1、第 1 页（共 24 页）2018 年 山 东 省 济宁 市中 考数 学试 卷一 、选 择题： 本大 题共 10 小 题， 每小题 3 分 ，共 30 分 。在每 小题 给出 的四个 选 项中 ，只有 一项 符合题 目要 求。1 （3.0 0 分） 的值是（ ）3A1 B 1 C 3 D32 （3.0 0 分） 为贯彻落 实觉中央、 国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部 署， 教育部会同有关部门近五年来共新建、 改扩建校舍 186000000 平 方米， 其中 数据 186000000 用科学 记数法表示是（ ）A1.8 6107 B 186106 C1.8 6108 D0.1 86109
2、3 （3.0 0 分）下列运算 正确的是（ ）Aa 8a4=a2 B （ a2） 2=a4 Ca 2a3=a6 Da 2+a2=2a44 （3.0 0 分）如图 ， 点 B，C ，D 在O 上 ，若 B CD=130，则 BOD 的度数是（ ）A5 0 B6 0 C 80 D10 05 （3.0 0 分）多项式 4aa 3 分解因式的结果 是（ ）Aa （4 a 2） B a（2 a） （2 +a） Ca（a 2） （a+2 ） D a（2 a ） 2第 2 页（共 24 页）6 （3.0 0 分 ） 如图， 在 平面直角坐标系中， 点 A， C 在 x 轴上， 点 C 的坐标为 （1， 0）
3、 ， AC=2 将 RtAB C 先绕点 C 顺时针旋 转 90， 再向右平移 3 个单位长度， 则变换后点 A 的对应点坐标是（ ）A （ 2， 2） B （ 1， 2） C （1 ，2 ） D （2 ，1 ）7 （3.0 0 分） 在一次数 学答题比赛中， 五位同学答对题目的个数分别为 7， 5， 3，5，1 0，则关于这组 数 据的说法不正确的是（ ）A众数是 5 B中位数是 5 C平均数是 6 D方差是 3.68 （3. 00 分 ） 如图， 在 五边形 ABCDE 中， A +B +E =300， DP、 CP 分别平分E DC、B CD，则 P =（ ）A5 0 B5 5 C 60
4、 D6 59 （3.0 0 分）一个几何 体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A2 4+2 B1 6+4 C1 6+8 D1 6+12第 3 页（共 24 页）10 （3.0 0 分）如图， 小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）A B C D二 、填 空题： 本大 题共 5 小题， 每小 题 3 分， 共 15 分。11 （3.0 0 分） 若二次根 式 在实数范围内有意义， 则 x 的取值范围是 1x12 （3.0 0 分） 在平面直角坐标系中 ， 已知一次 函数 y=2 x+1 的图象经过 P1（x 1，y1） 、 P2（ x2， y2）
5、两点，若 x1 x2，则 y1 y2 （填“”“”“= ”）13 （3.0 0 分） 在 ABC 中， 点 E， F 分别是 边 AB， AC 的中点， 点 D 在 BC 边上， 连接 DE，D F，EF，请 你添加一个条件 ，使B ED 与FD E 全等14 （3.0 0 分） 如图， 在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A， B 两 个观测站， B 站在 A 站的正东方向上， 从 A 站测得船 C 在北偏东 60的方向上 ， 从 B 站测得船 C 在北偏东 30的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是 km第 4 页（共 24 页）15 （3.0 0 分） 如图， 点 A 是反比
6、例函数 y= （ x 0） 图象上一点 ， 直线 y=kx+b4过点 A 并且与两坐标轴 分别交于点 B， C，过点 A 作 ADx 轴，垂 足为 D，连接DC，若B OC 的面积 是 4，则D OC 的面积是 三 、解 答题： 本大 题共 7 小题， 共 55 分。16 （6.0 0 分）化简 ： （ y+2） （y 2 ）（y 1 ） （ y+5）17 （7.0 0 分）某校开 展研学旅行活动，准备去的研学基地有 A（曲阜） 、 B（梁 山） 、 C（汶上 ） ， D（泗 水） ， 每位 学生只能选去一个地方， 王老师对本全体同学 选取的研学基地情况进行调查统计，绘制了两幅不完整的统计图（
