1、2019 年江苏省扬州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（3 分）下列计算正确的是（ ）A2a+3b5ab B（ab） 3ab 3 C（a 2） 3a 5 Da 2a3a 52（3 分）一个正方形的面积是 12，估计它的边长大小在（ ）A2 与 3 之间 B3 与 4 之间 C4 与 5 之间 D5 与 6 之间3（3 分）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ）A B C D4（3 分）某校航模兴趣小组共有 30 位同学，他们的年龄分布如下
2、表：年龄/岁 13 14 15 16 人数 5 15 由于表格污损，15 和 16 岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）A平均数、中位数 B众数、中位数C平均数、方差 D中位数、方差5（3 分）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，240，那么1 的度数为（ ）A40 B50 C60 D906（3 分）O 是一个正 n 边形的外接圆，若O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，则n 的值为（ ）A3 B4 C6 D87（3 分）已知 1，则代数式 的值为（ ）A3 B1 C1 D38（3 分）如图，O 是以原点为圆心，2 为半径的圆，点 P 是直线 yx+8 上的一点，过点
3、P 作O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为（ ）A2 B4 C82 D2二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9（3 分）扬州 2 月份某日的最高气温是 6，最低气温是3，则该日扬州的温差（最高气温最低气温）是 10（3 分）分解因式：x 32x 2+x 11（3 分）长度单位 1 纳米10 9 米，目前发现一种新型病毒直径为 25100 纳米，用科学记数法表示该病毒直径是 米12（3 分）反比例函数 y 与 y2x 的图象没有交点，则 k 的取值范围为 13（3 分）抛掷一枚质地均匀的硬币
4、，连续 3 次都是正面向上，则关于第 4 次抛掷结果，P（正面向上） P（反面向上）（填写“”“”或“”）14（3 分）三角形在正方形网格中的位置如图所示，则 sin的值是 15（3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边中点，OH4，则菱形 ABCD 的周长等于 16（3 分）如图，在ABC 中，A70，B55，以 BC 为直径作O，分别交AB、 AC 于点 E、F，则 的度数为 17（3 分）如图，正方形 OABC 的边长为 6，A，C 分别位于 x 轴、y 轴上，点 P 在 AB上，CP 交 OB 于点 Q，函数 y 的图象经过点 Q，若 SBP
5、Q SOQC ，则 k 的值为 18（3 分）若2a2，则满足 a（a+b）b（a+1）+a 的 b 的取值范围为 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19（8 分）（1）计算： ；（2）解不等式： 20（8 分）先化简再求值： ，其中 x 是方程 x22x0 的根21（8 分）2018 年江苏省扬州市初中英语口语听力考试即将举行，某校认真复习，积极迎考，准备了 A、B、C、D 四份听力材料，它们的难易程度分别是易、中、难、难；a，b 是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难（1）从四份听力材料中，任选一份
6、是难的听力材料的概率是 （2）用树状图或列表法，列出分别从听力、口语材料中随机选一份组成一套完整的模拟试卷的所有情况，并求出两份材料都是难的一套模拟试卷的概率22（8 分）某市需调查该市九年级男生的体能状况，为此抽取了 50 名九年级男生进行引体向上个数测试，测试情况绘制成表格如下：个数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11人数 1 1 6 18 10 6 2 2 1 1 2（1）求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；（2）在平均数、众数和中位数中，你认为用哪一个统计量作为该市九年级男生引体向上项目测试的合格标准个数较为合适？简要说明理由；（3）如果该市今年有 3 万名九年级男生
7、，根据（2）中你认为合格的标准，试估计该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数是多少？23（10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（m 1）x +m230 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）若 m 为非负整数，且该方程的根都是无理数，求 m 的值24（10 分）已知：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过点 A作 BC 的平行线交于 BE 的延长线于点 F，且 AFDC，连接 CF （1）求证：D 是 BC 的中点；（2）如果 ABAC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论25（10 分）如图，在ABC，ABAC ，以 AB
