1、2019 年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.下面每小题给出的四个选项中只有一个是正确的.）1计算 sin45（ ）A B1 C D2抽查九年级 10 位同学一周做数学作业的时间分别为（单位：h）4，5，4，6，7，6，8，6，7，8则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A6，7 B6，6 C8，6 D6，6.53如图，该几何体的俯视图是（ ）A BC D4如图所示，直线 ab，135，290，则3 的度数为（ ）A125 B135 C145 D1555若 ab，则下列结论不一定成立的是（ ）Aa1b1 B2a2b C Da 2
2、b 26下列各式变形中，正确的是（ ）Ax 2x3x 6 B |x|C（x 2 ）x x1 Dx 2x+1 （x ） 2+7一次函数 ykx1 的图象经过点 P，且 y 的值随 x 值的增大而增大，则点 P 的坐标可以为（ ）A（5，3） B（1，3） C（2，2） D（5，1）8已知二次函数 y2（x 1）（x m 3）（其中 m 为常数），该函数图象与 y 轴交点在 x 轴上方，则 m 的取值范围正确的是（ ）Am3 Bm3 Cm3 Dm 39如图，AB 是O 的弦，AB5，点 C 是O 上的一个动点，且 ACB45，点 M，N 分别是AB， AC 的中点，则线段 MN 长的最大值为（ ）
3、A5 B C5 D10如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别是 AB，BC，CD 上的点，EB 3，GC 4，FEG60，EGF 45，则 BC 的长为（ ）A3+ B C4+ D3+4二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）11近年来，党和国家高度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约有 65000000 人脱贫，65000000 用科学记数法表示为 12化简：3（x2y ）+4（x 2y） 13袋内装有标号分别为 1，2，3，4 的 4 个球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的
4、个位数字，则组成的两位数是 3 的倍数的概率为 14如图，菱形 ABCD 中，B60，AB5，则以 AC 为边长的正方形 ACFE 的周长是 15如图，在 RtBAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使 DC BC，连接 AC，若 tanB ，则tan CAD 的值为 16如图，一次函数 y2x 与反比例函数 y （k0）的图象交于点 A，B，点 P 在以C（2，0）为圆心，1 为半径的 C 上，Q 是 AP 的中点，若 OQ 长的最大值为 ，则 k 的值为 三、全面答一答（解答应写出必要的文字说明或推演步骤，本题有 7 个大题，共 66 分）17（6 分）解分式方程： + 118（8 分）如图
5、，已知在ABC 中，A90（1）请用圆规和直尺作出P，使圆心 P 在 AC 边上，且与 AB，BC 两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若B60，AB 3，求 P 的面积19（8 分）在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，两人5 次测试成绩（单位：分）如下：甲：79，86，82，85，83乙：88，79，90，81，72回答下列问题：（1）甲成绩的平均数是 ，乙成绩的平均数是 ；（2）经计算知 S 甲 26，S 乙 242你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由；（3）如果从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于
6、 80 分的概率20（10 分）如图，已知点 C 在 O 上，AC AB，动点 P 与点 C 位于直径 AB 的异侧，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与 A、B 两点重合），连结 BP，过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交直线 PB于 D 点，连结 CP（1）如图 1，在点 P 运动过程中，求CPD 的度数；（2）如图 2，在点 P 运动过程中，当 CPAB，AC 2 时，求BPC 的周长21（10 分）如图，在平面直角坐标系系中，一次函数 y1kx +b（k 0）与反比例函数y2 （m0）的图象交于第二、第四象限 A，B 两点，过点 A 作 ADx 轴，垂足为D，AD 4，sinAOD
7、 ，且点 B 的坐标为（n，2）（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）将一次函数 y1kx+b（k0）向下移动 2 个单位的函数记为 y3，当 y3y 2 时，求 x 的取值范围22（12 分）在矩形 ABCD 中，AB1，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 EFAC 分别交射线 AD 与射线 CB 于点 E 和点 F，联结 CE、AF（1）如图，求证：四边形 AFCE 是菱形；（2）当点 E、F 分别在边 AD 和 BC 上时，如果设 ADx ，菱形 AFCE 的面积是 y，求 y 关于 x的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）如果ODE 是等腰三角形，求 AD 的长