7、如图所示） （1 ）求该班的总入数，并补全条形统计图（ 2）求 D（泗水）所 在扇形的圆心角度数；（ 3） 该班班委 4 人中， 1 人选去曲阜， 2 人选去梁山， 1 人选去汶上， 王老师要 从这 4 人中随机抽取 2 人了解他们对研学基地的看法， 请你用列表或 画树状图的 方法，求所抽取的 2 人中恰好有 1 人选去曲阜，1 人选去梁山的概率第 5 页（共 24 页）18 （7.0 0 分）在一次 数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下 工具；卷尺；直棒 EF；T 型尺（C D 所在的直线垂 直平分线段 AB） （ 1）在图 1 中，请你 画出用 T 形尺找
8、大圆圆 心的示意图（保留画图痕迹，不写 画法） ；（ 2） 如图 2， 小华说： “我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积， 具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切， 用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M， N 之间的距离， 就可求出环形花坛的面积 ”如果测得 MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积第 6 页（共 24 页）19 （7.0 0 分 ） “绿水青 山就是金山银山 ”， 为保护生态环境 ， A， B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄 清理养鱼网箱人数/ 人清理捕鱼网箱人数/ 人总支出 /元A 15 9 57000B 10 16
9、 68000（1 ）若两 村清理 同 类 渔具的人 均支出费 用一 样，求清 理养鱼网 箱和 捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；（ 2） 在人均支出费用不变的情况下 ， 为节约开支 ， 两村准备抽调 40 人共同清理 养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网 箱人数小于 清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？第 7 页（共 24 页）20 （8 .00 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，B C 的中点，连接 DF，过点 E 作 EHD F，垂足为 H，EH 的延长线交 DC 于点 G（ 1）猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明
10、你的结论；（ 2） 过点 H 作 MN CD， 分别交 AD， BC 于点 M， N， 若正方形 ABCD 的边长为10，点 P 是 MN 上一点 ，求 PD C 周长的最小值第 8 页（共 24 页）21 （9.0 0 分）知识 背 景当 a0 且 x0 时， 因为 （ ） 2 0， 所以 x 2 + 0， 从而 xaax+ （当 x= 时取等号） a设函数 y=x+ （ a 0， x 0） ， 由上述结论可知 ： 当 x= 时， 该函数有最小值a为2 a应用举例已知函数为 y1=x（ x 0） 与函数 y2= （ x 0） ， 则当 x= =2 时， y1+y2=x+ 有444最 小值为
11、2 =4解决问题（1 ）已知函数为 y1=x+3（x 3 ）与函数 y2=（x +3） 2+9（x 3 ） ，当 x 取何值时， 有最小值？最小值是多少？21（2 ）已知 某设备 租 赁 使用成本 包含以下 三部 分：一是 设备的安 装调 试费用，共490 元； 二是设备的租 赁使用费用 ， 每天 200 元； 三是设备的折旧费用， 它与使 用天数的平方成正比，比例系数为 0.001 若 设该设备的租赁使用天数为 x 天， 则当 x 取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？第 9 页（共 24 页）22 （11 .00 分） 如图， 已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a 0
