1、2019 年四川省眉山市东坡区中考数学一模试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上1（3 分） 的相反数是（ ）A B3 C D32（3 分）2019 眉山市半程马拉松（包括十公里和乐跑）预计报名人数为 17000 人，将17000 用科学记数法表示为（ ）A0.1710 4 B1.710 4 C1710 3 D0.01710 73（3 分）下列计算正确的是（ ）A x Bx 2x5x 10 C（x 2） 3x 6 D +4（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（2，a）与点 Q（
2、b，3）关于原点对称，则 a+b的值为（ ）A5 B5 C1 D15（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A圆柱 B圆锥 C三棱柱 D长方体6（3 分）如图，等边三角形 ABC 与互相平行的直线 a，b 相交，若125，则2 的大小为（ ）A25 B35 C45 D557（3 分）下列说法正确的是（ ）A矩形的对角线相等且互相垂直平分B3 4C若某种游戏活动的中奖率是 30%，则参加这种活动 10 次必有 3 次中奖D甲组数据的方差 S 甲 20.39 ，乙组数据的方差 S 乙 20.25，则甲组数据比乙组数据波动小8（3 分）为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政
3、府号召，准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“ ”带，鲜花带一边宽 1m，另一边宽 2m，剩余空地的面积为 18m2，求原正方形空地的边长 xm，可列方程为（ ）A（x1）（x2）18 Bx 23x+160C（x +1）（x +2）18 Dx 2+3x+1609（3 分）如图，点 D，E 分别是 O 的内接正三角形 ABC 的 AB，AC 边的中点，若DE ，则 O 的半径为（ ）A B C1 D210（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且BAE22.5，EF AB，垂足为 F，则 EF 的长为（ ）A1 B C42 D3 411（
4、3 分）关于 x 的不等式组 只有 4 个整数解，则 a 的取值范围是（ ）A5a B5a C5a D5a12（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接DF，分析下列四个结论：CF2AF；ABDF ；DF BC；S 四边形 CDEFSABF 其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，将正确答案直接填在答题卡相应位置上13（3 分）因式分解：x 21 14（3 分）将抛物线 yx 2 沿 x 轴向右平移 2 个单位后所得抛物线的解析式是 15（3 分）已知 x1，x
5、2 是关于 x 的一元二次方程 x23x+a0 的两个实数根，且x12+x225，则 a 16（3 分）如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为 17（3 分）将半径为 12cm，圆心角为 180的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为 18（3 分）如图，在ABC 中，ABAC ，底边 BC 在 x 轴负半轴上，点 A 在第二象限，延长 AB 交 y 轴负半轴于点 D，连结 CD，延长 CA 到点 E，使 AEAC，若双曲线y （x0）经过点 E，则BCD 的面积为 三解答题：本大题共 6 个小题，共 46 分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上
6、19（6 分）计算| 1|2sin45+ （ ） 2 +（3） 020（6 分）先化简， ，然后从1x 2 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值21（8 分）在平面直角坐标系中，ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形）（1） 若ABC 和A 1B1C1 关于原点 O 成中心对称，画出A 1B1C1；将 ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的AB 2C2；（2）在 y 轴上找一点 P，使 PC+PC2 最小，此时 PC+PC2 的值为 22（8 分）千年古塔大旺山白塔是眉山市省级重点文物，为了测量大旺山白塔的高度AB，在 D 处用高为 1
7、.5 米的测角仪 CD，测得塔顶 A 的仰角为 45，再向白塔方向前进24 米，又测得白塔的顶端 A 的仰角为 60，求白塔的高度 AB（参考数据：1.73，结果保留整数）23（9 分）某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班（用 A，B，C， D 表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图请根据以上信息，回答下列问题：（1）杨老师采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）；（2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？（3）如果全校征集的作品中有 5 件获得一等奖，其中有 3 名作者是男生，2 名作者