8、度23（12 分）二次函数 yx 2+px+q 的顶点 M 是直线 y x 和直线 yx+m 的交点（1）用含 m 的代数式表示顶点 M 的坐标；（2） 当 x2 时，yx 2+px+q 的值均随 x 的增大而增大，求 m 的取值范围；若 m6，且 x 满足 t1xt +3 时，二次函数的最小值为 2，求 t 的取值范围（3）试证明：无论 m 取任何值，二次函数 yx 2+px+q 的图象与直线 yx+m 总有两个不同的交点2019 年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.下面每小题给出的四个选项中只有一个是正确
9、的.）1【分析】根据特殊锐角的三角函数值求解可得【解答】解：sin45 ，故选：C【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值2【分析】根据众数和中位数的概念求解【解答】解：将数据重新排列为 4，4，5，6，6，6，7，7，8，8，所以这组数据的众数为 6，中位数为 6，故选：B【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数3【分析】找到从几何体的上面所看
10、到的图形即可【解答】解：从几何体的上面看可得 ，故选：A【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置4【分析】如图求出5 即可解决问题【解答】解：ab，1435，290，4+590，555，31805125，故选：A【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题5【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断【解答】解：A、在不等式 ab 的两边同时减去 1，不等式仍成立，即 a1b1，故本选项错误；B、在不等式 ab 的两边同时乘以 2，不等式仍成立，即 2a2b，故本选项错误；C、在不等式 ab 的两边同时乘以 ，
11、不等号的方向改变，即 ，故本选项错误；D、当 a5，b1 时，不等式 a2b 2 不成立，故本选项正确；故选：D【点评】考查了不等式的性质应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于 0 进行分类讨论6【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案【解答】解：A、x 2x3x 5，故此选项错误；B、 |x|，正确；C、（x 2 ）x x ，故此选项错误；D、x 2x+1（x ） 2+ ，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了
12、二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键7【分析】根据函数图象的性质判断系数 k0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y 轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论【解答】解：一次函数 ykx1 的图象的 y 的值随 x 值的增大而增大，k0，A、把点（5，3）代入 ykx1 得到：k 0，不符合题意；B、把点（1，3）代入 ykx1 得到：k 20，不符合题意；C、把点（2，2）代入 ykx 1 得到：k 0，符合题意；D、把点（5，1）代入 ykx1 得到：k0，不符合题意；故选：C【点评】考查了一次函数图象上点的
13、坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得 k0 是解题的关键8【分析】题干中的二次函数解析式为交点式，由该函数图象与 y 轴交点在 x 轴上方，我们需要确定图象与 y 轴的交点，只要将其化为一般式，令常数项大于 0 即可【解答】解：将 y2（x 1）（x m 3）展开得，y2x 2（2m+8）x+2m+6 该函数图象与 y 轴交点在 x 轴上方2m+60解得，m3故选：B【点评】本题考查了二次函数解析式与图象的联系，通过解析式判断图象与坐标轴交点坐标的方法9【分析】根据三角形中位线定理得到 MN BC，根据圆周角定理求出直径 BC，得到答案【解答】解：点 M，N 分别是 AB，AC 的中点，MN
14、 BC，当 BC 最大时，线段 MN 长的最大，当 BC 为O 的直径时， BC 的长度最大，ACB45，直径 BC5 ，则线段 MN 长的最大值为 ，故选：D【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形中位线定理，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键10【分析】过点 F 作 FH EG 于 O，交 AD 于点 H，证明 EGFH，连接 EH，可证得EHO FGO，再由 RtAEH RtCFG，根据相似三角形的性质求出线段 AE 的长是解本题的关键【解答】解：过点 F 作 FH EG 于 O，交 AD 于点 H，EOH GOF90，OGF 45 ，OFG OGF45，OGOF 在正方形 ABCD
15、中，EGHF，EGHFOEOHEHFGEHO FGO， ，在 Rt EOF 中，OEF60，设 OEx ，OFOE tanOEF x，在 Rt GOF 中，OGF45 OGOF x，FG x，在 Rt EOH 中，OHOEx，EH x，EOH 与 GOF 的相似比为 ，由 Rt AEHRtCFG，GC4， ， ，AE ，又EB3ABAE+EB3+故选：A【点评】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形相似的性质，掌握平行线的性质、锐角三角函数、正确作出辅助性是解题的关键二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）11【分析】科学记数法的表示形式为 a10n
16、的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 65000000 用科学记数法表示为：6.510 7故答案为：6.510 7【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12【分析】先去括号，再合并同类项即可【解答】解：原式3x+6y+4x8yx2y，故答案为 x2y 【点评】本题考查了整式的加减，掌握去括号的法则和合并
17、同类项的法则是解题的关键13【分析】画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出所成的两位数是 3 的倍数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 16 种等可能的结果数，其中所成的两位数是 3 的倍数的结果数为 5，组成的两位数是 3 的倍数的概率为 ，故答案为： 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比14【分析】根据菱形得出 ABBC，得出等边三角形 ABC，求出 AC 的长度，根据正方形的性质得出 AFEFECAC5，求出即可【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ABBC，B60，ABC 是等边三角形，ACAB5，正方形
18、 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF4520，故答案是：20【点评】本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出 AC的长15【分析】过点 C 作 CEAD ，垂足为 E，根据 tanB ，设 AD3x，AB5x，证CDEBDA，得出比例式，求出 CE、DE 长，求出 AE，再解直角三角形求出即可【解答】解：过点 C 作 CEAD ，垂足为 E，tanB ，即 ，设 AD3x，则 AB5x ，CDEBDA，CEDBAD90，CDEBDA，DC BC，BD2DC， ，CE x，DE x，AE x，tanCAD ，故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定和
19、性质，解直角三角形的应用，能构造直角三角形是解此题的关键16【分析】作辅助线，先确定 OQ 长的最大时，点 P 的位置，当 BP 过圆心 C 时，BP 最长，设B（t，2 t），则 CDt（2）t +2，BD 2t ，根据勾股定理计算 t 的值，可得 k 的值【解答】解：连接 BP，由对称性得：OAOB，Q 是 AP 的中点，OQ BP，OQ 长的最大值为 ，BP 长的最大值为 23，如图，当 BP 过圆心 C 时，BP 最长，过 B 作 BDx 轴于 D，CP1，BC2，B 在直线 y 2x 上，设 B（t，2t），则 CDt（2）t +2，BD 2t ，在 Rt BCD 中，由勾股定理得：
20、BC 2CD 2+BD2，2 2（t+2） 2+（2t） 2，t0（舍）或 ，B（ ， ），点 B 在反比例函数 y （k0）的图象上，k ；故答案为： 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题三、全面答一答（解答应写出必要的文字说明或推演步骤，本题有 7 个大题，共 66 分）17【分析】对于分式方程，先去分母得到 2+2xx1，可解得 x3，然后进行检验确定分式方程的解【解答】解：去分母得：2+2xx1，解得：x3 经检验 x3 是原方程的解，所以方程的解是 x3【点评】本题考查了解分式方程：先去分母，把分
21、式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解18【分析】（1）作ABC 的平分线交 AC 于 P，再以 P 为圆心 PA 为半径即可作出P；（2）根据角平分线的性质得到ABP30，根据三角函数可得 AP ，再根据圆的面积公式即可求解【解答】解：（1）如图所示，则P 为所求作的圆（2）B60，BP 平分ABC，ABP 30，tanABP ，APABtan ABP3 ，S P3【点评】本题主要考查了作图复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等同时考查了圆的面积19【分析】（1）根据平均数的定义可列式计算；（2）由平均数所表示的平