8、 为直径的O 分别交 AC、BC 于点D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且CAB2CBF （1）试判断直线 BF 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB6，BF 8，求 tanCBF 26（10 分）某商场购进一批 30 瓦的 LED 灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：LED 灯泡 普通白炽灯泡进价（元） 45 25标价（元） 60 30（1）该商场购进了 LED 灯泡与普通白炽灯泡共 300 个，LED 灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可获利 3200 元，求该商场购进 LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？（2）由于春节期间热
9、销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进这两种灯泡120 个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的 30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？27（12 分）有一边是另一边的 倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角（1）在 RtABC 中，ACB90，若A 为智慧角，则B 的度数为 ；（2）如图 ，在 ABC 中，A45，B30，求证：ABC 是智慧三角形；（3）如图 ， ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，B 为智慧角，A（3，0），点B，C 在函数 y （x0）的图象上，点 C 在点 B 的上方，且点 B 的
10、纵坐标为 当ABC 是直角三角形时，求 k 的值28（12 分）如图，一次函数 y x2 的图象交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，二次函数 y x2+bx+c 的图象经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一点 C（1）求二次函数的关系式及点 C 的坐标；（2）如图 ，若点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点，过点 P 作 PDx 轴交 AB 于点D，PEy 轴交 AB 于点 E，求 PD+PE 的最大值；（3）如图 ，若点 M 在抛物线的对称轴上，且AMB ACB，求出所有满足条件的点 M 的坐标2019 年江苏省扬州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 8 小题，
11、每小题 3 分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（3 分）下列计算正确的是（ ）A2a+3b5ab B（ab） 3ab 3 C（a 2） 3a 5 Da 2a3a 5【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案【解答】解：A、2a+3b5ab，故本选项错误；B、（ab） 3a 3b3，故本选项错误；C、（a 2） 3a 6，故本选项错误；D、a 2a3a 2+3a 5，故本选项正确故选：D【点评】此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识解题要注意
12、细心2（3 分）一个正方形的面积是 12，估计它的边长大小在（ ）A2 与 3 之间 B3 与 4 之间 C4 与 5 之间 D5 与 6 之间【分析】先设正方形的边长等于 a，再根据其面积公式求出 a 的值，估算出 a 的取值范围即可【解答】解：设正方形的边长等于 a，正方形的面积是 12，a 2 ，91216，3 4，即 3a4故选：B【点评】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值3（3 分）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ）A B C D【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】
13、解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形故选：A【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中4（3 分）某校航模兴趣小组共有 30 位同学，他们的年龄分布如下表：年龄/岁 13 14 15 16 人数 5 15 由于表格污损，15 和 16 岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）A平均数、中位数 B众数、中位数C平均数、方差 D中位数、方差【分析】利用数据有 30 个，而 14 占 15 个，则可得到数据的众数；然后利用中位数的定义可确定这组数据的中位数，从而可对各选项进行判断【解答】解：因为共有 30 位同学，所以
14、14 岁有 15 人，所以 14 为众数，第 15 个数和第 16 个数都是 14，所以数据的中位数为 14故选：B【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了中位数、众数5（3 分）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，240，那么1 的度数为（ ）A40 B50 C60 D90【分析】由三角板的直角ACB90，240，即可求得3 的度数，又根据两直线平行，同位角相等，即可求得1 的度数【解答】解：如图，ACB90，240，350，ABCD，1350，故选：B【点评】此题