8、是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率24（9 分）某校初 2019 级为奖励年级学习之星，年级学生会准备在某商店购买 A、B 两种文具作为奖品，已知一件 A 种文具的单价比 B 种文具的单价便宜 5 元，而用 600 元买A 种文具的件数是用 400 元买 B 种文具的件数的 2 倍（1）求 A 种文具的单价；（2）根据需要，学生会准备在该商店购买 A，B 两种文具共 150 件，其中 A 种文具的件数不多于 B 种文具件数的 2 倍为了节约经费，应购买 A，B 两种文具各多少件？使用经费最少为多少元？四、解答题：
9、本大题共 2 个小题，共 20 分，请把解答过程写在答题卡相应的位置25（9 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 P，CD 2DPDB ，且AB CD，（1）求证：DPCBCD；（2）在（1）的条件下，如图 2，E，F 分别为边 AD、BC 上的点，PEDC，EFBC连结 PF，BE求证： PEPF；若 BP2，PD1，EF ，锐角BCD 的正弦值为 ，求BEF 的面积26（11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx 2+3x4 交 x 轴 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线上一点 D 的横坐标为5（1）求直线 BD 的解析式；（2）若点 E 是
10、线段 BD 上的动点，过点 E 作 x 轴的垂线分别交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G连结 BF、DF ，当点 E 运动到什么地方时，BDF 的面积最大求出点 E 的坐标，并求出BDF 的最大面积（3）若点 E 是直线 BD 上的动点，（ 2）中的其它条件不变时，在抛物线上是否存在一点 F，使DEF 为直角三角形？若存在请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年四川省眉山市东坡区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上1（3 分） 的相
11、反数是（ ）A B3 C D3【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案【解答】解： 的相反数是 ，故选：A【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数2（3 分）2019 眉山市半程马拉松（包括十公里和乐跑）预计报名人数为 17000 人，将17000 用科学记数法表示为（ ）A0.1710 4 B1.710 4 C1710 3 D0.01710 7【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原
12、数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 17000 用科学记数法表示为：1.710 4故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列计算正确的是（ ）A x Bx 2x5x 10 C（x 2） 3x 6 D +【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加；二次根式的性质和化简；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解【解答】解：A、 ，错误；B、x 2x5x 7，错误；C、（x 2） 3x 6，正确；D、 ，错误；故选：C【点评】本题考查同
13、底数幂的乘法，二次根式的性质和化简，幂的乘方题目比较简单，解题需细心4（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（2，a）与点 Q（b，3）关于原点对称，则 a+b的值为（ ）A5 B5 C1 D1【分析】接利用关于原点对称点的性质得出 a，b 的值进而得出答案【解答】解：点 P（2，a）与 Q（b，3）关于原点对称，b2，a3，则 a+b 的值为：231故选：D【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键5（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A圆柱 B圆锥 C三棱柱 D长方体【分析】由常见几何体的三视图即可判断【解答】解：由三视图知这个几何体是
14、三棱柱，故选：C【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握常见几何体的三视图6（3 分）如图，等边三角形 ABC 与互相平行的直线 a，b 相交，若125，则2 的大小为（ ）A25 B35 C45 D55【分析】先过点 C 作 CDb ，由直线 ab，可得 CDab，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案4 的度数，又由ABC 是等边三角形，即可求得3 的度数，继而求得2 的度数【解答】解：过点 C 作 CD b，直线 ab，CDab，4125，ACB60，3ACB4602535，2335故选：B【点评】此题考查了平行线的性质解题时注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错