12、） 经过点 A（3 ， 0） ， B（1，0 ） ，C （0 ，3 ） （1 ）求该抛物线的解析式；（ 2）若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于 点 M，求切点 M 的坐 标；（ 3）若点 Q 在 x 轴上 ，点 P 在抛物线上，是 否存在以点 B，C ，Q ， P 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 10 页（共 24 页）2018 年山东省济宁 市中考数 学试 卷参考答案与试题解析一 、选 择题： 本大 题共 10 小 题， 每小题 3 分 ，共 30 分 。在每 小题 给出 的四个 选 项中 ，只有 一项 符合题 目要 求。1 （3.0
13、0 分） 的值是（ ）3A1 B 1 C 3 D3【解答】解： =-1 故选：3B2 （3.0 0 分） 为贯彻落 实觉中央、 国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部 署， 教育部会同有关部门近五年来共新建、 改扩建校舍 186000000 平 方米， 其中 数据 186000000 用科学 记数法表示是（ ）A1.8 6107 B 186106 C1. 86108 D0.1 86109【解答】解：将 186000000 用科学记数法表 示为：1.8 6108 故选：C 3 （3.0 0 分）下列运算 正确的是（ ）Aa 8a4=a2 B （ a2） 2=a4 Ca 2a3=a6 Da 2+
14、a2=2a4【解答】解：A、a 8a6=a4，故此选项错误；B、 （ a2） 2=a4，故原题 计算正确； C、a 2a3=a5，故此选项 错误； D、a 2+a2=2a2，故此选 项错误； 故选：B 4 （3.0 0 分）如图 ， 点 B，C ，D 在O 上 ，若 B CD=130，则 BOD 的度数是（ ）第 11 页（共 24 页）A5 0 B6 0 C 80 D10 0【解答】解：圆上取一点 A，连接 AB，AD ，点 A、B ，C ，D 在 O 上，B CD=130，B AD=50，B OD=100， 故选：D 5 （3.0 0 分）多项式 4aa 3 分解因式的结果 是（ ）Aa
15、（4 a 2） B a（2 a） （2 +a） Ca （a2 ） （a+2 ） D a（2 a） 2【解答】解：4 aa 3=a（4 a2）=a（2 a） （ 2+a） 故选：B 6 （3.0 0 分 ） 如图， 在 平面直角坐标系中， 点 A， C 在 x 轴上， 点 C 的坐标为 （1， 0） ， AC=2 将 RtAB C 先绕点 C 顺时针旋 转 90， 再向右平移 3 个单位长度， 则变换后点 A 的对应点坐标是（ ）第 12 页（共 24 页）A （ 2， 2） B （ 1， 2） C （1 ，2 ） D （2 ，1 ）【解答】解：点 C 的坐标为（ 1 ，0 ） ，A C=2，点
16、 A 的坐标为（ 3，0 ） ，如图所示，将 RtA BC 先绕点 C 顺时针旋转 90， 则点 A的坐标为（ 1，2 ） ，再向右平移 3 个单位长度，则变换后点 A的对应点坐标为（2 ，2 ） ，故选：A7 （3.0 0 分） 在一次数 学答题比 赛中， 五位同学答对题目的个数分别为 7， 5， 3，5，1 0，则关于这组 数 据的说法不正确的是（ ）A众数是 5 B中位数是 5 C平均数是 6 D方差是 3.6【 解答 】 解： A、数据中 5 出现 2 次，所以众 数为 5，此选项正确； B、数据重新排列为 3、 5、 5、 7、 10，则 中 位数为 5，此选项正确； C、平均数为（
17、7 +5+3+5+10）5= 6，此选项正 确； D 、 方 差 为 （ 7 6） 2+（ 5 6）122+（ 3 6） 2+（ 10 6） 2=5.6， 此 选 项错误；故选：D 第 13 页（共 24 页）8 （3. 00 分 ） 如图， 在 五边形 ABCDE 中， A +B +E =300， DP、 CP 分别平分E DC、B CD，则 P =（ ）A5 0 B5 5 C 60 D6 5【解答】解：在五边形 ABCDE 中，A+B +E= 300，E CD+B CD=240，又D P、C P 分别平分 ED C、B CD，PD C+PCD =120，CDP 中，P= 180（P DC+