15、考查了平行线的性质解题的关键是注意两直线平行，同位角相等定理的应用6（3 分）O 是一个正 n 边形的外接圆，若O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，则n 的值为（ ）A3 B4 C6 D8【分析】因为O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，推出这个多边形的中心角 60，构建方程即可解决问题；【解答】解：O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，这个多边形的中心角60， 60，n6，故选：C【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7（3 分）已知 1，则代数式 的值为（ ）A3 B1 C1 D3【分析】由 1 利用分式的加减运算法则
16、得出 mnmn，代入原式计算可得【解答】解： 1， 1，则 1，mnnm，即 mnmn，则原式3，故选：D【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和整体代入思想的运用8（3 分）如图，O 是以原点为圆心，2 为半径的圆，点 P 是直线 yx+8 上的一点，过点 P 作O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为（ ）A2 B4 C82 D2【分析】由 P 在直线 yx+8 上，设 P（m ，8m），连接 OQ，OP ，由 PQ 为圆 O的切线，得到 PQOQ，在直角三角形 OPQ 中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出 PQ 的最
17、小值【解答】解：P 在直线 yx +8 上，设 P 坐标为（m，8m），连接 OQ，OP ，由 PQ 为圆 O 的切线，得到 PQOQ，在 Rt OPQ 中，根据勾股定理得：OP 2PQ 2+OQ2，PQ 2m 2+（8m） 2 2m 216m +522（m4） 2+20，则当 m4 时，切线长 PQ 的最小值为 故选：A【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：切线的性质，勾股定理，配方法的应用，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9（3 分）扬州
18、2 月份某日的最高气温是 6，最低气温是3，则该日扬州的温差（最高气温最低气温）是 9 【分析】根据有理数的减法的运算方法，用扬州 2 月份某日的最高气温减去最低气温，求出该日扬州的温差（最高气温最低气温）是多少即可【解答】解：6（3）9（）该日扬州的温差（最高气温最低气温）是 9故答案为：9【点评】此题主要考查了有理数的减法的运算方法，要熟练掌握10（3 分）分解因式：x 32x 2+x x（x1） 2 【分析】首先提取公因式 x，进而利用完全平方公式分解因式即可【解答】解：x 32x 2+xx（x 22x+1）x（x 1） 2故答案为：x（x 1） 2【点评】此题主要考查了提取公因式法以及
19、公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键11（3 分）长度单位 1 纳米10 9 米，目前发现一种新型病毒直径为 25100 纳米，用科学记数法表示该病毒直径是 2.5110 5 米【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值是易错点，25100 科学记数法可表示为 2.51104，然后把纳米转化成米2.51104109 化简得结果【解答】解：25100 科学记数法可表示为 2.51104，然后把纳米转化成米，即 2.51104109 2.5110 5 故答案为：2.5110 5 【点评】本题考查科学记数法的表示方法，关键是注意当 n 是
20、负数12（3 分）反比例函数 y 与 y2x 的图象没有交点，则 k 的取值范围为 k1 【分析】根据反比例函数与一次函数图象的特征，得到 1k 小于 0，即可确定出 k 的范围【解答】解：函数 y 与 y2x 的图象没有交点，1k0，即 k1，故答案为：k1【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两函数的性质是解本题的关键13（3 分）抛掷一枚质地均匀的硬币，连续 3 次都是正面向上，则关于第 4 次抛掷结果，P（正面向上） P（反面向上）（填写“”“”或“”）【分析】由抛掷一枚质地均匀的硬币一次，可能的结果有：正面向上，反面向上；直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解
21、：抛掷一枚质地均匀的硬币一次，可能的结果有：正面向上，反面向上，P（正面向上）P（反面向上） 故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比14（3 分）三角形在正方形网格中的位置如图所示，则 sin的值是 【分析】锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦，即 sinAA 的对边除以斜边【解答】解：由图可得，直角三角形的斜边长 5，sin ，故答案为： 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦，记作 sinA15（3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H
22、 为 AD 边中点，OH4，则菱形 ABCD 的周长等于 32 【分析】根据菱形的性质得出 ADABCDBC，ACBD，根据直角三角形斜边上的中线性质求出 AD，再求出周长即可【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ADABCDBC，ACBD ，AOD 90 ，H 为 AD 边中点，OH4，AD2OH 8，即 ADCDBCAB8，菱形 ABCD 的周长是 8+8+8+832，故答案为：32【点评】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，能求出 AD 的长是解此题的关键16（3 分）如图，在ABC 中，A70，B55，以 BC 为直径作O，分别交AB、 AC 于点 E、F，则 的度数为