15、角相等定理的应用7（3 分）下列说法正确的是（ ）A矩形的对角线相等且互相垂直平分B3 4C若某种游戏活动的中奖率是 30%，则参加这种活动 10 次必有 3 次中奖D甲组数据的方差 S 甲 20.39 ，乙组数据的方差 S 乙 20.25，则甲组数据比乙组数据波动小【分析】A、根据矩形的性质解答B、利用“夹逼法”比较无理数的大小C、根据概率的定义解答D、方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】解：A、矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项错误B、由 31016 知：3 4，故本选项正确C、若某种游戏活动的中奖率是 30%，则参加这
16、种活动 10 次有可能都不中奖，也可能有3 次中奖，故本选项错误D、甲组数据的方差 S 甲 20.39 ，乙组数据的方差 S 乙 20.25，则甲组数据比乙组数据波动大，故本选项错误故选：B【点评】考查了矩形的性质，方差，估算无理数的大小以及概率的定义等知识点，注意：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好8（3 分）为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“ ”带
17、，鲜花带一边宽 1m，另一边宽 2m，剩余空地的面积为 18m2，求原正方形空地的边长 xm，可列方程为（ ）A（x1）（x2）18 Bx 23x+160C（x +1）（x +2）18 Dx 2+3x+160【分析】可设原正方形的边长为 xm，则剩余的空地长为（ x1）m ，宽为（x2）m根据长方形的面积公式方程可列出【解答】解：设原正方形的边长为 xm，依题意有（x1）（x2）18，故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键9（3 分）如图，点 D，E 分别是 O 的内接正三角形 ABC 的 AB，AC 边的
18、中点，若DE ，则 O 的半径为（ ）A B C1 D2【分析】连接 OB、OC，作 OFBC 于 F，根据三角形中位线定理求出 BC，根据圆周角定理得到BOC120，利用余弦的概念计算即可【解答】解：连接 OB、OC，作 OFBC 于 F，则 BFCF BC，点 D，E 分别 AB，AC 边的中点，BC2DE2 ，由圆周角定理得，BOC2A120，OBF30，OB 2，故选：D【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形中位线定理、圆周角定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键10（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且BAE22.5，EF AB，
19、垂足为 F，则 EF 的长为（ ）A1 B C42 D3 4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得ABDADB45，再求出DAE的度数，根据三角形的内角和定理求AED，从而得到DAEAED，再根据等角对等边的性质得到 ADDE，然后求出正方形的对角线 BD，再求出 BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍计算即可得解【解答】解：在正方形 ABCD 中，ABDADB 45，BAE 22.5，DAE90BAE9022.567.5，在ADE 中，AED 1804567.567.5，DAEAED，ADDE 4，正方形的边长为 4，BD4 ，BEBD DE4 4，EFAB，ABD 45，B
20、EF 是等腰直角三角形，EF BE （4 4）42 故选：C【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出 DEAD 是解题的关键，也是本题的难点11（3 分）关于 x 的不等式组 只有 4 个整数解，则 a 的取值范围是（ ）A5a B5a C5a D5a【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含 a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于 a 的不等式，从而求出 a 的范围【解答】解：不等式组的解集是 23ax21，因为
21、不等式组只有 4 个整数解，则这 4 个解是 20，19，18，17所以可以得到 1623a17，解得5a 故选：C【点评】正确解出不等式组的解集，正确确定 23a 的范围，是解决本题的关键求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了12（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接DF，分析下列四个结论：CF2AF；ABDF ；DF BC；S 四边形 CDEFSABF 其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】 依据 AEFCBF，即可得出 CF2AF；过 D 作 DMBE 交
22、AC 于 N，依据 DM 垂直平分 CF，得出 DFDC，即可得出ABDF ；依据 BAEADC，即可得出结论；依据 EAC ACB ，ABC AFE90，即可得到AEFCAB；设AEF的面积为 s，则ABF 的面积为 2s，CEF 的面积为 2s， CDE 的面积为 3s，四边形CDEF 的面积为 5s，进而得出结论 S 四边形 CDEF SABF 【解答】解：AD BC ，AEF CBF， ，E 是 AD 边的中点，AE AD BC， ，CF2AF，故 正确；如图 1，过 D 作 DMBE 交 AC 于 N，DEBM，BEDM，四边形 BMDE 是平行四边形，BMDE BC，AB DC，B