18、PC D）= 180 120=60 故选：C 9 （3.0 0 分）一个几何 体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A2 4+2 B1 6+4 C1 6+8 D1 6+12【解答】解：该几何体的表面积为 2 22+44+ 224=12+16， 故选：D 10 （3.0 0 分）如图， 小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）第 14 页（共 24 页）A B C D【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为 10， 符合此要求的只有故选：C 二 、填 空题： 本大 题共 5 小题， 每小 题 3 分， 共 15 分。11 3.00 分）
19、 若二次根 式 在实数范围内有意义， 则 x 的取值范围是 x1 【解答】解：式子 在实数范围内有意义，x 1 0 ， 解得 x1 故答案为：x1 12 （3.0 0 分） 在平面直角坐标系中 ， 已知一次 函数 y=2 x+1 的图象经过 P1（x 1，y1） 、 P2（ x2， y2）两点，若 x1 x2，则 y1 y 2 （填“”“”“= ”）【解答】解：一次函数 y=2 x+1 中 k=2 0 ，y 随 x 的增大而减 小 ，x 1x 2，y 1y 2 故答案为：13 （3.0 0 分） 在 ABC 中， 点 E， F 分别是 边 AB， AC 的中点， 点 D 在 BC 边上， 连接
20、 DE，D F，EF，请 你添加一个条件 D 是 BC 的中点 ，使 BED 与FD E 全第 15 页（共 24 页）等【解答】解：当 D 是 BC 的中点时，B EDF DE，E ，F 分别是边 AB，A C 的中点，EF B C，当 E，D 分别是边 AB，B C 的中点时，ED A C，四边形 BEFD 是平行四边形，B EDFD E， 故答案为：D 是 BC 的中点14 （3.0 0 分） 如图， 在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A， B 两 个观测站， B 站在 A 站的正东方向上， 从 A 站测得船 C 在北偏东 60的方向上 ， 从 B 站测得船 C 在北偏东 30
21、的方向 上 ，则船 C 到海岸线 l 的距离是 km【解答】解：过点 C 作 CDAB 于点 D， 根据题意得：C AD=9060 =30，C BD=9030 =60，A CB=CB D CAD=30，C AB=A CB，B C=AB=2km，在 RtCB D 中，CD= BCsin60=2 = （k m） 故答案为： 第 16 页（共 24 页）15 （3.0 0 分） 如图， 点 A 是反比例函数 y= （ x 0） 图象上一点 ， 直线 y=kx+b过点 A 并且与两坐标轴 分别交于点 B， C，过点 A 作 ADx 轴，垂 足为 D，连接DC，若B OC 的面积 是 4，则D OC 的
22、面积是 2 2 【解答】解：设 A（ a， ） （a0 ） ，AD = ，OD=a ，直线 y=kx+b 过点 A 并且与两坐标轴分别交于点 B，C ，C （0 ，b ） ，B （ ，0 ） ，B OC 的面积是 4，S BOC= OBOC= b=4，b 2=8k，k = AD x 轴，O CAD ，B OC BDA， ， ，第 17 页（共 24 页）a 2k+ab=4， 联立 得，ab = 4 4 （舍）或 ab=4 4 ，S DOC= ODOC= ab=2 2故答案为 2 2 三 、解 答题： 本大 题共 7 小题， 共 55 分。16 （6.0 0 分）化简 ： （ y+2） （y 2
23、 ）（y 1 ） （ y+5）【解答】解：原式=y 24 y 25 y+y+5=4 y+1，17 （7.0 0 分）某校开 展研学旅行活动，准备去的研学基地有 A（曲阜） 、 B（梁 山） 、 C（汶上 ） ， D（泗 水） ， 每位学生只能选去一个地方 ， 王老师对本全体同学 选取的研学基地情况进行调查统计，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示） （1 ）求该班的总入数，并补全条形统计图（ 2）求 D（泗水）所 在扇形的圆心角度数；（ 3） 该班班委 4 人中， 1 人选去曲阜， 2 人选去梁山， 1 人选去汶上， 王老师要 从这 4 人中随机抽取 2 人了解他们对研学基地的看法， 请你用列表