23、40 【分析】连接 OF，求出C 和CFO 度数，求出COF，即可求出 度数，即可求出答案【解答】解：A70，B55，C180AB55，BC，ABAC，连接 OF，OCOF，CCFO55，COF70， 的度数是 70，B55， 的度数是 110， 的度数是 1107040，故答案为：40【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半17（3 分）如图，正方形 OABC 的边长为 6，A，C 分别位于 x 轴、y 轴上，点 P 在 AB上，CP 交 OB 于点 Q，函数 y 的图象经过点 Q，若 SBPQ SOQC ，则 k 的值为 16
24、 【分析】根据正方形的性质可得出 OCAB，从而得出BPQOQC，再根据 SBPQ SOQC ，即可得出点 P 的坐标，利用待定系数法求出直线 OB、CP 的解析式，联立两个解析式求出交点坐标后再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论【解答】解：四边形 OABC 为正方形，OCAB ，BPQOQC，S BPQ SOQC ，BP AB正方形 OABC 的边长为 6，点 C（0，6），B（6，6）， P（6，3），利用待定系数法可求出：直线 OB 的解析式为 yx，直线 CP 的解析式为 y x+6，联立 OB、CP 的解析式得： ，解得： ，Q（4，4）函数 y 的图象经过点 Q，k4416
25、故答案为：16【点评】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质，解题的关键是求出点 Q 的坐标本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键18（3 分）若2a2，则满足 a（a+b）b（a+1）+a 的 b 的取值范围为 b6 【分析】由题目中的等式化简，用含 a 的代数式表示 b，因为2a2，则 b 可看作变量 a 的函数，利用二次函数的性质即可得出【解答】解：由 a（a+b）b（a+1）+ a，化简得：ba 2a（2a2）将二次函数化为顶点式得：b （2a2）则二次函数开口朝上，顶点为（ ， ），当 a 时，b
26、随 a 的增大而减小，当 a 时，b 随 a 的增大而增大因此当 a2 时，b 取得最大值 6；当 a 时，b 取得最小值 故答案为： 【点评】本题考察二次函数的基本性质，在解题时要注意将题目会中的等式正确化简得到二次函数，再利用函数的性质解决问题三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19（8 分）（1）计算： ；（2）解不等式： 【分析】（1）先化简二次根式、代入三角函数值、计算负整数指数幂、去绝对值符号，再去括号，计算加减可得；（2）根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得【解答】解：（1）原式3 2 +
27、4（ 1）3 +4 +1 +5；（2）去分母，得：3（12x）62（x+2），去括号，得：36x62x +4，移项，得：6x2x 43+6，合并同类项，得：8x7，系数化为 1，得：x 【点评】本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质及解不等式的基本步骤20（8 分）先化简再求值： ，其中 x 是方程 x22x0 的根【分析】先把括号内通分、除法化为乘法以及分子和分母因式分解得到原式 ，然后约分后整理得到原式x 2x +2，再用因式分解法解方程 x22x0 得到 x10，x 22（使分式无意义，舍去），最后把 x0 代
28、入计算即可【解答】解：原式 （x+2）（x 1）x 2x+2，解 x22x0 得：x 10，x 22（使分式无意义，舍去），当 x0 时，原式00+22【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值也考查了因式分解法解一元二次方程21（8 分）2018 年江苏省扬州市初中英语口语听力考试即将举行，某校认真复习，积极迎考，准备了 A、B、C、D 四份听力材料，它们的难易程度分别是易、中、难、难；a，b 是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难（1）从四份听力材料中，任选一份是难的
29、听力材料的概率是 （2）用树状图或列表法，列出分别从听力、口语材料中随机选一份组成一套完整的模拟试卷的所有情况，并求出两份材料都是难的一套模拟试卷的概率【分析】（1）依据 A、B、C 、D 四份听力材料的难易程度分别是易、中、难、难，即可得到从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是 ；（2）利用树状图列出分别从听力、口语材料中随机选一份组成一套完整的模拟试卷的所有情况，即可得到两份材料都是难的一套模拟试卷的概率【解答】解：（1）A、B、C 、D 四份听力材料的难易程度分别是易、中、难、难，从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是 ；故答案为： ；（2）树状图如下：P（两份材料都
30、是难） 【点评】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数22（8 分）某市需调查该市九年级男生的体能状况，为此抽取了 50 名九年级男生进行引体向上个数测试，测试情况绘制成表格如下：个数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11人数 1 1 6 18 10 6 2 2 1 1 2（1）求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；（2）在平均数、众数和中位数中，你认为用哪一个统计量作为该市九年级男生引体向上项目测试的合格标准个数较为合适？简要说明理由；（3）如果该市今