23、MCM，CNNF，BEAC 于点 F，DMBE，DNCF，DM 垂直平分 CF，DFDC，ABDF ，故正确；BEAC， BAD 90，ABE ADC，而BAEADC90，BAE ADC， ，AEAD ABCD， BCBCAB 2，AB 2 BC2，AB BC，ABDF ，DF BC，故正确；如图 2，连接 CE，由AEF CBF，可得 ，设AEF 的面积为 s，则ABF 的面积为 2s，CEF 的面积为 2s，ACE 的面积为 3s，E 是 AD 的中点，CDE 的面积为 3s，四边形 CDEF 的面积为 5s，S 四边形 CDEF SABF ，故 正确故选：D【点评】本题主要考查了相似三角
24、形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，将正确答案直接填在答题卡相应位置上13（3 分）因式分解：x 21 （x+1）（x 1） 【分析】原式利用平方差公式分解即可【解答】解：原式（x+1）（x1）故答案为：（x+1）（x 1）【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键14（3 分）将抛物线 yx 2 沿 x 轴向右平移 2 个单位后所得抛物线的解析式是 y（x 2） 2 【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可【解答】解：由“左
25、加右减”的原则可知，将抛物线 yx 2 向右平移 2 个单位，所得函数解析式为：y（x 2） 2故答案为：y（x 2） 2【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键15（3 分）已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x23x+a0 的两个实数根，且x12+x225，则 a 2 【分析】根据“已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x23x +a0 的两个实数根”，得到0，得到关于 a 的一元一次不等式，解之即可得到 a 的取值范围，根据根与系数的关系，结合“x 12+x225”，得到关于 a 的一元一次方程，解之即可【解答】解：根据题意得
26、：94a0，解得：a ，x1+x23，x 1x2a，x12+x22 2x 1x292a5，解得：a2（符合题意），故答案为：2【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握判别式公式和根与系数的关系是解题的关键16（3 分）如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为 【分析】连接 CE，求出 CEAB，根据勾股定理求出 CA，在 RtAEC 中，根据锐角三角函数定义求出即可【解答】解：连接 CE，根据图形可知 DC1，AD3，AC ，BECE ， EBCECB 45，CEAB，sinA ，故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角
27、形的判定的应用，关键是构造直角三角形17（3 分）将半径为 12cm，圆心角为 180的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为 30 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解底面半径，然后求得圆锥的母线与圆锥高的夹角即可【解答】解：圆锥的底面周长是： 12设圆锥底面圆的半径是 r，则 2r12 解得：r6，设圆锥的母线与圆锥的高的夹角为 母线长为 12，sin ，30故答案是：30【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径
28、，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长18（3 分）如图，在ABC 中，ABAC ，底边 BC 在 x 轴负半轴上，点 A 在第二象限，延长 AB 交 y 轴负半轴于点 D，连结 CD，延长 CA 到点 E，使 AEAC，若双曲线y （x0）经过点 E，则BCD 的面积为 【分析】连接 EB，EO ，ED，由 ABAC ，AEAC ，判断BCE 是直角三角形，设 C点到 AD 的距离与 E 点到 AD 的距离相等，将三角形 CDB 的面积转换为三角形 EBD 的面积，再将三角形 EBD 的面积转换为梯形 EBDO 的面积减去三角形 EDO 的面积，通过代入计算，得到 SEBD EBBO |k|【解答】
29、解：连接 EB，EO ，ED ，ABAC，AEAC，BCE 是直角三角形，EBCO，设 C 点到 AD 的距离为 h1，E 点到 AD 的距离是 h2，A 是 EC 的中点，h 1h 2，又S CBD BDh1，S EBD BDh2，S CBD S EBD ，S EBD S 梯形 EBDO 的面积 S EDO （DO+EB）BO DOBO EBBO 7 故答案为： 【点评】本题考查反比例函数 k 的几何意义，等腰三角形，直角三角形的性质，三角形面积的转换能够根据条件将所求三角形面积进行两次转换，最终将所求三角形面积与反比例函数 k 的几何意义将结合是解题的关键三解答题：本大题共 6 个小题，共
