC，BEP BCA，PBE BAC， ，即 ，化简得：S PBE （2x ） 2SPCE S PCB S PBE PBOCS PBE （2x）4 （2x） 2 x2 x+ （x+1） 2+3当 x1 时，S PCE 的最大值为 3（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当 DM DO 时，如答图所示DODM DA2，OACAMD45，AD
38、M90，M 点的坐标为（2，2）；（II）当 MDMO 时，如答图所示过点 M 作 MNOD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，DNON 1，ANAD+ DN3，又AMN 为等腰直角三角形，MNAN3，M 点的坐标为（1，3）；（III）当 ODOM 时，OAC 为等腰直角三角形，点 O 到 AC 的距离为 4 ，即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 2，ODOM 的情况不存在综上所述，点 M 的坐标为（ 2，2）或（1，3）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏
