1、2019 年河南省郑州市四大名校中考冲刺卷数学试卷（一）一选择题（满分 30 分，每小题 3 分）1若 a0，则 +1 的值为（ ）A2 B0 C1 D0 或 222018 年 10 月 24 日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一” ，港珠澳大桥总长度 55000 米，则数据 55000 用科学记数法表示为（ ）A5510 5 B5.510 4 C0.5 5105 D5.510 53下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）A BC
2、D4如图，已知直线 AB、 CD 被直线 AC 所截， AB CD， E 是平面内任意一点（点 E 不在直线 AB、 CD、 AC 上） ，设 BAE， DCE下列各式：+， 360 ， AEC 的度数可能是（ ）A B C D5在一次艺术作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：7、9、 8、9、8、10、9、7 ，下列说法不正确的是（ ）A中位数是 8.5 B平均数是 8.4C众数是 9 D极差是 36下列运算正确的是（ ）A（ a3） 2 a6 B a8a4 a2C （ a+b） 2 a2+b2 D （ ） 2 47 “同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是 3”
3、的概率为（ ）A B C D8 ABC 中， AB AC，在 ABC 内求作一点 O，使点 O 到三边的距离相等甲同学的作法如图 1 所示，乙同学的作法如图 2 所示，对于两人的作法，下列说法正确的是（ ）A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D乙对，甲不对9如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（ ）A （1， 0） B （1，2） C （0，0） D （1 ，1）10如图，锐角三角形 ABC 中， BC6， BC 边上的高为 4，直线 MN 交边 AB 于点 M，交 AC 于点 N，且 MN BC，以 MN 为边作正方形 MNP
4、Q，设其边长为 x（ x0） ，正方形 MNPQ 与 ABC 公共部分的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象大致是（ ）A BC D二填空题（满分 15 分，每小题 3 分）11当 x 时， （ x4） 0 等于 112若关于 x 的一元二次方程（ k1 ） x2+2x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 13某数学兴趣小组研究二次函数 y x2 mx+m 的图象时发现：无论 m 如何变化，该图象总经过一个定点，这个定点的坐标是 14如图，Rt ABC 中， ACB90， A30 ， BC6， D， E 分别是 AB， AC 边的中点，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60到 A
5、 BC的位置，则整个旋转过程中线段 DE 所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为 15如图，将正方形 ABCD 折叠，使点 A 落在 DC 边上的 A处（不与点 C、 D 重合） ，点 B 落在 B处折痕为 EF，若点 A恰好将 DC 分成 2：1 两部分，且BC+CA20 ，则线段 DE 的长为 三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16 （8 分）先化简，再求值：（ x2+ ） ，其中 x 17 （9 分）为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为 A， B， C， D 四个等级，并将结果绘制成图 1的条形统计图和图 2 扇形
6、统计图，但均不完整请你根据统计图解答下列问题：（1）求参加比赛的学生共有多少名？并补全图 1 的条形统计图（2）在图 2 扇形统 计图中， m 的值为 ，表示“ D 等级”的扇形的圆心角为 度；（3）组委会决定从本次比赛获 得 A 等级的学生中，选出 2 名去参加全市中学生“汉字听写”大赛已知 A 等级学生中男生有 1 名，请用列表法或画树状图法求出所选 2 名学生恰好是一名男生和一名女生的概率18 （9 分）如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 y x+b 的图象交于点A（1，4） ，点 B（4， n） （1）求 n 和 b 的值；（2）求 OAB 的面积；（3）直接写出一次函数值大于
7、反比例函数值的自变量 x 的取值范围19 （9 分）如图， AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上任一点（1）若 BAC30，过点 C 作半圆 O 的切线交直线 AB 于点 P求证： PBCAOC；（2）若 AB6 ，过点 C 作 AB 的平行线交半圆 O 于点 D当以点 A， O， C， D 为顶点的四边形为菱形时，求 的长20 （9 分）如图所示，一艘轮船在近海处由西向东航行，点 C 处有一灯塔，灯塔附近 30海里的圆形区域内有暗礁，轮船在 A 处测得灯塔在北偏东 60方向上，轮船又由 A 向东航行 40 海里到 B 处，测得灯塔 在北偏东 30方向上（1）求轮船在 B 处时到灯塔 C
8、 处的距离是多少？（2）若轮船继续向东航行，有无触礁危险？21 （10 分）某商场筹集资金 12.8 万元，一次性购进空调、彩电共 30 台，已知购 3 台空调、2 台彩电需花费 2.32 万元购 2 台空调、4 台彩电需花费 2.48 万元（1）计算每台空调与彩电的进价分别是多少元？（2）已知每台空调的售价为 6100 元每台彩电的售价为 3900 元，设商场计划购进空调 x 台，空调和彩电全部销售完商场获得的利润为 y 元试写出 y 与 x 的函数关系式；（3）根据市场需要，商场购进空调不少于 10 台，且购进的空调和彩电可以全部销售，那么在筹集资金范围内，商场有哪几种进货方案可供选择？选
9、择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？22 （10 分）小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图，在 ABC中， AD 是 BC 边上的中线，若 AD BD CD，求证： BAC90（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图，已知矩形 ABCD，如果在矩形外存在一点 E，使得 AE CE，求证： BE DE，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论（3）在第（2）问的条件下，如果 AED 恰好是等边三角形，直接用
10、等式表示出此时矩形的两条邻边 AB 与 BC 的数量关系23 （11 分）如图，二次函数 y ax22 ax+c 的图象交 x 轴于 A、 B 两点（其中点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴正半轴于点 C，且 OB3 OA，点 D 在该函数的第一象限内的图象上（1）求点 A、点 B 的坐标；（2）若 BDC 的最大面积为 平方单位，求点 D 的坐标及二次函数的关系式；（3）若点 D 为该函数图象的顶点，且 BDC 是直角三角形，求此二次函数的关系式参考答案一选择题1解：当 a0 时， +1 +11+1 2；当 a0 时， +1 +11+1 0故选： D2解：将数据 55000 用科学记数法
11、表示为 5.5104故选： B3解： A、不能折叠成正方体，故选项错误；B、不能折成圆锥，故选项错误；C、不能折成三棱柱，故选项错误；D、能折成圆柱，故选项正确故选： D4解：（1 ）如图，由 AB CD，可得 AOC DCE1， AOC BAE1+ AE1C， AE1C （2）如图，过 E2 作 AB 平行线，则由 AB CD，可得1 BAE2 ，2 DCE2， AE2C+ （3）如图，由 AB CD，可得 BOE3 DCE3， BAE3 BOE3+ AE3C， AE3C （4）如图，由 AB CD，可得 BAE4+ AE4C+ DCE4360， AE4C360 AEC 的度数可能为 ，+，
12、360（5） （6 ）当点 E 在 CD 的下方时，同理可得， AEC 或 故选： D5解： A、按 从小到大排列为：7，7，8，8，9，9，9，10，中位数是：（8+9 ）28.5 ，故 A 选项正确；B、平均数（7+9+8+9+8+10+9+7 ）88.375，故 B 选项错误；C、9 出现了 3 次，出现的次数最多，所以众数是 9，故 C 选项正确；D、极差是：1073，故 D 选项正确故选： B6解： A （ a3） 2 a6，此选项错误；B a8a4 a4，此选项错误；C （ a+b） 2 a2+2ab+b2，此选项错误；D （ ） 2 4，此选项正确；故选： D7解：列表如下 1
13、2 3 4 5 61 （1，1 ） （1，2 ） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）2 （2，1 ） （2，2 ） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）3 （3，1 ） （3，2 ） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）4 （4，1 ） （4，2 ） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）5 （5，1 ） （5，2 ） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）6 （6，1 ） （6，2 ） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）由表可知一共 36 种等可能结果，其中至少有一枚骰子的点数是 3 的有 11 种结果，所以至少有一枚骰子的点数是
14、3 的概率为 ，故选： B8解：甲同学作了 ABC 的平分线和底边 BC 的垂直平分线，因为 AB AC，所以 BC的垂直平分线平分 BAC，则点 O 为 ABC 内角的平分线，点 O 到三边的距离相等，所以甲同学的作法正确；乙同学作了 ABC 和 ACB 的平分线，则点 O 到三边的距离相等，所以乙同学的作法正确故选： A9解：作线段 AB，线段 CD，作线段 AB 的垂直平分线 MN，线段 CD 的垂直平分线EF，直线 MN 交直线 EF 于点 K，点 K 即为旋转中心观察图象可知旋转中心 K（1，2） ，故选： B10解：作 AD BC 于 D 点，交 MN 于 E 点，公共部分分为三种
15、情形：在三角形内；刚好一边在 BC 上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形情况中 0 x2.4，公共部分是正方形时的面积， y x2，是 2.4 x6，公共部分是矩形时如图所示：作 AD BC 于 D 点，交 MN 于 E 点，设 DE a， MN BC， ，即 ， ED 4 x， y x（4 x） x2+4x， y 与 x 的函数图象大致是 D，故选： D二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11解：（ x4 ） 01， x40， x4 故答案为：412解：原方程是关于 x 得一元二次方程， k10解得： k1 ，又原方程有两个不相等的实数根，4+4（ k1
16、）0，解得： k0，即 k 得取值范围是： k0 且 k1，故答案为： k 0 且 k113解：在 y x2 mx+m 中，当 x1 时， y1 ，无论 m 如何变化，图象总经过定点（1，1） ，故答案为：（1，1） 14解：连接 BE、 BF，如右图所示，由题意可得， BDE BCF，Rt ABC 中， ACB90， A30， BC6， D， E 分别是 AB， AC 边的中点， AB12， AC6 ， EC3 ， BD6， BE ，图中阴影部分面积是： ，故答案为： 15解：将正方形 ABCD 折叠，使点 A 落在 DC 边上的 A处（不与点 C、 D 重合） ，点 A恰好将 DC 分成
17、2：1 两部分， AE EA， 或 ，设正方形 ABCD 的边长为 a， DE 为 x， BC+CA20 ， CA20 BC20 a， DA DC CA a20+ a2 a20， AE AD DE a x，当 时，3（2 a20） a，解得： a12，则 EA AE12 x， DA4，在 Rt DEA 中， DE2+DA 2 EA 2，即 x2+42（12 x） 2，解得： x ；当 时，3（2 a20）2 a，解得： a15，则 EA AE15 x， DA4 10，在 Rt DEA 中， DE2+DA 2 EA 2，即 x2+102（15 x） 2，解得： x ；综上所述，线段 DE 的长为
18、 或 ；故答案为 或 三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16解：原式（ + ） 2（ x+2）2 x+4，当 x 时，原式2（ ）+41+4317解：（1）根据题意得：315%20（人） ，参赛学生共 20 人，则 B 等级人数 20（3+8+4）5 人补全条形图如下：（2） C 等级的百分比为 100%40% ，即 m40，表示“ D 等级”的扇形的圆心角为 360 72，故答案为：40，72 （3）列表如下：男 女 女男 （男，女） （男，女）女 （女，男） （女，女）女 （女，男） （女，女）所有等可能的结果有 6 种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 4 种，则 P（恰好是一