30、 46 分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上19（6 分）计算| 1|2sin45+ （） 2 +（ 3） 0【分析】根据零指数幂和负指数幂的运算法则，立方根的定义，绝对值的性质及特殊角的三角函数值求解即可【解答】解：原式 1 +24+12【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键20（6 分）先化简， ，然后从1x 2 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得【解答】解：原式 ，x1 且 x0，在1x2 中符合条件的 x 的值为 x2，则原式 2【点评】本题主要考查分式的化
31、简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则21（8 分）在平面直角坐标系中，ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形）（1） 若ABC 和A 1B1C1 关于原点 O 成中心对称，画出A 1B1C1；将 ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的AB 2C2；（2）在 y 轴上找一点 P，使 PC+PC2 最小，此时 PC+PC2 的值为 2 【分析】（1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B 1，C 1 即可分别作出 B， C 的对应点 B2，C 2 即可（2）如图，连接 C1C2 交 y 轴于点 P，此时 PC1+PC2 的值最小【
32、解答】解：（1）如图所示A 1B1C1 为所求如图所示 A2B2C2 为所求（2）如图，连接 C1C2 交 y 轴于点 P，此时 PC1+PC2 的值最小，最小值 2故答案为 2【点评】本题考查作图旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型22（8 分）千年古塔大旺山白塔是眉山市省级重点文物，为了测量大旺山白塔的高度AB，在 D 处用高为 1.5 米的测角仪 CD，测得塔顶 A 的仰角为 45，再向白塔方向前进24 米，又测得白塔的顶端 A 的仰角为 60，求白塔的高度 AB（参考数据：1.73，结果保留整数）【分析】设 EFx ，在 RtAED 中表示出
33、ED，在 RtAFE 中表示出 AE，可得出关于x 的方程，解出即可得出答案【解答】解：设 EFx ，在 Rt AED 中，ED24+x，ADE45，AE DE在 Rt AFE 中，AFE60，由题意得，AEtan60 EF， 24+x x解得： ，故 ABAE+BE32.78+1.534 米答：这个白塔的高度 AB 为 34 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般23（9 分）某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班（用 A，B，C， D 表示），对征集到的作品的数量进行了分析统
34、计，制作了两幅不完整的统计图请根据以上信息，回答下列问题：（1）杨老师采用的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”）；（2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？（3）如果全校征集的作品中有 5 件获得一等奖，其中有 3 名作者是男生，2 名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率【分析】（1）杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班，属于抽样调查（2）由题意得：所调查的 4 个班征集到的作品数为：6 24（件），C 班作品的件数为：2446410（件）；继而可补全条形统计图；（3）
35、首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中两名学生性别相同的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班，属于抽样调查故答案为抽样调查（2）所调查的 4 个班征集到的作品数为：6 24 件，平均每个班 6 件，C 班有 10 件，估计全校共征集作品 630180 件条形图如图所示，（3）画树状图得：共有 20 种等可能的结果，两名学生性别相同的有 8 种情况，恰好抽中两名学生性别相同的概率为： 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清
36、楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小同时考查了概率公式24（9 分）某校初 2019 级为奖励年级学习之星，年级学生会准备在某商店购买 A、B 两种文具作为奖品，已知一件 A 种文具的单价比 B 种文具的单价便宜 5 元，而用 600 元买A 种文具的件数是用 400 元买 B 种文具的件数的 2 倍（1）求 A 种文具的单价；（2）根据需要，学生会准备在该商店购买 A，B 两种文具共 150 件，其中 A 种文具的件数不多于 B 种文具件数的 2 倍为了节约经费，应购买 A，B 两种文具各多少件？使用经费最少为多少元？【分析】（1）本题考试一元一次方程的应用，设