24、或 画树状图的 方法，求所抽取的 2 人中恰好有 1 人选去曲阜，1 人选去梁山的概率【解答】解： （1 ）该班的人数为 =50 人， 则 B 基地的人数为 5024%=12 人， 补全图形如下：第 18 页（共 24 页）（ 2） D（泗水）所在 扇 形的圆心角度数为 360 =100.8；（3 ）画树状图为：共有 12 种等可能的结 果数，其中所抽取的 2 人中恰好有 1 人选去曲 阜， 1 人选 去梁山的占 4 种，所以所抽取的 2 人中恰好 有 1 人选去曲阜，1 人选去梁山的概率为 = 18 （7.0 0 分）在一次 数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示） 面积的方法，现
25、有以下工具； 卷尺；直棒 EF；T 型尺（C D 所在的直线垂 直平分线段 AB） （ 1）在图 1 中，请你 画出用 T 形尺找大圆圆 心的示意图（保留画图痕迹，不写 画法） ；（ 2） 如图 2， 小华说： “我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积， 具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切， 用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M， N 之间的距离， 就可求出环形花坛的面积 ”如果测得 MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积第 19 页（共 24 页）【 解答 】 解 ： （ 1）如图点 O 即为所求；（ 2）设切点为 C，连接 OM，O CM N 是切线，O CM N，CM= CN
26、=5，OM 2O C2=CM2=25，S 圆环 =OM2O C2=2519 （7.0 0 分 ） “绿水青 山就是金山银山 ”， 为保护生态环境 ， A， B 两村准备各自 清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄 清理养鱼网箱人数/ 人清理捕鱼网箱人数/ 人总支出 /元A 15 9 57000B 10 16 68000（1 ）若两 村清理 同 类 渔具的人 均支出费 用一 样，求清 理养鱼网 箱和 捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；第 20 页（共 24 页）（ 2） 在人均支出费用不变的情况下 ， 为节约开支 ， 两村准备抽调 40 人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱
27、，要使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网 箱人数小于 清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？【 解答 】 解 ： （ 1） 设 清 理养鱼网箱的人均费用为 x 元， 清理捕鱼网箱的人均费用 为 y 元，根据题意，得： ， 解得： ，答：清理养鱼网箱的人均费用为 2000 元，清 理捕鱼网箱的人均费用为 3000 元；（ 2）设 m 人清理养鱼网箱，则（ 40m）人 清理捕鱼网箱， 根据题意，得： ，解得：1 8m2 0，m 为整数，m=1 8 或 m=19， 则分配清理人员方案有两种：方案一：1 8 人清理养 鱼网箱， 22 人清理捕 鱼网箱； 方案二：1 9 人清理养 鱼网
28、箱， 21 人清理捕 鱼网箱20 （8.0 0 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，B C 的中点，连 接 DF，过点 E 作 EHD F，垂足为 H，EH 的延长线交 DC 于点 G（ 1）猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明你的结论；（ 2） 过点 H 作 MN CD， 分别交 AD， BC 于点 M， N， 若正方形 ABCD 的边长为10，点 P 是 MN 上一点 ，求 PD C 周长的最小值第 21 页（共 24 页）【解答】解： （1 ）结论： CF=2DG理由：四边形 ABCD 是正方形，AD =BC=CD=AB， ADC=C=90 ，D E=AE，