19、名男生和一名女生） 18解：（1）把 A 点（1，4）分别代入反比例函数 y ，一次函数 y x+b，得 k14，1+ b4，解得 k4， b3，点 B（4， n）也在反比例函数 y 的图象上， n 1；（2）如图，设直线 y x+3 与 y 轴的交点为 C，当 x0 时， y3， C（0，3 ） ， S AOB S AOC+S BOC 31+ 347.5 ；（3） B（4，1 ） ， A（1，4） ，根据图象可知：当 x1 或4 x0 时，一次函数值大于反比例函数值19解：（1） AB 为半圆 O 的直径， ACB90， BAC30， ABC60， OB OC， OBC 是等边三角形， OC
20、 BC， OBC BOC60， AOC PBC120， CP 是 O 的切线， OC PC， OCP90， ACO PCB，在 PBC 与 AOC 中， ， PBC AOC（ ASA） ；（2）如图 1，连接 OD， BD， CD，四边形 AOCD 是菱形， OA AD CD OC，则， OA OD OC， AOD 与 COD 是等边三角形， AOD COD60， BOC60， 的长 ；如图 2，同理 BOC120， 的长 2，综上所述， 的长为 或 220解：（1）由题意得， CAB30， ABC120， ACB1803012030， ACB CAB， BC AB40（海里） ；（2）作 C
21、E AB 交 AB 的延长线于 E，在 Rt CBE 中，sin CBE ， CE BCsin CBE40 20 ，20 30，轮船继续向东航行，无触礁危险21解：（1）设每台空调与彩电的进价分别是 x 元、 y 元，根据题意得，解得， ，答：每台空调与彩电的进价分别是 5400 元 、3500 元；（2）由题意可得，y（61005400） x+（39003500） （30 x）300 x+12000，即 y 与 x 的函数关系是 y300 x+12000；（3）由题意可得，5400x+3500（ 30 x）12800，解得 ， ， x10、11、12，有三种进货方案，方案一：购机空调 10
22、台，彩电 20 台；方案二：购进空调 11 台，彩电 19 台；方案三：购进空调 12 台，彩电 18 台； y300 x+12000，当 x12 时， y 取得最大值，此时 y30012+12000 15600，答：商场有三种进货方案，分别是方案一：购机空调 10 台，彩电 20 台；方案二：购进空调 11 台，彩电 19 台；方案三：购进空调 12 台，彩电 18 台；选择方案三商场获利最大，最大利润是 15600 元22解：（1） AD BD， B BAD， AD CD， C CAD，在 ABC 中， B+ C+ BAC180， B+ C+ BAD+ CAD B+ C+ B+ C180
23、B+ C90， BAC90，（2）如图，连接 AC， BD， OE，四边形 ABCD 是矩形， OA OB OC OD AC BD， AE CE， AEC90， OE AC， OE BD， BED90， BE DE；（3）如图 3，四边形 ABCD 是矩形， AD BC， BAD90， ADE 是等边三角形， AE AD BC， DAE AED60，由（2）知， BED90， BAE BEA30，过点 B 作 BF AE 于 F， AE 2AF，在 Rt ABF 中， BAE30， AB2 BF， AF BF， AE 2 BF， AE AB， BC AB23解：（1）函 数的对称轴为： x 1
24、， OB3 OA，点 A、 B 的坐标为（1，0） 、 （3，0） ；（2）二次函数表达式为： y a（ x+1） （ x3） a（ x22 x3） ，即： c3 a，把点 B、 C 坐标代入一次函数表达式 y kx+b 得： ，则一次函数表达式为： y ax3 a，过点 D 作 x 轴的平行线交 BC 于 E 点，设点 D 的坐标为（ x， ax22 ax3 a） ，则点 E 的坐标为（ x， ax 3 a） ，S BDC DEOB （ ax22 ax3 a ax+3a） （ x23 x） ， 0 ，故 S BDC 有最大值，当 x 时，最大值为 a ，解得： a2，点 D 的坐 标为（ ， ） ，故：二次函数表达式为： y 2 x2+4x+6；（3）点 B、 C、 D 的坐标分别为（3，0） 、 （0，3 a） （ 1，4 a） ，则直线 CD 所在直线表达式中的 k 值为： kCD a，同理 kBD2 a， kBC a，当 DCB90时，由两直线垂直 k 值互为负倒数得： a2a1 ，解得： a （正值已舍去） ，当 CDB90时，同理解得： a1 ，故：二次函数表达式为： y x2+2x+3 或 y x2+ x+