37、 A 种文具的单价为 x 元，则 B 种文具的单价为 x+5 元根据题目中的等量关系，600 元买 A 种文具的件数是 400 元买 B 种文具的件数两倍，即可列出方程（2）设 A 种商品购进 a 件，则 B 种商品购进（150a）件，根据“A 种商品的件数不多于 B 种商品件数的 2 倍”列出不等式即可求得结果【解答】解：（1）A 种文具的单价为 x 元，则 B 种文具的单价为每件（x+5）元，根据题意得出： ，解得：x15，经检验得出：x15 是原方程的根，答：A 种文具的单价为 15 元；（2）设 A 种商品购进 a 件，则 B 种商品购进（150a）件依题意，得 0a2（150a），解
38、得：0a100，设所获利润为 w 元，则有w15a+20（150a）5a+300050，w 随 a 的增大而减小当 a100 时，所使用经费最少，W 最大 5100+3000 2500（元）B 文具为：15010050（件）答：应购进 A 种商品 100 件，B 种商品 50 件，此时使用经费最少为 2500 元【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用、一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用，利用函数增减性得出函数最值是解题关键四、解答题：本大题共 2 个小题，共 20 分，请把解答过程写在答题卡相应的位置25（9 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点
39、P，CD 2DPDB ，且AB CD，（1）求证：DPCBCD；（2）在（1）的条件下，如图 2，E，F 分别为边 AD、BC 上的点，PEDC，EFBC连结 PF，BE求证： PEPF；若 BP2，PD1，EF ，锐角BCD 的正弦值为 ，求BEF 的面积【分析】（1）先写出比例式，再根据相似三角形的判定得出CDPBDC 即可；（2） 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出 PMPE，再求出OFPM PE 即可；解直角三角形分别求出 DN、BN 、EF 的长，根据相似三角形的性质和判定求出 BF长，求出 EF 长，再根据三角形的面积公式求出即可【解答】证明：（1）CD 2DPDB ， ，
40、又CDPBDC，CDPBDC，DCBCPD；（2） 如图，延长 EP 交 BC 于 M，PEDC， ， ，又PMAB， ， ，即 PEPM，EFBC，RtEFM 中， PF EMPE，PFPE；如图，过 D 作 DNBC 于 N，由（1）知：CDPBDC，CPDBCD，PFCCPDBCDPMB，CD 2DPDB，BP 2，PD1，CD 21（1+2 ），CD ，sinBCD ，DN1，CN ，BD 2DN 2BN 2，BN2 ， BC3 ，PFCCPD，BPCBFP，PBF CBP，BPF BCP，BP 2BFBC，BF ，S BFE 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线
41、分线段成比例定理，平行线的性质，直角三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键26（11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx 2+3x4 交 x 轴 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线上一点 D 的横坐标为5（1）求直线 BD 的解析式；（2）若点 E 是线段 BD 上的动点，过点 E 作 x 轴的垂线分别交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G连结 BF、DF ，当点 E 运动到什么地方时，BDF 的面积最大求出点 E 的坐标，并求出BDF 的最大面积（3）若点 E 是直线 BD 上的动点，（ 2）中的其它条件不变时，在抛物线上是否存在一点 F，使DEF 为直角
42、三角形？若存在请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）令 y0，求出点 B 的坐标，将点 D 的横坐标代入抛物线解析式求纵坐标，待定系数法求直线 BD 的解析式即可（2）割补法求三角形的面积，利用点坐标转化为线段长度表示出 EF 的长度，则三角形的面积可表示，利用二次函数求最值问题配方就可以求出最值（3）分两种情况讨论，配合题里的特殊角度，可分析出DEF 为等腰直角三角形，从而找到数量关系列式求解【解答】解：（1）当 y0 时，解得 x14，x 21，B（1，0），点 D 在抛物线上，D（5，6），设直线 BD 的解析式为 ykx+b，解得直线 BD 的解析式为 yx+1（2）
43、设点 E 的坐标为（m， m +1），F（m，m 2+3m4），EFm 2 4m+5，S BDF （x Bx D）EF 6（m 24m +5）3（m +2） 2+27，当 m2 时，S BDF 有最大值为 27，E（2，3）（3）设点 E 的坐标为（m， m +1），F（m，m 2+3m4），当DFE90时，可证BGE，DEF 都为等腰直角三角形，DFEF，5+m m2+4m5，解得 m15（舍），m 22，F（2，6），当EDF90时，可证BGD、DEF 都为等腰直角三角形，DFDE ，2（5+m） m2+4m5，解得 m15（舍），m 23，F（3，14），当点 F 的坐标为（2，6）或（3，14）时，DEF 为直角三角形【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，以及与几何结合的问题，分析DEF 为等腰直角三角形找到线段之间的关系为解题关键