29、AD =CD=2DE，E G DF，D HG=90，CDF +D GE=90， D GE+D EG=90，CDF= D EG，D EGCDF ， = = ，CF=2D G（ 2） 作点 C 关于 NM 的对称点 K， 连接 DK 交 MN 于点 P， 连接 PC， 此时 P DC 的周长最短周长的最小值 =CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK 由题意：CD=AD=10，E D=AE=5， DG= ，E G= ，D H= = ，EH=2 DH=2 ，H M= =2，D M=CN=NK= =1，在 RtD CK 中，D K= = =2 ，PCD 的周长的最小值为 10+2 第 22 页（
30、共 24 页）21 （9.0 0 分）知识 背 景当 a0 且 x 0 时， 因为 （ ） 2 0， 所以 x 2 + 0， 从而 x+（当 x= 时取等号） 设函数 y=x+ （ a 0， x 0） ， 由上述结论可知 ： 当 x= 时， 该函数有最小值为2 应用举例已知函数为 y1=x（ x 0） 与函数 y2= （ x 0） ， 则当 x= =2 时， y1+y2=x+ 有最 小值为 2 =4解决问题（1 ）已知函数为 y1=x+3（x 3 ）与函数 y2=（x +3） 2+9（x 3 ） ，当 x 取何值时， 有最小值？最小值是多少？（2 ）已知 某设备 租 赁 使用成本 包含以下 三
31、部 分：一是 设备的安 装调 试费用，共490 元； 二是设备的租 赁使用费用 ， 每天 200 元； 三是设备的折旧费用， 它与使 用天数的平方成正比，比例系数为 0.001 若 设该设备的租赁使用天数为 x 天， 则当 x 取何值时，该设备平均每天的租货使用成本 最低？最低是多少元？【解答】解： （1 ） = =（ x+3）+ ，当 x+3= 时， 有最小值，x =0 或6 （舍弃）时，有最小值 =6（ 2）设该设备平均每天的租货使用成本为 w 元 则 w= = +0.001x+200，当 =0.001x 时， w 有最小值，x =700 或 700（舍弃 ）时 ， w 有最小值，最 小值
32、 =201.4 元22 （11 .00 分） 如图， 已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a 0） 经过点 A（3 ， 0） ， B（第 23 页（共 24 页）1，0 ） ，C （0 ，3 ） （1 ）求该抛物线的解析式；（ 2）若以点 A 为圆心的圆 与直线 BC 相切于 点 M，求切点 M 的坐 标；（ 3）若点 Q 在 x 轴上 ，点 P 在抛物线上，是 否存在以点 B，C ，Q ， P 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【 解答 】 解 ： （ 1） 把 A（3 ， 0） ， B（1 ， 0） ， C（0 ， 3 ） 代入抛物线解析式得：，解
33、得： ， 则该抛物线解析式为 y=x22 x 3；（ 2）设直线 BC 解析式为 y=kx3 ，把 B（ 1， 0）代入得： k 3=0，即 k=3 ，直线 BC 解析式为 y=3 x3 ，直线 AM 解析式为 y= x+m，把 A（ 3， 0）代入得 ： 1+m=0，即 m= 1，直线 AM 解析式为 y= x1 ， 联立得： ，第 24 页（共 24 页）解得： ，则 M（ ， ） ；（ 3）存在以点 B， C，Q ， P 为顶点的四边形是平行四边形， 分两种情况考虑：设 Q（ x，0 ） ，P （m ，m 22 m3 ） ，当四边形 BCQP 为平行 四边形时，由 B（1 ，0 ） ，C
34、 （0 ，3 ） ，根据平移规律得： 1+x=0+m，0 +0=3 +m2 2m3 ， 解得：m=1 ，x =2 ，当 m=1+ 时， m2 2m 3=8+2 2 2 3=3， 即 P（1 + ，2 ） ；当 m=1 时， m2 2m 3=8 2 2+2 3=3， 即 P（ 1 ， 2） ；当四边形 BCPQ 为平行 四边形时，由 B（1 ，0 ） ，C （0 ，3 ） ， 根据平移规律得： 1+m=0+x，0 +m22 m 3=3 +0，解得：m=0 或 2，当 m=0 时， P（ 0， 3） （舍去 ） ；当 m=2 时 ，P （ 2，3 ） ，综上， 存在以点 B， C， Q， P 为顶点的四边形是平行四边形， P 的坐 标为 （ 1+ ，2）或（1 ，2 ）或（ 2，3 ）