31、年有 3 万名九年级男生，根据（2）中你认为合格的标准，试估计该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数是多少？【分析】（1）根据出现最多的是众数；把这组数据按大小关系排列，中间位置的是中位数（偶数个数据取中间两个数的平均值）；平均数是总成绩除以次数；（2）根据中位数或众数比较接近大部分学生成绩，故中位数或众数作为合格标准次数较为合适；（3）根据 50 人中，有 42 人符合标准，进而求出 3 万名该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数即可【解答】解：（1）平均数为（11+12+63+18 4+105+66+27+28+19+110+211）505 个；众数为 4 个，中位数为 4 个 （2）
32、用中位数或众数（4 个）作为合格标准次数较为合适，因为 4 个大部分同学都能达到 （3） （人）故估计该市九年级男生引体向上项目测试的合格人数是 25200 人【点评】此题主要考查了平均数、中位数和众数的定义以及利用样本估计总体，熟练掌握中位数和众数的定义以及平均数的计算方法解答是解题关键23（10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（m 1）x +m230 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）若 m 为非负整数，且该方程的根都是无理数，求 m 的值【分析】（1）利用根与系数的关系得到2（m 1） 24（m 23）8m+160 ，然后解不等式即可；（2）先利用 m 的范
33、围得到 m0 或 m1，再分别求出 m0 和 m1 时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的 m 的值【解答】解：（1）2（ m1） 24（m 23）8m+16方程有两个不相等的实数根，0即8m+160 解得 m2；（2）m2，且 m 为非负整数，m0 或 m1，当 m0 时，原方程为 x22x30，解得 x13，x 21，不符合题意舍去，当 m1 时，原方程为 x220，解得 x1 ，x 2 ，综上所述，m1【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方
34、程无实数根24（10 分）已知：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过点 A作 BC 的平行线交于 BE 的延长线于点 F，且 AFDC，连接 CF （1）求证：D 是 BC 的中点；（2）如果 ABAC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论【分析】（1）可证AFEDBE，得出 AFBD，进而根据 AFDC ，得出 D 是 BC中点的结论；（证法 2：可根据 AF 平行且相等于 DC，得出四边形 ADCF 是平行四边形，从而证得DE 是BCF 的中位线，由此得出 D 是 BC 中点）（2）若 ABAC ，则ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的
35、性质知ADBC；而 AF 与 DC 平行且相等，故四边形 ADCF 是平行四边形，又 ADBC，则四边形 ADCF 是矩形【解答】（1）证明：E 是 AD 的中点，AEDE AFBC，FAE BDE，AFEDBE在AFE 和DBE 中，AFE DBE（AAS ）AFBD AFDC，BDDC即：D 是 BC 的中点（2）解：四边形 ADCF 是矩形；证明：AFDC，AF DC，四边形 ADCF 是平行四边形ABAC，BDDC ，ADBC 即ADC90平行四边形 ADCF 是矩形【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用25（10 分）如图
36、，在ABC，ABAC ，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且CAB2CBF （1）试判断直线 BF 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB6，BF 8，求 tanCBF 【分析】（1）连接 AE通过 ABBF ，点 B 在O 上可以推知 BF 为O 的切线；（2）作辅助线 CG（过点 C 作 CGBF 于点 G）构建平行线 ABCG由“平行线截线段成比例”知 ，从而求得 FG 的值；然后根据图形中相关线段间的和差关系求得直角三角形 CBG 的两直角边 BG、CG 的长度；最后由锐角三角函数的定义来求 tanCBF 的值【解答】解：（1）B
37、F 为O 的切线证明：连接 AEAB 为O 的直径，AEB 90（直径所对的圆周角是直角），BAE +ABE90（直角三角形的两个锐角互余）；又ABAC， AEBC，AE 平分BAC，即BAECAE ；CAB2CBF，BAE CBF，BAE +ABEABE+ CBF90，即 ABBF，OB 是半径，BF 为O 的切线；（2）过点 C 作 CGBF 于点 G在 Rt ABF 中，AB 6，BF8，AF10（勾股定理）；又ACAB 6CF4；CGBF ，AB BF，CGAB ， ，（平行线截线段成比例），FG ，由勾股定理得：CG ，BGBFFG8 ，在 Rt BCG 中， tanCBF 【点评】
38、本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例、直角所对的圆周角是直角等知识点要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可26（10 分）某商场购进一批 30 瓦的 LED 灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：LED 灯泡 普通白炽灯泡进价（元） 45 25标价（元） 60 30（1）该商场购进了 LED 灯泡与普通白炽灯泡共 300 个，LED 灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可获利 3200 元，求该商场购进 LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，