22、均水平及方差所衡量的成绩稳定性判断可知；（3）列表表示出所有等可能的结果，找到能使该事件发生的结果数，根据概率公式计算可得【解答】解：（1） 83（分）， 82（分）；（2）选拔甲参加比赛更合适，理由如下： ，且 S 甲 2S 乙 2，甲的平均成绩高于乙，且甲的成绩更稳定，故选拔甲参加比赛更合适（3）列表如下：79 86 82 85 8388 88，79 88，86 88，82 88，85 88，8379 79，79 79，86 79，82 79，85 79，8390 90，79 90，86 90，82 90，85 90，8381 81，79 81，86 81，82 81，85 81，8372
23、 72，79 72，86 72，82 72，85 72，83由表格可知，所有等可能结果共有 25 种，其中两个人的成绩都大于 80 分有 12 种，抽到的两个人的成绩都大于 80 分的概率为 故答案为：（1）83，82【点评】本题主要考查平均数、方差即列表或画树状图求概率，根据题意列出所有等可能结果及由表格确定使事件发生的结果数是解题的关键20【分析】（1）由 AC AB，动点 P 与点 C 位于直径 AB 的异侧，易求得ABC30，继而可得CPDA60；（2）先证明CBP 是等边三角形，再求出 BC 的长，最后求出CBP 的周长【解答】解：（1）AB 是直径，ACB90，AC AB，ABC3
24、0，A90ABC60，CPDA60，（2）A60，BPCA60，PCAB，AB 是直径， ，ABP ABC30，CBP60，CBP 是等边三角形，BPBCCP，AC2，BC AC2 ，C BCP BP+BC+CP3BC6 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及含 30角的直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用21【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题（2）构建不等式，分两种情形分别求解即可【解答】解：（1）ADx 轴，AD 4，又sinAOD ，AO5，DO 2AO 2 AD2，DO3，A（3，4），将 A（3，4）代入 y2 ，得 4 ，即 m12，反比例表达式为 y
25、2 ，将 B（m，2）代入 y2 ，得2 ，即 x6 ，B（6，2），将 A（3，4），B（6，2）代入 y1kx+b 得，解得 ，一次函数表达式为 y1 x+2（2）将一次函数 y1 x+2 向下移动 2 个单位得到函数 y3y 3 x，y 3y 2， x ，即（1）当 x0 时， （2）当 x0 时， 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型22【分析】（1）由DOEBOF，推出 EOOF ，OBOD，推出四边形 EBFD 是平行四边形，再证明 EBED 即可（2）由 cosDAC ，求出 AE 即可解决问题；
26、（3）分两种情形分别讨论求解即可；【解答】解：（1）证明：如图 1 中，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，OBOD，EDO FBO，在DOE 和 BOF 中，DOE BOF，EOOF ，OB OD，四边形 EBFD 是平行四边形，EFBD ，OBOD，EBED ，四边形 EBFD 是菱形（2）由题意可知：AC ，OAOC ，cosDAC ，AE ，yAECD ，AEAD ， x，x 21，x0，x1即 y （x 1）（3） 如图 2 中，当点 E 在线段 AD 上时，EDEO，则 RtCEDRtCEO，CDCO AO1，在 Rt ADC 中， AD 如图 3 中，当的 E 在线段 AD 的延
27、长线上时，DE DO，DEDO OC，ECCE，RtECD RtCEO，CDEO，DACEAO，ADCAOE90，ADCAOE，AEAC，EO 垂直平分线线段 AC，EAEC，EAECAC，ACE 是等边三角形，ADCDtan30 ，综上所述，满足条件的 AD 的值为 或 【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题23【分析】（1）已知直线 y x 和直线 yx+m，列出方程求出 x，y，即可求出点 M 的坐标；（2） 根据题意得出 ，解不等式求出 m 的取值；当 t
28、14 时，当4t +3 时，二次函数 y 最小值 2，解不等式组即可求得 t 的取值范围；（3）根据一元二次方程根的判别式进行判断【解答】解：（1）由题意得 ，解得 ， ；（2） 根据题意得 ，解得 m3，m 的取值范围为 m3；当 m6 时，顶点为 M（4，2），抛物线为 y（x +4） 2+2，函数的最小值为 2，x 满足 t1 xt+3 时，二次函数的最小值为 2， ，解得7t3；（3） ，得 x2+（p1）x +qm0，（p1） 24（qm） p22p+1 4q+4m ，抛物线的顶点坐标既可以表示为 ，又可以表示为 ， ， ，0，无论 m 取任何值，二次函数 yx 2+px+q 的图象与直线 yx+m 总有两个不同的交点【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及图象，熟练掌握二次函数增减性是解题关键本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质以及图象，熟练掌握二次函数增减性，一元二次方程根的判别式是解题的关键
