2019高考数学(理)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做10 圆锥曲线:定点、定值问题

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1、精选大题2019甘肃联考已知椭圆 的右焦点为 ,上顶点为 ,直线 的斜率为2:10xyCabFMF,2且原点到直线 的距离为 FM63(1)求椭圆 的标准方程;C(2)若不经过点 的直线 与椭圆 交于 , 两点,且与圆:0,lykxmCAB相切1xy试探究 的周长是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由ABF【答案】 (1) ;(2) 213xy3【解析】 (1)由题可知, , ,则 ,,0c,Mb2c直线 的方程为 ,即 ,所以 ,FM1xyb0xy263b解得 , ,1b2c又 ,所以椭圆 的标准方程为 23aC213xy(2)因为直线 与圆 相切,:0,lykxm2所以 ,即 21

2、k22设 , ,联立 ,得 ,1,Axy2,Bxy213xykm22316310kxkm所以 ,2222236140kmk圆锥曲线:定点、定值问题大题精做十, ,12631kmx2231xk所以 22 2131ABkkm又 ,所以 22m26ABk因为 ,同理 2221111 163xAFxyxx 263BFx所以 ,1263B所以 的周长是 ,AF 2631mkx则 的周长为定值 23模拟精做12019安庆期末已知椭圆 过点 ,焦距长 ,过点 的直2:10xyCab61,221,0Q线 交椭圆 于 , 两点lCAB(1)求椭圆 的方程;(2)已知点 ,求证: 为定值7,04PPAB22019

3、东莞期末已知椭圆 的中心在坐标原点,左右焦点分别为 和 ,且椭圆C1,0F21,经过点 C31,2M(1)求椭圆 的标准方程;(2)过椭圆的右顶点 作两条相互垂直的直线 , ,分别与椭圆交于点 , (均异于点 ) ,D1l2 ABD求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标AB32019漳州一模已知椭圆 的中心在坐标原点,焦点在 轴上,且椭圆 的一个顶点与抛物线CxC的焦点重合,离心率为 24xy12(1)求椭圆 的标准方程;(2)过椭圆 的右焦点 且斜率存在的直线 交椭圆 于 , 两点,线段 的垂直平分线交CFlCPQP轴于 点,证明: 为定值xMPQ答案与解析1 【答案】 (1) ;(2) 2

4、14xy56【解析】 (1)由条件焦距为 ,知 ,从而将 代入方程 ,2c61,221xya可得 , ,故椭圆方程为 24a2b4xy(2)当直线 的斜率不为 0 时,设直线 交椭圆于 , ,l :1lm1,Axy2,Bxy由 ,可得 ,21 4xmy230my, , , ,12y12y17,4PAxy27,4PBxy,212112127394 6PABxm化简得 ,23695 当直线 斜率为 0 时, , , ,l,0A2,B151,0,46PAB即证 为定值,且为 PAB1562 【答案】 (1) ;(2)见解析243xy【解析】 (1)设椭圆 的标准方程为 ,C21xyab, ,21 5

5、MF223MF , , ,2134aa22413bac所以椭圆的标准方程为 21xy(2)直线 斜率存在,设直线 , , ,AB:ABykxm1,Axy2,Bxy联立方程 ,消去 得 ,2 143ykxmy22348430kxm, ,2260kk20,又 ,122122834 mxk22 212121134mkykxmkxmx由 ,得 ,ADBADB即 , ,121yx121240yxx ,22234364mkmk 解得 , ,且均满足 ,227160127k2340km当 时,直线 的方程为 ,直线过定点 ,与已知矛盾;1kABykx,0当 时,直线 的方程为 ,直线过定点 27m272,7

6、由椭圆的对称性所得,当直线 , 的倾斜角分别为 , ,易得直线 ,1l245131:2lyx,直线 , 分别与椭圆交于点 , ,2:lyx1l2 2,7A2,7B此时直线 斜率不存在,也过定点 ,AB2,0综上所述,直线 恒过定点 ,73 【答案】 (1) ;(2)详见解析2143xy【解析】解法一:(1)设椭圆 的标准方程为 ,C210xyab由抛物线 的焦点为 ,得 , 又 ,2xy0,3b2ce由及 ,解得 ,22abca所以椭圆 的标准方程为 C2143xy(2)依题意设直线 的方程为 ,lk设点 , ,当 时,联立方程 ,1,Pxy2,Qxy021 43ykx得 , ,2234841

7、kk22281410kkk所以 , , 的中点坐标为 ,122x213xPQ223,的垂直平分线为 ,PQ2244kkyx令 ,得 , ,0y23Mxk223134Fkk又 ,所以 ,2 22 21 16434kPQ14MFPQ当 时,点 与原点重合,则 , ,所以 ;0k1MF4PQFP综上所述, 为定值 MFPQ14解法二:(1)同解法一(2)依题意,当直线 的斜率不为 0 时,设直线的方程为 ,l 10xmy设点 , ,联立方程 ,得 ,1,Pxy2,Qxy21 43xmy2469所以 ,22236410m, ,12634my12934y,222212 16364mmPQ ,121222834xmy所以 的中点坐标为 ,P22,m的垂直平分线为 ,Q223443yx令 ,得 ,所以 ,所以 ;0y213Mxm2211434mF14MFPQ当直线 的斜率为 0 时,点 与原点重合,则 , ,所以 ;l M综上所述, 为定值 FPQ14

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