39、若该商场计划再次购进这两种灯泡120 个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的 30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？【分析】（1）设该商场购进 LED 灯泡 x 个，普通白炽灯泡的数量为 y 个，利用该商场购进了 LED 灯泡与普通白炽灯泡共 300 个和销售完这批灯泡后可以获利 3200 元列方程组，然后解方程组即可；（2）设该商场购进 LED 灯泡 a 个，则购进普通白炽灯泡（120a）个，这批灯泡的总利润为 W 元，利用利润的意义得到 W（6045）a+（ 3025）（120a）10a+600，再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的 3
40、0%可确定 a 的范围，然后根据一次函数的性质解决问题【解答】解：（1）设该商场购进 LED 灯泡 x 个，普通白炽灯泡的数量为 y 个根据题意，得解得答：该商场购进 LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为 200 个和 100 个（2）设该商场再次购进 LED 灯泡 a 个，这批灯泡的总利润为 W 元则购进普通白炽灯泡（120a）个根据题意得W（6045）a+（3025）（120a）10a+60010a+60045a+25（120a）30% ，解得 a75，k100，W 随 a 的增大而增大，a75 时，W 最大，最大值为 1350，此时购进普通白炽灯泡（12075）45 个答：该商场再次购
41、进 LED 灯泡 75 个，购进普通白炽灯泡 45 个，这批灯泡的总利润为 1 350 元【点评】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题；也考查了二元一次方程组27（12 分）有一边是另一边的 倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角（1）在 RtABC 中，ACB90，若A 为智慧角，则B 的度数为 45 ；（2）如图 ，在 ABC 中，A45，B30，求证：ABC 是智慧三角形；（3）如图 ， ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，B 为智慧角，A（3，0），点B，C 在函数 y （x0）的图象上，点
42、C 在点 B 的上方，且点 B 的纵坐标为 当ABC 是直角三角形时，求 k 的值【分析】（1）利用智慧角的意义和勾股定理即可得出结论；（2）构造出两个直角三角形，即可得出结论；（3）分两种情况：先判断出BCF ABE，进而得出 B（3+ a， ），C（1+ a，+ a），最后代入反比例函数解析式中即可得出结论；先判断出 MACNBA（AAS ）进而 AMBN ，进而得出 B（3+b， ），C（3 ，b），最后代入反比例函数解析式中即可得出结论【解答】解：（1）如图 1，在 Rt ABC 中，ACB90 ，A 是智慧角，AB AC，根据根据勾股定理得，BC AC，BA 45，故答案为 45；（
43、2）如图 2，过点 C 作 CD AB 于点 D在 Rt ACD 中， A45，AC DC在 Rt BCD 中， B30，BC2DC ABC 是智慧三角形（3）由题意可知ABC90或BAC 90当 ABC90时，如图 3，过点 B 作 BE x 轴于点 E，过点 C 作 CFEB 交 EB 延长线于点 F，过点 C 作 CGx轴于点 G，则AEBFABC90BCF+ CBFABE+ CBF90BCFABEBCFABE 设 AEa，则 BF aBE ，CF2OGOA +AEGE3+a21+a，CGEF + a，B（3+a， ），C（1+a， + a）点 B，C 在函数 y （x0）的图象上， （
44、3+a）（1+a）（ + a）k解得：a 11，a 22（舍去）k 当 BAC90时，如图 4，过点 C 作 CMx 轴于点 M，过点 B 作 BNx 轴于点N则CMACABANB 90MCA+ CAMBAN+CAM90MCABAN由（1）知B45ABC 是等腰直角三角形ACAB由知 MAC NBA MACNBA（AAS）AMBN 设 CMANb，则 ON3+bB（3+b， ），C（3 ，b）点 B，C 在函数 y （x0）的图象上， （3+b）（3 ）b k 解得：b9 +12k18+15 综上所述，k4 或 18+15 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三
45、角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，构造直角三角形和相似三角形是解本题的关键28（12 分）如图，一次函数 y x2 的图象交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，二次函数 y x2+bx+c 的图象经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一点 C（1）求二次函数的关系式及点 C 的坐标；（2）如图 ，若点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点，过点 P 作 PDx 轴交 AB 于点D，PEy 轴交 AB 于点 E，求 PD+PE 的最大值；（3）如图 ，若点 M 在抛物线的对称轴上，且AMB ACB，求出所有满足条件的点 M 的坐标【分析】（1）先根据一次函数解析式确定 A（4，0），B（0，2），再利用待定系数法求抛物线解析式；然后解方程 x
